Đề cương ôn tập vào THPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số </b>
<b>1. Một số kỹ năng cơ bản </b>

<b>Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức</b>
1) ( 2 1) 2

2) ( 2 1) 2
3) ( 3 2) 2
4) ( 3 2) 2
5) ( 3 2)2
6) ( 3 2)2

7) (2 2 2) 2
8) (2 2 2) 2
9) 2 2 1

10) 2 2 1

11) ( 2 1)( 2 1) 
12) 2 2 8

<b>Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai</b>
1) 8 2 15

2) 10 2 21

3) 5 24

4) 12 140
5) 14 6 5

6) 8 28
7) 9 4 2

8) 28 6 3
9) 17 18 2

10) 51 10 2

<b>Bài 3: Phân tích thành nhân tử</b>
1) 1 3 5 15
2) 10 14 15 21
3) 35 14 15 6
4) 3 18 3 8
5) 36x2  5

6) 25 – 3x2

7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0)
9) 31 + 7x (x < 0)
10) x y y x

<b>Bài 4: Tính: </b>A 21 6 6  21 6 6
HD: Ta có: 6 6 2. 3.3 2 và và

2 2

21 ( 3) (3 2) _{. Từ đó suy ra:}_{A 6 2}_
<b>Bài 5: Tìm giá trị của x để </b>

1) x2_{− 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất}

2) 2
1

x 2x 5 _{có giá trị lớn nhất}

3)
2
2
2x 5
2x 1


 _{có giá trị lớn nhất}

4)
2
2

x 2x 1
x 4x 5
 

  _{có giá trị nhỏ nhất}
<b>Bài 6: Tìm các giá trị của x  Z để các biểu </b>
thức sau có giá trị nguyên

1) A =
6

x 1 _{2) B =}
14
2x 3
3) C =

x 5
x 2


 _{4) D =}

4x 3
2x 6



<b>Bài 7: Giải các bất phương trình</b>
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1)

2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)

3)

5x 2 1 2x

4 12

 



4)

11 3x 5x 2

10 15

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

c) Tìm giá trị của x khi A = 5

HD: a) ĐK: x ≠ ±1: 2
4x
A

1 x


 _;

b) x  3 8 1  2. Khi đó: A = −2;

c) x1  5_; 2
5
x

5

<b>Bài 9: Cho biểu thức:</b>

2

x 1 10 5

A

x 3 x x 6 x 2


  

   

a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị của x để A > 0

HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2 ; b)

x 1
A

x 2



 _{; c) A > 0}
 x > 2 hoặc x < −1

<b>Bài 10: Cho biểu thức</b>

2 2

2
2a a a 2 a 2 4a
C

a 3 a 2 a 2 4 a

 

  

 _   _

 _    _

a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C
xác định. Rút gọn biểu thức C

b) Tìm các giá trị của a để C = 1

c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá
trị âm?

HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)

2

4a
C

a 3


 _{; c) C = 1}


a 1

3
a

4



 

 _{; d) C > 0 }
a 0

a 2

a 3






  

 _{; C < 0 }
a < −3

<b>Bài 11: Cho biểu thức</b>

1 1 x 2

C x 3 : x 1 :

x 1 x 1 x



   

_   _{ }   _

 

   

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C
xác định

b) Rút gọn biểu thức C

c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20

d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá
trị nguyên

HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b)

x 2
C

x 2



 _{; c)}
C 5 2 _{; d) x  {−1, −3, −4, −6, 2}}
<b>Bài 12: Cho biểu thức:</b>

a a 1 a a 1 a 2

A :

a 2

a a a a

    

_  _



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A
khơng xác định

b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá
trị ngun?

HD: a) A không xác định  a < 0, a = 0, 1, 2.

b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:

2(a 2)
A

a 2



 _{; c)}
có duy nhất a = 6 thỏa mãn.

<b>Bài 13: Cho biểu thức:</b>

x 2x x

B

x 1 x x



 

 

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B khi x 3  8

c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B
= 0?

HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1

b) x 3  8 ( 2 1) : B  2  2;
c) B > 0  x > 1; B < 0  x < 1; B = 0 
x = 1 .

