Phương pháp giải một số bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------------

ĐẶNG XUÂN SƠN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------------

ĐẶNG XUÂN SƠN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
1. GS.TSKH. Lê Dũng Mưu
2. GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ
CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN
Người hướng dẫn khoa học

Chủ tịch hội đồng đánh giá
Luận án Tiến sĩ

GS.TSKH. Lê Dũng Mưu

PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung
với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận
án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất cứ một cơng trình nào khác.

Hà nội, ngày

tháng

năm

Nghiên cứu sinh

Đặng Xn Sơn

2


LỜI CẢM ƠN
Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Cơ-Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu và GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ
lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫn
tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thành viên trong nhóm Xêmina liên cơ
quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại
học Bách khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp về Tốn đã đóng góp nhiều ý kiến
q báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa
Toán-Cơ-Tin học, ban giám hiệu Trường THPT chuyên Trần Phú Hải Phịng đã
ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Bản luận án này sẽ không thể hồn thành nếu khơng có sự thơng cảm, chia sẻ
và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tác giả thành kính dâng
tặng món q tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân u
của mình với tấm lịng trân trọng và biết ơn sâu sắc.

3


MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

4

Bảng kí hiệu

6

Bảng các chữ viết tắt

8

Mở đầu

9

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán điểm bất động . . . . . .
1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân .
1.4 Bài toán cân bằng . . . . . . . . .

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Chương 2. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG

2.1 Nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và
bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài toán bất
đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co
2.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh
xạ bán co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
16
17
22

28
28
38
52

Chương 3. BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
3.1 Bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng
và điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bài tốn tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Kết luận và kiến nghị

89
4

64
75


Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

91

Tài liệu tham khảo

92

5


BẢNG KÍ HIỆU

R

tập số thực

N

tập số tự nhiên

N∗

tập số nguyên dương

∅

tập rỗng

A⊂B

A là tập con của B

B

tích Descartes của hai tập A và B

x∈A

phần tử x thuộc tập A

x∈
/A

phần tử x không thuộc tập A

∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

Rn

không gian Euclide n−chiều

H

khơng gian Hilbert thực

x

chuẩn của vectơ x

x, y

tích vơ hướng của hai vectơ x và y

argmin{f (x) : x ∈ C}

phần tử cực tiểu hàm f trên C

argmax{f (x) : x ∈ C}

phần tử cực đại hàm f trên C

NC (x)

nón pháp tuyến ngồi của C tại x

∂f (x)

dưới vi phân của hàm f tại x

PC (x)

hình chiếu của x lên C

{xn }

dãy vectơ xn

xn −→ x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x

lim sup

giới hạn trên

lim inf

giới hạn dưới

A∗

toán tử liên hợp của A

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

V IP (C, F )

bài toán bất đẳng thức biến phân

Sol(C, F )

tập nghiệm của bài toán V IP (C, F )

EP (C, f )

bài toán cân bằng
6


Sol(C, f )

tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f )

✷

kết thúc chứng minh

7

BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

VIP

bài toán bất đẳng thức biến phân

EP

bài toán cân bằng

SEP

bài toán cân bằng tách

CFP

bài toán chấp nhận lồi

GCFP

bài toán chấp nhận lồi suy rộng

SFP

bài toán chấp nhận tách

MSSFP

bài toán chấp nhận tách đa tập hợp

SFPP

bài toán điểm bất động tách

8


MỞ ĐẦU

Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong khoa học và kĩ thuật như khơi phục ảnh, xử lý tín hiệu và
nhiều bài tốn như: tối ưu, bất đẳng thức biến phân, giải hệ phương trình, cân
bằng,...(xem [10,29,31] và các tài liệu tham chiếu ở đây) đều có thể đưa về việc giải
bài tốn chấp nhận lồi (CFP - Convex Feasibility Problem) sau đây:
N
∗

