Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp tán xạ điện tử phonon âm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 69 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÙI HỒNG PHƯỢNG
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội- 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Bùi Hồng Phượng
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỬ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
(TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn : GS.TS Nguyễn Quang Báu
Hà Nội - 2011
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................ 1
2. Cấu trúc của luận văn .............................................................................................. 2
CHƢƠNG 1. SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN ẢNH HƢỞNG CỦA
TRƢỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI
ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI........................................................................ 4
1.1 Tổng quan về siêu mạng pha tạp .......................................................................4
1.1.1 Siêu mạng pha tạp ............................................................................................4
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của electron trong siêu mạng pha tạp ......... 4
1.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trƣờng laser. ...............................................................................................................5
1.2.1 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối. ...5
1.2.2 Tính hệ số hấp thụ ..........................................................................................14
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI CÓ
MẶT TRƢỜNG LASER (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM) .......... 20
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp .....................20
2.2 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp:.. 21
2.3 Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
pha tạp khi kể đến ảnh hƣởng của trƣờng bức xạ Laser ..................................... 33
CHƢƠNG 3. TÍNH TỐN SỐ VÀ KẾT LUẬN ................................................... 50
3.1. Tính toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hấp thụ cho trƣờng hợp siêu mạng
pha tạp n-GaAs/p-GaAs ........................................................................................... 50
3.2. Thảo luận các kết quả thu đƣợc: ....................................................................... 53
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 55
PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 57
66
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ T
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ mạnh
E01
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ mạnh
(Laser)
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ yếu
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào độ rộng hố lượng tử L
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khởi đầu từ những thành công rực rỡ của vật liệu bán dẫn cùng với sự
phát triển mạnh mẽ các công nghệ nuôi tinh thể, người ta đã chế tạo ra được
nhiều cấu trúc nanô. Song song với sự phát triển của công nghệ chế tạo là sự
phát triển của kỹ thuật đo các hiệu ứng vật lý ở cấp độ vi mơ. Có thể nói rằng,
trong hai thập niên vừa qua các cấu trúc tinh thể nanô ( màng mỏng, siêu mạng,
hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử, …) đã dần thay thế các vật liệu bán
dẫn khối kinh điển 1 4
Trong các cấu trúc nanô như vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn
nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào
cỡ bậc của bước sóng De Broglie. Trong các cấu trúc nanơ này, các tính chất vật lí
của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất mới khác, gọi là hiệu ứng
kích thước. Ở đây các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc
trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là hàm sóng và phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do đó tính chất quang,
điện của hệ cũng biến đổi và đã mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện điện tử
làm việc theo các ngun lí hồn tồn mới và cơng nghệ hiện đại, siêu nhỏ – đa
năng – thông.
Hệ vật liệu thấp chiều là một cấu trúc hoàn toàn mới, khác hẳn với những vật
liệu trước đây và có thể chia hệ thấp chiều làm 3 loại: hệ không chiều (0D), hệ một
chiều (1D), hệ hai chiều (2D).
Đối với hệ hai chiều (2D), cụ thể ở đây là siêu mạng pha tạp, phổ năng lượng
của điện tử trong trường hợp này trở nên gián đoạn theo một chiều và trong siêu
mạng pha tạp điện tử chỉ chuyển động tự do theo hai chiều, cịn một chiều bị hạn
chế. Chính sự gián đoạn của phổ năng lượng và hạn chế chuyển động của điện tử
1
theo một chiều này một lần nữa lại ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của
hệ 5 20
Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các cơng trình về sự ảnh hưởng của
sóng điện từ mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khá
nhiều. Thời gian gần đây cũng đã những có cơng trình nghiên cứu về ảnh hưởng
sóng điện từ laze lên hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong
các bán dẫn thấp chiều. Tuy nhiên, đối với siêu mạng pha tạp, sự ảnh hưởng của
trường bức xạ laze lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn là
một đề tài mở. Do đó, trong luận văn này, chúng tơi chọn vấn đề nghiên cứu của
mình là “Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)”.
