Giải bài toán cơ học kết cấu: Phương pháp phần tử hữu hạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.96 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

6.6 Biến dạng phẳng và ứng suất phẳng

Từ “Lý thuyết đàn hồi” chúng ta đã xem xét ứng suất và biến dạng vật thể đàn
hồi, trong đó có cả các bài tốn phẳng ở trạng thái biến dạng phẳng và trạng thái ứng
suất phẳng. Trong sơ đồ chung có thể trình bày các trạng thái đó nằm vào vị thế sau
đây:

Trạng thái biến dạng phẳng
trong mặt xOy.

εZ = 0

Lý thuyết cổ điển
u=u(x, y);
v= v(x, y);
w = 0;

εz = τxz = τyz = 0

Xoaén St Venant
U =-yφz

V = xφz

w = w(x, y)

εx = εy = εz = τxy= 0

Màng mỏng
u = u (x, y)
v = v (x, y)

τxz= τyz= σz = 0

Tấm chịu uốn
u = u.α(x, y)
v = v.α(x, y)
w = w (x, y)

σz = 0

Trạng thái ứng suất phẳng
trong mặt xOy.

σZ = 0
Vật thể 3D, trong hệ tọa

độ Đề các (x,y,z)

Ví dụ về trạng thái biến dạng phẳng giới thiệu tại hình 1. Trạng thái ứng suất
phẳng trong trường hợp màng mỏng và dầm giới thiệu tại hình 2.

Hình 1. Trạng thái biến dạng phẳng

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Tấm mỏng và vỏ mỏng xem xét trong trạng thái ứng suất phẳng như minh
họa tại hình 3.

Hình 3. Trạng thái ứng suất phẳng trong tấm và vỏ

Trong trường hợp dùng hệ tọa độ trụ chúng ta còn gặp bài tốn phẳng khi làm việc với
vật trịn xoay, hình 4.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trong bài toán giành cho trạng thái phẳng phương trình chuyển vị u(x,y) và
v(x,y) được viết dưới dạng chung: U= Pa

với U = u x y và a =
v x y

( , )
( , )
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
a
a
an
1
2
....
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪

Hàm chuyển vị được tính theo cách quen thuộc:U = [N] {δ }

với [N] - hàm hình dáng N(x,y), cịn chuyển vị các nút {δ } =

⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
n
n
u
u

v
v
M
1
1

Trường hợp biến dạng phẳng, vector biến dạng được viết như sau:

{ε} = =
ε
ε
γ
x
y
xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪

⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
x
v
y
u
y
v
x
u
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
y
y
x
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
0

= [B]{δ} (a)

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
v
u

Từ đó B =

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
]
[
]
[
]
[
0
0
]
[
N
x
N
y
N
y
N
x
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
(b)

Và vector ứng suất phẳng:

{σ} = σσ = [D] (c)

τ
x
y
xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
ε
ε
γ
ε
x
y
xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

⎫
⎬
⎪
⎭
⎪−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
{ 0}

Trong đó matrận cứng [D] được xác định cho mỗi loại vật liệu.
Trạng thái biến dạng phẳng

εx = ⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−

y
x

E νσ

ν
σ
ν

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

εx = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
x
y

E ν σ

ν
σ
ν

1
1 2

γxy =

G
1

τxy (c)

Phương trình thế năng:

W = ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤

−
+
+
−
)
(
1
2
2

1 2 2 2

2
y
x
xy
y
x

E σ σ ν τ νσ σ

ν (d)

[C] = 1+ν
E
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
2
0
0
0
1
0
1
ν
ν
ν

ν
(e)
[D] =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
+
2
2
1
0
0
0
1
0
1
)

2
1
)(
1
( ν ν ν
ν
ν
ν
ν

E (f)

Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất phẳng áp dụng cho các vật thể mỏng như tấm mỏng, ứng
suất tác động theo phương pháp tuyến lên một mặt của hệ tọa độ bằng 0, còn các ứng
suất khác phụ thuộc vào toạ độ điểm tác động, ví dụ:

σz = 0; τzx = τyz = 0. (g)

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất có dạng:
εx = 1 ( x 12 y)

x

E σ −ν σ ;

εy = 1 ( y 21 x)

y

E σ −ν σ ;

εz = - ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− y
y
x
E
Ex σ
ν
σ

ν13 23 ; (h)

vaø:

σx = ( )

1 12 21 21

y
x

x

E ε ν ε

ν +

−

σx = ( )

