Các bài toán hình học phẳng olimpic quốc gia, quốc tế

Hình học phẳng (B1)


•

0) Cho tam giác ABC, phân giác AD,BE,CF, tâm nội I. đg thẳng qua I vng góc BC
cắt EF tại điểm M, tương tự có N,P. CMR AM,BN,CP đồng quy tại một điểm trên
OI.


•

0’) Cho tam giác ABC. A’,B’,C’ đối xứng của I qua BC,CA,AB. Ab,Ac là đối xứng của
A qua A’C’,A’B’. Tương tự ta cũng có Bc,Ba,Ca,Cb. CMR AbAc,BcBa,CaCb đồng quy
trên OI.



1) Cho tam giác ABC nội tiếp (O). X,Y,Z là trung điểm các đường cao AD,BE,CF. YZ cắt AD tại P, tương tự có Q,R. QR và YZ
lần lượt cắt BC và EF tương ứng tại D’ và A’. CMR đường thẳng vng góc kẻ từ A,B,C,O xuống QR,RP,PQ,A’D’ đồng quy


Hình vẽ b1


2) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), trực tâm H. Tiếp tuyến tại B,C cắt đường thẳng qua H
vuông góc AN tạo thành 1 tam giác và gọi đường trịn ngoại tiếp tam giác đó là (wa). Tương
tự có (wb),(wc) . CMR tâm đẳng phương (wa), (wb), (wc) nằm trên OH

3) Tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn qua B,C cắt CA,AB tại E,F. BE cắt CF tại H. Gọi M,N là tâm
ngoại tiếp tam giác KBE,KCF. FM cắt EN tại L. Chứng minh rằng H,L,O thẳng hàng.


Bổ đề 1: Cho tam giác ABC với E,F bất kì trên đường thẳng CA,AB thì trực tâm H cua tam giác ABC có cùng phương tích với đường trịn đương kính
BE,CF

Bổ đề 2: Cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F thì đường trịng đường kính AC,BE,CF đồng trục




4) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H là trực tâm. P là điểm đối xứng của A qua OH. Lấy 2 điểm E và F nằm trên AC,AB sao cho CE = BP
và BF = CP. AP giao OH tại K . CMR EK vg KF