Đề thi TS vào lớp 10 năm học 2009 - 2010

S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT
NGH AN NM HC 2009 - 2010
Môn thi : Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A =
x x 1 x 1
x 1
x 1
+


+
.
1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
9
4
.
3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Câu II (2,5 điểm). Cho phơng trình bậc hai, với tham số m : 2x
2
(m + 3)x + m = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
+ x

2
=
1 2
5
x x
2
.
3) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
1 2
x x

.
Câu III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m.
Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì
chu vi thửa ruộng không thay đổi.
Câu IV (3,0 điểm). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính
thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC
và AD lần lợt tại E và F.
1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R
2
.
2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn.
3) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm
trên một đờng thẳng cố định.
--------------Hết-------------

Đề chính thức
Gợi ý Đáp án
Câu I:
1. Đkxđ: x 0, x 1
A =
1 ( 1)( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x x x x x x
x x x x x x x
+ +
= =
+ + +
2. Với x =
9
4
=> A =
3
2
3
3
1
2
=

.
3. A<1

1 1
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1

+
< < < <

x x x x
x
x x x x
x<1
Kết hợp với ĐKXĐ của biểu thức ta có: 0

x < 1
Vậy để A < 1 thì 0 x < 1.
Câu II:
1. Với m = 2 thì phơng trình trở thành: 2x
2
5x + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm là: x
1
= 2 và x
2
=
1
2
.
2. Ta có = (m + 3)
2
4.2.m = m
2
- 2m + 9= (m - 1)
2
+ 8 > 0 với mọi m

=> phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Viét ta có:
1 2
1 2
3
2
2
m
x x
m
x x
+

+ =




=


Do đó : x
1
+ x
2
=
5
2
x
1

x
2


2(m+3) = 5m m = 2.
3. Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
.x
2
=
2
(m 3)
4
+
2m =
2
( 1) 8
2

4
m +


1 2
2 x x

Vậy MinP =
2
khi m - 1 = 0

m = 1
Câu III: Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x(m) ( x> 0)
Khi đó chiều dài của thửa ruộng là x + 45 (m)
Lập đợc PT : 2(x + x + 45) = 2(3x +
x 45
2
+
)
Giải PT trên đợc x = 15 thoả mãn điều kiện ban dầu.
Suy ra chiều rộng thửa rộng là 15m, chiều dài là 60m
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m
2
).
Câu IV:
1. Ta có tam giác AEF vuông tại A
(
à
A
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)

Mà AB là đờng cao.
=> BE.BF = AB
2
(Hệ thức lợng trong tam giác vuông)
=> BE.BF = 4R
2
( Vì AB = 2R)
2. Ta có
ã
CEF
=
ã
BAD
(Cùng phụ với
ã
BAE
)
Mà
ã
BAD
=
ã
ADC
( Tam giác AOD cân tại A)
=>
ã
CEF
=
ã
ADC

=> Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn.
d
R
R
I
H
O
F
E
D
C
B
A
3. Gọi H trung điểm của EF là .
=> IH // AB hay IH // AO (*)
Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF,
à
A
= 90
0
)
=>
ã
HAC
=
ã
HEA
(1)
Mà
ã

HEA
+
ã
BAC
= 90
0
(2)
Mặt khác
ã
BAC
=
ã
ACO
( tam giác AOC cân tại O) (3)
Từ (1), (2) và (3) =>
ã ã
0
HAC ACO 90+ =

AH CD
Mặt khác OI CD ( đờng kính đi qua trung điểm của 1 dây)
=> AH// OI (**)
Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi).
Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi bằng R
Vật I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng bằng R.