SKKN trong dạy học giải toán chứng minh hình học

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trêng thcs trung giang
<b> Tỉ tù nhiªn</b>

<b>kinh nghiƯm trong dạy học giảI toán </b>

<b>chng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đờng phụ</b>
<b>A. Lời nói đầu </b>

Trong chơng trình hình học lớp 8, đặc biệt là chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi,
có những bài tốn chứng minh mà trong q trình chứng minh phải vẽ thêm đờng phụ
mới đi đến kết quả. Có nhiều bài tốn khó, chỉ sau vài đờng kẻ thêm thì phơng pháp
chứng minh hiện ra thật đơn giản, thậm chí có thể nhìn thấy ngay ra cách giải. Tuy nhiên
với học sinh việc giải toán bằng cách vẽ thêm đờng phụ là rất khó khăn và thờng thì học
sinh vấp phải một trong hai vấn đề sau :

<i><b>Thứ nhất : Lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đờng hay cụ thể hơn là trong</b></i>
việc tìm cách vẽ thêm nh thế nào cho có lợi, kết quả là có nhiều đờng vẽ thêm khơng cần
thiết, khơng đúng hớng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hớng.

<i><b>Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất của đờng vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà</b></i>
không chứng minh .

Thực tế cho thấy, có nhiều đờng phụ khác nhau và khơng có phơng pháp chung,
nên đòi hỏi sự khéo léo, sáng tạo, sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của mỗi bài toán cụ thể
và điều quan trọng là khi vẽ phải xác định đợc đờng phụ này tạo điều kiện để chứng
minh. Nghĩa là vẽ có mục đích chứ khơng vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phép dựng và
bài toán dựng hình cơ bản .

Xuất phát từ những suy nghĩ trên tơi xin đề cập một khía cạnh nhỏ về một ph ơng
pháp chứng minh bài toán hình học thơng qua cách vẽ đờng phụ. Trong chun đề này
tơi chỉ trình bày một vài phơng pháp vẽ thêm đờng phụ (vì vấn đề này là vơ cùng rộng,

đa dạng mà với mỗi ngời lại có cách thể hiện riêng, độc đáo khác nhau và củng đã có
nhiều tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi viết về vấn đề này) với một vài bài tốn điển hình,
một số nhận xét suy nghĩ để tìm tịi cách vẽ .

Việc dạy học sinh vẽ thêm đờng phụ là dạy suy nghĩ, tìm tịi sáng tạo, dạy cho các
em biết định hớng mục đích cơng việc và bản chất sự việc chứ khơng phải dạy cách giải
những bài tốn cá thể. Hớng cho học sinh biết rút ra những nhận xét có tính chất khái
qt để tìm lời giải. Ngời viết cũng hy vọng rằng chuyên đề nhỏ này sẽ mang lại cho
một vài điều bổ ích cho các em học sinh nhất là học sinh giỏi trong quá trình học và giải
tốn chứng minh hình học .

<b>B. Néi dung</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a. Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng
cho trớc

b. Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho trớc .
c. Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho trớc
d. Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc
e. Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc

f. Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc
<i><b>2. Những điểm cần chú ý khi vẽ đờng phụ </b></i>

a. Vẽ đờng phụ phải có mục đích, khơng vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định h
-ớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục đích chứng
minh của mình

b. Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình cơ bản.

c. Với một bài tốn nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau,
có khi cùng một đờng phụ nhng cách v li khỏc nhau.

<b>C. các phơng pháp áp dụng</b>

<i><b>1. Phơng pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian.</b></i>

Thc cht của phơng pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra
hớng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết
luận.

<b>VÝ dơ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)</b>

<i>Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.</i>
<i>a) Chøng minh r»ng CE vu«ng gãc víi DF.</i>

<i>b) Gäi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.</i>

GT

Hình vuông ABCD
CE cắt DF tại M
EA = EB; FB = FC
KL a) CE _{b) AM = AD} DF

<b>Ph©n tÝch</b>

a. Học sinh cha cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh đợc :
BEC = CFD (c – g – c) => MCFã =CDFã

A _B

C
D

E

F
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Do đó MCFã +CFDã =CDFã +CFDã =900=> CMFã =900

b. Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng phụ nh sau: Để
AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và chỉ khi trung tuyến đồng thời
là đờng cao. Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng phụ phải mang yếu tố trung điểm và vng góc.
Từ đó phải xuất phát từ trung điểm K của DC. Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt
DF tại N. Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đờng cao của tam giỏc ADM.

