Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay robot bằng phương pháp quy hoạch phi tuyến

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐHKT CÔNG NGHIỆP
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
-----------***-----------



THUYẾT MINH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO CÁNH
TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH
PHI TUYẾN


Học viên: Nguyễn Trung Thành
Lớp: CH K10
Chuyên ngành: Tự động hoá
Người HD Khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Công



HIỆU TRƯỞNG KHOA ĐT SAU ĐH
CB HƯỚNG DẪN

PGS.TS Nguyễn Hữu Công
HỌC VIÊN



Nguyễn Trung Thành
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
----------------***----------------



LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGÀNH: TỰ ĐỘNG HOÁ
Mã ng ành: 605260



NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO
CÁNH TAY ROBOT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
QUY HOẠCH PHI TUYẾN



NGUYỄN TRUNG THÀNH

THÁI NGUYÊN 2009


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Trung Thành
Sinh ngày 13 tháng 11 năm 1980
Học viên lớp Cao học Khoá 10 Chuyên ngành Tự động hoá- Trƣờng Đại Học Kỹ
Thuật Công Nghiệp Thái Nguyên
Đơn vị công tác: Trƣờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên
Xin cam đoan: Đề tài: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot
bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến’’ do PGS.TS. Nguyễn Hữu Công hƣớng
dẫn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn
gốc, xuất xứ rõ ràng.
Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2009
Tác giả



Nguyễn T rung Thành

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
MỤC LỤC
Lời cam đoan ................................................................................................. 1
Mục lục ......................................................................................................... 2
Danh mục các thuật ngữ, kí hiệu, từ viết tắt.................................................. 5
Danh mục các bảng biểu ............................................................................... 7
Danh mục các hình vẽ, đồ thị ........................................................................ 8
Lời nói đầu .....……………………………………………………………… 9
CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU…………. 11
1.1. Địnhnghĩa.................................................................................................. 11
1.2. Điều kiện hạn chế ………………………………………………………. 11
1.3. Bài toán điều khiển tối ƣu…………………………...…………………. 12
1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh………………………………………….…….. 12
1.3.1.1. Mô tả toán học……………………………………...……….……… 13
1.3.1.2. Biểu diễn hình học…………………………………………….……. 13
1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải ………………………………………….……. 14
1.3.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm…………………………………… 16
1.3.2. Điều khiển tối ƣu động……………………………………..………… 24
1.3.2.1. Phƣơng pháp biến phân………………………………………..……. 24
1.3.2.2. Phƣơng pháp quy hoạch động của Bellman…………………..…… 29
1.3.2.3. Nguyên lý cực đại…………….……………………………………. 34
CHƢƠNG 2: ROBOT CÔNG NGHIỆP VÀ GIỚI THIỆU BÀI TOÁN ĐIỀU

KHIỂN ĐỘNG HỌC NGƢỢC ROBOT.................................

39
2.1. Tổng quan về robot công nghiệp.............................................................. 39
2.1.1. Tự động hóa và robot công nghiệp………………….………………... 43
2.1.2. Các đặc tính của robot công nghiệp…………………….……………. 45
2.1.2.1. Tải trọng…………………………………………….……………… 45
2.1.2.2. Tầm với ……………………………………………….…………… 45
2.1.2.3. Độ phân giải không gian…………………………………………… 45
2.1.2.4. Độ chính xác………………………………………………………. 46

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
2.1.2.5. Độ lặp lại …………………………………………….……………. 47
2.1.2.6. Độ nhún …………………………………………………………… 47
2.2. Chất lƣợng quá trình làm việc và các thông số điều khiển …………… 48
2.2.1. Yêu cầu về chất lƣợng trong điều khiển Robot……………….……… 48
2.2.2. Giới thiệu bài toán điều khiển động học ngƣợc Robot …………....... 49
2.2.3. Bài toán động học trên quan điểm điều khiển thời gian thực ………. 54
2.2.3.1. Yêu cầu về thời gian thực trong điều khiển động học robot ……… 54
2.2.3.2. Hiệu quả giải thuật trên quan điểm điều khiển thời gian thực…….. 56
CHƢƠNG 3: GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU CHO CÁNH
TAYROBOT...........................................................................

