ToanChuyen QUOC HOC HUE (2010-2011)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC </b>

<b>THỪA THIÊN HUẾ</b> <b> Khố ngày 24.6.2010</b>

<b>ĐỀ CHÍNH THỨC</b>

<b>Mơn: TỐN</b>

<b> Thời gian làm bài: 150 phút </b>

<b>Bài 1</b>

<b> :</b>

<b> (1,5 điểm)</b>

Xác định tham số m để phương trình



<i>m</i>1



<i>x</i>2 2



<i>m</i>1



<i>x m</i>  2 0

có hai nghiệm

phân biệt

<i>x x</i>1, 2

thoả mãn:

4



<i>x</i>1<i>x</i>2



7<i>x x</i>1 2

.

<b>Bài 2</b>

<b> :</b>

<b> (2,0 điểm)</b>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

<i>P x</i> 2<i>xy y</i> 2 2<i>x</i> 3<i>y</i>2010

_{khi các số thực}

<i>x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y.</i>

<b>Bài 3</b>

<b> :</b>

<b> (2,5điểm)</b>

a) Giải phương trình :

3 <i>x</i> 3 35 <i>x</i> 2

_.

b) Giải hệ phương trình :

1 1

4 0
1

- 4 = 0
x

<i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>xy</i>

<i>y</i> <i>y</i> <i>x</i>



    





 _ _ _




Bài 4

<b> :</b>

<b> (2,0 điểm) </b>

Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC

cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.

a) Gọi (K) là đường trịn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh

rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của

tam giác ABC.

<b>Bài 5</b>

<b> :</b>

<b> (2,0 điểm)</b>

a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng :

65

5

26



2

_.

Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một

khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức

ab

b

ca



c

_đúng.

b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc cịn lại

và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn:

<i>a b c</i>   <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

_.

Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

---SBD thí sinh: ... Chữ ký GT1: ...

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b> <b>KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC </b>

<b>THỪA THIÊN HUẾ</b> <b> Khố ngày 24.6.2010</b>

<b>ĐỀ CHÍNH THỨC</b>

<b>Mơn: TỐN</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM </b>

<i><b>Bài</b></i> <i><b> Nội dung </b></i> <i><b>Điểm</b></i>

<i><b>Bài 1</b></i> <i><b>(1,5đ)</b></i>

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0
0
<i>a</i>

 

 

0,25

1 0 1

(*)

3 0 3

<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
    
 _  _
  _ 

0,25

Ta có:
1 2
1 2
2( 1)
1
2
1
<i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x x</i>
<i>m</i>


 

 


 _
 _

0,25



1 2



1 2





2 1 2

4 7 4 7

1 1

<i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>m</i> <i>m</i>

 

   

 

0,25
 8



<i>m</i>1



7



<i>m</i> 2



 <i>m</i>6 Thoả mãn (*)

Vậy: m =  6 thoả mãn yêu cầu bài tốn .

0,5

<i><b>BÀI 2</b></i> <i><b>(2đ)</b></i>

Ta có:





2 2

2 3 2010

<i>P x</i>  <i>y</i> <i>x y</i>  <i>y</i> 0,25





2

2
2
2
2
3 2010
2 4
<i>y</i>
<i>y</i>

<i>P</i>_<i>x</i>  _   <i>y</i>  <i>y</i>

 

0,5





2
2

1 3 4 6023

2 2

4 4 3 3

<i>P</i> <i>x y</i>   _<i>y</i> _ 

 

0,5

6023
3
<i>P</i>

với mọi x, y.

0,25

6023
3
<i>P</i>

khi và chỉ khi:

1

2 2 0

3
4

4
0

3 ₃

<i>x y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>_y</i>

   
 _
 

 
 
 _{ }


 
0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min

6023
3
<i>P</i> 
đạt khi
1
3
<i>x</i>
và
4
3

<i>y</i> 0,25

<i><b>Bài 3</b></i> <i><b>(2,5đ)</b></i>

<i><b>3.a</b></i>

<i><b>(1đ)</b></i> Lập phương hai vế phương trình

3 <i>_x</i>_{ }₃ 3₅_ <i>_x</i> _₂

(1), ta được:
8 3 ( 3 <i>x</i>3)(5 <i>x</i>)(3 <i>x</i> 3 3 5 <i>x</i>) 8

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>3.b</b></i>

<i><b>(1đ,5)</b></i> Điều kiện : x  0; y  0 . 0,25

Viết lại hệ :

