DE+DA HSG K10 NAM 08-09

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.25 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng

Khèi 10 THPT - Năm học 2008-2009

Môn thi: Toán

(Thời gian làm bài: 180 phút )

Bài 1:

1.Giải phơng trình:

4 x

x21

x+

x21=2 .

2.Giải hệ phơng trình:

x2+y2+xy=7

x4

+y4+x2y2=21
{

Bài 2:

1. Giải bất phơng trình

23x 2 + x+2 3

√

4(3x −2)(x+2) .

2. Gi¶i bÊt phơng trình

x2

+3x+2+

x2+6x+5

2x2+9x+7 .
Bài 3. Tìm hàm f(x) biết rằng: x 0 :f(x)+2f(1

x)=x .

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc:
A= x −5

√x −8 Víi x∈¿ .

Bài 5. Cho đờng tròn (C): x2+y22x 4y+1=0 .

1. Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) qua ®iĨm M(3;4).

2. Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng 3x + 4y +1 =0 và cắt (C) tại
hai điểm A; B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

(Với I là tâm đờng tròn (C) )

Bµi 6.

1. Chøng minh: a

+b8+c8

a3b3c3 ≥
1
a+

1
b+

c∀a ;b ; c>0.

2.Cho các số dơng a;b;c thõa mÃn ®iỊu kiƯn a+b+c=3. Chøng minh:
a

1+b2+

b
1+c2+

c
1+a2

3
2

Hết.

Họ tên thí sinh Số báo danh.

Thí sinh khơng đợc sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích gì thêm.

Trờng THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 10
năm học 2008-2009 Mơn : Tốn

Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 1
(4 đ)

1

Giải phơng trình:

4 x

x2

1+

x+

x21=2 .

ĐK: x 10; x

x2

10 .

Đặt u=

√

4 x −

√

x2−1⇒

√

x+

√

x2−1= 1

u2 ( u>0).

1đ

Phơng trình trở thành: u32u2+1=0u=1;u=15

2 .

- Với u=1: x=1.

- Víi u=1±√5

2 : x=

(

1+√5

)

(

1+5
2

)

1đ

2

Giải hệ phơng trình:

x2

+y2+xy=7

x4

+y4+x2y2=21
{

x2+y2+xy=7

(x2+y2)2 x2y2=21
{

1đ

Đặt u= x2

+y2 ; v=xy. Cã ngay: u=5;v=2. Ta cã hÖ:

x2+y2=5

xy=2
¿{
¿

Giải ra ta đợc các nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1). 1

Bài 2

(4đ) 1

2 3x 2 + √x+2 3

√

4(3x −2)(x+2) (1)

TX§: D =

x∈

¿
¿

R \ x 2

3 }

Trên D thì √x+2 > 0, Chia 2 vế của (1) cho √x+2 ta đợc

√

3x 2

x+2 +13

3x 2

x+2 Đặt t =

√

3x −2

x+2 , t 0

BPT ⇔ 2t2 – 3t + 1 0 ⇔ 0 t 1

2 hc t 1

1§

* Víi 0 t 1

2 th×

√

3x −2
x+2

2 ⇔

3 x

34
47

* Víi t 1 th× 4

√

3x −2

x+2 1 ⇔ x 2

VËy tËp nghiƯm cđa BPT (1): T = [2

3;
34

47] [2;+∞]

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2

√

x2+3x+2+

√

x2+6x+5≤

√

2x2+9x+7 .

§K: x∈¿∪¿

- Với x=-1: Hiển nhiên là nghiệm.
- Với x>-1: Bất phơng trình tơng đơng:

√x+2+√x+5≤√2x+7⇔

x>−1

x=−2
¿

x=−5
¿
¿
¿
¿
¿
¿

Bpt vô nghiệm.

1đ

- Vi x 5 :Bt phng trỡnh tơng đơng:

√− x −5+√− x −2≤√−2x −7⇔x=−5 .

VËy Bpt cã 2 nghiệm: x=-1; x=-5

1đ

Bài 3
(2 đ)

Thay x bởi 1/x ta có: f (1

x)+2f(x)=
1

x . Kết hợp với điều kiện ban đầu,

gii h ta c: f(x)=2 x

2
3x

2đ

Bài 4
(2 đ)

A= x 5

x 8=x 8+
3

x −8=

√x −8
2 +

√x −8+
1

2√x −8

- áp dụng Cosi x 8

2 +

x 86 . Đẳng thøc x¶y ra khi :

√x −8
2 =

√x −8⇔ x=14.

1,5đ

- Với x 141

2x 8
1

26 Đẳng thøc x¶y ra khi x=14.

VËy: A 3

26 Đẳng thức xảy ra khi x=14.

0,5đ

Bài 5

(4 đ) 1

y 22=4

x 12+

(C):

. Tâm I(1;2); bán kính R=2.

+ Xét tiếp tuyến cùng phơng Oy: Kiểm tra thấy x=3 là tiếp tuyến.

0,5đ

+ Xét tiếp tuyến (d) không cùng phơng Oy: y=ax+b.

dI/d=|a+b 2|

a2+1

=2 . Do M năm trên d nên: 3a+b=4.

Giải hệ a=0; b=4. d: y=4.

VËy cã 2 tiÕp tuyÕn tho· m·n: x=3 vµ y=4.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2

Gọi H(x;y) là trung điểm AB. Giả sử IH=a suy ra HB=

√

R2

− a2 .

SΔIHB=1

2IH . HB=
1
2a.

√

R

−a2=1

√

a
2

(R2− a2)1

4 R
2

=1 Đẳng thức xảy ra

khi:

R2 a2 =a ⇔a= R

√2=√2 .

1®

Nói cách khác đờng thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt đờng trịn tại AB:

Trung ®iĨm H cđa AB: IH= √2 . Ta cã ngay:

|11+C|=5√2⇔

C=5√2−11

C=−5√2−11

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy có 2 ng thng cn tỡm: 3x+4y+ 5211=0;3x+4y 5211=0

1đ

Bài 6
(4đ)

1 a

+b8+c8

a3b3c3 ≥
1

a+

1
b+

c∀a ;b ; c>0.

áp dụng bất đẳng thức cơ bản sau: a2

+b2+c2≥ab+bc+ca .

0,5®

Ta cã : a

+b8+c8

a3b3c3 ≥
a4b4

+b4c4+c4a4

a3b3c3 ≥

a2b4c2

+b2c4a2+c2a4b2

a3b3cc

¿ b

ac+
c
ab+

a
bc=

1
abc(a

+b2+c2)≥ 1

abc(ab+bc+ca)=
1
a+

1
b+

1
c

1,5®

2

Ta cã : a

1+b2=a −

ab2

1+b2≥ a −

ab2
2b=a−

ab
2 .

1®

Hồn tồn tơng tự ta chứng minh đợc cho các trờng hợp cịn lại. Khi đó:

a

1+b2+

b
1+c2+

c

1+a2≥ a+b+c −

ab+bc+ca

2 ≥

3
2

(Do a+b+c=3 nªn dƠ cã: ab+bc+ca3 ).

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

</div>

DE+DA HSG K10 NAM 08-09

<b>Môn thi: Toán</b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub>√</sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

√

√

√

√

(

)

(

)

<sub>√</sub>

√

√

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về