Tìm điểm x ∈

Ci ,
i=1

trong đó Ci , i = 1, 2, . . . , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert
hoặc khơng gian Banach.
Bài toán CFP được Cauchy đề cập từ giữa thế kỉ 19 và nhận được sự quan tâm
và nghiên cứu rộng rãi trong hai thập niên gần đây cả về lý thuyết và thuật toán.
Đây là một bài toán cơ bản và khá tổng qt của tốn giải tích, tốn học tính tốn
và tốn ứng dụng. Bài tốn chấp nhận lồi đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
toán học từ những năm 30 của thế kỷ trước, nhưng cho đến nay, đây vẫn là một
vấn đề thời sự, do tính lý thú về mặt tốn học và đặc biệt là phạm vi ứng dụng

rất rộng rãi của bài toán trong các lĩnh vực như xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, lý
thuyết tối ưu, kĩ thuật y sinh và lý thuyết xấp xỉ [29]. Một số tác giả tiêu biểu về
hướng nghiên cứu này là Bauschke và Borwein [10], Butnariu, Censor, Reich [15],...
Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi đóng
cho trước. Trong trường hợp này thì kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sử
dụng phép chiếu lên các tập lồi với một số phương pháp như phương pháp chiếu
xoay vòng (tuần tự), phương pháp chiếu lặp song song (đồng thời), phương pháp lặp
khối,...Tuy nhiên, trong thực tế thì thường các tập Ci đều không được cho dưới dạng
9


tường minh, theo nghĩa là hình chiếu lên các tập này khơng thể tính được một cách
trực tiếp. Thay vào đó các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là tập nghiệm
của các bài tốn nào đó, chẳng hạn như bài tốn hệ phương trình, bài tốn cân
bằng, bài tốn bất đẳng thức biến phân, bài tốn tìm điểm bất động của một ánh
xạ,...Trong luận án này chúng tơi gọi các bài tốn chấp nhận lồi trong các trường
hợp đó là bài tốn chấp nhận lồi suy rộng (GCFP - Generalized Convex Feasibility
Problem). Thuật toán giải các bài toán chấp nhận lồi suy rộng đã được nhiều tác giả
trong và ngồi nước nghiên cứu [3,5,6,22,25,26,33,39,41,42,44,46,46,54,59–62,72].
Bài tốn chấp nhận lồi suy rộng là một trường hợp đặc biệt của bài tốn chấp
nhận tách suy rộng, tức là tìm một điểm thuộc tập nghiệm của một bài toán chấp
nhận lồi suy rộng trong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một tốn tử
tuyến tính bị chặn thuộc tập nghiệm của một bài toán chấp nhận lồi suy rộng khác
trong không gian ảnh. Một trường hợp riêng rất quan trọng của bài toán chấp nhận
tách suy rộng là bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP - Multiple-Sets Split
Feasibility Problem), tức là tìm một điểm thuộc giao của một họ các tập lồi đóng
trong khơng gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một tốn tử tuyến tính bị chặn
thuộc giao của một họ các tập lồi đóng trong không gian ảnh. MSSFP được mô tả
như sau:

M

N
∗

∗

Ci sao cho Ax ∈

Tìm điểm x ∈

Qj
j=1

i=1

trong đó Ci , i = 1, 2, . . . , N là các tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian H1
(khơng gian Hilbert hoặc không gian Banach) và Qj , j = 1, 2, . . . , M là các tập lồi
đóng khác rỗng trong khơng gian H2 (khơng gian Hilbert hoặc không gian Banach),
A : H1 −→ H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn.
Bài tốn chấp nhận tách đa tập hợp được giới thiệu đầu tiên bởi Censor và các
đồng nghiệp [28]. Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp có nhiều ứng dụng thực tế
trong y học xạ trị [24,28] và trong các bài tốn khơi phục ảnh và xử lý tín hiệu [16].
Trong những năm gần đây MSSFP đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều
nhà toán học (xem [8, 14, 74, 75] và các tài liệu tham chiếu ở đây).