Về phương pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp
lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán vật lí kể trên và mỗi phương pháp có một
ưu điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán
cụ thể. Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử. Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động
lượng tử để tính mật độ dịng hạt tải, từ đó suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp
chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là cấu trúc bán dẫn thấp chiều thuộc hệ
hai chiều, cụ thể là siêu mạng pha tạp.
2.Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được
chia làm 3 chương, 7 mục, 5 hình vẽ, tổng cộng là 66 trang:
2
Chƣơng I: Siêu mạng pha tạp và bài toán ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên
hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối.
Chƣơng II: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện yếu từ bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi có mặt trường bức xạ Laser (trường hợp
tán xạ điện tử - phonon âm)
Chƣơng III: Tính tốn số và kết luận
Trong đó, chương II và chương III là hai chương chứa đựng những kết quả
chính của luận văn. Kết luận quan trọng nhất rút ra từ kết quả nghiên cứu trong
luận văn là: trong một số điều kiện thỏa mãn nhất định liên quan đến nhiệt độ và
năng lượng sóng điện từ (tần số sóng điện từ), hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu có thể
trở nên âm, tức hệ số hấp thụ trở thành hệ số gia tăng sóng điện từ yếu. Điều này
mở ra khả năng gia tăng sóng điện từ yếu trong siêu mạng pha tạp khi có mặt một
sóng điện từ mạnh khác. Đây là điều mà trong bán dẫn khối không thể xảy ra.
.
3
CHƢƠNG 1
SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BÀI TOÁN ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG BỨC
XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG
BÁN DẪN KHỐI
Trong chương này trình bày khái quát về siêu mạng pha tạp (cấu trúc phổ
năng lượng, hàm sóng điện từ) và từ phương pháp phương trình động lượng tử đưa
ra biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn
khối khi chịu ảnh hưởng của trường laser.
1.1 Tổng quan về siêu mạng pha tạp
1.1.1 Siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn
thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn,
trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron cịn
phải chịu một thế tuần hồn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kỳ lớn hơn hằng số
mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể
xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế
tuần hoàn bổ sung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và
bán dẫn siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong
siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác
nhau.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của electron trong siêu mạng pha tạp
Hàm sóng của bán dẫn siêu mạng pha tạp có dạng:
e
n,p ei p r U n r
S0
j 1
n z jd
ik z jz
Phổ năng lượng:
1 2 p 2
n,p p n
*
2 2m
4
Trong đó:
n = 1,2,3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
p p p z : vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử)
S0: là số chu kì siêu mạng
d: là chu kì siêu mạng
e và m* : là điện tích và khối lượng hiệu dụng của điện tử
p 2e
nD
: là tần số plasma gây bởi các tạp chất donor
0 m*
nD : là nồng độ pha tạp
0 : là hằng số điện
Từ đó ta thấy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp
chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ
năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ năng lượng như
vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong siêu
mạng pha tạp so với các mẫu khối.
1.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt
trƣờng laser.
1.2.1 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
H H e H ph H e ph
Với :
e
He
p A(t ) a p a p
c
p
H ph
q bqbq
q
H e ph
Cq ap q ap bq bq
q, p
5
(1.1)
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: i
np (t )
t
ap ap , Hˆ
(1.2)
t
Vế phải của (1.2) có tương ứng ba số hạng với tốn tử Hamilton. Ta lần lượt
tính từng số hạng.
Số hạng thứ nhất:
e
e
a ;
a
p
'
A
(
t
)
a
a
p p
p c A(t ) a p a p , a p 'a p '
p' p'
c
p
'
p
t
e
p ' A(t ) a p a p ' p , p ' ap ap'ap ap ' ap'ap p ,p' ap'ap ap 'ap
c
p'
e
p A(t ) ap ap ap ap 0
c
b b
Số hạng thứ hai: ap ap ;
q q q
q
0 do toán tử a, b là hai loại độc lập
t
thì chúng giao hốn với nhau.