58
3.1. Thành lập bài toán điều khiển…………………………………………. 58
3.1.1. Mô hình đối tƣợng………………………………………..……….…. 58
3.1.2. Phiếm hàm mục tiêu …………………………………………………. 61
3.1.2.1. Bài toán tối ƣu về độ chính xác về vị trí và hƣớng của khâu chấp

hành…………………………………………………………………

61
3.1.2.2. Bài toán di chuyển tối thiểu……………………………………..….. 62
3.1.3. Điều kiện giới hạn của các biến............................................................. 63
3.2. Khả năng ứng dụng của giải thuật trên máy tính…………………….… 64
3.3. Thành lập bài toán cho một số dạng robot……………………………... 65
3.3.1. Robot cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay)…………………………... 65
3.3.1.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học)....................................... 65
3.3.1.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 66
3.3.1.3. Điều kiện hạn chế .............................................................................. 67
3.3.2. Robot Elbow (Sáu bậc tự do toàn khớp quay)……………….…….…. 67
3.3.2.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học) ...................................... 67
3.3.2.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 68
3.3.2.3. Điều kiện hạn chế ……………..................…………………..…..… 69
3.3.3. Robot Puma (Sáu bậc tự do toàn khớp quay)………………………… 69
3.3.3.1. Phƣơng trình động học (Mô hình toán học) .....………………….… 69

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
3.3.3.2. Hàm mục tiêu .................................................................................... 71
3.3.3.3. Điều kiện hạn chế ............................................................................. 71
3.4. Giới thiệu bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc dạng chuẩn và
nghiệm tối ƣu của nó ..................................................................…….

72
3.4.1. Bài toán quy hoạch phi tuyến ………….…....................................... 72
3.4.2. Nhận định chung ................................................................................... 72
3.4.3. Tính chính xác ...................................................................................... 73

3.5. Lời giải bài toán điều khiển tối ƣu cho Robot cơ cấu 3 khâu phẳng
(3 khớp quay)...........................................................................................

73
3.5.1. Khởi tạo một số ma trận thế ngẫu nhiên cho lời giải……………….... 74
3.5.2. Ứng dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài toán……... 74
3.5.2.1.Giới thiệu Optimization Toolbox trong Matlab…………………….. 74
3.5.2.2. Sử dụng Optimization Toolbox trong Matlab để giải bài toán……... 77
3.5.3. Ứng dụng phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA) giải bài toán …..… 79
3.5.3.1. Giới thiệu phƣơng pháp giải thuật di truyền (GA)…………….…… 79
3.5.3.2. Các kỹ thuật trong giải thuật di truyền GA………………………… 80
3.5.3.3. Giải bài toán bằng phƣơng pháp di truyền (GA)………….……..… 84
3.5.4. Sử dụng phƣơng pháp khai triển thành đa thức để giải bài toán……… 86
3.5.4.1. Đặt vấn đề………………………………………………………...… 86
3.5.4.2. Đa thức nội suy ……………………………………………….…..… 87
3.5.4.3. Đa thức nội suy Lagrange ..........................................................
88
3.5.4.4. Áp dụng cho bài toán cụ thể………………………………………... 88
CHƢƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………… 92
4.1. Các kết quả nghiên cứu của Luận văn…………………………..…..….. 92
4.2. Một số kiến nghị cho hƣớng nghiên cứu tiếp theo…………………...… 93
Tài liệu tham khảo………………………………………………………...… 94
Tóm tắt………………………………………………………………….…... 97



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
DANH MỤC

CÁC THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU, CÁC TỪ VIẾT TẮT

TT
KÝ
HIỆU
DIỂN GIẢI NỘI DUNG ĐẦY ĐỦ
ĐƠN
VỊ
1 a
(…)
Approach (Vectơ hƣớng tiếp cận vật thể của bàn kẹp)
2 a
n
Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục ox mm
3 A
i
Ma trận truyền giữa khâu (i-1) và khâu (i)
4 a
ij
Hệ số thứ (i) của đa thức nội suy thứ (j)
5 A
T
Transpose (A)
6 α
n
Góc quay quanh trục ox rad
7 D Miền thoả mãn của ràng buộc vậy lý của các khớp
8 DH Denavit-Hartenbeg
9 d

n
Lƣợng tịnh tiến dọc theo trục oz mm
10 E
Véctơ mô tả mũi dụng cụ(hoặc tâm bàn kẹp) trong hệ quy chiếu
chung

