Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp tán xạ điện tử phonon quang
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 71 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------
LÊ THỊ LUYỆN
ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ LASER LÊN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
( TÁN XẠ ĐIỆN TỬ- PHONON QUANG)
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2011
1
MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH VẼ ....................................................................................................... ii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. HÀM SÓNG VÀ PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ
LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU TRONG BÁN DẪN KHỐI ............... 4
1.1. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp ........................ 4
1.2. Bài toán về ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu
trong bán dẫn khối ............................................................................................................... 5
1.2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối ..................................... 5
1.2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ............................... 5
1.2.3. Tính mật độ dịng trong bán dẫn khối ................................................................... 11
1.2.4. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng
điện từ ................................................................................................................................. 14
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP KHI CÓ MẶT HAI SÓNG ĐIỆN TỪ ............................................. 21
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp ............................. 21
2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp khi
có mặt hai sóng điện từ ...................................................................................................... 22
CHƢƠNG 3. HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI KỂ ĐẾN ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG
BỨC XẠ LASER................................................................................................................ 37
3.1. Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng pha tạp khi kể đến ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ Laser ............................. 37
3.2. Tính số và vẽ đồ thị ..................................................................................................... 52
3.3. Thảo luận kết quả thu đƣợc ....................................................................................... 55
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 58
PHỤ LỤC............................................................................................................................ 60
i
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào nhiệt độ ............................................................. 53
Hình 3.2: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào cƣờng độ trƣờng bức xạ Laser .......................... 53
Hình 3.3: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào tần số trƣờng bức xạ Laser ............................... 54
Hình 3.4: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào tần số sóng điện từ yếu ..................................... 54
Hình 3.5: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào L........................................................................ 55
ii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Những tiến bộ vƣợt bậc trong lĩnh vực vật lí ở hai thập kỉ cuối thế kỉ XX
đƣợc đặc trƣng bởi sự chuyển hƣớng đối tƣợng nghiên cứu từ bán dẫn khối sang các
màng mỏng và cấu trúc nhiều lớp [2,10]. Trong các vật liệu kể trên, hầu hết các tính
chất của điện tử đều thay đổi, xuất hiện các tinh chất khác biệt so với vật liệu khối
(gọi là hiệu ứng giảm kích thƣớc) [17,20]. Trong các hệ thấp chiều và cấu trúc nano,
các quy luật lƣợng tử bắt đầu có hiệu lực, trƣớc hết là sự thay đổi phổ năng lƣợng.
Phổ năng lƣợng của điện tử trở thành gián đoạn theo hƣớng tọa độ bị giới hạn.
Ngày nay với sự phát triển cao của kĩ thuật trong nuôi cấy tinh thể nhƣ
epitaxy chùm phân tử (MEB) và kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCV) ngƣời ta đã
tạo ra các cấu trúc nano phẳng hai chiều nhƣ siêu mạng (superlattice) và hố lƣợng
tử (quantum well), cấu trúc một chiều nhƣ dây lƣợng tử (quantum wire) và cấu trúc
không chiều nhƣ chấm lƣợng tử (quantum dot).
Trong các hiệu ứng vật lí xuất hiện do hiệu ứng giảm kích thƣớc, sự hấp thụ
sóng điện từ tuyến tính và phi tuyến [19,23,27,29] trong bán dẫn thấp chiều cho
nhiều tính chất khác biệt so với bán dẫn khối.
Sự ra đời của các nguồn bức xạ cao tần, trong đó có laser CO2, đã mở ra
hƣớng nghiên cứu mới trên cả lĩnh vực lý thuyết và thực nghiệm. Các hiệu ứng cao
tần gây bởi tƣơng tác của các trƣờng sóng điện từ cao tần này đã đƣợc nghiên cứu
trong bán dẫn khối và bán dẫn siêu mạng. Khi có sóng điện từ cao tần tƣơng tác với
vật liệu thì có sự tham gia của photon vào q trình hấp thụ, phát xạ phonon. Kết
quả là xuất hiện hàng loạt hiệu ứng mới – hiệu ứng cao tần.