Số hạng thứ ba:
a ;
a a b b
a
C
p p
q
q
q p ' q p '
q, p '
Cq
q
aa
p p q q t
b
C ap ap ' p ,p'q ap ' q ap p ,p' bq bq
q
q, p '
t
ap ap q bq
t
ap q ap bq
t
ap q ap bq
t
Cq Fp ,p q ,q (t ) Fp*q ,p , q (t ) Fp ,p q ,q (t ) Fp*,p q , q (t )
q
Vậy phương trình (1.2) trở thành:
i
np (t )
t
Cq Fp ,p q ,q (t ) Fp*q ,p , q (t ) Fp ,p q ,q (t ) Fp*,p q , q (t )
q
(t ) a a b
Với Fp ,
p ,q
p p q
1
2
1
2
(1.3)
t
(t ) thơng qua phương trình:
Để giải (1.3) ta cần tính Fp ,
p ,q
1
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
2
t
2
ap a
b ; H
1 p2 q
(1.4)
t
6
Vế phải của (1.4) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton
H. Ta lần lượt tính từng số hạng.
Số hạng thứ nhất:
e
a b ,
a
p
A
(
t
)
a
a
p1 p2 q
3
p3 p3
c
p3
p3
p3
t
e
A(t ) a p a p bq a p a
a
a a ab
p3
p3 p3 p1 p2 q
1
2
3
c
e
( p2 ) p2 A(t ) ap a
b
p q
c
1 2
t
t
e
( p1 ) p1 A(t ) ap a
b
p q
c
1 2
t
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) Fp , p ,b (t )
c
1 2 q
Số hạng thứ hai:
b , q bq bq
ap1 a
p2 q
1
1
1
q1
q ap a
b
p q
1
2
t
q ap a
bq bqbq bqbq bq
p
t
1
1
q1
2
1
1
1
1
q Fp ,
(t )
p ,b
1
2
q
Số hạng thứ ba:
a ab , C a a b b
p1 p2 q q ,p q1 p q1 p q1 q1
1
t
Ta có:
a b
a ab , a a b b
p1 p2 q p q p q q
ap a
b a
p q pq
1
2
1
p
q1
1
a a a b b a
ap
p , p q
p q p
p q q
p
1
p q1
a
2
3
1
p1 , p
p1 p
bq ap q ap bq bq ap a
b
p q
1
2
1
1
p q1
a a a
bb a
p q q
2
1
1
1
p2 , p q1
p1 , p
1
2
ap q a
apbq bq
p
p1 p
1
2
p2 q1 q
a a a b b
a a b b a a b b a abb
p , p q p p q q
p , p q p p q q
p , p p q p q q
2
3
1
1
1
2
a
1
a b b
p1 , p p q1 p2 q1 q
1
C a ab , ap q ap bq bq
q p1 p2 q
1
1
1
q, p
1
1
q , q1 p1 p p2
a aa
Đặt vào số hạng thứ ba ta được:
7
1
2
1
1
a ab , C a a b b
p1 p2 q q ,p q1 p q1 p q1 q1
1
b b b
Cq ap a
p q q
q
q
1
q1
1
2
1
1
1
t
Cq ap q a
bq bq bq
p
1
q1
t
1
2
1
1
1
t
Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
e
(t )
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp ,
p ,q
mc
1 2
2
t
Cq a a
p1 p2 q1 q
1
q1
q1
b bq b
1
Cq a
q1
t
p1 q1 p2
1
a
b
q1
q1
b
(1.5)
b
q
t
(1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp
biến thiên hằng số. Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
2
t
e
(t )
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp ,
p ,q
mc
1 2
(t ) 0 được nghiệm của
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác Fp ,
p ,q
1
2
phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
e
t i
(t ) exp
F p ,
(
p
)
(
p1 )
p2 p1 A(t1 ) q dt1
2
p
,
q
1 2
mc
o
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân khơng thuần nhất có dạng:
F M (t ).F o (t )
F
M '(t ).F o (t ) M (t ) F o '(t )
t
Thay vào phương trình khơng thuần nhất và giải ra nghiệm ta được:
F
i
(t )
Cq ap q a
bq bq bq
p
1
q1 1 1 1 2 1
t
p1 , p2 , q
t2
b b b
ap a
p q q
q
q
1
2
1
1
1
t2
t
i
ie
exp p p q t t2
p
p
A
(
t
)
dt
1
2
1
1 dt 2
1
2
mc t2
