Phương pháp sai phân hữu hạn monte carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN THỊ VÂN ANH

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
MONTE CARLO NHIỀU CHIỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN DẠNG ELLIPTIC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, năm 2019


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI:
Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG – HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Bá Thi.
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn.
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM
ngày 07 tháng 01 năm 2019
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy.
2. Thư ký: TS. Đặng Văn Vinh.
3. Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi.
4. Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn.
5. Ủy viên: TS. Nguyễn Tiến Dũng.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên

ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên : TRẦN THỊ VÂN ANH

MSHV:1670238

Ngày, tháng, năm sinh: 02/10/1992

Nơi sinh: Thanh Hóa

Chun ngành: Tốn ứng dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN MONTE

CARLO NHIỀU CHIỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG ELLIPTIC
VÀ ỨNG DỤNG
- Kiến thức chuẩn bị.
- Trình bày phương pháp Monte Carlo và một số ứng dụng cơ bản.
- Phương pháp sai phân hữu hạn Monte Carlo nhiều chiều cho phương
trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 29/06/2017
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07/01/2019
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

tháng 01 năm 2019.

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

3


Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc
gia TP. HCM. Để hồn thành được luận văn này tơi đã nhận được rất nhiều
sự động viên, giúp đỡ của quý thầy cô và gia đình.
Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.
TS. Nguyễn Đình Huy, người đã tận tình hướng dẫn, khuyến khích và tạo điều
kiện thuận lợi tối đa để tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã

dành thời gian và cơng sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tơi hồn
thành tốt luận văn.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể q thầy cơ giáo
trong bộ mơn Tốn Ứng Dụng khoa Khoa học Ứng Dụng, Phòng đào tạo Sau
đại học Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. HCM đã tận tình
truyền đạt kiến thức và tạo điều kiện tốt nhất để cho tơi trong suốt khóa học.
Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính
mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô khi đọc và chấm
luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, những
người đã ln bên tơi, động viên và khuyến khích tơi trong q trình thực hiện
đề tài nghiên cứu của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày

tháng 01 năm 2019.

Học viên thực hiện

Trần Thị Vân Anh

4


Tóm tắt luận văn

Luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản.
• Chương 2: Trình bày phương pháp Monte Carlo và một số ứng dụng.

• Chương 3: Trình bày phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương
trình vi phân dạng elliptic.

5


Abstract
The thesis contains three chapters.
Chapter 1: presents the basic concept.
Chapter 2: presents a modes Monte Carlo and applications.
Chapter 3: presents a multi-modes Monte Carlo method for elliptic diffierential equations and applications.

6


Lời cam đoan

Tôi tên là Trần Thị Vân Anh, MSHV: 1670238, học viên cao học chuyên
ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2016 – 2018.
Tơi xin cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình khác
như đã ghi rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này là do
chính tơi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp
để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày

tháng 01 năm 2019.

Học viên thực hiện

Trần Thị Vân Anh

7


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Tóm tắt luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.3. Không gian L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1.4. Không gian Sobolev Wm,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1.5. Không gian Hilbert H01 và không gian đối ngẫu H −1 . . . . . . . . . .

22

1.2. Đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.1. Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.2. Bất đẳng thức Tchebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.3. Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3. Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3.2. Các tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8


Chương 2. Phương pháp Monte Carlo và một số ứng dụng . . . .

30

2.1. Phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Số ngẫu nhiên và số tựa ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.1. Khái niệm về số ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2. Số tựa ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.3. Mối liên hệ giữa số ngẫu nhiên và số tựa ngẫu nhiên. . . . . . . . . . .

34

2.2.4. Các phương pháp tạo ra số tựa ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3. Biểu diễn đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1. Phương pháp nghịch đảo hàm phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.2. Phương pháp biến đổi các đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4. Một số ứng dụng của phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4.1. Tính tích phân theo phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.4.2. Tính tích phân bội theo phương pháp Monte Carlo . . . . . . . . . . . .