Trên lĩnh vực lý thuyết, đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về bài tốn hấp
thụ sóng điện từ mạnh nhƣ bài tốn hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử
tự do trong bán dẫn khối bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử , bài tốn
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp,
siêu mạng pha tạp, hố lƣợng tủ bằng phƣơng pháp Kubo-Mori [12-15] hay bài toán
hai sóng trong bán dẫn khối.
1
Tuy nhiên, bài toán nghiên cứu ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser lên sự hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp vẫn là bài toán
bỏ ngỏ. Trong luận văn này, chúng tơi tính tốn hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp dƣới ảnh hƣởng của bức xạ laser. Kết quả
lý thuyết cũng đƣợc khảo sát, tính số cụ thể đối với siêu mạng pha tạp n-GaAs/pGaAs.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong lĩnh vực lý thuyết, để nghiên cứu các hiệu ứng trên, ngƣời ta có thể
dùng các phƣơng pháp Kubo-Mori mở rộng [12-15], phƣơng pháp phƣơng trình
động lƣợng tử [16,21,28], phƣơng pháp hàm Green, phƣơng pháp tích phân phiếm
hàm,…
Trong luận văn này chúng tơi sử dụng phƣơng pháp phƣơng trình động
lƣợng tử đối với hàm phân bố điện tử trong hình thức lƣợng tử hóa lần thứ hai để
nghiên cứu sự hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng pha tạp dƣới ảnh hƣởng
của bức xạ laser.
3. Bố cục
Ngoài phần mở đầu. kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc
chia làm ba chƣơng.
CHƢƠNG 1: Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
và bài toán về ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu
trong bán dẫn khối
1.1. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
1.2. Bài toán về ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu
trong bán dẫn khối
CHƢƠNG 2: Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mangj pha tạp
khi có mặt hai sóng điện từ
2.1.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp
2.2.
Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp
khi có mặt hai sóng điện từ
2
CHƢƠNG 3: Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng pha tạp khi kể đến ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser
3.1. Biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng pha tạp khi kể đến ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ Laser
3.2.
Tính số và vẽ đồ thị
3.3.
Thảo luận kết quả thu đƣợc
Các kết quả chính của luận văn đã đƣợc báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn
quốc lần thứ 36 tháng 8, năm 2011 và đăng ở kỷ yếu hội nghị.
3
CHƢƠNG 1.
HÀM SÓNG VÀ PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG SIÊU MẠNG
PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN VỀ ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC XẠ
LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1.
Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là một cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau, có độ dày nanomet đặt kế tiếp nhau. Do cấu trúc tuần
hoàn nhƣ vậy, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các điện tử trong bán dẫn siêu
mạng còn phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn
rất nhiều hằng số mạng.
Siêu mạng pha tạp đƣợc tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhƣng pha tạp
khác nhau. Siêu mạng pha tạp có ƣu điểm là có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số
cảu siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
Giả sử thế của siêu mạng đƣợc tạo theo chiều z. Khi bỏ qua sự tƣơng tác giữa
các hố thế lân cận, nghĩa là bỏ qua sự phụ thuộc của năng lƣợng và thành phần
khơng gian, hàm sóng và phổ năng lƣợng theo phƣơng trình có dạng [4]:
s
0 ip j
ψ
(z) = e z z ( z jd ) (1.1)
n, p
j 1
z
1
2
= (n ) (1.2)
n
P
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(x,y) có dạng sóng phẳng và theo phƣơng của trục siêu mạng [14]
s
ip
0 ip j
ψ (r) = e u (r ) e z z ( z jd )
(1.3)
n
n, p
j 1
Và phổ năng lƣợng:
2 p 2
(n 1 )
(k )
n
p
2
2m*
4
(1.4)
Với:
m*: Khối lƣợng hiệu dụng của điện tử:
p (
4 e2 nD 12
) Là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ pha
0m
tạp nD.
s0: Số chu kỳ của siêu mạng.
n ( z ) : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập.
d: Chu kì siêu mạng.
m : khối lƣợng hiệu dụng của điện tử.
1.2. Bài toán về ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ
yếu trong bán dẫn khối
Trƣớc hết, ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt 2 sóng điện từ.
