Bài soạn ôn thi vào 10( phá mật khẩu cho mình với)

Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Ôn THI Vào lớp 10 THPT
Đại số
Chuyên đề I.
Thực hiện phép tính về căn thức.
I.Các kiến thức cần lu ý.
a) Điều kiện để
A
có nghĩa: A

0.
b) Không phải bao giờ ta cũng có:
AA
=
2
.( Chỉ xảy ra khi A

0 )
Tổng quát:
2
A
= /A/ . Bằng A khi A

0 ; Bằng A khi A

0.
c) Không phải bao giờ ta cũng có:
BABA
=
2

d) Chỉ có số không âm mới đa đợc vào trong dấu căn và đợc A
2
VD:
525.)2(
2
=
( Sai ).

525/2/5.)2(
2
==
( đúng ).
e) Muốn khai phơng của biểu thức A ( Tức là tính
A
) Ta cần tìm cách viết A dới
dạng A = B
2
. Và lúc đó:
A
=
2
B
.

VD:
12)12(122)2(223
22
+=+=++=
.
II. Một số bài toán điển hình.

Bài 1. Rút gọn biểu thức:
a)
246223
+
.
b)
3232
++
.
Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng.
b) Nhân cả tử và mẫu với 2 rồi làm n câu a.
( Hoặc đặt biểu thức là A. rồi bình phơng hai vế.).
Bài 2 Chứng minh rằng:
a)
25353
=
.
b)
8)53).(210.(53
=+
Hớng dẫn giải: a) Biến đổi vế trái nh ở bài 1.
b) Viết
2
)53(53
+=+

Bài 3 Rút gọn:
a)
11
++

xxxx
( Với x
1

)
b)
44
22
++
xxxx
( Với
2

x
).
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Hớng dẫn giải: a) Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng
b) Nhân cả tử và mẫu với 2.
Bài 3 Tính:
A =
33
10363610
+
.

Hớng dẫn giải: Lập phơng hai vế đa về phơng trình bậc ba đối với ẩn là A, Giải ph-
ơng trình đó tính đợc A =2.
Bài 4 Thực hiện phép tính:
a)

( )
877.714228
++
b)
4.032).(10238(
+
).
c)
( )
10:450320055015
+
.
Hớng dẫn giải: a) Đáp số 21 b)
8
5
516

c) 16
5
.
Bài 5 Thực hiện phép tính:
a)
6
1
.
3
216
28
632

b
57
1
:
31
515
21
714

c)
1027
1528625
+
++

Hớng dẫn giải: a) Đáp số:
2
3

b) -2 c) 1.
Bài 6 Cho biểu thức:
A =
)
1
2
11
1
(:)
1
1
1
1
(
2

+

++



+
x
x
x
xx
x
x
x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x =
324
+
c) Tìm các giá trị của x để A = -3.
Hớng dẫn giải.
a) A =
2
)1(
4
+
x
x
b) Thay x vào ta có giá trị của A là: 12
203

.
c) GiảI phơng trình A = 3 ta có : x
1
= - 3 ; x
2
=
3
1

.
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Bài 7 Cho biểu thức:
B =
11
1
1
1
3


+
+
+

x
xx
xxxx
.
a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B khi x =
729
53

.
c) Tìm giá trị của x để B = 16.
Hớng dẫn giải: a) ĐK: x>1. Rút gọn ta đợc B = x-2
1

x
.
b) Biến đổi x = 9+2
7
. Thay vào B ta có B = 7
c) Giải phơng trình B = 16 ta đợc: x = 26.
Bài 8 Cho biểu thức:
P =








+

+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
.
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 6+2

5
.
d) Tìm x khi P =
5
6
.
Hớng dẫn giải: a) Rút gọn P =
13

+
x
xx
b) x = 6+2
5
=>
15
+=
x
.
Sau đó thay x voà P tính đợc: P =
41
51531
+
.
c) P =
5
6
x
1
= 4 ; x

2
=
25
9
.
Bài 9. Tính giá trị của:
a) A =
2007200620062007
1
..............
3223
1
2112
1
+
++
+
+
+
b) B =
20072006
1
.......
32
1
21
1
+
++
+

+
+


Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Chuyên đề II
Hàm số và đồ thị
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Hàm số: y = ax + b (a

0)
+ Tính chất : * TXĐ : Mọi x

R.
* Sự biến thiên :
+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R
+ Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax nếu b