45

Chương 3. Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình
vi phân dạng elliptic và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1.1. Phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1.2. Khái niệm nghiệm theo nghĩa rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1.3. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.4. Nghiệm số bằng phương pháp sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2. Biểu diễn nghiệm trong không gian hữu hạn chiều. . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3. Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.3.1. Thuật toán bằng số và độ phức tạp của thuật toán. . . . . . . . . . . .

61

3.3.2. Phân tích tính hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.4. Ứng dụng cho bài tốn phương trình vi phân dạng elliptic với biên tùy
ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1. Bài toán elliptic một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.4.2. Bài toán elliptic hai chiều (phẳng). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

9


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Lý lịch trích ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

10


Danh sách hình vẽ

2.1

Đổi hệ trục tọa độ (x; y) → (ξ; n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2

Miền D → D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1

Tập Ω và biên ∂Ω

3.2

Điều kiện biên

3.3

Một lưới chia trong (x, y)

3.4

Một miền với biên là đường cong

3.5

Sai số tương đối trong chuẩn H 1 của xấp xỉ Monte Carlo nhiều
h
khi sử dụng các chiều khác nhau với ε = 0.5 . . . . . . . 70
chiều ψN

3.6

Trung bình mẫu ΨhN (bên trên) và một mẫu UNh (bên dưới) được
tính với ε = 0.5, và M = 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7

Trung bình mẫu ΨhN (bên trên) và một mẫu UNh (bên dưới) được
tính ε = 0.8, và M = 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
˜ h và Ψh cho các chiều
Sai số tương đối trong chuẩn L2 giữa Ψ
N
khác nhau, với ε = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
˜ h và Ψh khi ε = 0.5 và
Sai số tương đối trong chuẩn L2 giữa Ψ
N
N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8
3.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Danh sách bảng

2.1

Bảng giá trị yi và Yi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1

Sai số tương đối trong chuẩn L2 của phương pháp Monte Carlo
nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2

h
Sai số xấp xỉ của phương pháp Monte Carlo nhiều chiều ψN
với
1
2
h giảm dần trong chuẩn H và L các bậc hội tụ tương đối với nó.

69

3.3

Thời gian máy tính điện tử cần để tính tốn xấp xỉ của phương
˜ h và xấp xỉ của phương pháp Monte
pháp Monte Carlo cổ điển Ψ
Carlo nhiều chiều ΨhN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4

Sai số tương đối trong chuẩn L2 của phương pháp ước tính Monte
˜ h khi ε và
Carlo nhiều chiều ΨhN và Monte Carlo truyền thống Ψ
N tăng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

12


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, với nhu cầu cần thiết phải xây dựng các mơ
hình của những tham số bất định và sự nhiễu phát sinh trong các ứng dụng
của các ngành công nghiệp và kỹ thuật thì người ta ngày càng quan tâm tới
sự phát triển trong lĩnh vực tính xấp xỉ bằng số các kết quả của phương trình
vi phân từng phần với hệ số bất định. Để giải quyết các bài tốn số có giá trị
biên ngẫu nhiên, phương pháp Monte Carlo đã được áp dụng bằng cách lấy
mẫu đại diện các hệ số của phương trình vi phân từng phân với hệ số bất định
và tính trung bình của các kết quả thơng qua trung bình của các mẫu thống
kê từ đó thu được một tập hợp các kết quả phân bố đều trong không gian xác
suất. Như vậy, phương pháp Monte Carlo cần phải sử dụng nhiều lần các phép
toán với các hệ số mẫu khác nhau để đạt được các kết quả tốt nhất. Phương
pháp Monte Carlo nhiều chiều là sự cải tiến của phương pháp Monte Carlo và
ngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào việc giải quyết các phương trình vi phân
từng phần đem lại nhiều kết quả đẹp đẽ về sự ứng dụng của phương pháp này
trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều ứng dụng khác.
Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu phương pháp Monte Carlo nhiều
chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng. Chúng ta tìm hiểu
phương pháp sai phân hữu hạn Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi
phân dạng elliptic bằng cách sử dụng một biểu diễn nhiều chiều của các kết