1.2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
H H H H
e
ph
e ph
(1.5)
e
Với : H
p A(t ) a a
e
c
p p
p
H
H
ph
q bq bq
q
C a a b b
e ph
q, p q p q p q q
1.2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:
n (t )
p
i
a a , Hˆ
t
p p t
(1.6)
5
Vế phải của (1.6) có tƣơng ứng ba số hạng với tốn tử Hamilton. Ta lần lƣợt tính
từng số hạng bằng cách tính tốn các giao hốn tử và cuối cùng thu đƣợc:
n
p
a b a a b a a b
i
C
a
a
b
a
t
p p q q t
pq p q t
p q p q t
q q p pq q t
*
*
Cq Fp, p q , q (t ) Fp q , p, q (t ) Fp , p q , q (t ) Fp , p q , q (t )
q
Vậy phƣơng trình (1.6) trở thành:
n (t )
p
(t ) F (t ) F*
(t )
i
C F (t ) F*
t
p q, p, q
p, p q, q
p , p q , q
q q p, p q , q
(1.7)
a b
Với F (t ) a
p , p ,q
1 2
p p q
1 2
t
Để giải (1.7) ta cần tính F (t ) thơng qua phƣơng trình:
p , p ,q
1 2
F (t )
p , p ,q
1 2
i
t
a b , H
a
p p q
1 2
t
(1.8)
Vế phải của (1.8) chứa 3 số hạng tƣơng ứng 3 số hạng của hàm Hamilton H. Ta
cũng lần lƣợt tính từng số hạng bằng cách tính các giao hoán tử và thu đƣợc:
F (t )
p , p ,q
e
1 2
i
( p ) ( p )
p p A(t ) F (t )
2
1
2
1
t
mc
q p , p ,q
1 2
(1.9)
b
a a
b b b
a
a
b b
C
C
q
q
p
p
q
q
q
q
q
p
q
p
q
q
q
q
1 2 1 1
1
1
1 1 2 1
1
1 1
1
t
t
(1.9) là phƣơng trình vi phân không thuần nhất với điều kiện F (t ) 0
p , p ,q
1 2
Trƣớc hết ta giải phƣơng trình vi phân thuần nhất tƣơng ứng.
6
F (t )
p , p ,q
e
1 2
i
( p ) ( p )
p p A(t ) F (t )
2
1 mc 2
1
t
q p , p ,q
1 2
e
dF
i
( p ) ( p )
p p A(t ) dt
2
1 mc 2
1
F
q
t
e
i
ln F ( p ) ( p )
p p A(t ) dt
2
1 mc 2
1
1
q 1
e
i
t
F o (t ) exp ( p ) ( p )
p p A(t ) dt
2
1 mc 2
1
1
p , p ,q
q 1
1 2
Do đó, nghiệm của phƣơng trình vi phân khơng thuần nhất có dạng:
F M (t ).F o (t )
F
M '(t ).F o (t ) M (t ) F o '(t )
t
Thay vào phƣơng trình khơng thuần nhất và giải ra nghiệm ta đƣợc:
t
i
a b b b
F (t )
a
C a a b b b
q q p q p q
p , p ,q
q q
p p q q q
q
1 2
1
1 2 1 1
1 t
t
1 1 1 1 2 1
2
2
t
ie
i
exp t t
p p A(t )dt dt (1.10)
2 mc
1 2
1 1
2
p
p
q
t
1
2
2
Thay (1.10) vào (1.7) ta đƣợc:
7
t
i
a b b b
b b b
C
a
a
a
q q p q p q q
q q
p pqq q q
q
1
1
1
1 1
1 t
t
1 1
2
2
ie t
i
exp t t
q A(t1 )dt1 dt2
2
p
mc t
pq
q
2
t
i
b b
a a b
C a a b b b
q q p p q q q q
q
pq pq q
q q
1
1
1 t
1
1
1
t
1 1
2
2
ie t
i
exp t t
p p A(t )dt dt
2 mc
1 2
1 1
2
pq
p
q
t
2
t
i
a a b b b
C a a b b b
q q p q q p q
q q
pq p q q
q
1 1
1
1
1 t
t
1 1
2
2
ie t
i
exp t t
q A(t )dt dt
2 mc
1 1
2
pq
p
q
t
2
t
i
b b
a a b
C a a b b b
q q p q p q q q
q
pqq p q
q q
1
1
1 t
1 1
1
t
1 1
2
2
ie t
i
exp t t
q A(t1 )dt1 dt2
2
p
mc t
pq
q
2
n (t )
p
i
C
t
q q
Toán tử số hạt của điện tử:
n (t ) a a
n, p 2
n, p n, p
t
2
n
(t2 ) a '
a
'
