Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương II

Chương 2
NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ
I. Nội suy. 1. Đặt vấn đề.
- không biết biểu thức giải tích của hàm;
y = f ( x );
-
biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn
[ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm):
x
y=f( x )
x
o
x
1
. . . x
i
. . . x
n-1
x
n
y
o
y
1
. . . y
i
. . . y
n-1
y
n

- Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác.
-
Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trị
trùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm , còn tại
các điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phản
ảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúng
của f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn x
o
< x < x
n
.
x
o
x
1
. . . x
n
Bài toán nội suy:
- φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b].

-
Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các
điểm cho trước (x
i
, y
i
), I = 0, 1, . . . , n.

2. Đa thức nội suy.

Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì:
-
Đa thức là loại hàm đơn giản;
- Luôn có đạo hàm và nguyên hàm;
- Việc tính giá trị của chúng đơn giản.
- Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút)
x
i
; i = 0, 1, 2, . . ., n; với
a ≤ x
o
, x
1
, x
2
, . . . .x
n
≤ b.
- Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút:
x
y=f( x )
x
o
x
1
. . . x
i
. . . x
n-1
x

n
y
o
y
1
. . . y
i
. . . y
n-1
y
n
- Cần xây dựng một đa thức bậc n:
P
n
( x ) = a
o
x
n
+ a
1
x
n-1
+ . . . + a
n-1
x + a
n
.
sao cho P
n
(x) trùng với f(x) tại các nút x

i
,
P
n
(x
i
) = y
i
; i= 0, 1, 2, . . . , n.
Bài toán:
( 1 )

Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy P
n
( x ) của
hàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì chỉ có một mà thôi.
Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do
tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau.
3. Đa thức nội suy Lagrăng.
trong đó
;
))...()()...((
))...()()...((
)(
11
11
niiiiioi
niio
i
xxxxxxxx

xxxxxxxx
xl
−−−−
−−−−
=
+−
+−
l
i
(x) – đa thức bậc n P
n
(x) – đa thức bậc n
=
)(
ji
xl
1 khi j = i;
0 j ≠ I ;
P
n
(x
i
)= y
i
; i = 0, 1, 2, . . ., n.
);()(
0
xlyxP
i
n

i
in
∑
=
=
( 2 )
( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng.

*/ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 )
x
y
x
o
x
1
y
o
y
1
( 2 )
);()()(
111
xlyxlyxP
oo
+=
( 3 )
o
o
o
o

xx
xx
xl
xx
xx
xl
−
−
=
−
−
=
1
1
1
1
)(;)(
;)(
1
1
1
1
o
o
o
on
xx
xx
y
xx

xx
yxP
−
−
+
−
−
=
Có dạng P
1
(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x.
*/ Nội suy bậc 2. ( n = 2 )
x
y
x
o
x
1
x
2
y
o
y
1
y
2
);()()()(
22112
xlyxlyxlyxP
oo

++=
( 4 )
))((
))((
)(;
))((
))((
)(
21
2
1
21
21
xxxx
xxxx
xl
xxxx
xxxx
xl
oo
o
oo
o
−−
−−
=
−−
−−
=
;

))((
))((
)(
122
1
2
xxxx
xxxx
xl
o
o
−−
−−
=
P
2
(x) có dạng : P
2
(x) = Ax
2
+ Bx + C - bậc 2 đối với x.

*/ Sai số nội suy.
Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đạo
hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy r
n
(x) =f(x) – P
n
(x)
có biểu thức:

[ ]
bac
n
x
cfxr
n
n
,;
)!1(
)(
)()(
)1(
∈
+
=
+
π
( 5 )
))...()(()(
1 no
xxxxxxx −−−=
π
([a, b] - khoảng chứa các nút x
i
)
Gọi
[ ]
baxxfM
n
,;)(max

)1(
∈=
+
thì
;)(
)!1(
)( x
n
M
xr
n
π
+
≤
-
Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản;
- Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ.

4. Đa thức nội suy Niutơn.
a/ Sai phân hữu hạn.
y = f(x) có giá trị y
i
= f(x
i
) tại các nút x
i
cách đều nhau với
x
i+1
– x

i
= h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n
x
0
; x
1
= x
o
+ h; x
2
= x
0
+ 2h; . . .x
i
= x
o
+ ih . . .
Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x):
Sai phân cấp 1(hạng 1):
Δy
i
= y
i+1
– y
i
;
Sai phân cấp hai:
Δ
2
y

i
=Δy
i+1
–Δy
i
;
Δ
n
y
i
=Δ(Δ
n-1
y
i
) =Δ
n-1
y
i+1
–Δ
n-1
y
i
;
Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1:
Sai phân cấp 3:
Δ
3
y
i
=Δ

2
y
i+1
–Δ
2
y
i
;
;
1 oo
yyy
−=∆
;2)()(
12112
2
ooo
yyyyyyyy +−=−−−=∆
;33
123
3
oo
yyyyy
−+−=∆
;)1()1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!1
1

1
321 o
nn
nnnno
n
yyy
nnn
y
nn
y
n
yy
−+−+
−−
−
−
+−=∆
−
−−−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải).
Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa thức có dạng:
)()())(()()(
1121
−
−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+−−+−+=
nonooon
xxxxaxxxxaxxaaxP
- x = x

o
a
o
= P
n
(x
o
) = y
o
;
- x = x
1
;
)(
1
1
1
1
h
y
h
yy
xx
axP
a
oo
o
on
∆
=

−
=
−
−
=
- x = x
2
;
!22
2
2
)(2
.2
2
))((
)()(
2
2
2
12
2
12
2
122
212
2
h
y
h
yyy

h
yyyy
hh
h
h
y
yy
xxxx
xxaaxP
a
oooo
o
o
o
oon
∆
=
+−
=
−−−
=
⋅
∆
−−
=
−−
−−−
=
;
!

i
o
i
i
hi
y
a
∆
=
;)(
iin
yxP
=
no
aaaa ,,,,
21
⋅⋅⋅
Xác định
từ điều kiện