Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtric

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (584.57 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG 



CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN 
KIỂU-MÊTRIC

Nguyễn Văn Dũng1, Nguyễn Chí Tâm 2
1

TS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 
2

ThS. Khoa Sư phạm Toán-Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 
Thông tin chung:

Ngày nhận bài: 25/02/14 
Ngày nhận kết quả bình duyệt: 
29/04/14

Ngày chấp nhận đăng: 
22/10/14

Title:

Fixed point theorems for 
generalized



- weak 
contractions mappings in 
metric-type spaces 
Từ khóa:

Điểm bất động, kiểu-mêtric, 
ánh xạ -co yếu suy rộng

Keywords:

Fixed point, metric-type, 
-weak contractions

ABSTRACT

In this paper, we state and prove a fixed point theorem for generalized - weak 
contractions mappings in metric-type spaces. This result generalizes the main 
result of (Zhang & Song, 2009) to the setting of metric-type spaces.

TÓM TẮT

Trong bài báo này, chúng tơi thiết lập và chứng minh một định lí điểm bất động 
cho dạng -co yếu suy rộng trong không gian kiểu-mêtric. Kết quả này là mở 
rộng kết quả chính của (Zhang & Song, 2009) sang khơng gian kiểu-mêtric.

1. GIỚI THIỆU

Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ
co trên không gian mêtric đầy đủ là một kết quả
nổi bật trong Giải tích, được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên
nhiều không gian khác nhau (Agarwal, Meehan &
O’Regan, 2004). Năm 2009, Zhang và Song
(2009), các tác giả đã mở rộng ánh xạ co thành
dạng -co yếu suy rộng trong không gian mêtric
và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng

-co yếu này.

Gần đây, Khamsi (2010) đã giới thiệu một khái
niệm mêtric suy rộng mới gọi là kiểu-mêtric như
sau.

Định nghĩa 1.1 Cho

X

là tập khác rỗng,

K

1

là một số thực và

D X X

:

[0,

)

là một
hàm thoả mãn các điều kiện sau.

(1)

D x y

( , )

0

khi và chỉ khi

x

y

.
(2)

D x y

( , )

D y x

( , )

với mọi

x y

,

X

.
(3)

1 1 2

( , ) [ ( , ) ( , ) ... ( , )]n

D x z K D x y D y y D y z

với mọi

x y y

, , ,..., ,

1 2

y z

n

X

Khi đó,

D

được gọi là một kiểu-mêtric trên

X

và

( , , )

X D K

được gọi là một khơng gian
kiểu-mêtric. Ta có

( , )

X d

là một không gian mêtric
khi chỉ khi

( , ,1)

X d

là một không gian
kiểu-mêtric.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hằng (2013) đã chứng tỏ rằng kiểu-mêtric như
Định nghĩa 1.1 là ánh xạ không liên tục (Nguyễn
Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng, 2013, Example
2.1). Bên cạnh đó, Jovanovic, Kadelburg

và Radenovic (2010) đã xét một không gian kiểu
mêtric khác, trong đó điều kiện (3) của Định
nghĩa 1.1 được thay bởi điều kiện sau

(3’)

D x z

( , )

K D x y

[ ( , )

D y z

( , )]

với mọi

, ,

x y z

X

Trong bài báo này, chúng tôi xét không gian
kiểu-mêtric theo Định nghĩa 1.1. Một số khái niệm liên
quan đến không gian kiểu-mêtric này được trích
dẫn từ các bài báo của Khamsi (2010), Zhang và
Song (2009).

Định nghĩa 1.3 Cho

( , , )

X D K

là một khơng gian
kiểu-mêtric. Khi đó

(1) Dãy

{ }

x

n được gọi là hội tụ đến

x



X

, viết
là

lim

n

n

x

, nếu n

lim ( , )

D x x

n

0

. Khi đó

x

được gọi là điểm giới hạn của dãy

{ }

x

n .
(2) Dãy

{ }

x

n được gọi là một dãy Cauchy nếu

lim

( ,

n m

)

0

n m

D x x

(3) Không gian

( , , )

X D K

được gọi là đầy đủ
nếu mỗi dãy Cauchy trong

( , , )

X D K

là một dãy
hội tụ.