0. cắt trục Oy tại điểm
có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0 (b đợc gọi là tung độ gốc)
+ cách vẽ đồ thị: Lấy hai giá trị khác nhau của x rồi lập bảng giá trị tơng ứng. Biểu
diễn hai điểm trên hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
+ Đờng thẳng y = ax + b (a

0) có a gọi là hệ số góc. Và ta có: tg

=
a

- Trong đó

là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a

0) với trục Ox.
2. Hàm số: y = ax
2
(a

0)
+ Tính chất : * TXĐ : mọi x

R.
* Sự biến thiên :
+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi
mọi x < 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với
mọi x > 0.
+ Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax
2
(a

0)
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị
nhỏ nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.
Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 => 0 là giá trị
lớn nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.
+ Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax

2
(a

0)
- là đờng cong đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng.
* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành. O là điểm thấp nhất của đồ thị.
* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành. O là điểm cao nhất của đồ thị.
3. Tơng giao của đờng cong Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = bx + c
Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng
(d): y = bx + c Là nghiệm của hệ phơng trình:
2
y ax
y bx c
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
= +
ù
ợ

=> phơng trình: ax
2
= bx + c
(1) là phơng trình hoành độ. Vậy:
+ Đờng thẳng (d) không cắt (P) phơng trình (1) vo nghiệm.
+ Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong (P) Phơng trình (1) có nghiệm kép.
+ Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân
biệt
II. Một số dạng bài tập thờng gặp.
Dạng1 Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Bài tập 1:
Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d
,
)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.
Nhận xét:gặp dạng toán này học sinh thờng vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao
điểm (x;y) tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ
thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá tri của x;y
GiảI:
a) vẽ đồ thị hai hàm số
b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:x+3=2x+1

x=2 suy ra y=5
Ví dụ 2: Cho 3 đờng thẳng lần lợt có phơng trình:
(D
1
) y=x+1
(D
2

) y=-x+3
(D
3
) y= (m
2
-1)x+ m
2
- 5 (với m
1)
Xác định m để 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Nhận xét: 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy tại một điểm nào đó chẳng hạn điểm
A(x;y) thì rỏ ràng x;y là một nghiệm của 3 phơng trình trên hay x;y là nghiệm của
1
2
( )
( )

D
D





và là nghiệm của (D
3
)
Hớng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm B của (D
1
) ,(D
2
) là:-x+3=x+1

x=1 thay vào y=x+1suy ra y=2 để 3
đờng thẳng đồng quy thì (D
3
)phảI đi qua điểm B nên ta thay x=1;y=2 vào phơng trình (D
3
)
ta có: 2=(m
2
-1)1+m
2
-5

m

2
=4

m=2;m=-2.
Vậy với m=2;m=-2thì 3 đờng thẳng (D
1
) ,(D
2
), (D
3
) đồng quy.
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua:
+ Hai điểm A (x
1
; y
1
) và B (x
2

; y
2
)
+ Điểm M (x
0

; y
0
) và song song (vuông góc) với đờng thẳng (d) cho trớc
Bài tập 2
Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:

a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng: (d): y = -
1
2
x + 3
c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
Hớng dẫn giải
Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b
a) Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
nên ta có:
3
2 4
a b
a b
ỡ
- + =
ù
ù
ớ
ù
+ =-
ù
ợ
=>
7
3
2
3
a
b

ỡ
ù
ù
=-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y =
7 2
3 3
x- +
b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d): y = -
1
2
x + 3 =>
7
3
a =-
=> (d):
y =
7
3

x b- +
mà (d) đi qua M (-2; 5) => ta có: 5 =
14
3
b+
=> b =
1
3
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
7 1
3 3
x- +

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
nên ta có: a.2 = -1 => a =
1
2
-
và 4 =
3
2
b+
=> b =
5
2

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y =
1 5
2 2
x- +

Bài tập 3
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Cho hàm số y = (m
2
2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:
a) Đồ thị (D) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
b) Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2
c) Đồ thị (D) đi qua điểm A (2; 3)
Hớng dẫn giải
a) Đồ thị (D) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2 =>
Ta có:
2
2 3
3 2 2
m
m
ỡ
ù
- =
ù
ớ
ù
+ ạ
ù
ợ

5m =
b) Đồ thị (D) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2 =>
ta có: (m