10


Nội dung và Bố cục của luận án

Luận án nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải một số bài toán chấp nhận
tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng trong khơng gian Hilbert thực. Các
bài tốn chấp nhận tách suy rộng được nghiên cứu trong luận án bao gồm: Tìm
nghiệm chung của bài tốn điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài toán cân
bằng, nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất
động của ánh xạ bán co, điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ bán
co, bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng và điểm bất
động, bài tốn cân bằng tách. Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,
luận án được chia làm 3 chương. Kết quả chính của luận án được trình bày trong
các Chương 2 và 3.
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cũng như các
kết quả bổ trợ được sử dụng trong các chương 2 và 3 của luận án. Cụ thể, chương
này nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của tốn tử chiếu trên một tập lồi đóng.
Sau đó, chúng tơi trình bày lại một cách hệ thống các kết quả quan trọng về bài
toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng. Trong
phần cuối của chương, chúng tôi nêu lên một số bổ đề được sử dụng trong chứng
minh sự hội tụ của các thuật toán đề xuất trong luận án.
Trong phần đầu của Chương 2, chúng tơi đưa ra thuật tốn tìm nghiệm chung
của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài tốn cân bằng. Chúng tơi
đã đề xuất một thuật toán kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toán
cân bằng giả đơn điệu và phép lặp Mann cho bài toán điểm bất động của ánh xạ
giả co chặt. Điểm mới so với các thuật tốn đã biết là chúng tơi xét bài tốn cân
bằng giả đơn điệu, là bài toán tổng quát hơn bài toán cân bằng đơn điệu, đồng thời
ánh xạ giả co chặt là một mở rộng của ánh xạ không giãn. Tiếp theo, chúng tơi đưa
ra thuật tốn giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài
toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co. Trong
mục cuối cùng của chương, chúng tơi đề xuất thuật tốn song song để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ bán co.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải một vài lớp

11


bài toán chấp nhận tách suy rộng. Bằng cách kết hợp phương pháp đạo hàm tăng
cường giải bài toán cân bằng giả đơn điệu, phương pháp điểm gần kề giải bài tốn
cân bằng đơn điệu, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ khơng
giãn và thuật tốn CQ cho bài tốn chấp nhận tách, chúng tơi thu được thuật tốn
tìm nghiệm của bài tốn chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng
và điểm bất động. Từ đó chúng tơi thu được thuật tốn tìm nghiệm của bài tốn
cân bằng tách, thuật tốn tìm nghiệm của bài tốn cân bằng [58], thuật tốn tìm
nghiệm của bài toán điểm bất động tách, thuật toán CQ [68] để giải bài toán chấp
nhận tách. Trong mục tiếp theo, chúng tơi đưa ra thuật tốn giải bài tốn tìm cực
trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng tách và một số
hệ quả của nó. Bằng cách kết hợp thuật tốn CQ, phương pháp lặp Halpern và
phương pháp đạo hàm tăng cường, chúng tôi xây dựng được dãy lặp hội tụ mạnh
đến nghiệm duy nhất của bài toán.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số thuật toán giải bài toán chấp
nhận tách suy rộng và bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài
tốn chấp nhận tách suy rộng sau đây:
• Tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và bài
tốn cân bằng.
• Bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài toán bất
đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co.
• Bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh
xạ bán co.
• Tìm nghiệm của bài tốn chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân
bằng và điểm bất động.
• Tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng tách.