<b>Lời giải</b>

a) Xét hai tam giác BEC và CFD có :

CD = BC (cạnh hình vuông), EBCÃ =FCDÃ =1v, CF = BE (
1

CD
2

=

)
nên BEC = CFD (c – g – c) => MCF· =CDF· .

Do đó MCFã +CFDã =CDFã +CFDã =900=> CMFã =900
Hay CE  DF (1)

b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD.
Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK.

Suy ra AK // CE (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra AK  DF (3)

Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trªn) nªn ND = NM (4)

Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của tam giác ADM. Do
đó tam giác ADM cân tại A.

Hay AD = AM (®pcm).

<i><b>2. Phơng pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tơng đơng.</b></i>

Thực chất của phơng pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành
một trong các dạng tơng đơng có khả năng gợi ra hớng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hớng
giải. Đây là phơng pháp đơn giản và thờng đợc “ thử nghiệm” đầu tiên.

<b>VÝ dơ 2</b> : Dùng vỊ phÝa ngoµi cđa tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF.
Chứng minh r»ng trung tun BM cđa tam gi¸c ABC b»ng nưa đoạn thẳng DF.

GT

ABC

Dựng các hình vuông
ABDE; BCKF

MA = MC

KL BM 1DF

2

=

<b>Ph©n tÝch</b>

Ta thử biến đổi kết luận:

1

BM = DF(1) 2BM=DF(2)

2 Û

Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta thử tìm cách
chứng minh BN = DF.

Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).

B

A C

E
D

F

K

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau. BDF = CNB (c.g.c) sÏ cho ta lêi
gi¶i BN = DF hay BM =

1
2_DF.
<b>Chøng minh</b>

Lấy N đối xứng với B qua M. Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đờng nên nó là hình bình hành.

Từ đó suy ra NC = AB và ABCã +BCNã =1800. Mà AB = BD (cạnh hình vng) và

· · 0 o o 0

ABC+DBF=360 - (90 +90 )=180
nªn BD = NC và DBFÃ =BCNÃ .

Hai tam giác BDF và CNB cã BC = BF, BD = NC vµ DBF· =BCNÃ , nên chúng bằng nhau
theo trờng hợp c g – c.

VËy DF = BN hay DF = 2BM

<i><b>3. Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận.</b></i>

Thực chất của phơng pháp này là vẽ thêm các yếu tố phơ hc b»ng, hc tØ lƯ (hc
cã diƯn tÝch b»ng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu bài toán với các hình có trong kết
luận ở dạng nhìn thấy hớng giải rõ hơn.

<b> Vớ d 3</b>: Cho hỡnh bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD. Gọi P, Q và R
theo thứ tự là chân các đờng vng góc hạ từ B, C, D xuống đờng thẳng AM. Chứng minh
rằng BP = DQ + CR.

GT

ABCD là hình bình hành
CR AM , M CD;
BP  AM; QD  AM
KL BP = DQ + CR

<b>Ph©n tÝch :</b>

Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL cha có mối liên hệ trực tiếp nào.
Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở
kết luận trên hình vẽ, nên có các hớng sau:

1. VÏ trªn đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng CR) và tìm cách
cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai.

2. Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng ngắn thứ hai
và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai.

Hớng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:

a. Để PC’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ dàng c/m đợc
BC’C = DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn).

b. KỴ RR’ // BC => BR’ = CR. CÇn c/m PR’ = QD ta cũng có cách vẽ tơng tự với
h-íng thø hai.

A B
Q R’
C’

P

D M C

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Chứng minh</b>

Cách 1 : Kẻ CC AM. Tứ giác CRPC lcó ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra
CR = CP.

Xột hai tam giác vng DQA và BC’C có Qà =C'à = 900_{, AD = BC ( cnh i ca hỡnh}

bình hành, ADQÃ =C'BCÃ (góc có cạnh tơng ứng song song) nên DADQ= DCBC'
(cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra DQ = BC’

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2 : Kẻ RR’ // BC, chứng minh RC = BR’, DR/ = DQ. Từ đó suy ra điều phải chứng
minh..

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Nối A với trung điểm M của
cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD tại O. Tính diện tích của tứ giác OMCD.

GT MB = MC_S_ABCD_{= 1}
AM  BD = 0
KL _{TÝnh S}_OMCD_{= ?}

<b>Ph©n tÝch</b>

Trên hình vẽ cần tạo ra  bằng hoặc có diện tích bằng BOM và các tứ giác có diện
tích bằng nhau (có thể tính đợc), sao cho giữa tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích
với các tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD.

Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt BC, BD,
AD, tạo thành các tứ giác.

Dễ dàng chứng minh đợc:
SAMCE = S BCD ( = 1

2 SABCD)

SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM

SOMCD = 5
6 .

1

2 SABCD = 5

12 SABCD

V× SABCD = 1 => SOMCD = 5
12 .

<b>Chøng minh</b>

Từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo
thành các tứ giác.

Dễ dàng chứng minh đợc:
SAMCE = S BCD ( = 1

2 SABCD)

SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM

B M C N
O

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

SOMCD = 5
6 .

1

2 SABCD =
5

12 SABCD

V× SABCD = 1 => SOMCD = 5
12 .

Trên đây tôi xin đề cập đến ba phơng pháp thờng dùng để vẽ thờng dùng để vẽ
đ-ờng phụ để giải tốn chứng minh hình học 8 với những ví dụ điển hình. Tất cả những bài
tốn trên đều sử dụng phơng pháp vẽ thêm đờng phụ bằng những suy luận từ giả thiết và
sự linh hoạt trong phơng pháp .

<b>Bài tập vân dụng</b>

Bài 1 : Cho hình vuông ABCD. E thuéc miÒn trong cđa h×nh vu«ng sao cho

· · 0

FAD=FDA =15 _{. Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều.}

Bài 2 : Cho hình thang vng ABCD có . Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đờng vng
góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED = EF.

Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đờng thẳng vng
góc với Bc, cắt các đờng thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK.
Chứng minh A là trung điểm của HK.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Lờy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,
CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đờng thẳng
song song với tia phân giác của góc A, đờng thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB
= CK.

Bài 5 : Cho tứ giác lồi ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý. Hãy kẻ qua P đờng thẳng
chia tứ giác thành 2 đa giác có diện tích bằng nhau.

Bài 6: Cho hình bình hành OBCA. Gọi E và F lần lợt là các điểm trên cạnh OA và OB
sao cho OE = OA; OF =

1
3_OB.

Đoạn thẳng EF cắt đờng chéo OC tại M. Tính tỉ lệ số OM

OC = ?

Bài 7: Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD . Từ C kẻ các đờng thẳng
CE , CF tơng ứng vng góc với AB , AD . CMR : AB . AE + AD.AF = AC2_.

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD . Một đờng thẳng cắt AB tại E . AD tại F và đờng chéo
AE tại G . CMR : AB

AE +

AD
AF =

AC
AG

Bài 9: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Một đờng thẳng bất kỳ qua G cắt cạnh AB
, AC tại M và N . CMR : AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bµi 10 : Cho tam giác ABC có góc A = 90o_{chọn trên AB một điểm D , kẻ Dx // AC , cắt}

BC tại E sao cho AE CD tại K . Cho CD

AE=

<i>m</i>

<i>n</i> . TÝnh
<i>S</i>_BDE
<i>S</i>ADEC

.

Bµi 11 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao
điểm của AC và BD . CMR : EF đi qua trung điểm của AB và CD .

Bài 12 : Cho A/_{, B}/_{, C}/_{, D}/_{, lần lợt nằm trên cạnh BC , AC , AB cđa tam gi¸c ABC . BiÕt}

rằng AA/_{, BB}/_{, CC}/_{, đồng quy tại M . CMR :} AM

<i>A</i>❑

<i>M</i>=

AB❑

CB❑ +

AC❑

BC❑

<b>D. KÕt luËn</b>

Trong quả trình giảng dạy về phơng pháp chứng minh một bài tốn hình học, ngời
viết chỉ đa ra vài phơng pháp cơ bản thờng trong chơng trình tốn 8. Chun đề nhỏ này
đã hệ thống hố vài tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học, bên cạnh đó là một
số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình huống đó và các bài tập tham khảo.
Tuy nhiên chuyên đề này vẫn có những hạn chế về thể loại, sự đa dạng về bài tập,
cha đáp ứng đợc hết các đối tợng học sinh. Trong những phơng pháp trên vẫn còn những
hạn chế về nội dung và phơng pháp. Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý xây dựng của các
đồng chí đồng nghiệp nhất là những đồng chí giàu kinh nghiệm trong giảng dạy mơn
tốn ở THCS để chun đề này đợc sửa chữa, củng cố đáp ứng đợc với các i tng hc
sinh .

Xin cảm ơn !

<i>Trung Giang, ngày 14 tháng 10 năm 2010.</i>
<b>Ngời viết </b>

</div>

<!--links-->