quả viết dưới dạng một chuỗi lũy thừa của các tham số nhiễu loạn và kĩ thuật
Monte Carlo để lấy các dữ liệu từ không gian xác suất. Trong đó, các hàm số
được khai triển đều có chung hệ số khuếch tán xác định và ứng dụng phân
tích ma trận LU nhiều lần để giải các phần tử hữu hạn của các hệ tuyến tính
rời rạc. Dựa trên các kết quả của phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho
phương trình vi phân dạng elliptic, chúng ta ứng dụng vào việc tìm hiểu các
phương trình vi phân từng phần với hệ số bất định ngẫu nhiên hơn.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích cơ bản của luận văn này là tập trung nghiên cứu phương pháp
Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng.
13


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều.
• Phạm vi nghiên cứu: Chúng ta tìm hiểu phương pháp Monte Carlo nhiều
chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng.

4. Phương pháp nghiên cứu
• Tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức chuẩn bị về các không gian hàm và
biến ngẫu nhiên.
• Tìm hiểu và phân tích phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương
trình vi phân dạng elliptic.
• Ứng dụng các kết quả của phương pháp Monte Carlo để nghiên cứu phương
trình vi phân từng phần với hệ số bất định ngẫu nhiên.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
• Ý nghĩa khoa học: Luận văn này làm rõ phương pháp nhiều chiều cho
phương trình vi phân dạng elliptic.

• Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng các kết quả của phương pháp Monte Carlo
nhiều chiều để nghiên cứu phương trình vi phân từng phần với hệ số bất
định ngẫu nhiên.

6. Cấu trúc của luận văn
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Phương pháp Monte Carlo và một số ứng dụng.
• Chương 3: Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi
phân dạng elliptic.

14


Bảng ký hiệu

R
x

Tập số thực
Chuẩn của vector

ess sup f (x) Cận trên cốt yếu của một hàm đo được trên một tập đo được
x∈(Ω)
L∞ (Ω)

Tập tất cả các hàm bị chặn cốt yếu trên Ω

Cc∞ (Ω)
Dα u

Không gian các hàm khả vi vô hạn

W m,p (Ω)

Không gian Sobolev

∂D

Biên của Ω

Th

Phép phân chia tam giác tựa đều.

(Ω, D, P )

Không gian xác suất

P

Độ đo xác suất thông thường.

C

Tập số phức

N

Tập số tự nhiên

Rn

Khơng gian Euclide n chiều

Ω

Tập mở trong Rn

Ω

Tập đóng trong Rn

H −1 (Ω)

Không gian đối ngẫu của không gianH01 (Ω)

., .
∇

Đạo hàm riêng yếu thứ α của u

Tác động đối ngẫu giữa không gian H −1 (Ω) và H01 (Ω).
gradient

15


CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1. Các không gian hàm
1.1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là khơng gian tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh xạ từ X vào
tập số thực R, kí hiệu là · và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1. (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0
2. (∀x ∈ X, ∀a ∈ R) , αx = α x
3. (∀x, y ∈ X) , x + y = x + y
Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn là (X, · ).
Định nghĩa 1.2. Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy
(xn ∈ X) sao cho lim xn − xm = 0
m,n→∞

Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

1.1.2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.4. Cho không gian vectơ X trên trường số K. Một ánh xạ từ tích
Descartes X × X vào K được gọi là một tích vơ hướng trên X, ký hiệu (·, ·) nếu
nó thỏa mãn các tiên đề sau:
i. (x, y) = (y, x)

∀x, y ∈ X
∀x, y, z ∈ X

ii. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
16


∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R

iii. (αx, y) = α (x, y)

iv. ∀x ∈ X : (x, x) > 0 nếu x = 0;
(x, x) = 0 nếu x = 0
v. (x, x) = x

2

.

Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Schwarz): Đối với mỗi x ∈ X , ta đặt x =
(x, x).
Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz:

|(x, y)| ≤ x · y
Hệ quả 1.1. Công thức x =
X.