12


Phương pháp nghiên cứu
Để thu được những kết quả nói trên chúng tôi đã sử dụng đến nhiều kết quả và
phương pháp của giải tích hàm, giải tích lồi. Ngồi ra các kiến thức và công cụ khác
nhau của tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài tốn cân bằng và lý thuyết điểm
bất động cũng đã được kết hợp sử dụng để xây dựng các thuật toán và đặc biệt là
để chứng minh các kết quả về sự hội tụ. Cụ thể như sau:
• Để tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt
và bài tốn cân bằng, chúng tơi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường
cho bài toán cân bằng và phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh
xạ giả co chặt.
• Để giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của bài
toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co,
chúng tôi sử dụng phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân
và phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ bán co.
• Để giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của
các ánh xạ bán co, chúng tôi sử dụng kỹ thuật phân rã song song và phép lặp
Mann để tìm điểm bất động chung của các ánh xạ bán co kết hợp với phương
pháp lai ghép đường dốc nhất để giải bài tốn bất đẳng thức biến phân.
• Để tìm nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài tốn
cân bằng và điểm bất động, chúng tơi sử dụng phương pháp đạo hàm tăng
cường-gần kề cho bài toán cân bằng, phương pháp lặp Mann tìm điểm bất
động của ánh xạ khơng giãn và thuật tốn CQ cho bài tốn chấp nhận tách.
• Để tìm cực trị của hàm khoảng cách trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
tách, chúng tơi kết hợp thuật tốn CQ cho bài tốn chấp nhận tách với phương
pháp lặp Halpern và phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng.

Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả chính sau đây:
13


• Đề xuất và chứng minh được tính đúng đắn, sự hội tụ của thuật tốn tìm
nghiệm chung của bài toán điểm bất động của các ánh xạ giả co chặt và bài
tốn cân bằng. Đóng góp mới ở đây là đã xét trường hợp ánh xạ giả co chặt
là một lớp ánh xạ rộng hơn lớp ánh xạ không giãn đã được xét bởi các tác giả
khác. Hơn nữa ở đây song hàm cân bằng chỉ là giả đơn điệu.
• Xây dựng thuật tốn giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm chung của
bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động của ánh xạ bán co. Đã
chứng minh được tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán đề xuất. Điểm
mới ở đây là chúng tơi đã xét bài tốn với ánh xạ bán co.
• Đề xuất thuật tốn song song giải bài tốn bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động chung của các ánh xạ bán co. Chứng minh được tính đúng đắn
và sự hội tụ của thuật tốn đưa ra.
• Xây dựng và chứng minh được tính đúng đắn, sự hội tụ của thuật tốn tìm
nghiệm của bài tốn chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng
và điểm bất động. Theo chúng tôi được biết, đây là một thuật tốn đầu tiên
cho bài tốn này.
• Đưa ra thuật tốn mới giải bài tốn tìm cực trị của hàm khoảng cách trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng tách cũng như chứng minh được sự hội tụ
và tính đúng đắn của thuật tốn.
Các kết quả của luận án được công bố trong 5 bài báo [1-5] trên các tạp chí chuyên
ngành quốc tế thuộc hệ thống ISI và SCOPUS, đã được nêu trong danh mục cơng
trình khoa học và được báo cáo tại
• Xêmina của bộ mơn giải tích - Khoa Tốn Cơ Tin học - Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Xêmina liên cơ quan Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Bách khoa Hà Nội và Viện nghiện cứu cao cấp về Tốn.

• Hội thảo Tối ưu và Tính tốn khoa học lần thứ 15, Ba Vì, 20-22/4/2017.
• Hội thảo Quốc tế Việt Hàn về một số vấn đề chọn lọc trong toán học, Đà
Nẵng, 20-24/2/2017.
14


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ
được sử dụng trong luận án. Phần đầu chương trình bày tốn tử chiếu và các tính
chất của nó. Các mục tiếp theo liên quan tới bài tốn tìm điểm bất động, bài toán
bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng. Phần cuối chương giới thiệu một số
bổ đề được dùng để chứng minh các kết quả trong luận án.

1.1

Tốn tử chiếu

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Xét ánh xạ
PC : H −→ C cho bởi
PC (x) = argmin{ y − x : y ∈ C}
được gọi là toán tử chiếu từ H lên C. Vì C là tập lồi đóng khác rỗng nên PC (x)
ln tồn tại và duy nhất. Sau đây là một số tính chất của toán chiếu PC .
Bổ đề 1.1. [36] Cho x ∈ H và y ∈ C, khi đó
(i) y = PC (x) khi và chỉ khi
x − y, z − y ≤ 0 ∀z ∈ C.
(ii) y = PC (x) khi và chỉ khi
x−y

2

≤ x−z

2

− z−y

2

∀z ∈ C.

