Đề thi cao học Huế 2009 giải tích
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.11 MB, 6 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
a. Cho dãy số
thực
. Chứng minh rằng nếu chuỗi
hội tụ tại
thì nó sẽ hội tụ tại mọi
.
b. Cho chuỗi hàm
Khảo sát sự hội tụ tuyệt đ
ối và đều của chuỗi hàm
.
Tính tổng của chuỗi hàm
.
Câu 2.
Cho
là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa
a. Chứng minh rằng
là một mêtric trên .
b. Chứng minh rằng
là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi
cũng là mộ
t không gian mêtric đầy đủ.
Câu 3.
Cho là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và
là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy
hội tụ về
thì d
ãy
bị chặn. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Câu 4.
Xét không gian Hilbert phức
gồm tất cả các dãy số phức
sao cho
với tích vô hướng
.
Giả sử
là một dãy số phức bị chặn. Cho
xác định bởi
a. Chứng minh rằng là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của .
b. Chứng minh rằng nếu
là dãy số thực thì là một toán tử tự liên hiệp.
-----------------------------------------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………
KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.
a. Chứng minh bất đẳng thức
2
+ 2
< ln
+ 1
,
+
.
b. Cho > 1, tìm tất cả các số thực để chuỗi sau hội tụ
1
=1
.
c. Cho hàm số xác định trên hình vuông =
0; 1
0; 1
,
=
1
nếu
1
nếu >.
Khảo sát tính khả vi củ
a hàm tại các điểm trong của .
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên > 1, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất trong tập =
0; 1
0; 1
:
+
+ = 3
2
+
2
+ = 6.
Câu 3. Cho =
0;1
với chuẩn
= max
:
0; 1
.
Cho ánh xạ : xác định bởi
=
1
1
, ,
0; 1
.
Chứng minh là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm
.
Câu 4. Cho là một không gian Hilbert.
a. Giả sử
,
là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗ
i
=1
hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn).
b. Cho
là dãy hội tụ yếu về trong . Giả sử dãy
hội tụ về
trong . Chứng minh dãy
hội tụ
mạnh về .
-----------------------------------------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010
Câu 1. (4đ)
a. Xét hàm
= ln
1 +
2
+2
, 0. Ta có
=
+4
+1
+2
2
, > 0.
Do vậy
>
0
= 0 hay ln
1 +
>
2
+2
, > 0. (1đ)
b. Đặt
=
1 thì
> 0 và
= 1 +
. Theo trên ta có
2
+ 2
<
1
ln = ln
1 +
<
hay
2
+ 2
< ln <
(0,5)
Suy ra lim
= ln. Nên các chuỗi
1
=1
và
1
=1
cùng
h
ội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 1. (1đ)
c. Dễ thấy khả vi tại các điểm của mà < hay >. (0,5đ)
Để xét tính khả vi của tại các điểm
,
,
< 1, ta xét hàm
=
,
, khi đó
+
=
= 1 tại mọi
< 1. Suy
ra không khả vi tại các điểm
,
,
< 1. (1đ)
Câu 2. (2đ)
Xét không gian metric =
2
với khoảng cách xác định bởi
1
,
1
,
2
,
2
= max
1
2
,
1
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
là không gian metric đầy đủ. (0,5đ)
Xét hàm : xác định bởi
,
=
+
+
3
,
2
+
2
+ 2
6
,
,
.
1
,
1
,
2
,
2
ta có
1
,
1
,
2
,
2
=
= max
1
2
+
1
2
3
,
1
2
2
2
+
1
2
2
2
6
(0,5)
Chú ý
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
2
1
,
1
,
2
,
2
.
1
2
2
2
+
1
2
2
2
1
2
2
2
+
1
2
2
2
2
1
2
+
1
2
4
1
,
1
,
2
,
2
. (0,5)
Do đó
1
,
1
,
2
,
2
2
3
1
,
1
,
2
,
2
. Theo nguyên lý ánh xạ
co, có duy nhất
,
sao cho
,
=
,
, tức là hệ phương trình có
duy nhất nghiệm. (0,5đ)
Câu 3. (2đ)
Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)
,
0; 1
ta có
1
+
1
. Nên
.Vậy A liên tục và
1 (1đ)
Xét hàm
= 2 1,
0; 1
. Ta có
= 1 còn
= max
0;1
1 2
=1
Vậy
= 1. (0,5đ)
Câu 4. (2đ)
a. Đặt
=
=1
. Giả sử lim
=
0.
Khi đó với mọi ta có
lim
<
0
, >
lim
0
= 0. Vậy
0
. (0,5)
Ngược lại, giả sử
0
khi đó với mọi ta có
lim
<
, >
=<
0
, >.
Do đó dãy
<
, >
bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều
,.
Suy ra
2
=
2
=1
2
,. Vì vậy
2
=1
hội tụ nên
=1
hội tụ. (0,5đ)
b. Giả sử
. Ta có
2
=<
,
>=<
,
><,
> <
, > +
+<, > =
2
<,
> <
, > +
2
(0,5)
Theo giả thiết lim
=
nên lim
= 0. Vậy
lim
=. (0,5)
ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009
Câu 1. (4đ)
a. Ta có
Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi
a. Ta có
nên ta chỉ cần xét chuỗi trong
. Với bất kỳ
ta có
.
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi và hội tụ đều trên các khoảng
.
Do
khi nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng
b. Chú ý
Do đó
Vậy
Câu 2. (2đ)
a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ)
Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm
đơn điệu tăng trên
. (0,5đ)
b. (1đ)
cơ bản trong
cơ bản trong
(0,5đ)
cơ bản trong
cơ bản trong
(0,5đ)
Câu 3. (2đ) Giả sử không bị chặn trên mặt cầu đơn vị
khi đó tồn tại
trên dãy
mà
. Khi đó dãy
hội tụ về 0 nhưng
Trái giả thiết.
Câu 4. (2đ)
a. Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ)