Định nghĩa 1.4 Cho

X d

,

là một không gian
mêtric và

T X

:

X

là một ánh xạ.

(1) T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại

(0,1)

k



sao cho

d Tx Ty

( ,

)



kd x y

( , )

với
mọi

x y

,



X

.

(2) T được gọi là một ánh xạ -co yếu nếu tồn
tại

: [0,

)

[0,

)

sao cho

( )

t

0

với mọi

t

0 (0)

0

và

( ,

)

( , )

d Tx Ty

d x y

với mọi

,

.

x y

X

Đồng thời, Zhang và Song (2009) đã thiết lập
định lí điểm bất động cho dạng -co yếu trong
không gian mêtric.

Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng định lí
điểm bất động cho ánh xạ -co yếu trên không
gian mêtric của Zhang và Song (2009) sang ánh
xạ -co yếu suy rộng trong không gian
kiểu-mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh
họa cho kết quả thu được.

2. KẾT QUẢ CHÍNH

Bổ đề 2.1. Cho

( , , )

X D K

là một không gian
kiểu-mêtric. Nếu dãy

{ }

x

n hội tụ thì điểm giới
hạn của nó là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử

{ }

x

n hội tụ về

x

và

y

trong

X

. Khi đó với mọi

n

ta có

( , )

n

( , ) .

n

D x y

K D x x

D x y

Cho

n

 

ta được

D x y

( , )

0

hay

x

y

Vậy điểm giới hạn của

{ }

x

n là duy nhất.
Định lí 2.2. Cho



X D K

, ,



là một không gian

kiểu-mêtric đầy đủ và

T S X

, :

X

là hai ánh

xạ sao cho với mọi

x y

,

X

ta có

( ,

)

( , )

D Tx Sy

M x y

, ở đây

: [0,

)

[0,

)

là một hàm số nửa
liên tục dưới, không giảm,

( )

t

0

với mọi

(0,

)

t

(0)

0

và

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , ) .
2

M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy
K

(1)

Khi đó

S

và

T

có duy nhất điểm bất động
chung, nghĩa là, tồn tại duy nhất điểm

u

X

sao
cho

u

Tu

Su

.

Chứng minh. Trường hợp 1: Tồn tại

x y

,

sao cho

( , )

0 M x y

. Khi đó

x



y

là điểm bất động
chung của

T S

,

. Thật vậy

M x y

( , )

0

và

( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ).

D x y M x y D Tx x M x y D Sy y M x y

nên

D x y

( , )

D Tx x

( , )

D Sy y

( , )

0

.
Điều này có nghĩa là

.

x

y

Tx

Ty

Sx

Sy

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

29
Bước 1: Xây dựng dãy lặp

x

n thỏa mãn

lim ( ,

n n

)

0.

n

D x x

Lấy
0

x X đặt

1 0

,

2 1

,

3 2

,

4 3

,...

x

Sx x

Tx x

Sx x

Tx

Tiếp tục quá trình này ta chọn được

x

n



X

sao
cho

x

2n 2

Tx

2n 1

,

x

2n 1

Sx

2n với mọi

0 n

Giả sử

n

lẻ, từ (1) ta có

1 1

1 1 1 1 1

(

,

)

(

, )

( ,

)

( ,

)

( ,

)

1 max

( ,

), (

, ), ( ,

),

(

,

)

( , )

2

n n n n

n n

n n n n n n n n n n

D Tx Sx

D x

x

M x x

D x x

D x

x

D x x

D x

x

D x x

K

1 1 1 1 1

1 1

1 max

( ,

), (

, ), ( ,

),

K

(

, )

( ,

)

2 = max

(

, ), D( ,

) .

n n n n n n n n n n

n n n n

D x x

D x

x

D x x

D x

x

D x x

K

D x

x

x x

Nếu tồn tại

n

lẻ sao cho

1 1 1

max

D x

(

n

, ), D( ,

x

n

x x

n n

)

D x

(

n

, )

x

n

thì

M x x

( ,

n n 1

)

D x

(

n 1

, )

x

n

0

. Do đó

1 1 1

(

n

, )

n

(

n

, )

n

(

n

, )

n

D x

x

D x

x

D x

x

Điều này là vơ lí. Vậy với mọi

n

lẻ , ta có

1 1

(

n

, )

n

( ,

n n

).