11 ε Sai lệch tuyệt đối cho phép của hàm muc tiêu
12 GA Genetic Algorithms
13 IR Industrian Robot
14 J Vectơ định vị điểm đặt robot so với hệ quy chiếu chung
15 l
i
Lower bound (i)
16 MRO Minimal Represent Orient
17 n
(…)
Normal (Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa s, a)
18 n Số bậc tự do của robot
19 NC Numerical Control
20 q
i
Biến khớp thứ (i)
21 s
(…)
Sliding (Vectơ hƣớng đóng mở bàn kẹp)
22
o
T
n
Phƣơng trình động học thuận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
23
i-1
T
i
Biểu diễn của hệ quy chiếu (i) trong hệ quy chiếu (i-1)
24 u
i
Upper bound (i)
25 θ
n
Góc quay quanh trục oz rad
26

Vectơ gradien

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

KÝ
HIỆU
NỘI DUNG BẢNG BIỂU TRANG
2.1 Số lượng Robot sản xuất ở một số nước công nghiệp phát triển 41
3.1 Bảng DH robot Elbow 68
3.2 Bảng DH robot Puma 70
3.3
Kết quả bài toán ngược cơ cấu 3 khâu phẳng giải bằng hàm
fmincon
79
3.4

Kết quả giải bài toán ngược cơ cấu 3 khâu phẳng bằng phương
pháp Giải thuật di truyền GA
86


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

KÝ
HIỆU
NỘI DUNG HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ TRANG
1.1 Đồ thị hàm mục tiêu 14
1.2 Minh họa công thức biến phân 26
1.3 Mô tả nguyên lý tối ưu Bellman 30
1.4
Nguyên lý cực đại là trường hợp tổng quát của công thức biến
phân
37
2.1
Quan hệ số loại và số lượng sản phẩm ứng với các dạng tự động
hóa
44
2.2 Minh họa độ chính xác và độ phân dải điều khiển 46
2.3 Các dạng sai số lặp lại 48
2.4 Trễ trong hệ thống điều khiển số 49
2.5 Sơ đồ điều khiển trong không gian khớp 50
2.6 Sơ đồ điều khiển trong không gian công tác 50
2.7 Chiều dài và góc xoắn của một khâu 51

2.8 Các thông số của khâu θ, d, a và α 52
3.1 Các vectơ định vị trí và định hướng của bàn tay máy 59
3.2 Sơ đồ động học cơ cấu 3 khâu phẳng (3 khớp quay) 65
3.3 Sơ đồ động học Robot Elbow 67
3.4 Sơ đồ động học Robot Puma 69
3.5 Sơ đồ cấu trúc kỹ thuật trong giải thuật di truyền 80








Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
LỜI NÓI ĐẦU
Khoa học kỹ thuật và công nghệ ở các nước trong khu vực và trên thế giới
đang trong thời kỳ phát triển như vũ bão đã đưa Việt Nam đứng trước rất nhiều thời
cơ vận hội và thách thức mới trên con đường hội nhập với nền kinh tế thế giới.
Để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội, phục vụ công cuộc đổi mới của đất
nước đòi hỏi đội ngũ các nhà khoa học, cán bộ kỹ thuật và công nhân lành nghề
phải không ngừng nghiên cứu, học tập nâng cao trình độ để kịp thời tiếp cận làm
chủ các kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại và công nghệ tiên tiến.
Các khoá đào tạo thạc sỹ tại Trường Đại học Kỹ Thuật Công Nghiệp Thái
Nguyên nhằm đào tạo những cán bộ khoa học có trình độ cao để tiếp thu và làm chủ
kỹ thuật hiện đại để phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy và sản xuất. Là
một giáo viên giảng dạy tại một trường kỹ thuật tôi rất vinh dự được học tập tại
khoá đào tạo thạc sỹ khoá 10 của trường. Để đánh giá kết quả học tập trong toàn

khoá học tôi được giao đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu
cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy hoạch phi tuyến”
Trong quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, các ngành công
nghiệp đang phát triển hết sức nhanh chóng, nhiều nhà máy xí nghiệp được xây
dựng với quy mô và công nghệ hiện đại, tiên tiến đáp ứng được nhu cầu của tình
hình sản xuất hiện nay. Trong đó phải kể đến sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ
thuật, nhất là sự ra đời của máy tính và công nghệ thông tin đã tạo tiền đề cho sự
phát triển mạnh mẽ của nền sản xuất có tính chất tự động hoá cao, đã dần thay thế
sức lao động của con người đồng thời hiệu quả của nó đem lại cho nền kinh tế là rất
lớn.
Hiện nay sự xuất hiện của các Robot trong các ngành công nghiệp, cũng như
trong đời sống sinh hoạt đã trở nên phổ biến. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vục khác nhau, đặc biệt trong các ngành sản xuất có tính dây truyền và
công nghệ cao. Robot đóng vai trò quan trọng, chúng vừa đảm bảo độ chính xác vừa
đảm bảo tính liên tục của dây truyền mà với con người hay những máy móc thông



