skkn cuc tri gdcd gdngll 9 lê văn thuận thư viện tài nguyên dạy học tỉnh thanh hóa

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tên đề tài : </b>

<b>MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH</b>

<b>GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ</b>

<b>LỚP 8</b>

<b>I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : </b>

Trong trường phổ thơng mơn Tốn có một vị trí rất quan trọng. Các
kiến thức và phương pháp Tốn học là công cụ thiết yếu giúp học sinh
học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Đồng thời mơn Tốn còn giúp học sinh phát triển những năng lực và
phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực,
độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ
của người công dân.

Ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì
việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một
trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Tốn ở trường
phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài tốn là một
hình thức chủ yếu của việc học toán.

Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc
các kiến thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì
việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng của ngành
giáo dục nói chung và bậc học THCS nói riêng. Do đó việc hướng dẫn
học sinh kĩ năng tìm tịi sáng tạo trong quá trình giải tốn là rất cần
thiết và không thể thiếu được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

với các em học sinh ở bậc học này.Ở THPT để giải quyết các bài toán
về cực trị đại số người ta thường dùng đến "cơng cụ cao cấp" của tốn
học là: đạo hàm của hàm số. Ở THCS, vì khơng có (hay nói chính xác
hơn là không được phép dùng) "công cụ cao cấp" của Tốn học nói
trên, nên người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các
biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức ở bậc học THCS
để giải quết các bài toán loại này. Chính vì vậy, các bài toán cực trị
đại số ở THCS không theo quy tắc hoặc khn mẫu nào cả, nó địi hỏi
người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến
thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.

Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 những năm qua tơi nhận thấy:
phần "Các bài tốn cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng
tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS. Thế nhưng
thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy
là: học sinh khơng có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán
về cực trị đại số ở trường THCS không theo một phương pháp nhất
định nên các em rất lúng túng khi làm toán về cực trị, các em không
biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại khi
gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài
tập khác.

Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào
để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với
trách nhiệm của người giáo viên tơi thấy mình cần giúp các em học tốt
hơn phần này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức
vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn

làm được những việc đạt kết quả cao nhất, tốt nhất.

<b>II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.</b>

<b>1/ Thuận lợi :</b>

- Luôn trau giồi học hỏi, dự giờ, góp ý , rút kinh nghiệm từ đồng
nghiệp.

- Có sự hỡ trợ và động viên của BGH nhà trường và tổ chun mơn.
- Mạng thơng tin internet có một kho tàng kiến thức khổng lồ.

<b>2/ Khó khăn :</b>

- HS hệ bán công yếu nhiều về kiến thức, kỹ năng , ý thức học tập
không cao. Thiếu niềm tin trong học tập.

- Đa số HS thiếu nền tảng kiến thức. Tư duy , suy luận không cao.
<b>3/ Điều tra cơ bản:</b>

Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua khảo sát chất
lượng đầu năm, kết quả cho thấy.

<b>Năm</b> <b>Lớp Sỉ số</b> <b>Giỏi_SL</b> <b>_%</b> <b>Khá_SL</b> <b>_%</b> <b>TB_Sl</b> <b>_%</b> <b>Yếu- kém_SL</b> <b>_%</b>

2009-2010

8.3 43 02 4,7 08 19,0 25 58,1 8 18,6

8.5 40 01 2,5 09 22,5 23 57,5 7 17,5

2010-2011

8.3 42 01 2,4 08 19,0 26 61,9 7 16,6

8.5 40 01 2,5 10 25,0 22 55,0 7 17,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>III- NỘI DUNG ĐỀ TÀI:</b>

<b>A/ Cơ sở lý luận:</b>

<b>1/ Đối với học sinh</b> :. khi nhận chuyên mơn phân cơng dạy tốn
8 ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy hụt hẩng trước cách học của học
sinh.

Để thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tơi dùng nhiều
hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh
trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng
nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của
học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết
chứng minh như thế nào.

<b>2/ Đối với giáo viên</b> :

Vấn đề này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì người giáo
viên là người chủ động, chủ đạo kiến thức, cũng chỉ tuân theo SGK mà
dạy, bài toán này đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt và phải thâu tóm
được kiến thức đã học để tận dụng vào làm bài tập .

Đôi khi giáo viên áp đặt gị bó các em phải thê này, phải thế nọ
mà không đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.

Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng toán
mà các em rất ít được gặp chính vì lí do đó mà người thầy phải tìm ra
PP phù hợp nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen
với dạng bài toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại
sai lại phải làm như vậy. Nếu khơng biến đổi thì có tìm được kết quả
khơng. Từ những băn khoăn đó của học sinh giáo viên khẳng định nếu
khơng biến đổi như vậy thì khơng trả lời u cầu của bài tốn.

Sau đây tơi xin đưa ra <b>một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh</b>
<b>giải các bài toán cực trị trong đại số 8</b>.

<b>B. Nội dung</b>

<b> 1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức</b>

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z thuộc
miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0,

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

_{P(x, y, ..., z) thì ta nói P(x, y, ..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x}₀_,
y0, ...z0) trên miền S.

P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, ...z0)  S còn gọi là P

đạt cực đại tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pm a x tại (x0, y0, ...z0). Tương tự ta có:

P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0)  S còn gọi là P đạt cực tiểu tại

(x0, y0, ...z0) hoặc Pm i n tại (x0, y0, ...z0).

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các
cực trị của P trên miền S.

<b> 2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức</b>

Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là
vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền
xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P _{k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các}
biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền
xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P _{k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các}
biến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

<b> Chú ý rằng khơng được thiếu một bước nào trong hai bước trên.</b>
<b>VÍ DỤ: </b><i>Cho biểu thức </i>A = x2_{+ (x - 2)}2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x2 __{0 ; (x - 2)}2 __{0 nên A}__0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng khơng?

<b>Giải </b>:

Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ
rằng A _{0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.}
Dấu đẳng thức không xảy ra, vì khơng thể có đồng thời:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Lời giải đúng là:

A = x2_{+ (x - 2)}2_{= x}2_{+ x}2_{- 4x +4 = 2x}2_{- 4x + 4}

= 2(x2_{-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)}2_{+ 2}

Ta có: (x - 1)2 __{0 ,}__x

 _{2(x - 1)}2_{+ 2}_₂__x

<b> </b> _A₂_x

Do đó A = 2 khi x = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
<b> 3. Kiến thức cần nhớ:</b>

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:

a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng
thức.

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a2 __{0, tổng quát: a}2 k __{0 (k nguyên dương)}

Xảy ra dấu đẳng thức  _{a = 0}

* -a2 __{0, tổng quát: -a}2 k __{0 (k nguyên dương)}

Xảy ra dấu đẳng thức  _{a = 0}

*

<i>a</i>



0

. (Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0)
* -

<i>a</i>



<i>a</i>



<i>a</i>

. (Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0)
*

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>a</i>



<i>b</i>

(Xảy ra dấu đẳng thức khi ab₀₎
*

<i>a</i>



<i>b</i>



<i>a</i>



<i>b</i>

(Xảy ra dấu đẳng thức khi a_b_{0 hoặc a}_b₀₎

* 2

1




<i>a</i>
<i>a</i>

, _{a >0 và}

2

1







<i>a</i>

<i>a</i>

, _{a <0}

*

<i>ab</i>
<i>b</i>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>a</i>









 



 2 2

2

2 __{a,b (Xảy ra dấu đẳng thức} _{a = b)}

* a _{b, ab >0}

<i>a</i>

<i>b</i>

1

1



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>C. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN</b>

<i>(Một số dạng bài toán cực trị trong đại số)</i>

Thơng qua các bài tốn trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi
tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực
trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên
quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ
bản thường gặp:

<i><b>DẠNG 1 </b></i><b>: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN</b>
<b>NHẤT CỦA MỢT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.</b>

<i><b>Ví dụ 1 </b></i>: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x2_{- 4x + 1}

Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
<b>Hướng dẫn giải :</b>

<b>Gợi ý </b>: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải
biến đổi về dạng A(x)_{k (k là hằng số) với mọi gía trị của biến và chỉ}
ra trường hợp xảy ra đẳng thức

<b>Lời giải </b>: A(x) = x2_{- 4x+1}

= x2_{- 2.2x+1}

= (x2_{- 2.2x+4)- 3}

= (x- 2)2_{- 3}

Với mọi giá trị của x: (x - 2)2 __{0 nên ta có:}

A(x) = (x- 2)2_{- 3}__-3

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 khi x=2
Đáp số : A(x)n h ỏ n h ấ t = - 3 với x=2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
<b>Hướng dẫn giải :</b>

<b>Gợi ý </b>: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải
biến đổi đưa B(x) về dạng B(x)_{k (k là hằng số) với mọi giá trị của}
biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng
thức