(iii) Với mọi x, y ∈ H, ta có
PC (x) − PC (y)

2

≤ PC (x) − PC (y), x − y .
15


(iv) Với mọi x, y ∈ H, ta có
PC (x) − PC (y) ≤ x − y .
Ví dụ 1.1. Cho ω = 0, x0 ∈ H và nửa không gian H xác định bởi
H = {y ∈ H : ω, y − x0 ≤ 0}.
Khi đó
ω, x − x0
PH (x) = x −
ω ∀x ∈
/ H.

ω 2
Ví dụ 1.2. Giả sử R > 0, x0 ∈ H và hình cầu S xác định bởi
S = {x ∈ H : x − x0 ≤ R}.
Khi đó
PS (x) = x0 +

1.2

R
(x − x0 ) ∀x ∈
/ S.
0
x−x

Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.1. Cho C ⊂ H là một tập khác rỗng và ánh xạ T : C −→ C. Điểm
x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x.
Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), tức là
Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}.
Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert
thực H, ánh xạ T : C −→ C được gọi là
a) không giãn trên C nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y

∀x, y ∈ C;

b) bán co trên C với hệ số γ ∈ [0, 1) nếu Fix(T ) = ∅ và
T (x) − x∗

2

≤ x − x∗

2

+ γ T (x) − x

2

∀x ∈ C, ∀x∗ ∈ Fix(T ).

Đặc biệt, nếu γ = 0 thì T được gọi là tựa khơng giãn trên C.
c) giả co chặt trên C với hệ số L ∈ [0, 1) (gọi tắt là L-giả co chặt trên C) nếu
T (x) − T (y)

2

≤ x−y

2

+ L (I − T )(x) − (I − T )(y)
16

2

∀x, y ∈ C,

trong đó I là ánh xạ đồng nhất trên H;
d) thỏa mãn nguyên lý bán đóng (hoặc I − T bán đóng tại 0 với I là ánh xạ
đồng nhất) nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x và T (xk ) − xk −→ 0 thì
x ∈ Fix(T ).
Ta có các kết quả sau đây:
Bổ đề 1.2. [36] Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực
H và T : C −→ C là ánh xạ không giãn. Khi đó Fix(T ) là tập lồi đóng.
Mệnh đề 1.1. [2] Giả sử C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H, S : C −→ C là ánh xạ L-giả co chặt, Si : C −→ C là ánh xạ Li -giả co chặt
với mỗi i = 1, 2, . . . , p, khi đó ta có
a) S thỏa mãn điều kiện Lipschitz
S(x) − S(y) ≤

1+L
x−y
1−L

∀x, y ∈ C;

b) S thỏa mãn nguyên lý bán đóng;
c) Fix(S) là tập lồi đóng;
p

d) Nếu λi > 0 với mọi i = 1, 2, . . . , p và

p

i=1

p

λi Si =
i=1

1.3

¯
λi Si là L-giả

λi = 1 thì ánh xạ
i=1

¯ := max{Li : 1 ≤ i ≤ p} và
co chặt với L
Fix

p

Fix(Si ).
i=1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, Ω ⊂ H
là một tập chứa C, F : Ω −→ H là một ánh xạ. Ta xét bài toán bất đẳng thức biến
phân V IP (C, F ) sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

(1.1)

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) được ký hiệu là
Sol(C, F ) và F được gọi là ánh xạ giá.

17


Xét trường hợp F : Ω −→ H là ánh xạ đồng nhất. Khi đó V IP (C, F ) trùng với
bài tốn tìm phần tử có chuẩn nhỏ nhất trên C:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ≤ x

∀x ∈ C.

