Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 13: Biến đổi ảnh rời rạc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (225.82 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chương 13

BI

ẾN

ĐỔI

ẢNH

R

ỜI

R

ẠC

13.1. GIỚI THIỆU

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đã giới thiệu trong chương 10, là một trong những
phép biến đổi tuyến tính rời rạc hữu ích trong xử lý ảnh số. Trong chương này, chúng
ta sẽ nghiên cứu chủ đề tổng quát hơn, trình bày một vài biến đổi khác và một vài
tính chất cũng như các ứng dụng của chúng.

Ảnh mà chúng ta quan tâm thường ở dạng liên tục và cũng phải được cảm nhận ở
dạng này. Bởi vì chúng ta bắt buộc phải làm việc với sự biểu diễn rời rạc của ảnh liên
tục, nên nhiều q trình xử lý ảnh số địi hỏi chúng ta tuân thủ những nguyên tắc lấy
mẫu và nội suy trong khi xử lý dữ liệu rời rạc. Tuy nhiên, một vài ứng dụng cho phép
chúng ta xem xét ảnh số như một thực thể rời rạc mà không đề cập chi tiết đến lịch
sử nguồn gốc của ảnh hay đối với ảnh liên tục cơ bản.

Một ứng dụng điển hình là nén ảnh. Ởđây, người ta muốn mã hoá một ảnh thành
một dạng dữ liệu nhỏ gọn hơn, mà không làm mất mát hay chỉ mất mát thơng tin
khơng cần thiết. Bình thường, vì lẽ quang học, lấy mẫu và nội suy đối với sự số hố
và hiển thịảnh là khơng liên quan trực tiếp và ảnh số có thể xem xét đơn thuần như
một tệp dữ liệu.

Biểu diễn một ảnh là một biểu hiện đặc biệt của dữ liệu ảnh. Đây là một sự thể
hiện dữ liệu ảnh theo một dạng hay một khuôn dạng đặc biệt. Một ảnh số có thểđược
biểu diễn như một ma trận hay như một vec tơ hàng.

13.2. BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

13.2.1. Biến đổi tuyến tính rời rạc một chiều

Định nghĩa. Nếu x là vec tơN  1 và T là ma trận N  N, thì

Tx
y
x

t
y

N

j
j
j
i

i 








hay

1

, (1)

trong đói = 0, ..., N-1 là biến đổi Fourier của vec tơx. Ma trận T cũng được gọi là
ma trận hạt nhân (kernel matrix) của phép biến đổi. Lưu ý rằng cách sử dụng từ hạt 
nhân khác với cách sử dụng thuật ngữhạt nhân tích chậpđã đề cập trong phần 9.3.4.

Kết quả của phép biến đổi làmột vec tơy, N  1 khác. Phép biến đổi là tuyến tính
bởi vì y được thực hiện bằng một phép tổng bậc nhất của các phần tử đầu vào. Mỗi
phần tửyi là tích của vec tơđầu vào x với hàng thứi của ma trận T.

Ví dụ. Một ví dụđơn giản của phép biến đổi tuyến tính là phép quay một vec tơ
trong hệ thống toạđộ hai chiều. (Xem chương 8) Ởđây,

 














 










2
1

cos
sin

sin
cos

x
x

y  




(2)
Quay vec tơx quanh gốc toạđộ một góc .

Phép nghịch đảo. Sau phép biến đổi, vec tơ ban đầu có thể được khơi phục bằng
phép biến đổi ngược.

x
T

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chứng tỏ rằng T không duy nhất. Như trên, mỗi phần tử của x lại là một tích, đây
là tích giữa y và một hàng của T-1. Với ví dụ trước đây, thì điều này chẳng khác gì
một phép quay cùng một góc theo chiều ngược lại.

13.2.1.1. Biến đổi đơn vị

Đối với vec tơ chiều dài N đã cho, có rất nhiều ma trận biến đổi có thể được sử
dụng. Tuy nhiên, những ma trận hữu ích hơn liên quan đến một lớp các thuộc tính
nào đó.