<b>Lời giải </b>: B(x) = -5x2_{– 4x+1}

= -5 (x2₊ ₅

4
x) +1
= -5
1
5
2
5
2
5
2
.
2
2
2
2
























 <i>x</i>
<i>x</i>
=
1
25
4
5
2
5
2


















 <i>x</i>

= -5 5 1

4
5
2 2









<i>x</i>

= -5 5

9
5
2 2








<i>x</i>

Với mọi giá trị của x:

2
5
2







<i>x</i>

_{0 nên -5}

2

5
2







<i>x</i>

₀

suy ra: B(x)= -5

2
5
2







<i>x</i>

+ 5
9

 5

9

Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= 5
9

, khi x = - 5
2

<b>Đáp số </b>: B(x)l ớ n n h ấ t = 5

9

với x = -5
2

<i><b> Ví dụ 3: (Tổng qt)</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
<b>Hướng dẫn giải :</b>

<b>Gợi ý </b>: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến
đổi sao cho P = a.A2_{(x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a>0 hoặc}

a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
<b>Lời giải </b>:

P = a.A2_{(x) + k}

= a (x2₊ <i>_a</i>

<i>b</i>

x) + c

2
2
2
2
2
4
4
2
.
.
2
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>a</i> _ 











<i>k</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>



















2

2

_với 2

2

4

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>k</i>





Do

0

2

2

















<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

nên:

+Nếu a>0 thì

0

2

2

















<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

do đó P _k

+Nếu a<0 thì

0

2

2

















<i>a</i>

<i>b</i>

<i>x</i>

<i>a</i>

do đó P _k

Vậy khi x = - <i>a</i>
<i>b</i>

2 _{thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a>0)}
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a<0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i><b>Ví dụ4 :</b></i>

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x2_{+ x + 1)}2

<b>Hướng dẫn giải :</b>

<b>(?) </b><i>Ta nhận thấy A = (x2_{+ x + 1)}2</i> _<i>_{0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A}</i>
<i>có phải bằng 0 hay khơng? Vì sao?</i>

Trả lời : Mặc dù A _{0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A khơng phải}
bằng 0 vì: x2 _{+ x +1 ≠ 0}

Do đó Am i n  (x2 + x +1)m i n

<b>(?) </b><i>Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x2 _{+ x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất}</i>
<i>của A?</i>

Trả lời: Ta có x2 _{+ x +1} _{= x}2_{+ 2x.} ₂

1

+ 4

1
- 4

1
+ 1

=

2

2
1









<i>x</i>

+ 4
3

4

3

Vậy giá trị nhỏ nhất của x2_{+ x + 1 bằng} 4

3

với x = - 2
1

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng 16
9
4

3 2









với x = - 2
1

<i><b>Ví dụ 5 :</b></i>

Tìm giá trị nhỏ nhất của

x4_{– 6x}3_{+ 10x}2_{– 6x + 9}

<b>Hướng dẫn giải :</b>

Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dưới dạng A2_{(x) + B}2_(x)_₀

-Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức bằng bao nhiêu?

<b> Lời giải </b>: x4_{- 6x}3_{+ 10x}2_{- 6x +9}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

_{= (x}2_{- 3x)}2_{+ (x - 3)}2 _₀

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:





2 _{x x 3} ₀ x 0 _{x 0}

x 3x 0

x 3

x 3

x 3 0 x 3 0

x 3

 

   

     

   

   



     

   _



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
<b> Đáp số </b>: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

<i><b>DẠNG 3 </b></i><b>: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,</b>
<b>GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC</b>

<b>CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TỤT ĐỚI</b>
<i><b>Ví dụ 6 :</b></i> Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 1  x 3

<b>Hướng dẫn giải :</b>

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta
phải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của

một biểu thức.

A nêu A 0

A

A nêu A < 0







Cách 1 : Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A
trong các khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng
nghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.

<b>Lời giải</b>

+ Trong khoảng x < 1 thì









x 2 x 2 2 x

x 5 x 5 5 x

A 2 x 5 x 7 2x

    
    
      

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

+ Trong khoảng 2 _x_{5 thì}





x 2 x 2

x 5 x 5 5 x

  

    
 _{A = x - 2 + 5 - x = 3}
+ Trong khoảng x > 5 thì

x 2 x 2

x 5 x 5

  
  

 _{A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7}

Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3

So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá
trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 _x₅

<b>Đáp số: </b> Am i n = 3 khi và chỉ khi 2  x  5

<b> Cách 2 </b>: Ta có thể sử dụng tính chất: <i>giá trị tuyệt đối của một tổng</i>
<i>nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối.</i>Từ đó tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A.