Thay (1.6) vào (1.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon ta được:
i
np (t )
t
t
1
2
|
|
C
dt ' npq (t ') Nq np (t ')( N q 1)
2 q q
8
(1.6)
t
i
ie
exp p p q q t t '
q
A
(
t
)
dt
1
1
mc t '
t
i
ie
np (t ') N q np q (t ')( N q 1) exp p p q q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
i
ie
n p (t ') N q n p q (t ')( N q 1) exp p q p q t t '
q
A
(
t
)
dt
1
1
mc t '
t
i
ie
np q (t ') N q np (t ')( N q 1) exp p q p q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
(1.7)
Eo1c
E c
cos 1t o 2 cos 2t
Thay: A(t )
1
2
và áp dụng khai triển: exp(iz sin )
J ( z)exp(i ) ta có:
ieEo1 q
ie t
ieEo 2 q
exp
q A(t1 )dt1 exp
sin 1t ' sin 1t
sin 2t ' sin 2t
2
2
m2
mc t '
m1
eE q eE q
J l o12 J s o12 exp(is1t ')exp(il1t )
l , s
m1 m2
eEo 2 q eEo 2 q
Jf
J
exp(if 2t ')exp(im2t )
2 m
2
f ,m
m1 m2
eE
eE
a2 o 22 thì:
Đặt: a1 o12 ;
m1
m2
ie t
exp
q
A
(
t
)
dt
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
q
1 1
l 1
s 1
m 2
f 2
mc
t'
l , s, m, f
exp i ( s l ) (m f ) t exp i ( s m )(t t ')
1
2
1
2
Thay kết quả này vào (1.7) và đưa vào thừa số e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có:
i
np (t )
t
9
1
2
|
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
l 1 s 1 m 2 f 2q
2 q q l ,s ,m, f
exp i ( s l )1 (m f ) 2 t
t
dt ' np q (t ') N q np (t ')( N q 1)
i
exp p p q q s1 m 2 i
t t '
np (t ') N q np q (t ')( N q 1)
i
exp p p q q s1 m 2 i t t '
np (t ') N q np q (t ')( N q 1)
i
exp p q p q s1 m 2 i t t '
i
np q (t ') N q np (t ')( N q 1) exp p q p q s1 m2 i
t t '
(1.8)
(1.8) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) . Ta giải phương trình
(1.8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem np (t ) n p và tính các tích phân
sau:
exp
t
K1
i
p
p q q s1 m2 i t t ' dt '
t
K2
expi (s l )
1
(m f )2 t ' dt '
exp i ( s l )1 (m f )2 t '
i ( s l )1 (m f )2
Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được:
np (t )
1
2
|
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
l 1 s 1 m 2 f 2q
2 q q l ,s ,m, f
exp i ( s l )1 (m f )2 t '
i ( s l )1 (m f )2
10
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
s
m
i
s
m
i
1
2
1
2
p q
q
p
p q
q
p
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
(1.9)
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m2 i
e e
Mật độ dòng được cho bởi biểu thức: J (t )
p A(t ) n p (t )
m p
c
Hay:
e2 no
e2
e
e
J (t )
A
(
t
)
n
(
t
)
pn
(
t
)
A
(
t
)
p
pn p (t )
p
mc p
m p
mc
m p
với
n
p
p
(1.10)
(t ) no
Ta xét số hạng thứ hai:
e
e
2
pn p (t )
|Cq |
m p
m q
exp i ( s l )1 (m f )2 t '
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
l 1 s 1 m 2 f 2 q i ( s l ) ( m f )
l , s , m , f
1
2
n p q N n p ( N 1)
q
q
p
s
m
i
p
1
2
p
pq
q
n p N n p q ( N 1)
q
q
p p q q s1 m 2 i
p q
n p N n p q ( N 1)
q
q
p q s1 m 2 i
p q
n p q N n p ( N 1)
q
q
p q s1 m 2 i
k l s l k s
Đặt
r l m f r m
(1.11)
k :
r :
11