<b>Bài 14: Cho biểu thức</b>

a 3 3 a

B

2 a 6 2 a 6

 

 

 

a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút
gọn B

b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4

HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9:

a 9
B

a 9





b) B > 1  a > 9, B < 1  0 ≤ a < 9
c) B = 4  a = 15

<b>Bài 15: Cho biểu thức A =</b>

1 1 1 1 1

:

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

   

  

   

    

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ
nhất

HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1

A

x (1 x )




b)

2 1

x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2

     

c) min A = 4 khi
1
x

4


<b>Bài 16: Cho</b>

2

x 2 x 2 1 x

P .

x 1 x 2 x 1 2

 _ _  _ _ _

_  _{ } _

 _ _ _ 

 

 

1) Rút gọn P .

2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.

HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠
1. Kết quả: P x (1 x )

2) Nếu 0 < x < 1 thì : 0 x 1 _{ P > 0.}

3)

2

1 1 1

P x

4 2 4

 

  _  _ 

  _{. Dấu "=" xảy ra}



1 1

x x

2 4

  

. Vậy:

1 1

max P x

4 4

  
<b>Bài 17: Cho biểu thức</b>

3

1 1 x x

B

x 1 x x 1 x x 1



  

    

a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị của x khi B = 4

d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để
B có giá trị nguyên

HD: a) x > 1

b) B x 2 x 1  

c) B = 4  x = 10

d) B nguyên x = m2_{+ 1 (m  Z)}

<b>Bài</b> <b>18: </b> Cho biểu thức:

1 1 x 1

A :

x x x 1 x 2 x 1

  

_  _

   

 

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút
gọn A.

b) So sánh A với 1

HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:
2

1 x ( x 1) x 1

A .

x ( x 1) x 1 x

  

 

 

b) Xét hiệu: A – 1 =

x 1 x 1 x 1

1 0

x x x

  

   

. Vậy: A
< 1

Cách 2: Dễ thấy: A =
1

1 1

x
 

vì:
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

ĐS: a = 3 và b = −5

<b>Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ </b>
số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5).

ĐS: y = −2x + 7.

<b>Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm </b>
B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x
+ 3.

ĐS: y = 4x + 12

<b>Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song </b>
song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục
hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 2.

ĐS: y = −x + 2.

<b>Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax</b>
+ b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ
số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)

b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ;
1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3)
và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5).

c) (a ; b) (3 ; 0)

<b>Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x</b>2_{và hai đường}

thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y −

11 = 0

a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m

= 1

b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song

với (d2)

c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc

với (P).

HD: a) M(3 ; 1); b)

3
m

2


c) (d1) tiếp xúc với (P)  2x2 − mx + 2 = 0

có nghiệm kép   = 0  m2_{= 16 }

m 4

m 4



 _


<i>Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai</i>
<i>đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau</i>
<b>Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng</b>
sau đồng qui:

a) (d1): 5x + 11y = 8 (d2): 10x −

7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m

+ 2

b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x +

3y = 7 (d3): (d1): y = (2m − 5)x

− 5m

HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8

<b>Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B</b>
trên mặt phẳng tọa độ biết:

a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4)

b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a) AB (5 1) 2 (4 1) 2 5

b) AB (3 2) 2 (5 2) 2 5,83
<i>Bài tập về nhà</i>

<b>Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax </b>
+ b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5).

<b>Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ</b>
số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.

<b>Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y =</b>
ax + b song song với đường thẳng y = 3x và
cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung.
<b>Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ;</b>
1) và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là
2005. Hãy viết phương trình đường thẳng (d).
<b>Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các </b>
giá trị của m để đường thẳng (D) :

a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;

b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0
;

c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2

<b>Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y =</b>
(2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:

a) Hai đường thẳng cắt nhau

b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau

<b>Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương</b>
<b>trình (6 tiết)</b>

<b>1. Hệ phương trình bậc nhất</b>
<b>Bài 1: Giải các hệ phương trình:</b>

1)

x 2y 3
2x y 1

 




 

 ₂₎

3x 4y 2
2x 3y 7

 




 


3)

x 7y 2
2x y 11

 




 

 ₄₎

2x 3y 10
3x 2y 2

 




 


</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

a)

1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

 



 _ _

 _b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

 



 _ _


 _c)

1 1 5

x y x y 8

1 1 3

x y x y 8


 
  