2
2 ).(- 3) = -1
7
3
m =
c) Đồ thị (D) đi qua điểm A( 2; 3) => 3 = 2m
2
4 + 3m + 2 2m
2
+3m -5 = 0
ta có a + b + c = 0 => m
1
= - 1; m
2
=
5
2
-
Dạng 3. Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng đi qua.
* Phơng pháp: Họ đờng thẳng y = f(x;m) đi qua điểm cố định I( x
0
; y
0
) với mọi m

phơng trình ẩn m: y
0
= f(x
0
;m) có nghiệm với mọi m

Bài tập 4
Cho họ đờng thẳng (m 2).x + 2m y + 1 = 0 (D
m
)
a) Tìm giá trị m biết đờng thẳng (D
m
) đi qua điểm A(-2; 4)
b) Tìm điểm cố định I mà họ đờng thẳng (Dm) đi qua với mị giá trị của m.
Hớng dẫn giải
a) Đờng thẳng (D
m
) đi qua A(-2; 4) (m 2).(-2) + 2m.4 +1 = 0 6m +5 = 0 m
=
5
6

b) Họ đờng thẳng (D
m
) đi qua điểm cố định I(x
0
; y
0
) phơng trình: (m 2).x
0
+
2m.y
0
+ 1 = 0 vô số nghiệm m (x
0
+ 2y

0
).m 2x
0
+ 1 = 0 có vô số nghiệm m
{
0 0
0
2 0
2 1 0
x y
x
+ =

<=>

+ =

Dạng 1: Bài toán chứng minh
Chứng minh rằng: Đờng thẳng (D): y= 4x - 3 tiếp xúc với parabol (P):
y= 2x
2
- 4(2m-1)x + 8m
2
- 3
Nhận xét:
Gặp dạng toán này học sinh sẽ lúng túng để tìm phơng pháp giải vì học sinh không nắm đ-
ợc đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với parabol (P):
y=2x
2
-4(2m-1)x+8m

2
-3 tại một điểm thì điểm đó là nghiệm của hai phơng trình vậy ph-
ơng trình hoành độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ đó ta có cách
giảI sau:
GiảI:
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
2x
2
-4(2m-1)x+8m
2
-3=4x-3

2x
2
-8mx+8m
2
=0

x
2
+4mx+4m
2
=0
Ta có:
2 2
16 16 0m m = =
với mọi giá trị của m nên Đờng thẳng (D):y=4x-3 tiếp xúc với
parabol (P):y=2x

2
-4(2m-1)x+8m
2
-3
Dạng 2: Bài toán tìm điều kiện
Ví dụ:Chứng minh rằng đờng thẳng (D):y=x+2m và parabol(P):y=-x
2
-x+3m
a)Với giá trị nào của m thì(D) tiếp xúc với parabol(P).
b) Với giá trị nào của m thì(D) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A và B.tìm toạ độ giao
điểm A và B khi m=3
Nhận xét:tơng tự nh ví dụ trên ta sẽ đi xét sự có nghiệm của phơng trình bậc hai
nếu có một nghiệm thì (D) và (P) có một điểm chung còn nếu có hai nghiệm thì (D) và (P)
có hai điểm chung.
Giải:
a)Hoành độ giao điểm chung của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình:
-x
2
-x+3m=x+2m

-x
2
-2x+m=0
Đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)

phơng trình (3) có nghiệm kép

0 =

4+4m=0

m=-1.
b) Đờng thẳng (D) cắt parabol (P)

phơng trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

0
>

4+4m>0

m>-1.
Khi m=3 thì hoành độ giao điểm của (D) và (P) là nghiệm của phơng trình
-x
2
-2x+3=0

x=1 hoặc x=3
Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A,B của (D) và (P) là:A(1;7) B(3;9).
Dạng 3:Lập phơng trình tiếp tuyến
Ví dụ:Cho đờng thẳng (D):y=ax+b tìm a và b biết:
a) đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng 2y+4x=5 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x
2
b)Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng x-2y+1=0 và tiếp xúc với parabol (P):y=-x
2
c) đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol(P):y=x
2
-3x+2 tại điểm C(3;2)
Nhận xét:ở đây học sinh cần nhớ điều kiện để hai đờng thẳng song song va vuông góc để
tìm ra giá trị của a sau đó vận dụng kiến thức nh dạng hai để giải