n , p q
n , p q n' , p q
t
N
q
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên q q
Toán tử số hạt của phonon:
8
2
b b
q q t
và
q
q
N 1 b b
q
q q t
n (t )
1
p
2
i
|Cq |
2
t
q
t
i
ie t
dt ' n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q A(t1)dt1
mc t '
q
p
q
pq
q
p
p q
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
q
pq
q
pq
q
p
p
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q A(t1)dt1
mc t '
q
pq
q
p
q
p q
p
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
q
p
q
p
q
pq
p q
(1.11)
E c
E c
Thay: A(t ) o1 cos t o2 cos t
1
2
1
2
và áp dụng khai triển: exp(iz sin )
J ( z )exp(i ) ta có:
ieE q
ieE q
ie t
o1 sin t ' sin t
o 2 sin t ' sin t
exp
q A(t )dt exp
1 1
1
1
2
2
2
mc
m
m2
t'
1
2
eE q eE q
J o1 J o1 exp(is t ') exp(il t )
l
1
1
2 s
2
l , s m m
1
2
eE q
eE q
J o 2 J o 2 exp(if t ') exp(im t )
f m 2 m m 2
2
2
f , m
1
2
eE
Đặt: a o1 ;
1 m2
1
eE
a o2 thì:
2 m2
2
ie t
exp
q A(t )dt
J a q J a q J
a q J a q
1 1
l 1
s 1
m 2
f 2
mc
t'
l , s, m, f
exp i ( s l ) ( m f ) t exp i( s m )(t t ')
1
2
1
2
Thay kết quả này vào (1.11) và đƣa vào thừa số: e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có:
9
n (t )
1
p
i
|C |2
J a q J a q J a q J a q exp i (s l ) (m f ) t
f 2
1
2
t
2 q q l , s, m, f l 1 s 1 m 2
t
i
dt ' n (t ') N n (t ')( N 1) exp s m i t t '
1
2
q p
q
q
p p q
p q
i
n (t ') N n (t ')( N 1) exp s m i t t '
1
2
q pq
q
q
p
p p q
i
n (t ') N n (t ')( N 1) exp s m i t t '
1
2
q pq
q
q
p
p q p
i
n (t ') N n (t ')( N 1) exp s m i t t ' (1.12)
1
2
q p
q
q
pq
p q p
(1.12) là phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) . Ta giải (1.12) bằng
phƣơng pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n (t ) n p và tính các tích phân sau:
p
t
i
K exp s m i t t ' dt '
1
1
2
pq
q
p
exp i ( s l ) (m f ) t '
t
1
2
K exp i ( s l ) (m f ) t ' dt '
2
1
2
i ( s l ) ( m f )
1
2
Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta đƣợc:
exp i ( s l )1 (m f )2 t '
1
2
n (t )
J aq J aq J a q J a q
|C |
f 2
p
i ( s l ) ( m f )
2 q q l , s, m, f l 1 s 1 m 2
1
2
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p p q q s1 m 2 i p p q q s1 m2 i
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
(1.13)
s m i s m i
1
2
1
2
pq p
q
pq p
q
(1.13) là hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ
10
1.2.3. Tính mật độ dịng trong bán dẫn khối
Biểu thức của mật độ dòng:
e e
J (t )
p A(t ) n (t )
m p
c
p
e2n
e2
e
o A(t ) e pn (t )
Hay: J (t )
A
(
t
)
n
(
t
)
pn
(
t
)
mc p
m p p
mc
m p p
p
(1.14)
với
np (t ) no
p
Ta xét số hạng thứ hai:
e
e
2
pn
(
t
)
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
s 1
m 2
f 2
m p p