 _ _
  
 _d)
4 5
2
2x 3y 3x y

3 5

21
3x y 2x 3y

 
 _ _



 _ _
  


HD: a) ĐS:

10
(x ; y) 2 ;

3

 

 
  _b)
1 1

(x ; y) = ;
2 3

 

 

  _{c) (x ; y) = (5 ; 3)} _d)

7 2

(x ; y) ;

66 11

 

 

 

<b>Bài 3: Cho hệ phương trình</b>

mx y 1
x y
334
2 3
 



 



a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ
nghiệm

HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001).

b) Hệ đã cho vô nghiệm 
3

m

2


<b>Bài 4: </b> Cho hệ phương trình:
x my 1

mx 3my 2m 3
 




  



a) Giải hệ phương trình với m = –3

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có
một nghiệm duy nhất

HD: a) Hệ có vơ số nghiệm b) m ≠ 0 và
m ≠ –3

<b>Bài 5: Cho hệ phương trình: </b>

mx y 1
x y m

 




  


Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vơ
số nghiệm

HD: Thay m = –1 vào hệ  đpcm

<b>Bài 6: Cho hệ phương trình: </b>

2mx y 5
mx 3y 1
  




 


a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có
một nghiệm duy nhất

HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0
<b>2. Phương trình bậc hai</b>

<b>Bài 7: Giải các phương trình:</b>

1) x2_{– 4x + 3 = 0} _{2) x}2_{+ 6x + 5 =}

0 3) 3x2_{– 4x + 1 = 0} _{4) x}2 _{– 5x + 6 =}

0

5) ( 2 1)x 2 x 2 0 6)
2

2x  ( 2 1)x 1 0   ₇₎
2

x ( 2 1)x  2 0

8) x4_{– 11x}2_{+ 10 = 0} _{9) 3x}4_–

11x2_{+ 8 = 0} _{10) 9x}4_{– 22x}2_{+ 13}

= 0

11) (2x2_{+ x – 4)}2_{– (2x – 1)}2_{= 0} ₁₂₎

(x – 3)2_{+ (x + 4)}2_{= 23 – 3x}

13)

2
2

2x x x 8

x 1 x 3x 4
 


  

14)

1 1 1

x 4  x 4 3

15) 3(x2_{+ x) – 2(x}2_{+ x) – 1 = 0}

16) (x2_{– 4x + 2)}2_{+ x}2_{– 4x – 4 = 0}

<b>Bài 8: Cho phương trình </b>x2  3x 5 0
và gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2.

Khơng giải phương trình, tính giá trị của các
biểu thức sau:

a) 1 2

1 1

x x _b) 2 2

1 2

x x
c) 12 22

1 1

x x _d)

3 3

1 2

x x

HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2

rồi sử dụng hệ thức Viét

<b>Bài 9: Cho phương trình: x</b>2_{– 2mx + m + 2 =}

0. Tìm giá trị của m để phương trình có một
nghiệm x1 = 2. Tìm nghiệm x2.

HD: m = 2, x2 = 2

<b>Bài 10: Cho phương trình x</b>2_{+ 2(m + 1)x + m}2

= 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng −2

HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt 
1

m
2
 

b) m = 0 hoặc m = 4

<b>Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x</b>2_{− 2(m −}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình
(1) ln có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm cùng dấu

HD: a) Chứng minh ' > 0

b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
 m < −1 hoặc m > 3

<b>Bài 12: Cho phương trình x</b>2_{− 2(m + 1)x + m}

− 4 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln
có nghiệm với mọi giá trị của m

c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương

trình (1). Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) +

x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m

HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm
x 2 2 7 

b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10  A
không phụ thuộc vào m

<b>Bài 13: Gọi x</b>1, x2 là các nghiệm của phương

trình x2_{− 2(m − 1)x + m − 3 = 0}

a) Khơng giải phương trình hãy tính giá trị
của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m

b) Tìm m để P nhỏ nhất

HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 −

2(m − 3) = 4m2_{− 10m + 10}

c) P =

2 15 15
(2m 5)

4 4
  

. Dấu "=" xảy

ra 
5
m

2


<b>Bài 14: Cho phương trình x</b>2_{− 6x + m = 0 (m}

là tham số) (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 5

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có
2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 +

2x2 = 20

HD: a) Với m = 5  x1 = 1, x2 = 5

b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)

<b>Bài 15: Cho phương trình x</b>2_{− 4x + k = 0}

a) Giải phương trình với k = 3

b) Tìm tất cả các số ngun dương k để
phương trình có hai nghiệm phân biệt

HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3

b) ' = 4 − k > 0  k < 4. ĐS: k  {1 ; 2 ;
3}

<b>Bài 16: Cho phương trình : x</b>2_{− (m + 5)x − m}

+ 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có một nghiệm x = −2.

HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5

b) ĐS: m = − 20

<b>Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x</b>2_{+ 2mx +}

m − 2 = 0. (*)

a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương
trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

HD: a) Khi m = 1:
1
x

2


; b) ĐS:
2

m , m 1
3

 

.

<b>Bài 18: Cho phương trình x</b>2_{− 2mx + (m −}

1)3_{= 0}

a) Giải phương trình với m = −1

b) Xác định m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm
bằng bình phương của nghiệm còn lại.

HD: a) Với m = −1  x1 = 2, x2 = −4

b) m = 0 hoặc m = 3

<b>Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập</b>
<b>phương trình và hệ phương trình (4 tiết)</b>
<b>Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với</b>
vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người
đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc
trung bình 25km/h. Tính qng đường AB,
biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50
phút.

HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x >
0).

Ta có phương trình:

x x 1 5

5

3025 3  6_.
Giải ra ta được: x = 75 (km)

<b>Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và</b>
chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận
tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h.
Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau
đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính
chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô
đến bến B cùng 1 lúc.

HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x
> 0)

Ta có phương trình:

x x 2

20 24 3_{. Giải}
ra ta được: x = 80 (km)

<b>Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B</b>
với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ơtơ đi
với vận tốc đó, khi cịn 60km nữa thì đi được
một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng
thêm vận tốc 10km/h trên qng đường cịn
lại, do đó ơtơ đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với
dự định. Tính quãng đường AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ta có phương trình:

x x x

60 : 40 60 : 50 1

2 2 40

   

    

   

    _{. Giải ra}

ta được: x = 280 (km)

<b>Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông</b>
dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính
vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết
rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.

HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước n
lặng là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình:

80 80 1

8

x 4 x 4  3_.

Giải ra ta được: 1
4
x

5


(loại), x2 = 20 (km)

<b>Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng</b>
một lúc từ bến A xi dịng sơng. Sau khi đi
được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ
tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc
của ca nơ khi nước n lặng biết vận tốc của
dịng nước là 4 km / h.

HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x
km/h (x > 4)

Ta có phương trình:

24 16
2
x 4  x 4  _.
Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)

<b>Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh</b>
B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút,

một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B
sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe
đạp.

HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)

Ta có phương trình:

50 50

(1,5 1)
x 2,5x   _.
Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)

<b>Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh</b>
khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta
dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một
lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu
dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn
có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính
số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động
HD: Gọi số xe lớn là x (x  Z+_{). Ta có PT:}

180 180
15

x  x 2  _{ x}₁_{= 4; x}₂_{= –6 (loại)}
<b>Bài 8: Một đội xe cần chun chở 100 tấn</b>
hàng. Hơm làm việc, có hai xe được điều đi

làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm
2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số
hàng chở được của mỗi xe là như nhau)

HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x 
N)

Ta có phương trình:

100 100 5
x 2  x 2_{. Giải}
ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)

<b>Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp khơng</b>
nắp, người ta cắt đi 4 hình vng bằng nhau ở
4 góc của một miếng nhơm hình chữ nhật dài
24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình
vng đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện

tích của 4 hình vng đó bằng
2

5_{diện tích}
đáy hộp?

HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình
vng bị cắt ( 0 < x < 9)

Ta có phương trình:
2 2

4x (24 2x)(18 2x)
5

  

. Giải ra ta được:
x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)

<b>Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó,</b>
biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số
đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số
đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại
với số đã cho

HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x,
y  Z)

Ta có hệ:

6(x y) 10x y x 5
xy 25 10y x y 4

   

 



 

   

  _.