Thật vậy, giả sử x∗ là nghiệm của V IP (C, F )
x∗ , x − x∗ ≥ 0.
Bất đẳng thức trên tương đương với
x∗ , x ≥ x∗

2

∀x ∈ C.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
x∗ , x ≤ x∗ . x .
Do đó x ≥ x∗ với mọi x ∈ C, hay x∗ ∈ C là phần tử có chuẩn nhỏ nhất.
Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là phần tử có chuẩn nhỏ nhất. Vì C là tập lồi nên
x∗ + λ(x − x∗ ) = λx + (1 − λ)x∗ ∈ C ∀x ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1].
Do vậy
x∗ ≤ x∗ + λ(x − x∗ )

∀x ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1].

Bình phương hai vế và rút gọn, ta có
2 x∗ , x − x∗ + λ x − x∗

2

≥ 0 ∀x ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1].

Cho λ −→ 0+ , ta được
x∗ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của V IP (C, F ).
Sự tồn tại nghiệm của V IP (C, F ) được suy ra từ tính liên tục của F và điều kiện
tập C là compact. Ta có kết quả sau:
Định lý 1.1. [43] Nếu C là tập lồi compact và F là liên tục trên C thì V IP (C, F )
có nghiệm.

18


Trong trường hợp tập C khơng compact thì định lý điểm bất động Brouwer
khơng cịn có thể áp dụng được. Khi đó sự tồn tại nghiệm của V IP (C, F ) có thể
được thiết lập dựa vào tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của F .
Định nghĩa 1.3. [30, 43] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ F : C −→ H được gọi là
a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 (gọi tắt là β-đơn điệu mạnh trên C)
nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y

2

∀x, y ∈ C;

b) liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0 (gọi tắt là L-liên tục Lipschitz trên
C) nếu
F (x) − F (y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C;

c) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (gọi tắt là η-đơn điệu mạnh
ngược trên C) nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ η F (x) − F (y)

2

∀x, y ∈ C;

d) đơn điệu trên C nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
e) giả đơn điệu trên C nếu
F (x), y − x ≥ 0 =⇒ F (y), y − x ≥ 0 ∀x, y ∈ C.
Định lý 1.2. [1] Cho F : Ω −→ H đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 và
liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0. Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân
V IP (C, F ) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Chọn λ ∈ 0,

2β
L2

bất kỳ và xét ánh xạ T : C −→ C cho bởi

T (x) = PC (x − λF (x)) ∀x ∈ C.
Vì F đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 và liên tục Lipschitz trên C với hệ số

19


L > 0 nên với mọi x, y ∈ C, ta có
T (x) − T (y)

2

= PC (x − λF (x)) − PC (y − λF (y))
≤ x − λF (x) − (y − λF (y))

2

2

= x−y

2

− 2λ F (x) − F (y), x − y + λ2 F (x) − F (y)

≤ x−y

2

− 2λβ x − y

2

= (1 − 2λβ + λ2 L2 ) x − y

+ λ2 L2 x − y

2

2

2

= [1 − λ(2β − λL2 )] x − y 2 .
Do đó
T (x) − T (y) ≤ ρ x − y
với
ρ=

1 − λ(2β − λL2 ) ∈ [0, 1).

Vậy T : C −→ C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất x∗ ∈ C
sao cho T (x∗ ) = x∗ hay PC (x∗ − λF (x∗ )) = x∗ . Theo Bổ đề 1.1 về tính chất của
phép chiếu, ta có
x∗ − λF (x∗ ) − x∗ , y − x∗ ≤ 0 ∀y ∈ C.
Do đó
F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm duy nhất của V IP (C, F ).
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966
khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên của
mình về bất đẳng thức biến phân liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển

tối ưu và các bài toán biên trong phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn bất đẳng
thức biến phân đã nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà tốn học vì nó là
một bài tốn quan trọng trong giải tích phi tuyến, tối ưu, phương trình vi phân và
các lĩnh vực khác [11, 12, 34, 38, 71]. Ngồi ra bài tốn bất đẳng thức biến phân có
quan hệ mật thiết và chứa nhiều bài toán quan trọng như bài toán tối ưu, bài toán
bù, bài toán điểm bất động Brouwer, cân bằng mạng lưới giao thông, lý thuyết trò
chơi,...
20


Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến
phân là xây dựng các phương pháp giải. Trong các phương pháp giải bài toán bất
đẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trị quan trọng vì nó đơn
giản và thuận tiện cho việc tính tốn. Phương pháp chiếu đơn giản nhất cho bài
toán bất đẳng thức biến phân là phương pháp chiếu một lần với dãy lặp xác định
bởi



x0 ∈ C,

xk+1 = PC (xk − λF (xk )),

Dưới các điều kiện cho trước của tham số λ và tính đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz trên C của ánh xạ giá F thì dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ ∈
Sol(C, F ).
Phương pháp chiếu một lần địi hỏi tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của
ánh xạ giá F . Trong trường hợp ánh xạ giá F là giả đơn điệu và liên tục Lipschitz,
ta có phương pháp đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng thức biến phân
V IP (C, F ) với thuật toán cho bởi




x0 ∈ C,



y k = PC (xk − λF (xk )),




xk+1 = P (xk − λF (y k )),
C
1
. Khi đó nếu F : H −→ H giả đơn điệu và liên tục Lipschitz
L
trên C thì các dãy lặp {xk } và {y k } hội tụ yếu đến x∗ ∈ Sol(C, F ).

trong đó λ ∈ 0,

Gần đây, vào năm 2011, Censor và các đồng nghiệp [25] đã đề xuất phương pháp
dưới đạo hàm tăng cường với dãy lặp được xác định bởi



x0 ∈ H,




y k = PC (xk − λF (xk )),




xk+1 = P (xk − λF (y k )),
Tk
1
và nửa không gian Tk = {ω ∈ H : xk − λF (xk ) −
L
≤ 0}. Do phép chiếu lên nửa khơng gian Tk có thể tính được tường minh

trong đó tham số λ ∈ 0,
yk , ω − yk

nên thuật tốn Censor thực chất chỉ địi hỏi một lần chiếu lên C. Giả sử F : H −→ H
21


đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và tập nghiệm Sol(C, F ) = ∅. Khi đó
{xk } và {y k } hội tụ yếu đến nghiệm x∗ ∈ Sol(C, F ).

1.4

Bài toán cân bằng

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H, f :
C × C −→ R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán
cân bằng EP (C, f ) cho song hàm f trên C là bài tốn
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y ∈ C.

(1.2)

Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (1.2) là Sol(C, f ). Tập C được gọi là
tập chấp nhận được hay là tập chiến lược và f là song hàm cân bằng của bài toán
EP (C, f ).
Sau đây là một số bài tốn quen thuộc có thể mơ tả được dưới dạng bài toán cân
bằng.
Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và ánh xạ F : C −→ H. Ta xét bài toán
bất đẳng thức biến phân V IP (C, F )
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi
f (x, y) = F (x), y − x ∀x, y ∈ C.
Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân trùng với EP (C, f ).
Bài tốn tìm điểm bất động.
Cho T : C −→ C là một ánh xạ với C ⊂ H là một tập khác rỗng. Bài toán tìm
điểm bất động của ánh xạ T là bài tốn
Tìm x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ .
Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi
f (x, y) = x − T (x), y − x ∀x, y ∈ C.
22


Khi đó bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ T trùng với EP (C, f ).
Thật vậy, nếu T (x∗ ) = x∗ thì f (x∗ , y) = 0 với mọi y ∈ C. Do đó bất đẳng thức ở
(1.2) đúng. Vậy x∗ ∈ Sol(C, f ).
Ngược lại, nếu x∗ ∈ Sol(C, f ) thì
f (x∗ , y) ≥ 0 ∀y ∈ C.
Do đó

x∗ − T (x∗ ), y − x∗ ≥ 0 ∀y ∈ C.
Chọn y = T (x∗ ) ∈ C, ta được − T (x∗ ) − x∗

2

≥ 0 hay T (x∗ ) = x∗ .

Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T .
Bài toán tối ưu.
Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và hàm số F : C −→ R. Bài toán tối ưu
là bài toán được xác định bởi
min F (x)
x∈C

Xét song hàm f : C × C −→ R cho bởi
f (x, y) = F (y) − F (x) ∀x, y ∈ C.
Khi đó bài toán tối ưu trùng với bài toán cân bằng EP (C, f ).
Bài toán điểm yên ngựa.
Cho N ⊂ Rn , M ⊂ Rm là các tập lồi, đóng, khác rỗng và L : N × M −→ R. Xét
bài tốn điểm n ngựa
Tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ N × M sao cho L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ ) ∀(x, y) ∈ N × M.
Một nghiệm (x∗ , y ∗ ) ∈ N × M của bài tốn điểm n ngựa được gọi là một điểm
yên ngựa của L trên N × M .
Bài tốn điểm n ngựa có thể mơ tả được dưới dạng bài tốn cân bằng bằng
EP (C, f ) với C = N × M bằng cách đặt
f (u, v) = L(x, y ) − L(x , y),
trong đó
u = (x , y ) ∈ C = N × M, v = (x, y) ∈ C = N × M.
23

Bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác.
Xét trị chơi có p người chơi. Giả sử Kj ⊂ Rnj , nj ∈ N∗ với j ∈ {1, 2, . . . , p}, là các
tập lồi, đóng, khác rỗng và là tập chiến lược của người chơi thứ j, j ∈ {1, 2, . . . , p}.
Lj : C −→ R với C := K1 × K2 × · · · × Kp là hàm lợi ích của người chơi thứ j,
Lj (x1 , . . . , xj , . . . , xp ) là lợi ích của người chơi thứ j khi người chơi này chọn phương
án chơi xj ∈ Kj , còn những người chơi khác chọn phương án chơi xi ∈ Ki với mọi
i = j.
Ta gọi x∗ = (x∗1 , . . . , x∗j , . . . , x∗p ) là điểm cân bằng của L := (L1 , . . . , Lj , . . . , Lp )
trên C := K1 × K2 × · · · × Kp nếu với mọi j ∈ {1, 2, . . . , p} và mọi yj ∈ Kj , ta có
Lj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , . . . , x∗p ) ≤ Lj (x∗1 , . . . , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , . . . , x∗p ).
Định nghĩa này cho thấy rằng nếu một người chơi thứ j nào đó rời khỏi phương
án cân bằng, trong khi những người chơi khác vẫn giữ phương án cân bằng thì người
chơi thứ j sẽ bị thua thiệt. Điểm cân bằng này được gọi là điểm cân bằng Nash vì
khái niệm này do nhà kinh tế học John Forbes Nash đưa ra đầu tiên.
Bài toán cân bằng Nash là bài tốn tìm điểm cân bằng của L trên C, ký hiệu là
N E(C, L). Bài tốn này có thể mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng EP (C, f ), trong
đó f : C × C −→ R được xác định bởi
p

[Lj (x1 , . . . , xj , . . . , xp ) − Lj (x1 , . . . , xj−1 , yj , xj+1 , . . . , xp )],

f (x, y) =
j=1

với mọi
x = (x1 , . . . , xj , . . . , xp ) ∈ C, y = (y1 , . . . , yj , . . . , yp ) ∈ C.
Ta có định lý sau đây về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Định lý 1.3. [35] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert
thực H và song hàm f : C × C −→ R ∪ {+∞}. Giả sử với mỗi y ∈ C thì hàm f (·, y)

nửa liên tục trên và hàm f (x, ·) tựa lồi với mỗi x ∈ C. Khi đó nếu tập C là compact
hoặc tồn tại tập compact khác rỗng B ⊂ H và y 0 ∈ B ∩ C sao cho f (x, y 0 ) < 0 với
mọi x ∈ C\B thì bài tốn cân bằng EP (C, f ) có nghiệm.
Cơng thức (1.2) lần đầu tiên được đưa ra bởi H. Nikaido và K. Isoda [55] vào
năm 1955 khi tổng qt hóa bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác.
24