m q q l , s, m, f l 1
exp i ( s l ) (m f ) t '
1
2
i ( s l ) ( m f )
1
2
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p s m i s m i
p p
1
2
1
2
pq
q
p
pq
q
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
(1.15)
s m i s m i
1
2
1
2
pq
p
q
pq
p
q
k :
k l s l k s
Đặt
ta có:
r l m f r m r :
11
e
e
2
pn
(
t
)
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
rm 2
m * p p
m * q q l , s, m, f k s 1 s 1 m 2
exp i k r t '
1
2
i k r
1
2
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p s m i s m i
p p pq
1
2
1
2
q
p pq
q
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
s m i s m i
1
2
1
2
pq p
q
pq p
q
Thực hiện các bƣớc chuyển đổi: q q, m m và sử dụng tính chất hàm
Bessel J ( x) J
( x) (1) J ( x)
exp i k 1 r 2 t '
e
e
2
q
pn (t )
|C |
m * p
m * q , p q k , s, m, r
k r
p
1
2
J a q J a q n p q N n p ( N 1)
s 1
m 2
q
q
J
a q J
a q
J
a q J
a q
sk 1
mr 2
ks 1
rm 2
s m i s m i
1
2
1
2
p q
p
q
pq
p
q
(1.16)
Áp dụng công thức sau:
exp i k r t cos (k r )t i sin (k r )t
1
2
1
2
1
2
Và
1
i ( x)
x i x
Lƣu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dịng J (t ) , ta có:
12
e
e
2
pn
(
t
)
|
C
|
qJ
a
q
J
a
q
m 2
m * p p
m * q , p q k , s, m, r s 1
J
a q J
a q J
a q J
a q
rm 2
sk 1
m r 2
k s 1
n p q Nq n p (Nq 1)
cos (k r )t
1
2
k r s m
1
2
pq
p
q
1
2
sin (k r )t
1
2 J
(i )
a q J
a q J
a q J
a q
rm 2
sk 1
m r 2
k r k s 1
1
2
(i ) s m
1
2
p
q
pq
Suy ra:
n p q N n p ( N 1)
q
q
e
e
J a q J aq
pn (t )
q
|C |2
s 1
m 2
m* p p
m * q, p q k , s, m, r
k r
1
2
cos (k r )t
1
2
J
aq J
a q J
aq J
a q
k s 1
rm 2
sk 1
m r 2 s m
1
2
pq
p
q
J
aq J
a q J
aq J
a q sin (k r )t
k s 1
rm 2
sk 1
m r 2
1
2
s m (1.17)
1
2
p
q
pq
Thay kết quả này vào biểu thức (1.14) ta thu đƣợc mật độ dòng trong bán dẫn khối:
n p q N n p ( N 1)
e2n
q
q
J a
o A(t ) e |C |2
J (t )
q
q
J
a
q
s 1
m 2
mc
m * q , p q k , s, m, r
k r
1
2
cos (k r )t
1
2
J
a q J
a q J
a q J
a q
ks 1
rm 2
sk 1
m r 2 s m
1
2
pq
p
q
J
a q J
a q J
a q J
a q sin (k r )t
rm 2
sk 1
m r 2
1
2
k s 1
s m
1
2
p
q
pq
(1.18)
13
1.2.4. Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt hai
sóng điện từ
Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả
thiết 2 1 nhƣ sau:
8
c E2
o2
J (t ) E o2 sin t
2 t
(1.19)
Thay (1.19) vào (1.20) ta đƣợc:
2
e no
e
A(t ) E o2 sin t
pn (t ) E o2 sin t
2
2
m p p
c E 2 mc
t
o2
t
8
Ta tính số hạng thứ nhất.
E c
E c
Với thế vectơ trƣờng sóng điện từ: A(t ) o1 cos t o2 cos t
1
2
1
2
e2n
e 2 n 1 T E c
E c
o A(t ) E sin t
o
o1 cos t o 2 cos t E sin tdt
o2
2
1
2 o2
2
mc
mc T o
1
2
t
2
2
Trong đó: T
và T
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
1
2
1
2
nhất của T1 và T2.