Vậy số phải tìm là 54

<b>Bài 11: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể</b>
thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ
nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong

12 phút thì đầy
2

5_{bể. Hỏi nếu mỗi vịi chảy}
một mình thì phải bao lâu mới đầy bể.

HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của
vịi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)

Ta có hệ:

80 80
1

x 120
x y

10 12 2 y 240
x y 15



 

 _ _





 



 _ _




<b>Bài 12: Hai người thợ cùng làm một cơng</b>
việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm
được 25% cơng việc. Hỏi mỗi người làm cơng
việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hồn
thành cơng việc.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ta có hệ:

16 16

1

x 24
x y

3 6 1 y 48

x y 4


 

 _ _





 



 _ _



 _(thỏa

mãn điều kiện đầu bài)

<b>Bài 13: Một phịng họp có 360 ghế ngồi được</b>
xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều
bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế
của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phịng
có 400 ghế. Hỏi trong phịng họp có bao
nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy
(x  Z, x > 0)

Ta có phương trình:
360

(x 1) 1 400

x

 

 _  _ 

  _{. Giải ra ta được: x}₁₌
15, x2 = 24

ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15
người/dãy.

<b>Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản</b>
phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%
và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời

gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm.
Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế
hoạch.

HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo
kế hoạch (x, y  N*)

Ta có hệ phương trình:

x y 600 x 200

0,18x 0, 21y 120 y 400

  

 



 

  

 

<b>Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một</b>
thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận
tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc
dự định và thời gian dự định

HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự
định là y (x, y > 0). Ta có hệ:

(x 1)(y 4) xy x 6
(x 2)(y 14) xy y 28

   

 



 

   

 

<b>Chun đề 5: Một số bài tốn hình học</b>
<b>tổng hợp (6 tiết)</b>

<b>Bài 1: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm</b>
đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng
tiếp A , O là trung điểm của IK

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K
cùng thuộc một đường tròn tâm O

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường

tròn (O)

c) Tính bán kính của đường trịn (O), biết
AB = AC = 20cm, BC = 24cm

HD: a) KBI KCI 180   0_{(Tính chất phân}
giác)  BICK nội tiếp (O)

b) C 1 OCI C  2 I1 900 OC  AC 
AC là tiếp tuyến của (O)

c) AH AC2  HC2  202  122 16

(cm).

2 2

CH 12

OH 9

AH 16

  

(cm)

Vậy: OC =

2 2 2 2

OH HC  9 12  225 15

(cm)

<b>Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc</b>
cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng góc
với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng
DE và DC theo thứ tự ở H và K

a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội
tiếp

b) Tính góc CHK

c) Chứng minh KC.KD = KH.KB

d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC
thì điểm

H chuyển động trên đường nào?

HD: a) BHD BCD 90   0_{ BHCD nội tiếp}
b) DHC DBC 45   0  CHK 45  0
c) KCH KDC (g.g)  KC.KD =
KH.KB

d) BHD 90  0  _{Khi E chuyển động trên}
đoạn BC

thì H chuyển động trên BC

<b>Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường</b>
kính AB và CD vng góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O).
Đường thẳng CM cắt đường trịn (O) tại điểm
thứ hai N. Đường thẳng vng góc với AB tại
M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm
P. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OMNP nội tiếp

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí
điểm M

d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì
P chạy trên một đoạn thẳng cố định

HD: a) OMP ONP 90   0_{ ONMP nội tiếp}
b) OC // MP (cùng vng góc với AB),
MP = OD = OC

Suy ra: CMPO là hình bình hành
21
1

H

B _C

O
A

K
I

K
H
B

C
A

D

E

1 1
1

1

P
N

E D F

C

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

c) COM CND (g.g) Suy ra:

CM CO

CD CN _{ CM.CN = CO.CD =}
Const

d) ONP = ODP (c.g.c)  ODP 90  0_.
Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định.
Vì M  [AB] nên P  [EF]

<b>Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính</b>
AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến
thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E
và F.