(x, x) xác định một chuẩn trên khơng gian

Định nghĩa 1.5. Khơng gian tuyến tính trên trường số thực R cùng với một
tích vơ hướng gọi là khơng gian tiền Hilbert.
Định lý 1.2. Tích vơ hướng (x, y) là một hàm liên tục của hai biến x và y theo
chuẩn x = (x, x).
Định nghĩa 1.6. Tập H = ∅ là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn:
i. H là không gian tiền Hilbert;
ii. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x)

Ta gọi mọi khơng gian tuyến tính con đóng của khơng gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H.

1.1.3. Không gian L∞ (Ω)
Định nghĩa 1.7. Cận trên cốt yếu của một hàm f đo được trên một tập đo
được (Ω) được xác định bởi:

ess sup f (x) := inf {β ∈ R\µ ({x ∈ Ω\f (x) > β}) = 0}
x∈(Ω)

Một hàm f được gọi là bị chặn cốt yếu trên Ω nếu cận trên cốt yếu của
|f | trên Ω là hữu hạn. Ký hiệu L∞ (Ω) các hàm bị chặn cốt yếu trên Ω, trong
đó ta cũng đồng nhất hai hàm bằng nhau hầu khắp.
Tập hợp L∞ (Ω) là một không gian vector định chuẩn, với phép tốn cộng
hai hàm số thơng thường và nhân hàm số với một hằng số và với chuẩn:

f

L∞ (Ω)

= ess sup |f (x)|
x∈(Ω)

17


Nếu µ (Ω) < ∞, với 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ thì:

Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω)

Định lý 1.3. Tính chất của khơng gian Lp
i. Lp (Ω) là khơng gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.
ii. L2 (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định bởi (f, g) =
f (x) g (x) dx (
Ω

iii. Cc∞ (Ω) là trù mật trong Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞
iv. Không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là tách được.
v. (Định lý biểu diễn Riesz) Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) là Lq (Ω) với
1 1
1 < p < ∞, + = 1. Không gian đối ngẫu của L1 (Ω) là L∞ (Ω).
p q
vi. Không gian Lp (Ω) với 1 < p < ∞ là không gian phản xạ

1.1.4. Không gian Sobolev Wm,p (Ω)
a. Đạo hàm yếu

Giá đỡ của một hàm f với tập xác định Ω ⊂ Rn là bao đóng của tập hợp
{x ∈ Ω/f (x) = 0} và được ký hiệu: supp f
Giả sử Ω là một tập mở của Rn . Ký hiệu Cc∞ (Ω) là không gian các hàm
khả vi vơ hạn φ : Ω → R có giá đỡ compact trong Ω. Mỗi hàm ϕ ∈ Cc∞ (Ω)
được gọi là một hàm thử.
Định nghĩa 1.8. (Đạo hàm yếu) Giả sử u, v ∈ Lloc (Ω) và α = (α1 , α2 , . . . , αn )
với |α| = α1 + α2 + . . . + αn là bộ đa chỉ số. Ta nói v là đạo hàm riêng yếu thứ
α của u và viết
Dα u = v
nếu:

uDα φdx = (−1)|α|
Ω

vφdx
Ω

với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (Ω).
Bổ đề 1.1. (Tính duy nhất đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu thứ α của u,
nếu tồn tại, thì là duy nhất sai khác trên một tập hợp có độ đo khơng.

18


Định lý 1.4. (Tính chất của đạo hàm yếu) Giả sử rằng u, v ∈ W m,p (Ω) , |α| ≤
m. Khi đó:
i. Dα u ∈ W m−|α|,p (Ω) và Dβ (Dα u) = Dα Dβ u = Dα+β u với các đa chỉ
số α, β sao cho |α| + |β| ≤ m.
ii. Với mỗi λ, µ ∈ R, λu + µv ∈ W m−|α|,p (Ω)và

