Đề thi học sinh giỏi toán Nam ĐỊnh từ 2000-2005

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2000
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2000
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20

Câu I (5 điểm).
Cho hàm số
Giải các phương trình sau:
1)
2)

Câu II (5 điểm)
Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn:

Tìm các góc của tam giác đó.

Câu III (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = 1. (P) là mặt
phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt
tại D, E, F, H.
1) Chứng minh DEFH là hình chữ nhật.
2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất.

Câu IV (3 điểm).
a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:


--------------------------------------------------------
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2001
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2001
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20

Câu I (6 điểm).
1) Cho biểu thức:

Chứng minh
2) Giải phương trình:

Câu II (5 điểm)
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh:


Câu III (7 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a và BC = b. Các đường thẳng và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt tại C và D.Trên các đường thẳng

và ta lấy lần lượt các điểm M, N bất kỳ sao cho
1) Chứng minh các điểm M, N ở 2 phía khác nhau đối với mặt phẳng (ABCD).
2) Chứng minh tứ diện ABMN có 4 mặt là các tam giác vuông.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

Câu IV (2 điểm).
Cho hàm số .
Chứng minh phương trình: không
có nghiệm.
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2002
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2002
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20

Câu I (5 điểm).
1) Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có:
2) Giải phương trình:

Câu II (5 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn:

Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam giác ABC
đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB.

Câu III (7 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố định trên
đường tròn (O). Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong đường tròng (O) sao cho
2 đường chéo luôn vuông góc với nhau. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt
phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. Nối S với A, B, C, D.
1) Chứng minh
2) Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S.
3) Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó
theo R.

Câu IV (3 điểm).
Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho:
và .
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2004
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2004
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20

Câu I (6 điểm).
Cho phương trình sau:

1) Giải phương trình khi .