Cơ học kết cấu (dầm): Xoắn dầm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.23 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 3

XOẮN DẦM

1. Xoắn trục tròn

Xoắn tự do dầm tiết diện tròn chịu tác động momen xoắn MT, chúng ta sẽ
xem xét tại hình 1. Để dễ xem xét, có thể cắt một đoạn dầm ngắn, chiều dài đoạn Δx,
và tại mặt cắt dầm có thể tiến hành xem xét ứng suất trên một vành khuyên, cách tâm
bán kính r.

γ r Mt

x
Mt

γ r

x
R
φ

dφ

Hình 1

Dưới tác động momen xoắn MT phân đoạn dầm xoắn và biến dạng. Có thể
thấy rằng γ - biến dạng do cắt (shear strain) tính bằng cơng thức:

dx
d
r
x
r

x

φ
φ

γ =

Δ
Δ
=

→

Δlim0 , trong đó dφ - góc xoắn tại mặt cắt đang khảo sát.
Mặt khác nếu ký hiệu

dx
dφ

θ = có thể viết γ =rθ . Biết rằng biến dạng εxθ =

½ γ, do vậy τxθ = 2Gεxθ. Ứng suất cắt do xoắn (shear stress) tính từ định luật Hooke

sẽ là:

τ = Grθ (3.1)

Nếu biểu diễn momen xoắn tại mặt cắt bằng biểu thức Mt = có thể
viết M

∫

AτrdA
t =

∫

. Biểu thức chính là momen quán tính độc cực. Từ đó:

Ar dA

Gθ 2

∫

Ar dA

Mt = GJpθ hay laø t
GJ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Góc xoắn tại mặt cắt tính theo biểu thức =

∫

L
p
t

GJ
dx
M

φ . Nếu Mt = const , khi

đó L

GJ
L
M

p
T

. θ

φ = = , trong đó GJp mang tên gọi độ cứng chịu xoắn (torsional rigidity).
Cơng thức tính ứng suất tiếp tuyến do xoắn Gθr giờ có thể viết:

)
/
(J r

M
J

r
M

p
t

p

t =

τ (3.2)

Biểu thức nằm tại mẫu số Jp/r mang tên gọi mô đun chống xoắn (polar section

modulus), ký hiệu Wp hoặc Zp. Công thức (3.2) thường được viết τ =MT /Zp . Điều

có thể thấy từ biểu thức này, ứng suất τ khơng phụ thuộc vào tính chất vật liệu, độ lớn
của nó phụ thuộc vào bán kính cách tâm. Nếu tách một thành phần thuộc trục dx.rdφ,
dày dr, cách tâm r để xem xét, có thể thấy rõ trạng thái ứng suất trong trục, hình 2.

Mt x

τ

τ

τ

C
D

A
B

C
D

A C

B D

Hình 2

τ

σ

1

σ

=-

τ

=

τ

Trường hợp này, hình 3, σx = σy = 0
ứng suất chính được xác định theo cách sau:

2
2

2
,
1

2 τ

σ
σ
σ

σ ⎟⎟ +

⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛ −
±

= x y x y ,

từ đó nhận được σ1 = τ và σ2 = -τ .
Hình 3

Momen qn tính mặt cắt trục hình vành khun, đường kính ngồi D, đường
kính trong d tính bằng cơng thức ⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

−
= 3 1 44

32 D

d
D

Jp π , với trục đặc

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Momen chống xoắn trục trịn đường kính D: 3
3

2
,
0

16 D

D

Zp =π ≅ , mặt cắt hình

vành khuyên ⎟⎟

⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

−
≅

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛

−

= 3 44

4
4
3

1
2
,
0
1

16 D

d
D

D
d
D

Zp π .

Ví dụ 1: Trục truyền momen quay MT = 10 kN.m. Chọn đường kính trục đủ bền
chịu xoắn, biết rằng ứng suất cắt giới hạn [τ] = 60MPa.

Từ điều kiện đảm bảo độ lớn mô đun chống xoắn

[ ]

167cm

M

Z T

p = τ = có thể

tính: 3 3

835
2
,
0
167

cm

D = = . Đường kính trục ít nhất phải bằng D=3 835 =9,43cm.

