DE THI THU DAI HOC NAM 2010 MON TOAN VA DAP AN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.58 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trờng Lơng thế Vinh Hà nội. Đề thi thử ĐH lần I năm 2010. Môn Toán (180)

Phần bắt buộc.

Câu 1.(2 điểm)

Cho hàm số

y=

2 x −

1 x

+

1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm

I

(

−

1 ;

2 )

tới tiếp tuyến của (C) tại M là

lớn nhất .

C¢U 2. (

2 ®iĨm

).

1. Giải phơng trình :

2 sin

x −

sin 2

x

+

sin

x

+

cos

x −

1 =

0 .

2. Tìm giá trị của

m

để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất :

log0,5(m+6x)+log2(3−2x − x2)=0

CÂU 3 . (

1điểm

) Tính tích phân:

I

=

1
2

4 x

x

dx

.

CÂU 4. (

1 điểm

). Cho tứ diện

ABCD

có ba cạnh

AB

,

BC, CD

đơi một vng góc với nhau và

AB

=

BC

=

CD

=a

. Gäi

C

và

D

lần lợt là hình chiếu của điểm

B

trên

AC

và

AD

. Tính thể tích

tích tứ diện

ABC D

.

CÂU 5. (

1 điểm

) Cho tam giác nhọn

ABC

, tìm giá trị bé nhất của biểu thøc:

S=cos 3A+2cosA+cos2B+cos 2C

.

Phần tự chọn

(

thí sinh chỉ làm một trong hai phần :

A

hoặc

B

)

Phần A

CÂU 6A. (

2 điểm

).

1. Trong mt phẳng tọa độ

Oxy

cho tam giác

ABC

, với

A

(

1 ;

1 )

, B

(−

2 ;

5 )

, đỉnh

C

nằm trên

đ-ờng thẳng

x −

4 =

0 , và trọng tâm

G

của tam giác nằm trên đờng thẳng

2 x −

3 y

+

6 =

0 .

Tính diện tích tam giác

ABC.

2.

Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho hai đờng thẳng

d

và

d

’ lần lợt có phơng trình :

d

:

x=

y −

2 −

1 =

z

vµ

d

’ :

x −

2 =

y −

3 =

z

+

5 −

1 .

Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vng góc với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng

(α

)

đi

qua

d

và vng gúc vi

d

CÂU7A. (

1 điểm

) Tính tổng :

1
n

(n+1)Cn
n

S=Cn02Cn1+3Cn24Cn3++

Phần B.

CÂU 6B. (

2 điểm

)

1. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho tam giác

ABC

, với

A

(

2 ;−

1 )

, B(

1 ;−

2 )

, trọng tâm

G

của

tam giác nằm trên đờng thẳng

x+y −2=0

. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác

ABC

bằng

13,5

.

2.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho hai đờng thẳng

d

và

d

’ lần lợt có phơng trình :

d

:

x=

y −

2 −

1 =

z

vµ

d

’ :

x −

2 =

y −

3 =

z

+

5 −

1 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đáp án môn Toán.

Cõu 1. 1. Tp xỏc nh : x ≠ −1 .

y=

2 x

1 x

+

1 =

2

3 x+

1 x+

1 y '

=

3

,
Bảng biến thiên:

Tim cận đứng :

x=−

1

, tiệm cận ngang

y=

2

2. Nếu

M

(

x

0

;

2

3 x

0

+

1

)

(C

)

thì tiếp tuyến tại M có phơng trình

x

+

1 y

2 +

3 x

0

+

1 =

3

hay

x

+

1 (

y

2 )

3 (

x

+

1 )=

0

3 (

x x

)

. Khoảng cách từ

I

(

1 ;

2 )

tới tiếp tuyến là

x

+

1 x

0

+

1 x

+

1

9 +

d=

|

3 (

1 x

)

3 (

x

+

1 )

|

9 +

(

x

0

+

1 )

=

6 |

x

+

1 |

. Theo bt ng

thức Côsi

x

+

1 x

0

+

1

2

9 =

6

9

, vây

d

6

. Khoảng cách d lín nhÊt b»ng

√

6

khi

x

+

1 ¿

x

0

+

1 ¿

⇔

(

x

0

+

1 )

=

3 ⇔

x

0

=−

1 ±

√

3 ¿

9 ¿

VËy cã hai ®iĨm M :

M

(

1

+

3

;

2

3

)

hoặc

M

(

1

3

;

2

+

3

)

CÂU 2.

