DE THI OLYMPIC TOAN QUOC TE LAN 20 1978

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Kỳ thi IMO lần thứ 20 - 1978 </b>

1. Cho m, n là các số nguyên dương với m < n. Ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978m

giống như ba chữ số thập phân cuối cùng của 1978n_{. Tìm m, n sao cho m + n đạt giá trị nhỏ}

nhất.

2. P là một điểm bên trong một hình cầu. Ba tia vng góc với nhau từng đơi một kẻ từ P cắt
hình cầu tại U, V, W. Q là đỉnh đối diện qua đường chéo với P trong hình hộp được xác định
bởi PU, PV, PW. Tìm quỹ tích các điểm Q khi các tia vng góc xuất phát từ P thay đổi.
3. Tập tất cả các số nguyên dương là hợp của hai tập con rời nhau {f(1), f(2), f(3), ... } và {g
(1), g(2), g(3), ... }.

Trong đó f(1) < f(2) < f(3) < ..., và g(1) < g(2) < g(3) < ...
g(n) = f(f(n)) + 1 với n = 1, 2, 3, ...

Xác định f(240).

4. Tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc bên trong với đường tròn ngoại tiếp
tam giác và cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: trung điểm của PQ là tâm của
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

5. {a_k} là dãy các số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng:
với mọi số nguyên dương n.

6. Một cuộc giao lưu quốc tế có các thành viên từ 6 nước khác nhau. Danh sách của các
thành viên gồm có 1978 người được đánh số là 1, 2, ..., 1978. Chứng minh rằng: tồn tại ít
nhất một thành viên có số là tổng của các số của hai thành viên cùng nước của mình, hoặc

gấp đôi số của một thành viên cùng nước với mình.

</div>

<!--links-->