Cơ học thủy khí ứng dụng : Chương 4 - Động lực học chất lỏng lý tưởng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.16 KB, 3 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
<b>Chương IV </b>
<b>ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG</b>
<i><b>ðộng lực học chất lỏng</b></i> nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất
lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mơ tả chuyển động này trong mối
quan hệ với các ngoại lực tác dụng.
<i><b>Chất lỏng lý tưởng</b></i> khi bỏ qua sự ảnh hưởng của tính nhớt, có nghĩa là hệ
số nhớt µ =0.
<b>1.</b> <b>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG </b>
<b>TRÌNH EULER. </b>
Xuất phát từ nguyên lý biến thiên ñộng lượng: Ngoại lực tác dụng lên một
hệ thống chất lỏng bằng tốc ñộ thay ñổi ñộng lượng của khối chất lỏng ñó. Ta
có:
1 <i>du</i>
<i>F</i> <i>grad p</i>
<i>dt</i>
ρ
− =
(4.1)
Chiếu lên các trục tọa độ, phương trình (1.1) trở thành:
1
1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>du</i>
<i>p</i>
<i>F</i>
<i>x</i> <i>dt</i>
<i>du</i>
<i>p</i>
<i>F</i>
<i>y</i> <i>dt</i>
<i>du</i>
<i>p</i>
<i>F</i>
<i>z</i> <i>dt</i>
ρ
ρ
ρ
∂
− =
∂
∂
− =
∂
∂
− =
∂
(4.2)
Phương trình (4.1) và (4.2) gọi là phương trình vi phân chuyển động Euler của
chất lỏng lý tưởng dạng vector và hình chiếu tương ứng.
<b>2.</b> <b>BÀI TOÁN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG </b>
Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, không nén được, hệ phương trình Euler
có 4 ẩn <i>u u u<sub>x</sub></i>, <i><sub>y</sub></i>, <i><sub>z</sub></i> và áp suất <i>p</i>. ðể giải hệ phương trình này ta sử dụng thêm
phương trình liên tục:
0
<i>y</i>
<i>x</i> <i>u</i> <i>z</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>divu</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
∂
∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
(4.3)
ðể tích phân hệ 4 phương trình trên, ta thêm vào điều kiện đầu và điều kiện
biên của nó:
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
2
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1
2
3
4
0 , ,
0 , ,
0 , ,
0 , ,
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>u</i> <i>f x y z</i>
<i>u</i> <i>f</i> <i>x y z</i>
<i>u</i> <i>f</i> <i>x y z</i>
<i>p</i> <i>f</i> <i>x y z</i>
=
=
=
=
(4.4)
• ðiều kiện biên là điều kiện xác định biên giới mơi trường lỏng ñang xét
và biểu thị bằng ñiều kiện cho trên mặt vật và ñiều kiện khá xa vật rắn
(coi ở ∞). ðiều kiện biên trên mặt vật rắn phải thỏa mãn điều kiện hạt
lỏng khơng xun qua hoặc tách rời khỏi mặt vật rắn.
- Khi vật rắn S đứng n, dịng chất lỏng lý tưởng chuyển động từ
vơ cùng đến bao quanh vật ta có:
0
<i>n</i> <i>S</i> <i>n</i> <i>S</i>
<i>u</i> <i>v</i>
<i>u</i> <sub>∞</sub>
=
= (4.5)
- Khi vật rắn S chuyển ñộng trong chất lỏng lý tưởng với vận tốc
<i>v</i> trong chất lỏng ñược coi là đứng n ở vơ cùng, ta có:
0
<i>n S</i>
<i>u</i>
<i>u</i> <sub>∞</sub> <i>u</i><sub>∞</sub>
=
=
(4.6)
<b>3.</b> <b>DẠNG LAMB – GROMECO CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER </b>
Sau khi sắp xếp trên phương <i>x</i>, ta ñược
( )
( )
2
2 2
2
1
2 2 2
2
<i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>z</i> <i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>du</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>p</i>
<i>F</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>x</i> <i>dt</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>u</i> <i>u</i>
<i>u rot u</i> <i>u rot u</i>
<i>t</i> <i>x</i>
ρ
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
− = = + + + + − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
= + + −
∂ ∂
(4.7)
Ta biến ñổi tương tự cho phương <i>y</i> và <i>z</i>. Cuối cùng ta ñược dạng Lamb –
Gromeco của phương trình Euler:
( )
2
1
2
<i>du</i> <i>u</i> <i>u</i>
<i>F</i> <i>grad p</i> <i>grad</i> <i>rot u</i> <i>u</i>
<i>dt</i> <i>t</i>
ρ
∂
− = = + + ∧
∂
<sub></sub> <sub></sub>
(4.8)
Tính chất đặc biệt của phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý
tưởng dưới dạng Gromeco là tồn tại dạng hiển của vector xoáy của vận tốc.
<b>4.</b> <b>PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DỊNG </b>
Trong trường hợp tổng qt, phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng
lý tưởng khơng tích phân được. ðể tích phân được, ta xét một số trường hợp
ñặc biệt.
<b>a.</b> <b>Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển động có thế </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
3
0
<i>const</i>
<i>rot u</i>
<i>u</i> <i>grad</i>
<i>F</i> <i>grad U</i>
ρ
ϕ
=
<sub>=</sub>
<sub>=</sub>
=
(a)
với ϕ là hàm thế vận tốc, <i>U</i> là hàm thế lực khối đơn vị.
Khi đó:
(
)
<i>u</i>
<i>grad</i> <i>grad</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
ϕ
ϕ
∂ <sub>=</sub> ∂ <sub>=</sub> ∂
∂ ∂ ∂
(b)
(
)
1 <i>p</i>
<i>gradp</i> <i>grad</i>
ρ
ρ
= <sub> </sub>
(c)
Thế (a), (b) và (c) vào phương trình (4.8), ta thu được
2
0
2
<i>u</i> <i>p</i>
<i>grad</i> <i>U</i>
<i>t</i>
ϕ
ρ
∂
+ + − =
<sub>∂</sub>
(4.9)
Tích phân (1.9) cho ta
( )
2
2
<i>u</i> <i>p</i>
<i>U</i> <i>C t</i>
<i>t</i>
ϕ
ρ
∂
+ + − =
∂ (4.10)
với <i>C t</i>
( )
xác ñịnh từ ñiều kiện biên.<b>b.</b> <b>Tích phân Euler </b>
Khi chất lỏng chuyển động dừng, (4.10) có dạng
2
2
<i>u</i> <i>p</i>
<i>U</i> <i>Const</i>
ρ
+ − = (4.11)
Khi lực khối là trọng lực, <i>U</i> = −<i>gz</i>, (4.11) trở thành
2
2
<i>u</i> <i>p</i>
<i>z</i> <i>Const</i>
<i>g</i> +
γ
+ = (4.12)Gọi
2
2
<i>u</i> <i>p</i>
<i>H</i> <i>z</i>
<i>g</i>
γ
= + + – ñộ cao thủy lực trong toàn miền chất lỏng.
2
2
<i>u</i>
<i>g</i> – ñộ cao ño tốc.
<i>p</i>
γ
– ñộ cao ño áp.z– ñộ cao ño mức.
<b>c.</b> <b>Phương trình Bernulli cho đường dịng </b>
</div>
<!--links-->