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
thường khó có thể đạt được. Đồng thời nó có thể thay thế con người làm việc trong
những môi trường độc hại, nơi con người khó có thể đặt chân tới như vũ trụ…
Nói chung, ứng dụng của Robot là hết sức to lớn, vì vậy mà trong tương lai đây
là nhân tố rất quan trọng trong sự phát triển của các ngành sản xuất của nền kinh tế
hiện đại. Do vậy việc nghiên cứu các vấn đề về Robot mang tính thời sự.

Để Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho cánh tay Robot bằng phương pháp Quy
hoạch phi tuyến, luận văn của tôi gồm bốn chương:
Chƣơng 1: Giới thiệu chung về điều khiển tối ưu

Chƣơng 2: Robot công nghiệp và giới thiệu bài toán điều khiển động học ngược
robot
Chƣơng 3 Giải bài toán điều khiển tối ưu cho cánh tay robot
Chƣơng 4: Kết luận và kiến nghị
Đề tài đã được hoàn thành đúng thời hạn dưới sự hướng dẫn tận tình của
PGS.TS. Nguyễn Hữu Công - Trưởng Khoa Điện Tử - Trường Đại học Kỹ thuật
Công nghiệp Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp cùng sự nỗ lực của bản thân. Tôi
xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn, các thầy giáo, cô giáo thuộc trường
Đại học kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
cũng như quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn.
Vì nhiều điều kiện khách quan và khả năng của bản thân, luận văn hoàn
thành chắc chắn còn thiếu sót. Rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả



Nguyễn Trung Thành




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
CHƢƠNG 1 : GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU
1.1. Định nghĩa
Điều khiển tối ưu là một chuyên ngành cơ bản trong điều khiển tự động, nó có
vai trò xác định và tạo lập những luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt được

chỉ tiêu về tính hiệu quả đã được định trước dưới dạng ( phiếm) hàm mục tiêu Q.
Trong thực tế tồn tại các bài toán điều khiển tối ưu như sau:
- Bài toán tối ưu cực tiểu:
+ Xác định tham số của mô hình sao cho bình phương sai lệch trung bình giữa
mô hình và đối tượng đạt giá trị nhỏ nhất, ví dụ như huấn luyện mạng nơ-ron, nhận
dạng đối tượng, ...
+ Điều khiển một quá trình đạt chỉ tiêu chất lượng, kỹ thuật cho trước sao cho
tổn hao năng lượng là nhỏ nhất.
+ Tạo ra một sản phẩm đạt chỉ tiêu chất lượng cho trước nhưng chi phí là nhỏ
nhất.
+ Bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ, ví dụ như xác định quĩ
đạo chuyển động của cánh tay robot, đường đi thu rác, thu tiền điện, thu tiền nước,
đi chào hàng ...
- Bài toán tối ưu cực đại.
+ Tạo ra sản phẩm với chi phí cho trước, nhưng có chất lượng cao nhất.
+ Bài toán tìm đường căng.
- Bài toán tối ưu tác động nhanh: Thời gian xảy ra quá trình là ngắn nhất, ví dụ như
điều khiển tên lửa.

1.2. Điều kiện hạn chế
Cho hệ thống nhiều đầu vào và nhiều đầu ra, được mô tả bởi hệ các phương
trình như sau:
y = f(x,u) được gọi là mô hình toán học
u = (u
1
u
2
. . . u
r
)

T
là các đầu vào
x = (x
1
x
2
. . . x
n
)
T
là các trạng thái



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
y

= (y
1
y
2
. . . y
m
)
T
là các đầu ra
Do bài toán tối ưu được thực hiện trên mô hình hệ thống, cho nên lời giải của
bài toán tối ưu phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình hệ thống.

Những tín hiệu không thể mô tả được trong các phương trình trên sẽ được coi
là nhiễu tác động.