Dα (λu + µv) = λDα u + µDα v, |α| ≤ m
.
iii. Nếu V là một tập con mở của Ω, khi đó u ∈ W m,p (V )
iv. Nếu ζ ∈ Cc∞ (Ω) khi đó ζu ∈ W m,p (Ω)và

Cβα Dβ ζDα−β u

Dα (ζu) =
β≤α

(công thức Leibnitz).
b. Định nghĩa không gian Sobolev W m,p (Ω)

Cho Ω ∈ Rn là tập con mở. Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và m là một số nguyên
không âm.
Định nghĩa 1.9. Không gian Sobolev

W m,p (Ω)
gồm tất cả các hàm khả tích địa phương u : Ω → R sao cho với mỗi bộ đa chỉ
số α với |α| ≤ m, Dα u tồn tại theo nghĩa yếu và thuộc vào Lp (Ω) .
Định nghĩa 1.10. Nếu u ∈ W m,p (Ω) ta định nghĩa chuẩn của u bởi
1
p
α p

|D u| dx



u

W m,p (Ω)

=

,1 ≤ p ≤ ∞

|α|≤m Ω

và

u

W m,p (Ω)

esssupΩ |Dα u|

=

,p = ∞

|α|≤m

Định nghĩa 1.11. Giả sử um , u ∈ W m,p (Ω) , m = 1, 2, . . .. Ta nói rằng dãy
um hội tụ về u trong W m,p (Ω) nếu:

lim um − u

m→∞

19

W m,p (Ω)

=0


Định lý 1.5. (Tính đầy đủ) Khơng gian Sobolev W m,p (Ω) là một không gian
Banach với mỗi m = 1, 2, . . . và với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞.

• .

Chứng minh.

Wm,p (Ω)

là một chuẩn.

Thậy vậy: Với 1 ≤ p ≤ ∞, ta có:
1/p

.

Wm,p (Ω)

|Dα λu|p dx

=
|a|≤k

|λ| u

=

Wm,p (Ω)

Tiếp theo giả sử u, v ∈ Wm,p (Ω) . Khi đó từ bất đẳng thức Minkowski ta suy
ra
1/p

u+v

Wm,p (Ω)

Dα u + Dα v

=
|a|≤k

p
LP (Ω)
1/p

α

≤

D u
|a|≤k

p
LP (Ω)

α

+ D v

p
LP (Ω)

1/p

Dα u

≤
|a|≤k

=

1/p

p
LP (Ω)

+

u

+ v

Wm,p (Ω)

Dα v
|a|≤k

p
LP (Ω)

Wm,p (Ω)

Bây giờ giả sử

u

Wm,p (Ω)

=0

Khi đó với bất kì bộ đa chỉ số |α| ≤ k thì

|Dα u|p dx = 0
Ω

Nói riêng

|u|p dx = 0
Ω

Và do đó u = 0 hầu khắp. Vậy .

Wm,p (Ω)

là một chuẩn.

• Chứng minh rằng Wm,p (Ω) là một không gian đầy đủ.
Giả sử {um } là một dãy Cauchuy trong Wm,p (Ω).
Khi đó với mỗi |α| ≤ k, (Dα um ) là một dãy Cauchy trong Lp (Ω).
20


Do Lp (Ω) là đầy đủ, nên tồn tại các hàm uα ∈ LP (Ω) sao cho:

Dα um → uα trong Lp (Ω)

với mỗi |α| ≤ k . Nói riêng

um → u0,...,0 =: utrong Lp (Ω)
Với bất kỳ hàm thử φ ∈ Cc∞ (Ω) ,ta có:

um Dα φdx =

lim

Ω

=

um Dα φdx

m→∞ Ω
|α|

φDα um dx

lim (−1)

m→∞

Ω

(−1)|α|

=

φuα udx
Ω

Suy ra

u ∈ Wm,p (Ω) , Dα u = uα |α| ≤ k
Do đó, Dα um → Dα u trong Lp (Ω) với mọi |α| ≤ k . Điều này có nghĩa là
um → u trong Wm,p (Ω).
Vậy Wm,p (Ω) là không gian đầy đủ.
Định lý 1.6. (Xấp xỉ địa phương bởi hàm trơn) Giả sử u ∈ W m,p (Ω)và
1 ≤ p ≤ ∞. Đặt
uε = ηε ∗ u
trong Ωε Khi đó uε ∈ C ∞ (Ω) và

uε → u
m,p
trong Wloc
(Ω) khi ε → 0.