Nếu T là ma trận đơn vị, thì

I
T
T
TT t  t 
T vµ * *

T-1 *t (4)

Trong đó * ký hiệu liên hợp phức cho mỗi phần tử của T và t ký hiệu phép chuyển
vị. Nếu T là ma trận đơn vị và chỉ có các thành phần thực thì nó là ma trận trực giao,
và được biểu diễn như sau

I
T
T
TTt  t 
T vµ

T-1 t (5)

Chú ý rằng phần tửi, j của TTt chính là tích các hàng i và j của T. Biểu thức (5)
chứng tỏ rằng các phần tửđều là 0, trừ phần tửi = j, trong trường hợp nó là đơn vị.
Vì thế, các hàng của T là tập các vec tơ trực giao.

Ví dụ: DFT một chiều. DFT là một ví dụ về biến đổi đơn vị, vì

hay

















2
exp

1 N

i
i
k

N
i
k
j
f

N

F  F = Wf (6)

Trong đó W là ma trận đơn vị (nhưng không trực giao) với các phần tử (phức)












N
i
k
j

N i

k

i 

, 1 exp 2 (7)

Nội suy. Bình thường, ma trận biến đổi T không đơn nhất (chẳng hạn, rank(T) = 
N), để có thểđảo ngược biến đổi, như biểu thức (3). Các hàng của T tạo thành một cơ
sở trực giao (một tập các vec tơ cơ sở trực giao hay các vec tơđơn vị) đối với không
gian vec tơN chiều của tất cả các vec tơN  1. Điều này có nghĩa là một chuỗi N  1
bất kỳ có thể xem như biểu diễn một vec tơ ban đầu thành một điểm trong không
gian N chiều. Hơn nữa, một biến đổi dạng biểu thức (1) bất kỳ có thể xem như là một
biến đổi toạđộ, quay vec tơ trong không gian N chiều mà không thay đổi độ dài của
vec tơ.

Theo giả thiết thì một biến đổi tuyến tính đơn vị sinh ra vec tơ y, vec tơN hệ số

biến đổi, mỗi một hệ sốđược tính như là một tích của vec tơ vào x với một hàng của
ma trận biến đổi T. Biến đổi ngược được tính tốn tương tự, giống như một tập các
tích thành phần của vec tơ hệ số biến đổi với các hàng của ma trận biến đổi ngược.

Biến đổi tiến nói chung được coi là một q trình phân tích, việc phá vỡ vec tơ tín
hiệu ra thành các thành phần cơ bản. Các thành phần cơ bản này thường thấy ở dạng
các vec tơ cơ sở. Các hệ số biến đổi chỉ rõ có thể tìm thấy bao nhiêu vec tơ trong mỗi
thành phần được thể hiện trong tập những vec tơ riêng biệt được phân tích.

Biến đổi ngược, nói cách khác, thường được coi là một quá trình tổng hợp
(synthesis), tập hợp thành vec tơ ban đầu từ các thành phần của nó theo phép tổng. Ở
đây, các hệ số biến đổi chỉ rõ khối lượng chính xác mỗi vec tơ cơ sở phải được thêm
vào tập hợp để tái tạo lại vec tơđầu vào đầy đủ và chính xác.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

vec tơ. Vì thế, số bậc tự do trước và sau biến đổi là như nhau và q trình cũng
khơng tạo ra hay phá huỷ thông tin.

Một vec tơđược biến đổi là một sự biểu diễn của vec tơ ban đầu. Vì nó chứa cùng
một số lượng các phân tử (và vì thế có cùng số bậc tự do) như vec tơ gốc và vì vec tơ
gốc có thể khơi phục từ nó mà khơng sai sót, nên nó có thểđược coi là một dạng lựa
chọn của việc biểu diễn vec tơ ban đầu. Chương này xem xét một vài phương pháp
lựa chọn cho việc biểu diễn tín hiệu và ảnh số, và lợi ích của mối phương pháp.
13.2.2. Biến đổi tuyến tính rời rạc hai chiều

Biến đổi tuyến tính hai chiều nói chung là biến đổi ma trận F, N  N thành ma trận
được biến đổi G (cũng là N  N) là



i k m n



F

G

N

i
N

k
k
i

m,n , , ,
1

0
1

0
,

 






 (8)

trong đó i, k, m và n là các biến rời rạc nằmg trong khoảng từ 0 đến N - 1 và
(i,k,m,n) là hàm hạt nhân của phép biến đổi.