1.3. Bài toán điều khiển tối ƣu
Bài toán tối ưu được xây dựng dựa trên các giả thiết sau:
+ Có một mô hình toán học.
+ Không có nhiễu tác động.
+ Biết các điều kiện biên của mô hình như : điểm làm việc, thời gian làm việc
của hệ thống.
+ Biết miền giá trị cho phép của các đầu vào u.
+ Biết hàm mục tiêu Q mô tả tính hiệu quả mà hệ thống cần đạt được.
Mục đích của điều khiển tối ưu là tìm tín hiệu tối ưu u
*
để hàm mục tiêu Q đạt
giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Với những giả thiết này có rất nhiều phương pháp giải bài toán điều khiển tối
ưu khác nhau. Trong nội dung của Luận văn sẽ giới thiệu các phương pháp cơ bản
nhất của lĩnh vực điều khiển tối ưu, được chia thành hai nhóm chính như sau:
+ Điều khiển tối ưu tĩnh.
+ Điều khiển tối ưu động.

1.3.1. Điều khiển tối ƣu tĩnh
Bài toán điều khiển tối ưu tĩnh là bài toán trong đó quan hệ vào, ra và biến
trạng thái của mô hình không phụ thuộc vào thời gian. Giá trị đầu ra tại một thời
điểm chỉ phụ thuộc vào các đầu đầu vào và trạng thái tại thời điểm đó.
Mô hình hệ thống được cho như sau:
y
k
= f
k

(u
1
, u
2
, . . .u
r
), với k = 1, 2, . . ., m, viết gọn lại thành y = f(u). Hàm mục
tiêu như sau: Q = Q(u,y).



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Thay y = f(u) vào hàm mục tiêu được: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u), như vậy
Q chỉ phụ thuộc vào các đầu vào và đầu ra.

1.3.1.1. Mô tả toán học
Mô hình hệ thống có dạng như sau: y = f(u) với
Uu 

u = (u
1
u
2
. . . u
r
)
T
các đầu vào

y

= (y
1
y
2
. . . y
m
)
T
các đầu ra
U là miền thích hợp của các biến đầu vào, được định nghĩa như sau:

 
rkuuuuuuuU
kkk
T
ñ
 1;)...,,(
maxmin21

Hàm mục tiêu có dạng như sau: Q = Q(u,y) = Q(u,f(u)) = Q(u)
Không mất tính tổng quát nếu giả thiết tiêu chuẩn tối ưu là: Q(u)
min

Bài toán điều khiển tối ưu tĩnh được phát biểu như sau: Tìm tín hiệu tối ưu
u
*

U

, sao cho Q(u
*
) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, ta có
)1()()(
*
UuuQuQ 

Nếu u
*
thoả mãn (1) với mọi u thuộc U, thì u
*
được gọi là véc tơ tối ưu toàn
cục.
Nếu u
*
thoả mãn (1) với mọi u thuộc lân cận u
*
, thì u
*
được gọi là véc tơ tối ưu
cục bộ.

1.3.1.2. Biểu diễn hình học
Xét hệ thống có hai tín hiệu đầu vào u
1
và u
2
. Hàm mục tiêu Q chỉ phụ thuộc
vào u
1

và u
2
, Q = Q(u
1
,u
2
).
Giả thiết hàm mục tiêu Q có đồ thị như hình 1.1.
Vậy điểm tối ưu u
*
=






*
2
*
1
u
u
là điểm thuộc mặt phẳng (u
1
,u
2
), tại đó mặt cong Q ở
điểm thấp nhất.
Điểm A là điểm tối ưu cục bộ, điểm B là điểm yên ngựa và điểm C là điểm tối ưu

toàn cục.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng (u
1
,u
2
), tại các điểm đó hàm mục tiêu Q có
cùng giá trị được gọi là đường đồng mức.












1.3.1.3. Giả thiết cho lời giải
a. Bài toán tối ƣu không có giới hạn
- Nghiệm u
*
của bài toán tối ưu không có giới hạn là một điểm cực trị. Các điểm