1 12 21 y 12 x

y
E
ε
ν
ε
ν
ν +
−

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Dưới dạng ma trận, các ma trận [C] và [D] dùng trong trạng thái ứng suất
phẳng chứa các thành phần khác nhau, tùy thuộc tính chất vật liệu:

[C] của vật liệu trực hướng:

[C] =
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
xy
y
x
yx
y
xy
x
G
E
E
E
E

1
0
0
0
1
0
1
ν
ν
(j)

với vật liệu đẳng hướng:
[C] =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
)
1
(
2

0
0
0
1
0
1
1
ν
ν
ν

E (k)

[D] cho vật liệu trực hướng:
[D] =
yx
xyν
ν
−
1
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
− )
1
(
0
0
0
0
yx
xy
xy
y
y
xy
x
yx
x
G
E
E
E
E
ν
ν
ν
ν
(l)
với vật liệu đẳng hướng:

[D] = E

1−ν2

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
2
1
0
0
0
1
0
1
ν
ν
ν
(m)

Hàm thế năng đơn vị:

W =

[

2 2 ( )

]

1 2 2 2 2

y
x
xy

y
x

E σ +σ + τ + ν τ −σ σ (o)

Ưùng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng tính theo công thức:

σ1,2 =

(

)

2 4 2

2
1

2 x y xy

y

x σ σ σ τ

+
+
±
+
;
σz = 0.

Trường hợp vật tròn xoay

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)= 
(1-xsi).*(1+eta);

dNr=dNr/8.;

%--- three dimensional case --- 
 [rowes,colD]=size(es);

rowex=size(ex,1);

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end

ef=[]; ir=0; ie=1; 
 for ied=1:rowes/ngp

JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]'; 
 indx=[1:3]';

fint=zeros(24,1); 
 for i=1:ngp

ir=ir+1;

detJ=det(JT(indx,:)); 
 if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') 
 end

JTinv=inv(JT(indx,:)); 
 dNx=JTinv*dNr(indx,:); 
 B(1,1:3:24-2)=dNx(1,:); 
 B(2,2:3:24-1)=dNx(2,:); 
 B(3,3:3:24) =dNx(3,:); 
 B(4,1:3:24-2)=dNx(2,:); 
 B(4,2:3:24-1)=dNx(1,:); 
 B(5,1:3:24-2)=dNx(3,:); 
 B(5,3:3:24) =dNx(1,:); 
 B(6,2:3:24-1)=dNx(3,:); 
 B(6,3:3:24) =dNx(2,:);

fint=fint+B'*es(ir,:)'*wp(i)*detJ; 
 indx=indx+3;

end

ef=[ef; fint']; 
 ie=ie+incie; 
 end

Ví dụ trình bày tiếp dưới đây là trích đoạn phép tính ứng suất trong tấm đỡ ách
trạm chứa dầu không bến, hoạt động tại vùng biển Việt nam. Chi tiết mang tên
gọi”tấm tam giác” trên hai trạm khác nhau đã hỏng sau thời gian khai thác chỉ mười
năm. Phân tích ứng suất trong tấm tam giác cho phép những người phân tích có cơ sở
xác định độ bền mỏi chi tiết. Điều có thể bổ sung cho phần này là, phương pháp PTHH
không chỉ cần cho nghiên cứu độ bền kết cấu mà còn cho nhiều lĩnh vực khác nữa.

Kết quả tính theo phần mêm SAP trích dẫn tại đây như tài liệu tham khảo.
Đơn vị dùng tại bảng tính này: lực tính theo kG, độ dài tính bằng cm.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

JOINT UX UY UZ RZ
49 0.000118 3.26E-05 -0.002111.000000
50 -0.001648 -3.14E-05 -0.002691.000000
51 -0.001933 -2.10E-05 -0.002194.000000
52 -0.000807 7.99E-05 -0.003042.000000
58 -0.001259 0.000108 -0.003435.000000
59 -0.002007 0.000142 -0.002356.000000
60 -0.001614 0.000130 -0.002203.000000
61 -0.000112 -1.77E-05 -0.001507.000000

ỨNG SUẤT

JOINT S11 S22 S33 S12 S13 S23

50 11.671502 18.395420 32.785532 -7.052521 26.188172 3.131088
49 -49.377835 -15.772953 20.653697 8.018777 14.802751 6.596793
60 7.701563 -9.643191 53.301148 -8.832431 19.021168 -9.738369
61 -42.125803 10.081400 65.608593 15.490180 4.525401 -3.126830

</div>

Giải bài toán cơ học kết cấu: Phương pháp phần tử hữu hạn

[

]

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về