2 sin

x −

sin 2

x

+

sin

x

+

cos

x −

1

=

0

⇔

2sin

x −(

2 cos

x −

1

)

sin

x

+

cos

x −

1

=

0

2cos

x −

3 ¿

2 cos

x −

1 ¿

−

8 (

cos

x −

1 )=

¿

Δ=

¿

. VËy

sin

x=

0,5

sin

x=

cos

x −

1

Víi sinx=0,5 ta cã

x=

π

6 +

2 kπ

x=

5 π

6 +

2 kπ

Víi

sin

x=

cos

x −

1

ta cã

sin

x −

cos

x=−

1 ⇔

sin

(

x −

π

4 )

=−

√

2 =

sin

(

−

π

4 )

, suy ra

x=2kπ hc

x=

3 π

2 +

2 kπ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⇔

3 −

2 x − x

>

0 m+

6 x=

3 −

2 x − x

⇔

¿

−

3 <

x<

1 m=− x

−

8 x

+

3 ¿

{

Xét hàm số

f

(x)=− x

−

8

x

+

3,

−

3

<

x

<

1

ta có

f '

(

x)=−

2

x −

8

f '

(

x)<

0

khi x>−4 , do
đó

f

(

x)

nghịch biến trong khoảng

(−

3

;

1

)

f

(−

3

)=

18 , f

(

1 )=−

6

. Vậy hệ phơng trình trên có
nghiệm duy nhất khi

6 <

m<

18

CÂU 3. Đặt

x=

2 sin

t

thì

dx

=

2 cos tdt

, khi

x

=

1

th×

t=

π

6

, khi

x=

2

th×

t

=

π

2

, vËy:

√

4 − x

x

dx

=

∫

π
6
π
2

cos

t

sin

t

dt

=

¿

I

=

∫

1
2

¿

d

(

cot

t

)

−t

¿

π

6
π
2

=

¿

∫

π
6
π
2

(

sin

1 t

−

1

)

dt

=−

∫

π
6
π
2

¿

√

3 −

π

3

CÂU 4. Vì CD⊥BC,CD⊥AB nên

CD

⊥

mp

(

ABC

)

và do đó

mp

(

ABC

)

⊥

mp

(

ACD

)

.V× BC'⊥AC nªn

BC

⊥

mp

(

ACD

)

Suy ra nÕu V là thể tích tứ diện ABCD thì

V

=

1

3 dt

(

AC

' D ')

. BC

'

Vì tam giác ABC vuông cân nên

AC

'=

CC

'=

BC

'

=

a

2

Ta cú AD2=AB2+BD2=AB2+BC2+CD2=3a2 nên

AD

=a

√

3

. Vì BD’ là đờng cao của tam giác
vuông ABD nên

AD

'

. AD

=

AB

2 , Vậy

'

=

a

√

3

. Ta cã

dt

(

AC

' D'

)=

1

2 AC

'

. AD 'sin

C

^

A D=

1

2 AC

'

. AD

'

.

CD

=

1

2 a

√

2 a

√

3 ⋅

1 √

3 =

a

√

2

12

. VËy

V

=

1

3 a

√

2

12 .

a

√

2 =

¿

a

36

C¢U 5.

S=

cos 3

A

+

2cos

A

+

cos 2

B

+

cos 2

C

cos 3

A+

2 cos

A+

2 cos

(B+

C

)

cos

(

B −C

)

¿

cos 3

A+

2 cos

A

[

1 −

cos

(B −C

)

]

V×

cos

A>

0,1

−

cos

(

B −C)

≥

0

nªn

S ≥

cos 3

A

, dÊu b»ng xÈy ra khi

cos

(B −C

)=

1

hay

B

=C

=

180 − A

2

. Nhng

cos 3

A ≥−

1

, dÊu b»ng xÈy ra khi 3A=180

0 hay A = 600
Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều.

PhÇn A (tù chän)

C¢U 6A.

1. Ta có

C=(

4 ; y

C

)

. Khi đó tọa độ G là

x

G

=

1 −

2 +

4

3 =

1 , y

G

=

1 +

5 +

y

C

3 =

2 +

y

C

3

. Điểm G nằm trên

ng thng 2x −3y+6=0 nên 2−6− yC+6=0 , vậy yC=2 , tức là

C

=(

4 ;

2 )

. Ta cã

⃗

AB

=(−

3

;

4

)

,

⃗

AC

=(

3

;

1

)

, vËy AB=5 ,

AC

=

√

10

⃗

AB .

⃗

AC

=−

5

.
Diện tích tam giác ABC là

S=

1

2 AB

. AC

(

AB .