cực trị thoả mãn hệ phương trình vi phân
rk
u
Q
k
...,2,10 


hay
0),...,,(
21










T
r
u
Q
u
Q
u
Q
u

Q

- Tại mỗi điểm u của mặt cong Q tồn tại véc tơ đạo hàm riêng
u
Q


, ký hiệu là
u
Q
gradQ



, véc tơ đạo hàm riêng grad Q có các tính chất sau:
+ Có phương vuông góc với mặt cong Q.
+ Có hướng chỉ chiều tăng giá trị của các đường đồng mức.
C
B
A
u
1
u
2
O
Q
đường đồng mức
Hình 1.1: Đồ thị hàm mục tiêu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
+ Có độ lớn thể hiện tốc độ tăng hay giảm giá trị của Q. Do đó tại điểm cực trị
của mặt cong Q phải có grad Q = 0 (*). Hệ phương trình này chỉ là điều kiện cần để
tìm nghiệm tối ưu u
*
.
Để giải hệ phương trình (*) sẽ gặp những vấn đề sau:
+ Hệ phương trình (*) là hệ phi tuyến, dẫn đến việc giải trực tiếp khó thực hiện
được.
+ Có nhiều điểm u
*
thoả mãn hệ phương trình (*) nhưng không phải là nghiệm
tối ưu.
Thực tế, các phương pháp gần đúng được sử dụng nhiều hơn, theo thuật toán tìm
nghiệm từng bước.
Thuật toán tìm nghiệm từng bước.
+ Bước 1:
Cho
0

bé tuỳ ý, chọn u
0
bất kỳ.
Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ...
+ Bước 2:
Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm.

+ Bước 3:
Tìm u
k
theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm.
+ Bước 4:
Kiểm tra điều kiện.
Nếu || u
k
- u
k-1
||



chuyển sang bước 5.
Nếu || u
k
- u
k-1
|| >

quay về bước 2.
+ Bước 5:
Nghiệm tối ưu gần đúng là u
*
= u
k
với độ chính xác là

.

b. Bài toán tối ƣu có giới hạn
Bản chất là tìm nghiệm tối ưu u
*
gần đúng cho bài toán mà u bị giới hạn bởi
miền thích hợp U. Thuật toán tìm nghiệm từng bước về cơ bản cũng giống như trên,
nhưng cần phải chú ý các trường hợp sau:



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
+ Nếu nghiệm tối ưu u
*
không nằm trên biên của U thì grad Q = 0 vẫn là điều
kiện cần để tìm u
*
.
+ Nếu trong miền thích hợp U không tồn tại nghiệm u
*
thoả mãn điều kiện
gradQ = 0, khi đó nghiệm tối ưu u
*
nằm trên biên của U và tại điểm u
*
véc tơ đạo
hàm riêng grad Q phải có hướng vào trong miền U.
Thuật toán tìm nghiệm tối ưu u
*

cho bài toán tối ưu có giới hạn:
+ Bước 1:
Cho
0

bé tuỳ ý, chọn u
0
bất kỳ.
Thực hiện các bước sau với k = 1, 2 ...
+ Bước 2:
Xác định hướng tìm và khoảng cách bước tìm thích hợp để cho
Uu
k

.
+ Bước 3:
Tìm u
k
theo hướng tìm và khoảng cách bước tìm.
+ Bước 4:
Kiểm tra điều kiện.
Nếu || u
k
- u
k-1
||



chuyển sang bước 5.

Nếu || u
k
- u
k-1
|| >

quay về bước 2.
+ Bước 5:
Nghiệm tối ưu gần đúng là u
*
= u
k
với độ chính xác là

.

1.3.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nghiệm
a. Phƣơng pháp không dùng đạo hàm riêng
a.1. Đặt vấn đề
Việc tìm u
*
thông qua hệ phương trình vi phân grad Q = 0 ,(*) không phải là tốt
nhất cho mọi trường hợp vì những lý do sau:
+ Hệ phương trình (*) có thể rất phức tạp.
+ Hàm mục tiêu Q có thể tồn tại nhiều điểm cực trị tại điểm đó luôn thoả mãn hệ
phương trình (*).
+ Không phải hàm mục tiêu nào cũng khả vi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Chính vì những lý do này, mà cần phải có các phương pháp tìm nghiệm tối ưu u
*

mà không dùng véc tơ đạo hàm riêng (gradient).

a.2. Phƣơng pháp Gauss/ Seidel
Cho mô hình hệ thống y = f(u).
Hàm mục tiêu được định nghĩa là Q = Q(u).
Tìm u
*
để cho Q đạt giá trị nhỏ nhất, tức là Q
min
.
Giả sử u
*
nghiệm tối ưu thoả mãn Q
min
, ký hiệu u
*
= argminQ.
Nội dung của phương pháp Gauss/Seidel.
+ Hướng tìm được chọn song song với các trục toạ độ u
i
với i = 1, 2, ..., r. Kí
hiệu hướng tìm ở bước thứ k là h
k
.