D x

x

D x x

(2)

Giả sử

n

chẵn, từ (1) ta có

1 1

1 1 1 1 1

(

,

)

( ,

)

(

, )

(

, )

(

, )

1 max

(

, ), ( ,

), (

, ),

( , )

(

,

)

2

n n n n

n n

n n n n n n n n n n

D Tx

Sx

D x x

M x

x

M x

x

M x

x

D x

x

D x x

D x

x

D x x

D x

x

K

1 1 1 1 1

1 1

1 max

(

, ), ( ,

), (

, ),

K

(

, )

( ,

)

2 max

( ,

), D(

, ) .

n n n n n n n n n n

n n n n

D x

x

D x x

D x

x

D x

x

D x x

K

D x x

x

Nếu tồn tại

n

chẵn sao cho

1 1 1

max

D x x

( ,

n n

), D(

x

n

, )

x

n

D x x

( ,

n n

)

thì

M x

(

n 1

, )

x

n

D x x

( ,

n n 1

)

0

. Do đó

1 1 1

( ,

n n

)

( ,

n n

)

( ,

n n

) .

D x x

Điều này vơ lí. Vậy với mọi

n

chẵn, ta có

1 1

( ,

n n

)

( ,

n n

).

D x x

(3)

Như vậy, từ (2) và (3) ta suy ra

D x x

( ,

n n 1

)

là
một dãy số thực không tăng và bị chặn dưới bởi 0.

Vì thế tồn tại

r

0

sao cho

1 1

lim ( ,

n n

)

lim

( ,

n n

)

.

n

D x x

n

M x x

r

(4)

Vì là hàm nửa liên tục dưới nên ta có

( )

liminf (

( ,

n n

))

n

r

M x x









. Lưu ý rằng, với

mọi

n

ta có

1 1 1

( n , )n ( ,n n ) ( ,n n )

D x x M x x M x x (5)

Lấy giới hạn dưới khi

n

trong (5) và sử
dụng (4) ta có

lim inf

( ,

n n

)

( )

n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

30
Vậy

( )

r

0

hay

( )

r

0

. Suy ra

r



0

.
Từ đó ta có

lim ( ,

n n

)

0.

n

D x x

r

Bước 2: Chứng minh dãy lặp

x

n là một dãy
Cauchy.

Đặt

c

n

sup

D x x

( , ) : ,

j k

j k

n

.

Khi đó

{ }

c

n là một dãy không tăng.

Nếu lim n 0

nc 
thì

lim sup

( , ) : ,

j k

0

n

D x x

j k

n

. Nói cách

khác, với mỗi

0

tồn tại

n

0 sao cho với mọi

n

ta có

sup

D x x

( , ) : ,

j k

j k

n

.
Vậy

D x x

( , )

j k , với mọi

j k

,

n

.

Chọn

n

, khi đó với mọi

j k

,

n

0 thì

( , )

j k

D x x

. Điều này có nghĩa

x

n là một

dãy Cauchy.

Giả sử rằng lim n 0

n c c . Chọn

6 c

, khi
đó tồn tại

N

sao cho với mọi

n

N

ta có

(

n

, )

n

D x

x

và

c

n

c

. (6)

Vì

sup

( , ), ,

1

N m n

c

D x x

m n

N

tồn tại

m n

,

N

1

sao cho

( , )

m n N

D x x

c

. (7)

Điều này kéo theo

1 1 1 1

1 3

(m , n ) ( , )m n ( ,n n ) ( ,m m ) c

D x x D x x D x x D x x

K K

.(8)

Mặc khác, từ (1) ta có

1 1 1 1 1 1

( , )m n ( m , n ) (m , n ) (m , n ) .

D x x D Tx Sx M x x M x x (9)

Áp dụng (8) và

6 c

ta suy ra

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )

2
( , )

.
2

m n m n m m n n n m m n

m n

M x x D x x D x x D x x D x x D x x

K

D x x

c
K
c
K

Vì

(

1

,

1

)

2

m n

c

M x

x

K

và là một hàm

không giảm nên

1 1

(

,

)

2

m n

c

M x

x

K

Mặc khác, với

m n

,



N



1

thì

1 1

(

m

,

n

)

N

M x

x

c

. Do đó theo (9) ta có









 







( , )

2

m n N

c

D x x

c

K

với mọi





,

1 m n

N

. Từ đó suy ra











 







2

N N

c

K

. (10)

Từ (6), (7) và (10) ta có

2 c

K

. Cho

0

ta suy

2 c

K

. Điều này là vơ lí vì

c

0

Vậy

c

0

, nghĩa là

{ }

x

n là một dãy Cauchy.
Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy

{ }

x

n hội tụ về
điểm bất động chung của

S

và

T

.

