DE THI OLYMPIC TOAN QUOC TE LAN 22 1981

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>K</b>

<b>ỳ</b>

<b> thi IMO l</b>

<b>ầ</b>

<b>n th</b>

<b>ứ</b>

<b> 22 - 1981 </b>

1. Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. D, E, F là chân đường cao tương ứng hạ từ P
xuống BC, CA, AB. Tìm tất cả các điểm P sao cho:

đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Lấy r sao cho 1 r n, và xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập {1, 2, ..., n}. Mỗi
một tập con có một số nhỏ nhất. Gọi F(n, r) là giá trị trung bình của các phần tử nhỏ nhất
này. Chứng minh rằng:

3. Cho m, n là các số nguyên dương trong đoạn [1, 1981] thoả mãn: (n2_{- mn - m}2₎2_{= 1.}
Xác định giá trị lớn nhất của m2 _{+ n}2

4. (a) Với giá trị nào của n (n > 2) thì tồn tại một tập n số nguyên dương liên tiếp mà số lớn
nhất trong n sốđó là ước số của bội số chung nhỏ nhất của (n - 1) số còn lại ?

(b) Với giá trị nào của n (n > 2) thì có duy nhất một tập có tính chất như trên.

5. Ba đường trịn cùng một bán kính có chung một điểm O và nằm bên trong một tam giác đã
cho. Mỗi một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng: tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và điểm O thẳng hàng.

6. Cho hàm f(x, y) với mọi x, y là số nguyên không âm, thoả mãn:
f(0, y) = y + 1

f(x + 1, 0) = f(x, 1)

f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x +1, y))
Tìm f(4, 1981).

Page 1 of 2
IMO Vietnamese

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>

<!--links-->