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác
MPOQ là hình gì? tại sao?

c) Kẻ MH  AB (H  AB). Gọi K ≡ MH
∩ EB. So sánh MK với KH

HD: a) EOA OME 180   0_{ AEMO nội}
tiếp

b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc
vng.

c) EMK EFB:

EM EF

MK BF_{do MF =}

BF 

EM EF
MK MF

Mặt khác: ABE HBK:

EA AB
HK HB_{. Vì:}
EF AB

MF HB_(Talet)



EM EA

MK KH_{. Vì: EM = AE  MK =}
KH.

<b>Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố</b>

định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho

2

AI AO

3


. Kẻ dây MN  AB tại I. Gọi C là
điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C
không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN
tại E.

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh AME ACM và AM2

= AE.AC

c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2

HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180   0_{ IECB}
nội tiếp.

b) Ta có AM AN   AME ABM  _
AME ACM (g.g)

 AM2_{= AE.AC (1)}

c) Ta có: MI2_{= AI.IB (2). Theo (1) và (2)}

và ĐL Pitago:

AI2_{= AM}2_{− MI}2_{= AE.AC − AI.IB}

<b>Bài 6: Cho ABC có các góc đều nhọn,</b>
 0

A 45 _{. Vẽ các đường cao BD và CE của}
ABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) Chứng minh HD = DC

c) Tính tỉ số DE : BC

d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC. CM: OA  DE.

HD: a) Ta có: AEH ADH 180   0_{ đpcm}
b) v.AEC có A 45  0_ACD 45  0
DCH vng cân

tại D  HD = HC.

c) ADE ABC (g.g) 

DE AE AE 2

BC AC AE. 2  2 _.

d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn
(O), ta có BAx BCA 

mà BCA AED  _{(cùng bù với}DEB _{) }

 

BAx AED_{ DE // Ax  OA  DE.}

<b>Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D</b>
nằm trên đường trịn đường kính AB. Hạ BN
và DM cùng vng góc với đường chéo AC.
Chứng minh:

a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong
đường tròn

b) Khi điểm D di động trên đường trịn thì

 

BMD BCD _{khơng đổi}
c) DB.DC = DN.AC

HD: a) CBMD nội tiếp trong đường trịn
đường kính CD

b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD
luôn là

tứ giác nội tiếp  BMD BCD 180   0
c) Ta có: ANB 90  0_{(gt)  N  (O)}
Mặt khác: BDN BAN  _{(Cùng chắn}BN ₎

x y

K
H

Q
P

E

F

O

A B

M

O'
E

N
M

I O

A B

C
x

O H

D
E

A

B

C

M N

C

O

A _B

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 

BAN ACD _{(So le trong)}
Suy ra: BDN ACD  _.

Lại có: DAC DAN DBN   _{(Cùng chắn}


DN₎

Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g)  đpcm

<b>Bài 8: Cho ABC vuông ở A (AB > AC),</b>
đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính
BH cắt AB tại E, nửa đường trịn đường kính
HC cắt AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ
nhật

b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến
chung của hai nửa đường trịn

HD: a) AEHF có ba góc vng  AEHF là
hình chữ nhật

b) B E  1 F1  BEFC nội tiếp

c) AEF ACB (g.g)  AE.AB =
AF.AC

d) E 1 E 2 H 1 H 2 900_{ EF là tiếp}
tuyến của (O1).

Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2)

<b>Bài 9. Cho ΔABC nội tiếp đường trịn (O).</b>
Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O)
cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm
của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và
CE

a) Chứng minh BC // DE

b) Chứng minh các tứ giác CODE và
APQC nội tiếp

c) Tứ giác BCQP là hình gì?

HD: a) BC và DE cùng vng góc với OD 
BC // DE

b) ODE OCE 180   0_{ CODE nội tiếp}
Ta có: PAQ PCQ  (Do BD CD  _)
APQC nội tiếp

c) BCQP là hình thang. Vì:

Ta có: QPC CAQ  (Cùng chắn cung
QC của (APQC)

Lại có: QAC QAP  và QAP BCP 
(cùng chắn BD )  BC // PQ

<b>Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt</b>
nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các

đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và
(O) theo thứ tự tại C và D. gọi P và Q lần lượt
là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng
minh:

a) ΔABD ΔCBA

b) BQD APB 

c) Tứ giác APBQ nội tiếp

HD: a) Ta có: DAB ACB  _{(Cùng chắn}



An 'B₎

Lại có: ADB BAC  _{(Cùng chắn}AnB ₎
Suy ra: ΔABD ΔCBA

b) ΔABD ΔCBA 

AD BD DQ

CA BA AP

(Do P, Q là trung điểm của AC, AD)