<b>Lời giải: </b>

A x 2  x 5  x 2 5 x

Ta có: x 2 5 x  x 2 5 x  3



 



x 2 0

A 3

5 x 0

x 2 5 x 0 2 x 5

  



  

 




      

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 _x₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<i><b> Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của M = </b></i> 4x - 4x 5
3

2


<b>Hướng dẫn giải :</b>

Gợi ý : Sử dụng tính chất a _{b, ab >0}

<i>a</i>

<i>b</i>

1

1



hoặc theo quy
tắc so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.

<b>Lời giải:</b>

Xét M = 4x - 4x 5
3

2

 ₌(2 ) 4 1 4

3

2



 <i>x</i>

<i>x</i> ₌ (2x -1) 4
3

2


Ta thấy (2x - 1)2 __{0 nên (2x - 1)}2_{+ 4}_₄

Do đó: (2x -1) 4
3

2

 _ ₄

3

Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng 4
3

khi 2x – 1 = 0 => x = 2
1

<b>Đáp số : M</b>l ớ n n h ấ t= 4

3

với x = 2
1

<i><b>Ví dụ 8 : </b></i>Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x - x - 4
1

2

<b>Hướng dẫn giải :</b>

Ta có: B = 2x - x - 4
1

2

= - x -2x 4
1

2

 _{= -} (x -1) 3

1

2


Vì (x - 1)2 __{0 => (x + 1)}2_{+ 3}_₃

=> (x -1) 3
1

2

 _ ₃

1

=> - (x -1) 3
1

2

 __-₃

1

Vậy B nhỏ nhất bằng - 3

1

khi x – 1= 0 => x =1
<b>Đáp số </b>: Mn h ỏ n h ấ t = - 3

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Chú ý: </b> Khi gặp dạng bài tập này các em thường xuyên lập luận
rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất)
khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

3

1

2



<i>x</i>

Mẫu thức x2_{- 3 có giá trị nhỏ nhất là -3 khi x = 0}

Nhưng với x = 0 thì 3
1

2



<i>x</i> _{= -}3
1

không phải là giá trị lớn nhất
của phân thức

Chẳng hạn với x = 2 thì 3
1

2



<i>x</i> _{= 1 > -} 3
1

Như vậy từ -3 < 1 không thể suy ra - 3
1

> 1
1

Vậy từ a < b chỉ suy ra được <i>a</i>

1
> <i>b</i>

1

khi a và b cùng dấu .

<i><b>DẠNG 5 </b></i><b>: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT</b>
<b>CỦA PHÂN THỨC CĨ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC</b>

<i><b>Ví dụ 9 </b></i>Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2

2

)
1
(

1




<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<b>Cách1 </b>:<b> </b>

Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi
biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của

1

1



<i>x</i> _{. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.}

<b>Lời giải </b>: Ta có: x2_{+ x + 1 = (x}2_{+ 2x + 1) - (x +1) + 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Do đó A =



2
2
)
1
(
)
1
(
<i>x</i>
<i>x</i>



2
)
1
(
)

1
(
<i>x</i>
<i>x</i>
2
)
1
(
1


<i>x</i> _{= 1 -} ₁

1



<i>x</i> ₊ ( 1)2

1


<i>x</i>

Đặt y= 1
1



<i>x</i> _{khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 - y + y}2

Ta có: A = 1 - y + y2 _{= y}2_{– 2.y.} ₂

1

+ (2
1

)2₊ ₄

3
=
2
2
1







<i>y</i>

+ 4
3

 4

3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 4
3

khi và chỉ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1








<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>

 _{x + 1 = 2}
 _{x = 1}

<b>Đáp số </b>: An h ỏ n h ấ t = 4

3

khi x = 1
<b>Cách 2 </b>:

<i>Gợi ý </i>: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu
thức khơng âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.