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
p
q
m * p
m * q
exp i k 1 r2 t '
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
k s 1 s 1 m 2 r m 2 q i k r
l , s , m , f
1
2
n p q N n p ( N 1)
q
q
p
s
m
i
p
1
2
pq
q
p
n p N n p q ( N 1)
q
q
p p q q s1 m2 i
n p N n p q ( N 1)
q
q
p q p q s1 m2 i
n p q N n p ( N 1)
q
q
p q p q s1 m2 i
Thực hiện các bước chuyển đổi: q thành q , m m thành m và sử dụng tính chất
hàm Bessel J ( x) J ( x) (1) J ( x)
exp i k 1 r2 t '
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
p
q
m * p
m * q
i k 1 r2
k , s ,m ,r
p q n
p
pq
N q n p ( N q 1)
J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a2 q
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m 2 i
p n p q N q n p ( N q 1)
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J mr a2 q
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m 2 i
(1.12)
12
exp i k 1 r2 t '
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
q
p m*
q
m * p
k1 r2
k , s ,m ,r
q, p
J s a1 q J m a2 q n p q N q n p ( N q 1)
J s k a1 q J mr a2 q
J k s a1 q J r m a2 q
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m 2 i
(1.13)
Áp dụng công thức sau:
exp i k r t cos (k r )t i sin (k r )t
2
1
2
1
2
1
Và
1
i ( x)
x i x
Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dịng J (t ) , ta
có:
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
qJ
a
q
J
a
s
1
m
2 q n p q N q n p ( N q 1)
p
q
m* p
m * q, p
k , s , m , r
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
cos (k 1 r2 )t
k 1 r2 pq p q s1 m2
(i)
sin (k 1 r2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
k 1 r2
(i ) p q p q s1 m2
Suy ra:
n p q N q n p ( N q 1)
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
q
J
a
q
J
a
p m*
s
1
m
2q
q
m * p
k 1 r2
k , s , m , r
q, p
cos (k 1 r2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
s1 m2
p
q
p
q
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q sin (k 1 r2 )t
13
p q p q s1 m2
(1.14)
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu được:
n p q N q n p ( N q 1)
e2 no
e
2
|
J (t )
A(t )
|
C
q
J
a
q
J
a
s
1
m
2q
mc
m * q ,p q k ,s ,m,r
k 1 r2
cos (k 1 r2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
s1 m2
pq
p
q
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q sin (k 1 r2 )t
p q p q s1 m2
(1.15)
1.2.2 Tính hệ số hấp thụ
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với
giả thiết 2 1 như sau:
8
c Eo22
J (t ) E o 2 sin 2t
(1.16)
t
Thay (1.15) vào (1.16) ta được:
2
e
e no
A
(
t
)
E
sin
t
o
2
pn p (t )E o 2 sin 2t
2
mc
m
c Eo22
p
t
Eo1c
E c
cos 1t o 2 cos 2t
Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t )
1
2
8
t
Ta tính số hạng thứ nhất.
e2 no
A(t ) E o 2 sin 2t
mc
Trong đó: T1
t
T
e2 no 1 Eo1c
Eo 2c
cos
t
cos
t
1
2 E o 2 sin 2tdt
mc T o 1
2
2
2
và T2
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
1
2
nhất của T1 và T2.