Và: BDQ BAP  . Suy ra: ΔBQD ΔAPB 

 

BQD APB

c) Do BQD APB  suy ra: APBQ nội tiếp
<b>Bài 11: Cho ABC vuông ở A và một điểm</b>
D nằm giữa A và B. Đường trịn đường kính
BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE
lần lượt cắt đường tròn tại cá điểm thứ hai F,
G. Chứng minh:

a) ABC EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
c) AC // FG

d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng
qui

HD: a) ABC EBD (Hai tam giác vng

có B 1 chung)

b) Học sinh tự chứng minh

c) C 1 F ( E )1  1 _{ AC // FG}

d) Gọi S ≡ BF ∩ CA  BSC có D là trực
tâm.

 S, D, E thẳng hàng rồi  BF, CA, ED đồng
qui tại S.

<b>Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao</b>
cho AC = 10cm, CB = 40cm. Vẽ về một phía

1
2

1

1

1 _G
F

S

E C

A

B

D

1
2

4

1 ₃

2
1

3 _{2 1}

E

M

N
S

K
I

A C B

Q
P

E
D

C
B

O
A

n' _n

Q P

D B C

A
O

O'
2

2

1
1

1

O₂
O₁

F

E

H C

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

AB các nửa đường trịn có đường kính theo
thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là
O, I, K. Đường vng góc với AB tại C cắt
nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự
là giao điểm của EA, EB với các nửa đường
tròn (I), (K)

a) Chứng minh rằng EC = MN

b) CmR: MN là tiếp tuyến chung của các
nửa đường trịn (I), (K)

c) Tính độ dài MN

d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba
nửa đường trịn

HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật
 EC = MN

b) Gọi S ≡ MN ∩ EC:

    0

1 2 1 2

M M C C 90 _{ MN  MI}

Tương tự: N 1 N2 C 3 C 4 900 MN 
NK  MN là tiếp tuyến chung của hai đường
tròn

c) MN = EC =

AC.BC  10.40 20(cm)_{. d)}

2 2 2

2
1πAB πAC πBC

S 100π(cm )

2 4 4 4

 

 _   _

 

<b>Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính</b>
AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H bất
kì (H ≠ O, B). Trên đường thẳng vng góc

với OB tại H, lấy một điểm M ở ngồi đường
trịn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O)
tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC

a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp
b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC,
MH đồng qui tại I

c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ
giác MCID, chứng minh

rằng KCOH nội tiếp

HD: a) MCI MDI 90   0_{ MCID nội tiếp}
b) Chứng minh I là trực tâm của MAB rồi
suy ra đường cao

MH đi qua I

c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM,
chứng minh:

  0   0

1 4 2 3

C C 90  C C 90 _{, từ đó suy ra}
KCOH nội tiếp.

<b>Bài 14: Cho ABC vuông tại A. Dựng ở</b>

miền ngồi tam giác các hình vng ABHK
và ACDE

a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng
hàng

b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại
tiếp ABC tại F, chứng minh rằng FBC
vuông cân

c) Cho biết ABC 45  0_{. Gọi M là giao}
điểm của BP và ED,

chứng minh rằng năm điểm B, K, E, M, C
cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của
đường tròn (ABC)

HD: a) Từ gt chứng minh:

  0

HAB DAC 45  _{rồi chứng}

Minh: HAB BAC DAC 180    0_{ H, A, D}
thẳng hàng

b) Chứng minh FBC 45 , BFC 90  0   0.
Suy ra

BFC vuông cân

c) Chứng minh BKC BEC BMC 45   0
, từ đó

suy ra B, K, E, M, C cùng thuộc một đường
tròn. Chú ý

đến FMDC là tứ giác nội tiếp

d) Chứng minh FCM vuông cân,

 0

FCM 45 _{. Từ đó ta có:}

  0

MCF FCB 90  _{hay: MC  BC  MC là}
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC.

4 3

2
1

I
K

D
C

O

A B

H
M

M

F
H

K

D
E

C
A

</div>

<!--links-->