+ Khoảng cách bước tìm ở bước thứ k được ký hiệu là s
k
, s
k
được xác định như
sau:
)(minarg
*
kkkk
hsuQs 

Thuật toán tìm nghiệm của Gauss/Seidel.
+ Bước 1:
Cho
0

bé tuỳ ý, chọn u
0
bất kỳ.
Thực hiện các bước sau với k = 0, 1, 2 ...
+ Bước 2:
- Xác định hướng tìm h
k
:


















0
.
1
.
0
0
k
h
, h
k
là véc tơ có r hàng, chỉ có hàng thứ
k + 1 có giá trị bằng 1, các hàng khác đều bằng không.
- Xác định khoảng cách bước tìm s
k
: s
k
được xác định sao cho hàm mục tiêu đạt
giá trị nhỏ nhất trên hướng tìm h
k

. s
k
*
= argminQ(u
k
+ s
k
h
k
)
+ Bước 3:
u
k+1
= u
k
+ s
k
*
h
k
+ Bước 4: Kiểm tra điều kiện.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Nếu || u
k+1
- u

k
||



chuyển sang bước 5.
Nếu || u
k+1
- u
k
|| >

quay về bước 2.
+ Bước 5:
Nghiệm tối ưu gần đúng là u
*
= u
k+1
Ví dụ: Cho hàm mục tiêu Q =
32
2
2
2
1
 uu
, tìm u
*
để cho Q → min
Bước 1: Cho
3

10



, chọn







1
1
0
u

k = 0.
Bước 2: Chọn







0
1
0
h























1
1
0
1
1
1
0

00001
s
shsuu

Q(u
1
) =
32)1(
2
0
 s
, ta có
0)1(2
)(
0
0
1



s
s
uQ
, suy ra s
0
= -1
Vậy s
0
*
= argminQ(u

1
) = -1
Bước 3:






























1
0
1
1
0
1
1
1
0
00001
s
shsuu

Bước 4:
||u
1
- u
0
|| = 1 >

quay về bước 2
k =1.
Bước 2: Chọn








1
0
0
h























1

11112
1
0
1
0
1
0
s
shsuu

Q(u
2
) =
3)1(20
2
1
 s
, ta có
0)1(4
)(
1
1
2



s
s
uQ
, suy ra s

1
= -1



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Vậy s
1
*
= argminQ(u
2
) = -1
Bước 3:
















0
0
1
0
*
1
2
s
u

Bước 4:
||u
2
- u
1
|| = 1 >

quay về bước 2
k = 2.

Bước 2:
Chọn







0

1
2
h






















10
1
1
0
2

22223
s
shsuu

Q(u
3
) =
30.2
2
2
s
, ta có
02
)(
2
2
3



s
s
uQ
, suy ra s
2
= 0
Vậy s
2
*
= argminQ(u

3
) = 0
Bước 3:














0
0
0
*
2
2
s
u

Bước 4:
||u
3
- u

2
|| = 0 <

chuyển sang bước 5
Bước 5:
u
*
= u
3
=






0
0

Sau hai vòng tính ta đã tìm được nghiệm tối ưu u
*
= u
2
.
Ưu điểm của phương pháp là: nếu hệ thống có r đầu vào, hàm mục tiêu có dạng
chính phương thì nghiệm tối ưu u
*
sẽ được tìm thấy sau đúng r vòng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
b. Phƣơng pháp Newton-Raphson
b.1. Nội dung của phƣơng pháp
Phương pháp tìm nghiệm tối ưu sử dụng đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm
mục tiêu nên phải giả thiết hàm mục tiêu Q(u) khả vi hai lần. Để giải hệ phương
trình
0
)(



u
uQ
(**) bằng phương pháp giải tích, trước tiên hệ (**) được khai
triển thành chuỗi Taylor tại u
k
thuộc lân cận nghiệm tối ưu u
*
và là nghiệm của (**)
như sau:
0...)(
)()()(
*
2
2
*










k
k
k
u
uu
u
uQ
u
u
uQ
u
u
uQ

tiếp theo, bỏ qua các đạo hàm bậc cao. Khi đó u
*
sẽ không phải là nghiệm đúng nữa
mà chỉ là nghiệm gần đúng. Gọi nghiệm gần đúng này là là u
k+1



u
*
, thay vào hệ
phương trình trên ta có:
0
u
u
)u(Q
)uu(
u
u
)u(Q
k
2
2
k1k
k








Đặt H(u) =

























2
2
1
2
1
2
2
1
2
...