Ví dụ 2: Trục thép đường kính D = 8cm dùng truyền động cho động cơ điện.
Xác định công suất lớn nhất trục có thể truyền. Biết rằng G = 76GPa, [τ] = 145MPa,
vòng quay động cơ N = 1200v/ph.

Momen quay cho phép tính từ biểu thức :

[ ]

(

)

Nm
R

J

Tcr p 14580

2
/
4
10
.

145 2 2

=
×

= τ π , trong đó R = D/2 = 4cm.

Công của momen xoắn tính cho một vòng quay bằng W = 2πMT. Công suất
tính bằng công của momen MT trong một phút sẽ là:

P = 2πN.Tcr

Thay N = 1200v/ph, Tcr = 14580Nm sẽ nhận được:

P = 1832.103 Nm/s hay laø 1832kW.

2. Xoắn dầm mặt cắt bất kỳ: xoắn Saint Venant

Xoắn dầm trụ, mặt cắt hình dạng bất kỳ được St. Venant1 giải từ năm1855 sẽ 
được nhắc lại trong phần này. Hãy ký hiệu diện tích mặt cắt dầm A, chiều dài dầm L.
Dầm ngàm chặt một đầu, bị tác động momen xoắn Mt tại đầu tự do. Giả thuyết được
đưa ra đầu tiên là dầm bị xoắn như vật cứng chịu xoắn, có nghĩa hình dạng các mặt
cắt ngang khơng thay đổi sau khi xoắn. Tuy nhiên khác với xoắn trụ tròn, các mặt cắt
ngang phẳng trước khi bị xoắn sẽ bị vênh (tiếng Anh: warping) sau xoắn. Dịch
chuyển theo trục Ox của các điểm trong mặt phẳng, trừ tiết diện hình trịn, khơng đều
nhau. Phương trình chuyển vị được hiểu như sau, hình 4.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

z
y
O
P
d w

d v
θdx
P '
Q
Hình 4
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
=
=
y
dx
dw
z
dx
d
z
y
u
u
.
.
v
)
,
(

θ (a)

cịn đạo hàm của chúng có dạng:

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
∂
∂
−
=
∂
∂
y
x
w
z
x
θ
θ
v
(b)
Từ quan hệ biến dạng-chuyển vị có thể thấy rằng:

;
0
v
;
0 =
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
z
w
y
x
u
z
y

x ε ε

ε (c)

Từ giả thuyết các mặt cắt xoay song không thay đổi hình dạng cho phép viết:

0
v
2
1 =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
z
y
w
yz

γ (d)

Trong khi đó biến dạng góc γxy, γxz được hiểu theo cách sau đây:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛

−
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= z
y
u
x
y
u
xy θ
γ
2
1
v
2
1
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
= y
z
u
x
z
u
xz θ
γ
2
1
w
2

1 (e)

Trong mặt cắt bất kỳ các thành phần ứng suất suy từ quan hệ ứng suất-biến
dạng sẽ là: σx = σy = σz = τyz = 0. Chỉ có hai ứng suất khác 0 sau đây:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ phương trình cân bằng nêu tại “Lý thuyết đàn hồi” , với trường hợp σx = 0
có thể viết được phương trình:

0
=
∂
∂
+
∂
∂
z
y
xz
xy τ
τ
(g)
Bài tốn xoắn nhằm xác định hai ứng suất khác 0, liên tục trong y và z, hiểu
theo cách của St Venant được xem xét theo hai đường khác nhau.

Bài toán đầu tiên sử dụng hàm ứng suất trong phân tích ứng suất, biến dạng.
Bài toán thứ hai nêu mối quan hệ hàm vênh, miêu tả chuyển vị dọc trục Ox các điểm
vật chất tại mặt cắt ngang dầm với các đại lượng liên quan ứng suất, biến dạng dầm.