Giải:
a)Ta có: 2y+4x=5

y=-2x+5/2 nên phơng trình đờng thẳng (D) có dạng:
y=-2x+b (b
5
2

) theo cách tìm của dạng 2 ta tìm đợc b=
1
4
Vậy phơng trình đờng thẳng (D) là:y=-2x+1/4
b)Ta có: x-2y+1=0

y=1/2x+1/2.Đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng có phơng
trình:x-2y+1=0

a.1/2=-1

a=-2 suy ra (D):y=-2x+b
Theo cách làm của dạng 2,ta tìm đợc b=1.Vậy phơng trình đờng thẳng (D) có phơng trình
là:y=-2x+1
c)Ta có:C(3;2)

(D)

2=3a+b

b=2-3a
Theo cách làm của dạng 2 ta tìm đợc a=3 và suy ra b=-7 Vậy phơng trình đờng thẳng (D)

có phơng trình là:y=3x-7
Dạng 4:Xác định toạ độ tiếp điểm.
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Ví dụ:Cho parabol (P):y=x
2
-2x-3
Tìm các điểm trên (P) mà tiếp tuyến của (P) tại điểm đó song song với đờng thẳng (D):y=-
4x.
Giải:
Gọi đờng thẳng tiếp xúc với (P) là (d).
Do (d) song song với (D) nên d có dạng:y=-4x+b (b
0)
.Hoành độ điểm chung của (p) và
(d) là nghiệm của phơng trình: x
2
-2x-3=-4x+b

x
2
+2x-3+b=0 (2)
Ta thấy: (d) tiếp xúc với (P)

phơng trình (2) có nghiệm kép

0 4 0 4b b

= + = =
Khi đó nếu điểm A(x
0

;y
0
) là tiếp điểm của (P) và (d) thì(do A
( ); ( )p A d
nên ta có hệ ph-
ơng trình;
2
0
0 0 0
0
0 0
1
2 3
0
4 4
x
y x x
y
y x
=

=




=
=

Dạng 5:Xác định parabol.
Ví dụ:Xác định parabol (P):y=ax
2
+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đờng thẳng (D) :y=-5x+15 v i qua hai im (0 ; -1) v
(4 ; -5).
b) (P) ct trc tung ti im cú tung bng 2 v ct ng thng (D) : y = x - 1
ti hai im cú honh l 1 v 3.
Gii : a) (P) i qua hai im (0 ; -1) v (4 ; -5)
Do ú parabol (P) l th ca hm s
y = ax
2
- (1 + 4a)x - 1.
Honh im chung ca (D) v (P) l nghim phng trỡnh :
ax
2
- (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15
ax
2
- 4(a - 1)x - 16 = 0 (5)
ng thng (D) tip xỳc vi parabol (P) <=> Phng trỡnh (5) cú nghim kộp
<=> = 0 <=> 4(a - 1)2 - 16a = 0
<=> (a + 1)2 = 0 <=> a = -1.
Do ú : a = -1 ; b = 3 v c = -1.
Vy (P) l th hm s y = -x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) ct trc tung ti im cú tung bng 2 nờn (P) i qua im (0 ;
2). (P) ct ng thng (D) : y = x - 1 ti hai im cú honh l 1 v 3 <=>
Giao im ca (P) vi ng thng (D) l : (1 ; 0) v (3 ; 2).
Vy parabol (P) i qua ba im (0 ; 2) ; (1 ; 0) v (3 ; 2) khi v ch khi

Do ú a = 1 ; b = -3 v c = 2.
Dạng 6:Quỹ tích đại số
Ngời soạn: Đặng Văn nam
THCS Trần Hng Đạo Lục Ngạn Bắc Giang
Phơng pháp: Điểm M

(x
(m)
; y
(m)
)

Chuyên đề III
Phơng trình hệ phơng trình
GiảI bài toán bằng cách lập phơng trình hệ phơng trình
I. Các kiến thức cần nhớ
1. Phơng trình.
a) Ph ơng trình bậc nhất một ẩn : Phơng trình dạng: ax + b = 0 (1)
- Cách giải:
* Nếu a = 0 => (1) 0x + b = 0
+ b khác 0 => phơng trình (1) vô nghiệm.
+ b = 0 => Phơng trình vô số nghiệm
* Nếu a khác 0 => phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất: x =
b
a
-
b) Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn :
* Phơng trình dạng ax + by = c (1) (a
2
+ b

2

ạ
0)
Gọi là phơng trình bậc nhất hai ẩn (x, y: ẩn a, b hệ số)
* Phơng trình (1) có vô số nghiệm (x; y) và nghiệm viết dạng tổng quát.