Chứng minh. Ta cần chứng minh cho:

uε − u
Ta chỉ ra rằng nếu |α|

p
Wm,p (Ω)

→ 0,

khi ε → 0

m thì

Dα uε = ηε ∗ Dα u,

trong Ωε

(1.1)

Thực vậy,

Dα uε (x) =
Dα Ω ηε (x − y)u(y)dy
α
=
Ω Dx ηε (x − y)u(y)dy
= (−1)|α| Ω Dxα ηε (x − y)u(y)dy
21


Lấy x ∈ Ωε cố định và hàm ηε (x − y) ∈ Cc∞ (Ω)
Theo định nghĩa đạo hàm yếu thứ α suy ra

Dyα ηε (x − y)u(y)dy = (−1)|α|
Ω

ηε (x − y)Dα u(y)dy
Ω

Như vậy

Dα uε (x) = (−1)|α|+|α| Ω ηε (x − y)Dα u(y)dy
=
(ηε ∗ Dα u) (x)
Như vậy ta đã chứng minh được công thức (1)
Tiếp theo chọn một tập V nằm trong một tập con compact của Ω. Theo (1) và
từ định nghĩa (1.2) và định lí (1.1) suy ra

Dα uε ∈ C ∞ (Ω∞ )
và

Dα uε → Dα u trong Lploc (Ω) khi ε > 0
với mỗi |α|

uε − u

m Từ đó
p
Wm,p (V )

Dα uε − Dα u

=

p
Lploc (V )

→ 0,

khi ε → 0

|α| m

Như vậy định lí đã được chứng minh
Định lý 1.7. (Xấp xỉ toàn cục bởi hàm trơn) Giả sử Ω bị chặn và u ∈
W m,p (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Tồn tại dãy hàm sao cho:

um → u
trong W m,p (Ω).
Định lý 1.8. Không gian Sobolev W m,p (Ω) là tách được nếu 1 ≤ p < ∞,
không gian W m,p (Ω)) là phản xạ nếu 1 < p < ∞.

1.1.5. Không gian Hilbert H01 và không gian đối ngẫu H −1
a. Không gian Hilbert H m

Với p = 2 ta thường viết:

H m (Ω) = W m,2 (Ω) , k = 0, 1, 2, . . .
Nếu 1 ≤ p ≤ ∞ thì W 0,p (Ω) = Lp (Ω). Do đó,

H 0 (Ω) = L2 (Ω)
22


Định lý 1.9. Không gian Sobolev H m (Ω) là khơng gian Hilbert tách được và
phản xạ với tích vơ hướng

(Dα u, Dα v)

(u, v)m =

0≤|α|≤m

trong đó

(u, v) =

u (x) v (x) dx
Ω

là tích vơ hướng trong L2 (Ω)
b. Khơng gian H01

Định nghĩa 1.12. Ký hiệu W0m,p (Ω) là bao đóng của Cc∞ (Ω) trong W m,p (Ω)
Định lý 1.10. Không gian Sobolev H0m (Ω) là không gian Hilbert tách được và
phản xạ với tích vơ hướng

(Dα u, Dα v)

(u, v)m =
0≤|α|≤m

trong đó

(u, v) =

u (x) v (x) dx
Ω

là tích vô hướng trong L2 (Ω).
Định lý 1.11. (Chuẩn tương đương) Cho Ω là tập mở trong Rn bị chặn

theo ít nhất một hướng của không gian. Tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mọi
v ∈ H01 (Ω)
1
2
|Dv|2 dx ≤ v



c v

H01 (Ω)

≤ v

1

:= 

H01 (Ω)

(1.1)

Ω

Bất đẳng thức (1.1) nói lên rằng các chuẩn ·
trong H10 (Ω).