Vì

X

là một khơng gian kiểu-mêtric đầy đủ nên
tồn tại

u X

sao cho

lim

n

.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

lim

n

n

x

u

, n

lim

x

2n 1

u

.

Tiếp theo, ta chứng minh

u

Tu

Su

. Thật
vậy, giả sử

u

Tu

, khi đó

D u Tu

( ,

)

0

. Suy

ra tồn tại

N

1 sao cho với mọi

n

N

1, ta
có

2 1 2

2 2 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ),

2 2 2 2

1
( , ) ( , ).

n n

D x u D u Tu D u Tu D x u D u Tu D u Tu

K K

D x x D u Tu

Khi đó ta có

2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 1

2 2 1 2

( , ) ( , )

max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2

K ( , ) ( , )
1

max ( , ), ( , ), ( , ),

+K ( , ) (
2

n

n n n n n

n n n

n

D u Tu M u x

D u x D u Tu D x x D u x D x Tu

K

D u x D x x

D u x D u Tu D x x

D x u D

K , )

1 1

( , ) ( , )

1 1 1 2 2

max ( , ), ( , ), ( , ), K

2 2 2 + ( , ) ( , )
2

( , ).

u Tu

D u Tu D u Tu

D u Tu D u Tu D u Tu

K D u Tu D u Tu

D u Tu

Vậy

M u x

( ,

2n

)

D u Tu

( ,

)

. Khi đó

2 1 2

2 2

( ,

)

( ,

)

( ,

)

( ,

)

( ,

)

( ,

) .

n n

D Tu x

D Tu Sx

M u x

D u Tu

Lấy giới hạn khi

n

ta được

( , )

D Tu u

. Điều

này là mẫu thuẫn với

D u Tu

( ,

)

0

. Vậy

.

u

Tu

Ta lại có

( ,

)

( ,

)

( , )

( ( , ))

( ,

)

( ,

) .

D u Su

D Tu Su

M u u

D u Su

Từ đó

D u Su

( ,

)

0

hay

u

Tu

Su

.
Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy
ra

S

và

T

có điểm bất động chung.

Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm
bất động chung của

S

và

T

. Giả sử tồn tại

v

và

v

Tv

Sv

. Ta có

( , )

(

,

)

( , )

( , ) .

D u v

D Tu Sv

M u v

D u v

Suy ra

D u v

( , )

0

. Vậy

u

v

.

Hệ quả 2.3. Cho

X D K

, ,

là một không gian

kiểu-mêtric đầy đủ và

T X

:



X

là một ánh xạ
sao cho với mọi

x y

,



X

ta có

( ,

)

( , )

D Tx Ty

M x y

, ở đây

: [0,

)

[0,

)

là hàm số nửa liên tục
dưới, không giảm,

( )

t

0

với mọi

(0,

)

t

(0)

0

và

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2

M x y D x y D Tx x D Ty y D y Tx D x Ty
K

Khi đó

T

có duy nhất điểm bất động, nghĩa là tồn
tại duy nhất điểm

u

X

sao cho

u

Tu

.

Chứng minh. Hệ quả có được bằng cách thay

S

T

trong Định lí 2.2.
Trong Định lí 2.2, nếu ta chọn

K

1

thì ta được

hệ quả như sau.

Hệ quả 2.4. Cho

( , )

X d

là một không gian mêtric
đầy đủ và

T S X

, :

X

là hai ánh xạ sao cho

với mọi

x y

,

X

ta có

( ,

)

( , )

d Tx Sy

M x y

, ở đây

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

(0,

)

t

(0)

0

và

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )
2

M x y d x y d Tx x d Sy y d y Tx d x Sy

Khi đó

S

và

T

có duy nhất điểm bất động
chung.