2.1 Sử dụng hàm ứng suất ψ(y,z).

Hàm ứng suất ψ(y,z) được hiểu theo nghĩa sau:τxy ≡ (∂ψ/∂z); τzx ≡ (-∂ψ/∂y).
Hàm Prandtl ψ(y,z) phải thỏa mãn các điều kiện ghi tại (f), hay là:

⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
∂
∂
=
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂

=
∂
∂
y
z
u
G
z
z
y
u
G
z
θ
ψ
θ
ψ
(h)
vaø
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜

⎝
⎛
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
=
∂
∂
θ
ψ
θ
ψ
z
y
u
G

z
z
y
u
G
z
2
2
2
2
2
2
(h’)

Cọng hai phương trình cuối này có thể nhận được:

⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
+

−
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
u
y
z
u
G
G
z
y
2
2
2
2
2
2
2 θ
ψ
ψ

Từ đó ψ ψ Gθ

z

y 2 2

2
2
2
−
=
∂
∂
+
∂

∂ hay là ψ θ , trong đó

G

2 =−

∇ 2 22 22

z
y ∂
∂
+
∂
∂
=

∇ .

Phương trình này có tên gọi phương trình Poisson. Trong biểu thức (-2Gθ), θ
là góc xoắn đơn vị (unit angle of twist), G- mođun đàn hồi xoắn.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

σ = N
A

M y
I

M z
I

B
I
z

z
y
y

+ + + .ω

ω (j)

Ba thành phần đầu của vế phải mang ý nghĩa của ứng suất cho dầm đặc, riêng
thành phần cuối vế phải có ý nghĩa khác. Đại lượng mới B, có tên gọi momen ngẫu
lực. Thuật ngữ chuyên ngành gọi bằng tên bi-momen (lưỡng momen), và ký hiệu bằng
chữ cái B, ký tự mở đầu tên gọi này. Thứ nguyên của bi-momen là L2F, ví dụ cm2kG

trong hệ kỹ thuật, N. m2 trong hệ thống SI. Khác với các thành phần nội lực khác mà 
chúng ta đã quen từ phương trình cân bằng khi cắt một đoạn dầm dx để xem xét,
momen B không tham gia vào thành phần lực trong hệ thống đó. Momen B được xem
xét ngồi khn khổ lý thuyết “strip theory”. B hình thành do có sự thay đổi phân bố
ứng lực khi xoắn ràng buộc, hay cịn gọi xoắn gị ép, làm méo mó khung thành mỏng,
phụ thuộc vào diện tích rẽ quạt ω và momen quán tính rẽ quạt Iωcủa mặt cắt đang

xét. Momen B tự cân bằng trong mỗi mặt cắt.
Góc xoắn đơn vị α phụ thuộc khơng chỉ
momen xoắn mà còn vào momen B.

Với ví dụ cụ thể áp dụng cho dầm thép
hình, mặt cắt chữ I, chịu tác động của bốn lực
bằng nhau P như thể hiện trên hình, momen B
được tính như sau: Hình 16

B = P

i=

∑

1
4

iωi (k)

hoặc dưới dạng khai triển công thức cuối:
B = 4P.b h.

4 = P.b.h (l)

Thứ nguyên của momen, như đã giải thích (Lực x độ dài) x độ dài.

Nếu áp dụng cơng thức tính B trên đây vào việc xét góc xoắn đơn vị cho dầm
chữ I vừa nêu, dài l, chúng ta có thể tính như sau.

Taïi x = 0: d
dx

α = - Pbh

EIω (m)

trong khi α = C1sinh kx + C2cosh kx, có thể xác định C2 = 0 và C1 =
-α

ω.

EI

Pbh , từ 
đó: α =

ω.

EI

Pbh [tanh

klcoshkl -sinhkx] (o)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

α =
α

ω.

EI

Pbh . e-kx (p)

Ứng suất cắt do xoắn vênh có dạng:
τ. t =

ω
ω

I
S
B
I

S
N
I

S
N

z
z
z
y

y

y * '

−

+ (q)

</div>

Cơ học kết cấu (dầm): Xoắn dầm

<b>XOẮN DẦM </b>

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

τ

τ

τ

τ

<sub>τ</sub>

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

=-

τ

=

τ

<sub>[ ]</sub>

[ ]

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

∑

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về