H01 (Ω)

và .

1

là tương đương

b. Không gian đối ngẫu H −1

Trong khi khảo sát nghiệm của nhiều bài toán, như bài toán biên cho
phương trình elliptic chẳng hạn, ta sẽ cần đến không gian đối ngẫu của không
gian Hilbert H10 (Ω) .
23


Định nghĩa 1.13. Không gian đối ngẫu của không gian hàm H10 (Ω)được ký
hiệu là H −1 (Ω) .
Nói cách khác f thuộc H −1 (Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị
chặn trên H10 (Ω).
Tác động đối ngẫu giữa hai phần tử trong không gian đối ngẫu H10 (Ω) và
H −1 (Ω) được ký hiệu , .
Định nghĩa 1.14. Nếu f ∈ H −1 (Ω), ta định nghĩa chuẩn

f

H −1 (Ω)

f, u /u ∈ H01 (Ω) , u

= sup

H01 (Ω)

≤1

Định lý 1.12. (Đặc trưng của H −1 (Ω) ) Với mỗi hàm f ∈ H −1 (Ω), tồn
tại các hàm f 0 , f 1 , . . . , f n ∈ L2 (Ω) sao cho ta có với bất kỳ hàm v ∈ H01 (Ω):
n
0

f, u =

f i vxi

f v+

dx

(1.2)

i=1

Ω

Hơn nữa, tồn tại hàm u ∈ H01 (Ω) sao cho

f

H −1 (Ω)

=

f,

u
u

= u

H01 (Ω)
n

= min

f

i 2

H01 (Ω)
1
2

dx

/f thỏa ((1.2)) với f 0 , f 1 , . . . , f n ∈ L2 (Ω)

Ω i=0

(1.3)
Một hàm trong không gian đối ngẫu f ∈ H −1 (Ω) có thể được biểu diễn
bởi ;

n
0

fxi i

f =f −
i=1

trong đó các hàm f 0 , f 1 , . . . , f n ∈ L2 (Ω) như trong biểu diễn (1.2).

1.2. Đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.15.
Xét khơng gian xác suất (Ω, D, P ), trong đó D là δ− đại số trên Ω và hàm
xác suất P : D → [0, 1]. Ánh xạ X : Ω → R được gọi là một đại lượng ngẫu
nhiên hay biến ngẫu nhiên.
24


Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến thiên nhận giá trị số phụ thuộc vào
kết quả của phép thử ngẫu nhiên (một quy tắc đặt tương ứng mỗi kết quả của
phép thử với một số thực) và có thể nhận biết xác suất để X nhận giá trị đó.
Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu là X, Y, Z hoặc X1 , X2 , . . . , Xn ;
Y1 , Y2 , . . . , Ym , . . .; các giá trị có thể có của chúng được ký hiệu là x1 , x2 , . . . , xn ;
y1 , y2 , . . . , ym , . . ..
Chúng ta phân biệt giữa hai loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục.
Đại lượng ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là tập giá
trị rời rạc (hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, nghĩa là có lượng số khơng q tập
số tự nhiên ). Đại lượng ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của
nó lấp đầy một khoảng trên trục số.

1.2.1. Kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên
a. Kỳ vọng

Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X , ký hiệu E (X) là tổng các tích giữa
các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng:
n

E (X) =

xi pi vipi = P (X = xi )

(1.4)

i=1

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f (x) thì kỳ
vọng E (X) được xác định bởi:
∞

E (X) =

xf (x) dx

(1.5)

−∞

Vậy: kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá
trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên, tức là E (X) ≈ x . Nó phản ánh giá trị
trung tâm của phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

Kỳ vọng có điều kiện của X khi sự kiện A đã cho là một số thực dương
và được xác định bởi công thức:
n

E (X/A) =

xi P (X = xi /A)

(1.6)

i=1

b. Phương sai

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng là E (X) . Khi đó, ta gọi phương
sai của X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X và E (X) , ký hiệu
25