Có thể xem (i,k,m,n) như là một ma trận khối N2  N2 có N hàng, mỗi hàng có N
khối, mỗi khối lại là một ma trận N  N. Các khối được đánh chỉ số m, n và những
phần tử của từng ma trận con N  Nđược đánh chỉ sối, k (Xem hình 13-1).

Nếu có thể tách (i,k,m,n) ra thành tích các hàm thành phần hàng và cột-tức là,
nếu



i,k,m,n



Tr



i,m

 

Tc k,n



 (9)

Thì biến đổi được gọi là tách được (separable). Nghĩa là nó có thể tiến hành trong
hai bước-một phép toán theo hàng tiếp theo là một phép toán theo cột (hay ngược
lại):



k n



T



i m



T
F

G r

N

i
N

k
k
i
n

m , ,

0
1

0
,

 













 (10)

Hơn nữa, nếu hai hàm thành phần giống nhau thì biến đổi cũng được gọi là đối 
xứng (khơng được nhầm lẫn vpí ma trận đối xứng). Và



i,k,m,n



T



i,m

 

T k,n



 (11)

Và biểu thức (8) có thể viết lại như sau



i m



F T



k n



G TFT

T
G

N

k
c
k
i
N

i

n

m  


















hay

1

0
,
1

, , , (12)

Trong đóT là ma trận đơn vị, gọi là ma trận hạt nhân của biến đổi. Chúng ta sẽ sử
dụng ký hiệu cho toàn bộ chương này, để biểu thị cho biến đổi đơn vịđối xứng, tách
được và tổng quát.

Biến đổi ngược là

t
t

GT
T
GT
T

F  1 1  * * (13)

và nó khơi phục lại F một cách chính xác.

Ví dụ: DFT hai chiều. DFT hai chiều là biến đổi đơn vị dc và tách được. Trong
trường hợp này, T trong biểu thức (12) trở thành ma trận W do biểu thức (7).

DFT ngược sử dụng W-1, là chuyển vị liên hợp của W. Cặp biến đổi Fourier rời
rạc được biểu diễn như sau

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

HÌNH 13-1

Hình 13-1 Ma trận hạt nhân
13.2.2.1. Phép biến đổi trực giao

Không giống như biến đổi Fourier, nhiều biến đổi chỉ có các thành phần thực
trong ma trận hạt nhân T của chúng. Một ma trận đơn vị với các thành phần thực là
trực giao và phép biến đổi ngược trở nên đơn giản là

t
t

GT
T

F  (15)

Nếu T là ma trận đối xứng, như thường gặp, thì biến đổi xi và ngược đều như
nhau, để cho

TGT
F
TFT

G vµ  (16)

13.3. HÀM VÀ ẢNH CƠ SỞ

Khác nhau cơ bản giữa hai biến đổi đơn vị bất kỳ là sự lựa chọn các hàm cơ sở,
tức là, các hàng của ma trận T. Ở đây, chúng ta sẽ xem xét các hàm cơ sở chi tiết
hơn.

13.3.1. Hàm cơ sở

Các hàng của ma trận hạt nhân tạo thành một tập các vec tơ cơ sởđối với không
gian vec tơN chiều. Các hàng là trực chuẩn; tức là

k
j
N

i

i
k
i
j
t

T
T
I

TT ,

,
,
*

* 








hay

(17)

Trong đój,k là del ta Kronecker.

Trong khi một tập các vec tơ trực chuẩn bất kỳ sẽ có lợi cho biến đổi tuyến tính,
bình thường thì tồn bộ tập xuất phát từ cùng một dạng hàm cơ sở. Ví dụ, biến đổi
Fourier sử dụng thành phần mũ phức như hàm cơ sở nguyên mẫu. Các hàm cơ sở
riêng lẻ chỉ khác nhau về tần số.

Một vec tơ không gian bất kỳ có thể được biểu diễn như tổng trọng số các vec tơ
đơn vị cơ sở. Một biến đổi đơn vị một chiều (N  1) tương ứng với phép quay vec tơ
trong không gian vec tơN chiều. Hơn nữa, vì một ma trận ảnh N  N có thể sắp xếp
để tạo thành vec tơ N2  1, một biến đổi hai chiều, đối xứng, tách được bất kỳ tương
ứng với một phép quay vec tơ trong không gian N2 chiều.