<b>Lời giải:</b>













2

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

A= 4
3
+ 






)
1
(
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>

2 _ ₄

3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 4
3

khi x-1=0  _x=1

<b>Đáp số </b>: An h ỏ n h ấ t= 4

3

khi x=1

<i><b>DẠNG 6 </b></i><b>: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT</b>
<b>CỦA MỢT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ</b>

<b>DẠNG </b> 2
)
(

<i>k</i>
<i>x</i>
<i>A</i>

<b>_{0 ( hoặc}</b> 2

)
(

<i>k</i>
<i>x</i>
<i>A</i>

<b>₀₎</b>
<i><b>Ví dụ 10 : </b></i>

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M( x ) = 2 3

10
6
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

(Với x thuộc tập hợp số thực)
<b>Hướng dẫn giải :</b>

Gợi ý : Từ M( x ) = 2 3

10

6
3
2
2




<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
ta có:

M( x ) = 2 3

1
9
6
3
2
2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

= 2 3

1
)
3
2
(
3
2
2





<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<b> (?) </b><i> Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x2</i>
<i>+ 2x + 3 được khơng? Vì sao?</i>

Trả lời : Vì x2_{+ 2x + 3 = x}2_{+ 2x + 1 + 2 = (x+1)}2_{> 0 với mọi giá}

trị của x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x2_{+ 2x + 3 ta được}

M(x) = 3 + ( 1) 2

1

2



<i>x</i>

<b> (?) </b><i>Bài tốn xuất hiện điều gì mới?</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

2
)
2
(

1

2



<i>x</i>

<b> (?) </b><i> Hãy tìm giá trị lớn nhất của </i> ( ) 2

1

2





<i>x</i> <i>_{từ đó suy ra giá trị}</i>

<i>lớn nhất của M(x)</i>

Trả lời: Vì (x+1)2 _<b>₀_{Với mọi x}</b>

Nên (x+1)2_{+ 2}__{2 với mọi x}

Do đó ( 1) 2
1

2




<i>x</i> _ ₂

1

Từ đó ta có:

M(x) = 3 + ( 1) 2
1

2





<i>x</i> __{3 +} ₂

1

= 3 2
1

Dấu “=” xảy ra khi x+1=0 hay x=-1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3 2

1

khi và chỉ khi x=-1
<b>Đáp số </b>: M(x)L ớ n n h ấ t =3 2

1

với x = -1

<b>IV- KẾT QUẢ</b>

Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải
biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng khá
nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp.
Ngồi ra cịn liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh đẳng
thức bởi thế nói các bài tốn cực trị đại số 8 tạo ra khả năng giúp học
sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu
thức đại số, kĩ năng tính tốn, khả năng tư duy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích
cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã
được học.

Về mặt tư tưởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi
với kíên thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học . luôn
mong muốn làm được những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất.
Sau khi áp dụng các cách giải bài toán cực trị trong đại số 8
thực tế học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng
như trước. Khảo sát kết quả cuối mỗi năm học thu được như sau:

<b>Năm</b> <b>Lớp Sỉ số</b> <b>Giỏi_SL</b> <b>_%</b> <b>Khá_SL</b> <b>_%</b> <b>TB_Sl</b> <b>_%</b> <b>Yếu- kém_SL</b> <b>_%</b>

2009-2010

8.3 43 04 9,3 09 20,9 27 62,8 3 7,0

8.5 40 03 7,5 10 25,0 23 57,5 4 10,0

2010-2011

8.3 42 02 4,8 10 23,8 26 61,9 4 9,5

8.5 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 2 5,0

<b>V- KẾT LUẬN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM:</b>

Với đề tài <i><b>“ Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải các bài toán cực</b></i>
<i><b>trị trong đại số”</b></i> Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về
các bài toán cực trị trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tơi có đưa ra cơ

sở lí thuyết và những ví dụ trong mỡi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn
học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác
các em có thể giải được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

cấp học này, qua đó làm cho các em say mê hứng thú học tập bộ mơn
Tốn.

Tuy nhiên trong q trình giảng dạy vẫn có rất nhiều học sinh
còn bỡ ngỡ trong qúa trình giải các bài toán cực trị, lập luận chưa có
căn cứ, suy diễn chưa hợp logic và đặc biệt là một số dạng chưa phù
hợp với học sinh trung bình, yếu.

Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không nhiều,
do trình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế lại
chưa có kinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên trong
cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót . Rất mong
nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy , cô và và bạn đồng nghiệp
để tơi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình trong
thời gian sau.

Xét duyệt của Hiệu Trưởng Tam Hiệp <i>, ngày 08 tháng 9 năm </i>
<i>2011</i>

<b> Người viết</b>

<b> </b> <b>PHẠM VĂN ĐỨC</b>

<b>TÀI LIỆU THAM KHẢO:</b>

1. SGK Tốn 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân.

2. SBT Toán 8 – NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên

3. Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo
dục-Nguyễn Văn Lộc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20></div>

<!--links-->