......
...
rr
r
u
Q
uu
Q
uu
Q
u
Q
,
)(
k
k
ugradQg 
.
Suy ra u
k+1
= u
k
- H
-1
(u
k
)g
k

b.2. Thuật toán Newton-Raphson

Bước 1:
Cho
0

đủ bé, chọn u
0
bất kỳ.
Thực hiện các bước sau với k = 0, 1, 2, ...
Bước 2:
Tính
)(
k
k
ugradQg 
.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Tính H(u
k
)
Bước 3:
Tính u
k+1
= u
k
- H

-1
(u
k
)g
k

Bước 4: Kiểm tra điều kiện.
Nếu || u
k+1
- u
k
||



chuyển sang bước 5.
Nếu || u
k+1
- u
k
|| >

quay về bước 2.
Bước 5: Kết thúc
Nghiệm tối ưu gần đúng u
*
= u
k+1
.
Ưu điểm:

Nếu hàm mục tiêu có dạng
ubuAuQ
TT

2
1
, phương pháp này sẽ cho
đúng giá trị u
*
chỉ sau đúng một vòng tính.

Ví dụ:
Cho hàm mục tiêu Q = 3u
1
2

+ 4u
2
2
+ u
1
u
2
với
3
10






























12
21
2
1

8
6
)(
uu
uu
u
Q
u
Q
ugradQg






























81
16
)(
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
u
Q
uu
Q
uu
Q
u
Q

uH











61
18
47
1
)(
1
uH

Bước 1:







1
0

0
u





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Bước 2:























8
1
8
6
1
0
12
21
0
uu
uu
g
,










61
18
47
1

)()(
1
0
1
uHuH

Bước 3:































0
0
8
1
61
18
47
1
1
0
)(
0
0
1
01
guHuu

Bước 4:
||u
1
- u
0
|| = 1 >


quay về bước 2
k = 1.
Bước 2:






















0
0
8
6

0
0
12
21
1
uu
uu
g
,










61
18
47
1
)()(
1
1
1
uHuH

Bước 3:
































0
0
0
0
61
18
47
1
0
0
)(
1
1
1
12
guHuu

Bước 4:
||u
2
- u
1
|| = 0 <

chuyển sang bước 5
Bước 5:
Nghiệm tối ưu là u
*
=








0
0
2
u


c. Phƣơng pháp sử dụng hàm phạt và hàm chặn
c.1. Hàm phạt
Trong quá trình tìm từng bước nghiệm tối ưu, hàm phạt có được sử dụng để
thông báo rằng tại thời điểm hiện tại, giá trị u
k
đã ra ngoài miền U.
Việc thông báo của hàm phạt thường là bằng những giá trị rất lớn (một cách
không bình thường) tại những điểm gần biên, bên trong hoặc bên ngoài.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Cho hàm mục tiêu Q(u). Tìm

Uu
uQu


 min)(minarg
*
.
Thay Q(u) = Q(u) +

S(u), với điều kiện:
S(u) = 0 nếu
Uu 

S(u) > 0 nếu
Uu 


là một số dương đủ lớn.
Áp dụng các phương pháp giải bài toán tối ưu không ràng buộc để tìm nghiệm
min),(minarg)(
*


uQu
, nghiệm tối ưu u
*
được tìm theo công thức sau:




)(lim
**

uu


c.2. Hàm chặn
Trong quá trình tìm từng bước nghiệm tối ưu, hàm chặn được sử dụng để ngăn
cản việc giá trị u
k
hiện tại có thể sẽ vượt ra ngoài miền U. Việc ngăn cản của hàm
chặn thường là bằng những giá trị rất lớn (một cách không bình thường) tại những
điểm gần biên, bên trong hoặc bên ngoài
Thay Q(u) = Q(u) +

S(u), với điều kiện:
S(u) = 0 nếu u cách xa biên.
S(u) =

nếu u ở gần biên.

là một số dương đủ lớn.
Áp dụng các phương pháp giải bài toán tối ưu không ràng buộc để tìm nghiệm
min),(minarg)(
*


uQu
, nghiệm tối ưu u
*
được tìm theo công thức sau:





)(lim
**
uu