AC

)

=

1

2 25 . 10

25

15

2

2.Đờng thẳng d đi qua điểm

M

(

0 ;

2 ;

0 )

và có vectơ chỉ phơng

u(

1 ;

1 )

Đờng thẳng dđi qua điểm

M '

(

2 ;

3 ;

5 )

và cã vect¬ chØ ph¬ng

⃗

u '

(

2

;

1

;−

1

)

Ta có ⃗MM=(2;1;−5) ,

[

⃗

u ;

⃗

u'

]

=(

0

;

3

;

3

)

, do đó

[

⃗

u ;

u'

⃗

]

.

⃗

MM

'=−

12

≠

0

vậy d và d’ chéo nhau.
Mặt phẳng

(α

)

đi qua điểm

M

(

0 ;

2 ;

0 )

và có vectơ pháp tuyến là ⃗u '(2;1;−1) nên có phơng trình:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C¢U 7A. Ta cã

1 +

x

¿

n

=Cn

+C

n1

x+Cn

x

+

⋅

+C

nn

x

n

¿

, suy ra

1 +

x

¿

n

=C

n
0

x

+

C

n1

x

+

C

n2

x

+

⋅

+C

nn

x

n+1

x

¿

Lấy đạo hàm cả hai vế ta có :
1+x¿

n −1
=¿

1+x¿n+nx¿
¿

Cn0+2Cn1x+3Cn2x2+⋅+(n+1)Cnnxn
Thay

x=−

1

vào đẳng thức trên ta c S.

Phần B (tự chọn)

CÂU 6B.

1. Vỡ G nm trên đờng thẳng

x+

y −

2 =

0

nên G có tọa độ

G=(t ;

2

−t

)

. Khi đó

⃗

AG

=(t −

2

;

3

− t

)

⃗

AB

=(−

1

;−

1

)

VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ

3− t¿2

t −2¿2+¿−1
¿

2¿

S=1

√

. AB2−

(

⃗AG .⃗AB

)

2=1

2√¿

|2

t −

3|

2

NÕu diƯn tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam gi¸c ABG b»ng

13 ,

5 :3

=

4,5

. VËy

|2

t −

3|

2 =

4,5

, suy ra

t

=

6 t=−

3

. VËy cã hai ®iĨm G :

G

=(

6 ;−

4 ), G=(−

3 ;−

1 )

. Vì G

là trọng tâm tam giác ABC nên

xC

=

3 xG

−(

xa

+

xB

)

vµ

yC

=

3 yG

−

(

ya

+

yB

)

Víi

G

1

=(

6 ;−

4 )

ta cã

C

1

=(

15 ;−

9 )

, víi

G=(−

3 ;−

1 )

ta cã

C

2

=(

12 ;

18 )

2.Đờng thẳng d đi qua điểm

M

(

0 ;

2 ;

0 )

và có vectơ chỉ phơng

u(

1 ;

1 )

Đờng thẳng dđi qua điểm

M '

(

2

;

3

;

5

)

và có vectơ chỉ phơng u '(2;1;1) .
Mp

DE THI THU DAI HOC NAM 2010 MON TOAN VA DAP AN

Trờng Lơng thế Vinh Hà nội. Đề thi thử ĐH lần I năm 2010. Môn Toán (180)

<b>Phần bắt buộc.</b>

Câu 1.(2 điểm)

Cho hàm số

<i>y=</i>

2

<i>x −</i>

1

<i>x</i>

+

1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm

<i>I</i>

(

<i>−</i>

1

<i>;</i>

2

)

tới tiếp tuyến của (C) tại M là

lớn nhất .

C¢U 2. (

<i>2 ®iĨm</i>

).

1.

Giải phơng trình :

2 sin

<i>x −</i>

sin 2

<i>x</i>

+

sin

<i>x</i>

+

cos

<i>x −</i>

1

=

0

.

2.

Tìm giá trị của

<i>m</i>

để phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất :

CÂU 3 . (

<i>1điểm</i>

) Tính tích phân:

<i>I</i>

=

4

<i> x</i>

<i>x</i>

dx

.

CÂU 4. (

<i>1 điểm</i>

). Cho tứ diện

<i>ABCD</i>

có ba cạnh

<i>AB</i>

,

<i>BC, CD</i>

đơi một vng góc với nhau và

AB

=

BC

=

CD

=a

. Gäi

<i>C</i>

và

<i>D</i>

lần lợt là hình chiếu của điểm

<i>B</i>

trên

<i>AC</i>

và