Lưu ý rằng Hệ quả 2.4 tương tự như Định lí 2.1
trong (Zhang & Song, 2009) ngoại trừ giả thiết
không giảm của hàm . Tuy nhiên, trong chứng
minh của Định lí 2.1 trong (Zhang & Song, 2009)
ở trang 77, từ

(

1

,

1

)

2

m n

c

M x

x

. Các tác giả
suy ra

(

1

,

1

)

2

m n

c

M x

x

. Điều này là

chưa hợp lí.

Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu ví dụ minh họa
cho kết quả đạt được.

Ví dụ 2.5. Xét

X

{0,1,2}

và kiểu-mêtric

D

xác định bởi

(0, 0)

(1,1)

(2,2)

0 D

(1,2)

(2,1)

4 D

(0,1)

(1, 0)

(0,2)

(2, 0)

1 D

Khi đó

( , )

X D

là một không gian kiểu-mêtric
đầy đủ với

K

2

. Xét hai ánh xạ

, :

T S X

X

xác định bởi

0

1

2

0 T

0 0, 1

2, 2

1 S

, với mọi

x

X

Khi đó

0 ( ,

)

(0,

)

1

0 khi y

D Tx Sy

D

Sy

khi y

và

( , ) max ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( , )

max ( , ), (0, ), ( , ), ( , 0) ( , )
4

0 0

= 1 0, 0
4 0, .

M x y D x y D Tx x D Sy y D y Tx D x Sy
D x y D x D Sy y D y D x Sy

khi x y
khi y x
khi y x X

Xét hàm

( )

1 ,

0

6 t

t t

. Khi đó ta có

( ,

)

( , )

( , ) .

D Tx Sy

M x y

Đồng

thời, các giả thiết còn lại trong Định lí 2.2 đều
thỏa mãn. Do đó Định lí 2.2 áp dụng được cho

S

và

T

trên không gian kiểu-mêtric

( , , )

X D K

.
Mặc khác

D

khơng là một mêtric trên

X

. Do đó
Hệ quả 2.4 không áp dụng được cho

S

và

T

trên

( , )

X D

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Agarwal, R. P., Meehan, M., & O’Regan, D. (2004).

Fixed point theory and applications. Cambridge:

Cambridge University Press.

Khamsi, M. A. (2010). Remarks on cone metric spaces
and fixed point theorems of contractive mappings.

Fixed Point Theory Appl. 2010, 1 - 7.

Nguyễn Trung Hiếu & Võ Thị Lệ Hằng. (2013).
Coupled fixed point theorems for generalized
--contactive mappings in partially ordered
metric-type spaces, J. Nonlinear Anal. Optim. (bài 
gửi đăng).

Jovanovic, M., Kadelburg, Z., & Radenovic, S. (2010).
Common fixed point results in metric-type spaces.

Fixed Point Theory Appl. 2010, 1 – 15.

Zhang, Q., & Song, Y. (2009). Fixed point theory for
generalized



-weak contractions. Appl. Math.

</div>

Định lí điểm bất động cho dạng phi φ- co yếu suy rộng trong không gian kiểu mêtric





<i>X</i>

<i>K</i>

1

<i>D X X</i>

:

[0,

)

<i>D x y</i>

( , )

0

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>D x y</i>

( , )

<i>D y x</i>

( , )

<i>x y</i>

,

<i>X</i>

<i>x y y</i>

, , ,..., ,

<i>y z</i>

<i>X</i>

<i>D</i>

<i>X</i>

( , , )

<i>X D K</i>

( , )

<i>X d</i>

( , ,1)

<i>X d</i>

<i>D x z</i>

( , )

<i>K D x y</i>

[ ( , )

<i>D y z</i>

( , )]

, ,

<i>x y z</i>

<i>X</i>

( , , )

<i>X D K</i>

{ }

<i>x</i>

<i>x</i>



<i>X</i>

lim

<i>x</i>

<i>x</i>

lim ( , )

<i>D x x</i>

0

<i>x</i>

{ }

<i>x</i>

{ }

<i>x</i>

lim

( ,

)

0

<i>D x x</i>

( , , )

<i>X D K</i>

( , , )

<i>X D K</i>

<i>X d</i>

,

<i>T X</i>

:

<i>X</i>

(0,1)

<i>k</i>



<i>d Tx Ty</i>

( ,