1 1

4

1 1

. 4

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i>

   

   

   

 

  



 

 

 _ _ _

 

 

    



0,5

Đặt :

1
<i>u x</i>

<i>x</i>
 

;

1
<i>v</i> <i>y</i>

<i>y</i>
 

, ta có hệ :

4
4
<i>u v</i>

<i>uv</i>
 







0,25

Giải ra được : <i>u</i>2;<i>v</i>2 . 0,25

Giải ra được : x = 1 ; y = 1. Hệ đã cho có nghiệm : (x ; y) = (1 ; 1). 0,25

<i><b>BÀI 4</b></i>
<i><b>(2đ)</b></i>

<i><b>4. a</b></i>

<i><b>(1đ)</b></i> Do BC2_{= AC}2_{+ AB}2_{nên tam giác ABC vng tại A.} 0,25

Đường trịn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm là trung điểm O của BC, có bán kính

5
2
<i>r</i>  <i>a</i>

.

0,25

Gọi Q là trung điểm AC và R là tiếp điểm của (K) và AB.

KQAR là hình vng cạnh 2a. Đường trịn (K) có bán kính ρ = 2a 0,25
Do OK= KQ – OQ = 2a –

3
2_{a =}

1

2_{a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc trong với (O).}

0,25

<i><b>4.b</b></i>
<i><b>(1đ)</b></i>

Gọi I là trung điểm AK, nối BI cắt OQ tại T. Ta chứng minh T thuộc đường tròn (O). 0,25
Hai tam giác IQT và IRB bằng nhau nên QT = RB = a 0,25
Vì OT = OQ + QT =

3

2_{a + a = r nên T thuộc đường trịn (O).}

Từ đó T là trung điểm của cung AC của đường tròn (O).

0,25

Suy ra BI là phân giác của góc ABC. Vì vậy I là tâm nội tiếp của ΔABC.

0,25

<b>T</b>
<b>O</b>
<b>I</b>

<b>K</b>
<b>R</b>

<b>Q</b> <b>C</b>

<b>B</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>BÀI 5</b></i> <i><b>(2đ)</b></i>
<i><b>5. a</b></i>

<i><b>(1đ)</b></i>

Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số a , b, c khác nhau và khác 0 sao
cho đẳng thức:

ab b

ca c _{( 1) đúng.}

Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b  _{2.5.c(a – b) = b(a – c).}

Suy ra: 5 là ước số của b(a – c).

0,25

Do 5 nguyên tố và 1<i>a b c</i>, , 9; <i>a c</i> nên:

1) hoặc b = 5 2) hoặc <i>a c</i>- 5_{3) hoặc}<i>c a</i>- 5

0,25

+ Với b = 5: 2c(a 5) = a  c c = 2 9
<i>a</i>
<i>c</i>

<i>a</i>


 

9
2 1

2 9
<i>c</i>

<i>a</i>
 

 _.

Suy ra: 2a 9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c)

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)
+ Với a = c + 5: 2c(c + 5  b) = b b =

2

2 10
2 1

<i>c</i> <i>c</i>

<i>c</i>


 _{. Viết lại:}

9

2 2 9

2 1

<i>b</i> <i>c</i>

<i>c</i>
  



Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0).

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4).
+ Với c = a + 5: 2(a + 5)(a  b) = b  b =

2

2 10
2 9

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>


 _.

Viết lại :

9.19
2 2 19

2 9

<i>b</i> <i>a</i>

<i>a</i>

  

 _{. Suy ra: b > 9, không xét .}

+ Vậy:

Các bộ số thỏa bài toán: <b>(a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4).</b>

0,5

<i><b>5.b</b></i>

<i><b>(1đ)</b></i> Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc cịn lại_{tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60}o_.

,

suy ra

Ví dụ: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o_{. Do đó A = 60}o_.

0,25

Từ <i>a b c</i>   <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> _{(*), suy ra tam giác đã cho là tam giác cân.}

Thật vậy, bình phương các vế của (*):

2 2 2

<i>a b c a b c</i>      <i>ab</i> <i>cb</i> <i>ac</i>  <i>c</i>



<i>c</i> <i>a</i>



 <i>b</i>



<i>a</i> <i>c</i>



0





<i>a</i> <i>c</i>

 

<i>b</i> <i>c</i>



0
Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c.

0,5

</div>

<!--links-->