13.3.2. Ảnh cơ sở

Biến đổi hai chiều ngược có thểđược coi như quá trình tái tạo ảnh bằng cách cộng
tập các ảnh cơ sở thích hợp. Mỗi phần tử trong ma trận biến đổi G là một hệ số, được
nhân với ảnh cơ sở tương ứng trong phép cộng.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



i pj q



q
p

G   , 

 (18)

Trong đói và j là chỉ số hàng và cột, p và q là các số nguyên xác định vị trí phần
tử khác 0. Biến đổi ngược [biểu thức (13)] là



i m



T



k n



T



p m

 

T q n



T
F

N

i

N

k

q
k
p

i
n

m , , , ,

0
,

,  


















 (19)

Vì thế, đối với biến đổi đơn vị tách được, mỗi ảnh cơ sở là một tích hai hàng của
ma trận biến đổi.

Giống như đối với các tín hiệu một chiều, có thể coi các ảnh cơ sở như tập các
thành phần cơ sởđể phân tích một ảnh bất kỳ. Chúng cũng tạo nên những khối để tái
tạo một ảnh bất kỳ. Biến đổi xi thực hiện sự phân tích bằng cách xác định các hệ
số. Biến đổi ngược thực hiện sự khôi phục lại bằng cách cộng các ảnh cơ sở,căn cứ
trên các hệ sốđó.

Bởi vì tồn tại rất nhiều tập ảnh cơ sở, cũng như tồn tại rất nhiều phép biến đổi. Vì
vậy, một tập các ảnh cơ sởđặc trưng chỉ quan trọng trong ngữ cảnh của một biến đổi
đặc biệt.

13.4. BIẾN ĐỔI ĐIỀU HOÀ

Với những nguyên nhân đã đề cập đến trong chương 10, biến đổi Fourier đã nổi
lên như một biến đổi đơn quan trọng nhất trong xử lý ảnh số. Tuy nhiên, nó có vài
quan hệ cũng sử dụng các hàm cơ sởđiều hoà. Chúng sẽđược đưa ra trong phần này,
sau một bài thảo luận ngắn gọn về biến đổi Fourier.

13.4.1. Biến đổi Fourier rời rạc

Đã được giới thiệu trong chương 10, DFT lại được xem xét ởđây, trong nội dung
các biến đổi đơn vị tách biệt, cho phép chúng ta nêu ra những so sánh giữa nó và

những biến đổi khác của cùng một kiểu.

Ma trận hạt nhân đối với DFT (biểu thức (6) và (7)) là




















1
,
1
0

,
1

1
,
0
0

,
0

N
N
N

N

w
w








(20)

Trong đó

N
ik
j
k

i e

N

w,  1  2 (21)

Bởi vì tính tuần hồn của thành phần mũ phức, W bằng 1.
Các DFT xuôi và ngược một chiều là

F = Wf và f = W*t F (22)
Trong đóf và F là các vec tơ tín hiệu và phổ. Nếu f là thực, thì nói chung, F sẽ có
các thành phần phức. Chỉ nếu fđối xứng hồn tồn thì F mới là thực.

13.4.1.1. Vec tơ phổ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

còn lại N/2 - 1 phần tử sau thuộc nửa bên trái. Tần số tương ứng với phần tử thứi của
F là


























1
1

2
/
2

2
/
0

N
i
N

f
N

i
N

N
i
f

N
i
s

N
N

i

(23)

Trong đófN là tần số Nyquist (tần số cơ bản, bằng nửa tần số lấy mẫu). Nếu N/2 - 
1 phần tử sau của f tạo thành một ảnh sao chép lại của các phần tử từ 1 đến N/2 - 1,
thì F là chẵn và sẽ có giá trị thực.

HÌNH 13-2

Hình 13-2 Vị trí các thành phần tần số khác nhau trong vec tơ phổ

Ta có thể quay các phần tử của Fđi một lượng N/2, sử dụng phép toán dịch phải
(hay trái) vòng tròn, để tạo ra một vec tơ thích hợp cho việc vẽ phổ. Trong trường
hợp đó, phần tử tần số 0 được định vị tại N/2, và tần số tăng theo cả hai chiều. Phần
tử tần số Nyquist chỉ xuất hiện tại F0.