Sử dụng tích phân: sin(ax)cos(bx)dx
Suy ra:
e2n
o A(t ) E sin t
o2
2
mc
cos(a b) x cos(a b) x
với a 2 b2 (1.20)
2(a b)
2(a b)
0
(1.21)
t
Ta tính số hạng thứ hai, theo (1.20) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
cos (k 1 r2 )t sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
14
n p q N n p ( N 1)
q
q
e
eE o 2
2
pn (t ) E o 2 sin t
q|C |
2
m p p
m q, p
k r
q k , s, m, r
t
1
2
J a q J a q J
a q J
a q J
a q J
a q
s 1
m 2
rm 2
sk 1
m r 2
k s 1
1T
s m sin (k r )t sin tdt
1
2 T
1
2
2
p
q
pq
0
0 khi k r
T
1
2
2
Lƣu ý: sin (k r )t sin tdt
T
1
2
2
khi k r
0
1
2
2
2
Suy ra:
2
q
|
C
|
n p q N n p ( N 1)
2m q, p
q s, m
q
q
2
t
J a q J a q J
a q J
a q J
a q J
a q
k s 1
s 1
m 2
rm 2
sk 1
m r 2
e
pn
(
t
)
E o 2 sin t
2
m p p
eE o2
s m
1
2
p
q
pq
(1.22)
Với k 1 r2 2 (1.23)
Thay (1.22) vào (1.19) ta đƣợc hệ số hấp thụ:
4 2e
2
n p q N n p ( N 1) J s a1q J m a2 q
q|Cq |
q
q
c m E q, p
s, m
2 o2
J
a q J
a q J
a q J
a q s m
k s 1
rm 2
sk 1
m r 2 p q
1
2
p
q
Với k 1 r2 2
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
a
q
( 1)
1
J
(a q)
sk 1
0 !( s k 1) 2
2 s
k
a q
a q
( 1)
(
s
1)
1
1
!
(
s
1)
2
(
s
k
1)
2
0
k
a q
( s 1)
1 J (a q)
s
1
2
0 ( s k 1)
15
Vậy:
J
a q J
a q J
a q J
a q
rm 2
sk 1
m r 2
k s 1
k r
a q
( s 1)
a q
(m 1)
1 2
2 2 0 ( s k 1) (m r 1)
k r
a q a q
( s 1)
(
m
1)
1
2
J
(
a
q
)
J
(
a
q)
2 2 0 ( s k 1) (m r 1) s 1 m 2
2k r
J (a q) J (a q)
s 1 m 2
(a q)k (a q)r
1
2
2k 2r
a q a q
(
s
1)
(
m
1)
(
s
1)
(
m
1)
1 2
0 2 2 ( s k 1)(m r 1) ( s k 1)(m r 1)
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 Eo 2 ta cho r=1;k=0
(thoả mãn giả thiết k 1 r2 2 ta đƣợc:
2m
J
(a q) J
(a q) J (a q) J (a q) J (a q )
m 1 2 s 1
m 1 2
(a q) s 1 m 2
2
Suy ra:
8 2
2
2 2
2
|
C
|
n
N
n
(
N
1)
p
pq
mJ a1 q J a2 q
2
q
q
q
s
c E q, p s, m
m
(1.24)
02
s m
1
2
q
pq p
Viết dãy theo k, l trong công thức (1.24) dễ thấy các thành phần ứng với
s1 m2 0 tƣơng hỗ triệt tiêu. Trong trƣờng hợp khi 1 , 2 lớn so với năng
lƣợng trung bình điện tử ( p ) thì hàm trong (1.24) đƣợc viết lại là:
q2
s m
s m
1
2
1
2
2m
p
q
q
pq
16
Từ đó ta tìm đƣợc thứ tự của k1,2 theo các giá trị của q.
1/2
p
Sử dụng điều kiện tần số phonon p rút ra
với s là tốc độ sóng
1, 2 ms 2
q
âm. Nhƣ vậy tổng theo p khơng cịn phụ thuộc vào phần đối số của , ta thực
hiện lấy tổng
n (t ) n .
p p
o
Xét tán xạ điện tử - phonon quang ta có: và
o
q
2
C
q
k T
2 e2 1
1
o
và N 1 N B
q
q
V q 2 o
o
o
Từ (1.24) ta đƣợc:
2
8 2 e2 2 2 o 1 1 k BT
1
2
n
n
mJ
a
a2 q
p
q
p
2
1q J
s ,m
Vc E 2 o o o q q
s
o2
p q p q s1 m 2
m
16 3 e2 k BTno 2 1 1 1
2
Vc E 2 o o q q
s , m
o
p q p q s1 m 2
mJ a1 q J 2 a2 q
2
s
(1.25)
m
Áp dụng gần đúng: p , ta có:
1, 2
16 3e2 k Tn 1
1 1
B o 2
mJ 2 a q J 2 a q
1
2
q q 2 s, m
Vc E 2
s
m
o
o
o
q2
s m
o
1
2
2m
(1.26)
Xét trƣờng hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu 2 (m=1) và hạn chế
gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
17
x
(1)k x 2k
x
x2
J ( x)
1
1
2 k 0 22k k !( k 1)! 2
8
2
2
a q a q
2
mJ a q 2 1 2
m 2
2
2
m
Thay vào (1.26) ta đƣợc:
16 3e2 k Tn
B o 2
Vc E 2
02 o
1
1
o
1
q, p q 2 s
2
2
a q a q
2 1 2 J 2 a q
1
2
2
s
q2
s m
o
1
2
2m
chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn:
q2
s m 0 suy ra:
o
1
2
2m
s
o
q 2m s m 2m 1 1
1
2
o
2
2
Và lƣu ý:
2
2
2
2
eE
q
eE
q
a
q
a
q
2
2 1
2
mJ a q 2 1 2 o2 cos 1 o2 cos
m 2
2
2
2
2 m2
m
m2
2
Vậy:
18
2
16 3e2 k Tn eE
B o 2 o2 1 1
2m2 o
Vc E 2
o
2
o
s
eE
o
1 1
2
m
o
2
2
2
1
2
cos
2
2
2m
s
2
s
2
o
J a 2m 1 1
1
2
s
2
Đặt:
2
cos 4
cos
1 ; 2m suy ra:
2
2
2
2
o
e E 1
s
1
4 3e4k Tn
1
1
o2
2
2
cos4
B o
cos
2
Vc 2m23 o s
4m3
o
2
2
J 2 a 1 o cos
1
s
2
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
1 2 eEo q
eEq
J2
J
y dy
m m2
m m2
0
19
Suy ra:
2 E 2 1 o s
e
1
4 3e4k Tn
1
o2
2
2
cos 4
B o
cos
Vc 2m 23 o s
4m3
o
2
2
1
J 2 a 1 o
1
0 s
2
e2 E 2 1 o s
2
o2
2
cos 4
s y dy cos
4m3
s
2
1
2
o
s y dy
J a 1
0 s 1
2
(1.27)
(1.27) là biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối
khi có mặt hai sóng điện từ.
20
CHƢƠNG 2.
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ
TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI CÓ MẶT HAI SÓNG ĐIỆN TỪ
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp
2.1.
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp:
H H H ph H
e
e ph
H
e
n, p
p
n
b b
q q
ph
q
q
H
e ph
q n, n' , p
n, p
a
n, p
C I
(q )a
q n, n' z
n' , p
q
a
n, p
(b b )
q
q
: Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, p
,a
e
A(t ) a
c
n, p
H
a
n, p
(2.1)
.
b , b : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q
q q
p : Xung lƣợng của điện tử trong mặt phẳng vng góc với trục của siêu mạng
pha tạp.
: Tần số của phonon quang.
q
1 A(t )
A(t ) : Thế vecto của trƣờng điện từ, E sin( t ) E sin( t )
01
1
02
2
c t
s
iq z
0
I
(q ) 0d ( z jd ) ( z jd )e z dz : Thừa số dạng điện tử trong
n
n, n' z
n,
j 1
siêu mạng pha tạp.
: Năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp.
n, p
21
2
C
q
2 e2
1
1 1 : Hằng số tƣơng tác điện tử-phonon cho
0
2
V
q q 2 0
z
trƣờng hợp tán xạ điện tử-phonon quang.
Trong đó:
V : Thể tích chuẩn hóa (chọn V 1 ).
2.2. Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha
tạp khi có mặt hai sóng điện từ
Gọi n (t ) a a
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
n, p
n, p n, p
t
Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:
n (t )
n, p
i
a a , H
t
n, p n, p
t
(2.2)
Tính tốn các giao hoán tử trong (2.2), ta đƣợc
n
p
i
C I
(q ) a a
b a '
a b
q n, n' z n, p
t
q '
n, p q
n' , p q
n' , q
n
,
p
q
t
t
a
a b a a
b (2.3)
n, p q n, p '
q
n' , p q
n
,
p
q
t
t
22