Lý thuyết dịch của biến đổi Fourier (Xem phần 10.2.3) cung cấp một cách khác
cũng đạt đến kết quả như vậy. Việc áp dụng lý thuyết dịch trong miền tần số cho ta

 





f

 

x



j x

      

f x f x

N
u
x
j
u

u
F
x
f
u

F exp 2 0 exp 1 x

0    











   (24)

Trong đó lượng dịch là u0 = N/2. Nghĩa là chúng ta chỉđổi dấu của các phần tử
đánh số lẻ của f(x) trước khi thực hiện DFT.

13.4.1.2. DFT hai chiều

Các DFT hai chiều xuôi và ngược là

G = WFW và F = W*tGW*t (25)
Trong đóF là ảnh dạng ma trận và G là ma trận phổ của nó.

Hình 13-3 cho thấy vị trí mà các thành phần tần số không gian khác nhau được
định vị trong ma trận phổ G. sự sắp xếp lại bốn góc phần tư, cho trong hình, khiến
cho việc hiển thị phổ thuận tiện hơn. Theo cách đó, tần số 0 nằm tại tâm của ma trận,

và từđây tần số tăng dần ra. Biểu thức (24) được tổng quát hoá cho trường hợp hai
chiều thành



u v



f



x y



F



u N v N



 

f



x y



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

13.4.2. Biến đổi cosin rời rạc

Biến đổi cosin rời rạc (Discrete Cosin Transform-DFT) hai chiều được định nghĩa
như sau





   



 












 



 





 

1
0
1
0 2

1
2
cos
2
1
2
cos
,
,
N
i
N
k
c
N
n
k
N
m
i
k
i
g
n
m
n
m

G     (27)

Và biến đổi ngược của nó là

 

 

    














 



 





 

1
0
1
0 2
1
2
cos
2
1
2
cos
,

,
N
m
N
n
c
N
n
k
N
m
i
n
m
G
n
m
k
i

g     (28)

Trong đó các hệ số là

 

m N

N
m

N   

 1 2 1

0 vµ  víi

 (29)

Giống như DFT, DCT có thể được biểu diễn như một phép toán ma trận đơn vi
dưới dạng

CgC

Gc  (30)

Trong đó ma trận hạt nhân có các phần tử

 










 

N
m
i
m
Ci,m
1
1

2


 cos (31)

Cũng giống như DFT, DCT có thểđược tính bằng một thuật giải nhanh. Khác với
DFT, DCT là thực. Nó được sử dụng rộng rãi trong nén ảnh.

13.4.3. Biến đổi sin

Jain đã đưa ra định nghĩa biến đổi sin rời rạc như sau







 
















 



  





  


1

0
1
0 2
1
1
sin
2
1
1
sin
,
1
2
,
N
i
N
k
s
N
n
k
N
m
i
k
i
g
N
n

m

G   (32)

Và

 

 




















 



  





  


1
0
1
0 2
1
1
sin
2

1
1
sin
,
1
2
,
N
m
N
n
s
N
n
k
N
m
i
n
m
G
N
k
i

g   (33)

DST có các phần tử ma trận hạt nhân



















1
1
1
sin
1
2
,
N
k
i
N

Tik  (34)

Không giống các biến đổi điều hồ khác, DST được tính tốn tiện lợi nhất với N = 
2p, trong đóp là số nguyên. Nó có thể được thực hiện như phần ảo của một FFT (2N 
+ 2) điểm có cấu trúc đặc biệt.

DSt có một thuật giải thực hiện nhanh và các tính chất hay dùng trong các bài
toán nén ảnh.

13.4.4. Biến đổi Hartley

</div>

Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 13: Biến đổi ảnh rời rạc

Chương 13

<sub> </sub>

BI

ẾN

ĐỔI

ẢNH

R

ỜI

R

ẠC

<b>13.1. GIỚI THIỆU </b>

<b>13.2. BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH </b>



 

 

 

 







 







 











 







 











<sub></sub>

<sub></sub>

HÌNH 13-1

<b>13.3. HÀM VÀ ẢNH CƠ SỞ </b>

<sub></sub>















 



<sub></sub>

<sub></sub>

<b>13.4. BIẾN ĐỔI ĐIỀU HOÀ </b>





HÌNH 13-2

 

 





 



      













 









   