14
Sử dụng tích phân: sin(ax)cos(bx)dx
cos(a b) x cos(a b) x
với a 2 b2
2(a b)
2(a b)
(1.17)
e2 no
Suy ra:
A(t ) E o 2 sin 2t
mc
0
t
(1.18)
Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.17) ta có số hạng thứ hai có thành phần
chứa cos (k 1 r2 )t sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
n p q N n p ( N 1)
e
eE o 2 2
q
q
pn p (t ) E o 2 sin 2t
q|Cq |
m p
m q, p
k 1 r2
k , s , m , r
t
J s a1 q J m a2 q J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
T
1
p q p q s1 m 2 sin (k 1 r2 )t sin2tdt
T0
khi k 1 r2 2
0
Lưu ý: sin (k 1 r2 )t sin2tdt T
0
2
T
khi k 1 r2 2
Suy ra:
J s a1 q J m a2 q J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
p q p q s1 m2
(1.19)
Với k 1 r2 2
(1.20)
Thay (1.19) vao (1.16) ta được hệ số hấp thụ:
2
4 2e
|
n p ( N 1) J
q
|
C
n
N
a
q
J
a
p
q
q s,m
m
2q
q
q
s 1
c m2 Eo 2 q ,p
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q p q p q s1 m2
Với k 1 r2 2
15
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
a1 q
(1)
0 !( s k 1) 2
2 s
k
a1 q
(1)
( s 1) a1 q
( s k 1) 2
0 !( s 1) 2
k
( s 1)
a1 q
J s (a1 q)
0 ( s k 1)
2
J s k (a1 q)
Vậy
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
k
r
a q a q ( s 1)
(m 1)
1 2
2 2 0 ( s k 1) (m r 1)
k r
a1 q a2 q ( s 1)
(m 1)
J s (a1 q) J m (a2 q)
2 2 0 ( s k 1) (m r 1)
2 k 2 r
2k r
a1 q a2 q
( s 1)(m 1)
k r
(a1 q) (a2 q) 0 2 2 ( s k 1)(m r 1)
( s 1)(m 1)
J
(
a
q
)
J
(
a
s
1
m
2 q)
( s k 1)(m r 1)
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 Eo 2 ta cho r=1;k=0
(thoả mãn giả thiết k 1 r2 2 ) .
Ta được:
2m
J m1 (a2 q) J m1 (a2 q) J s (a1 q) J s (a1 q) J m (a2 q)
(a q)
2
Suy ra:
2
4 2e
2m22 2 2
| n p q N n p ( N 1)
mJ s a1 q J m a2 q
q
|
C
q
q
q
s ,m
c m2 Eo 2 q ,p
E o 2 q
p q p q s1 m2
(1.21)
16
8 22
c Eo22
q , p s , m
|C | n p q N q n p ( N q 1) mJ s2 a1 q J m2 a2 q
2
q
p q p q s1 m2
(1.22)
Viết dãy theo k, l trong công thức (1.22) dễ thấy các thành phần ứng với
s1 m2 0 tương hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi 1 , 2 lớn so với năng
lượng trung bình điện tử ( p ) thì hàm trong (1.22) được viết lại là:
q2
q s1 m2
2m
p q p q s1 m2
Từ đó ta tìm được thứ tự của k1,2 theo các giá trị của q.
1/2
Sử dụng điều kiện tần số phonon q p rút ra 1,2
n
p
p
ms 2
với s là tốc độ sóng
p khơng cịn phụ thuộc vào phần đối số của , ta thực
âm. Như vậy tổng theo
hiện lấy tổng
p
(t ) no .
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: q o và
2
Cq
o q
kT kT
và N q 1 N q B B
o vs q
2 vsV0
Từ (1.22) ta được:
2
4 22 o k BT
2
mJ
a
s 1 q J m a2 q
c E o22 vs2V0 q s ,m
p q p q s1 m 2 (1.23)
Áp dụng gần đúng: 1,2 p , ta có:
4 22 o k BT
c E 2 vs2V0
o2
q
s , m
mJ
2
s
q2
a2 q
o s1 m 2 (1.24)
2m
a q J
2
1
m
Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu 2 (m=1) và hạn
chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
17
x (1) k x 2 k
J1 ( x ) 2 k
2 k 0 2 k !(k 1)!
mJ
2
m
m
x x2
1
2
8
2
2
a q a q
2
2
a2 q
1
2
2
Thay vào (1.24) ta được:
2
2
a2 q a2 q 2 q 2
4 22 o kBT
1
J s a1 q
s
m
o
1
2
2
2
c Eo 2 vs V0 q ,p s 2 2
2m
q2
o s1 m2 0
Hệ số chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn:
2m
s o
suy ra: q 2m s1 m2 o 2m2 1 1
2
Và lưu ý:
mJ
2
m
m
Đặt:
2
2
2
2
1 eE
a q a q eE q
q
a2 q 2 1 2 o 22 cos 2 1 o 22 cos 2
2 m2
2 2 m2
1
; 2m2 suy ra:
2
8 222 o kBT m eEo 2
2
c E o22 vs2V0 2m2
2
s1 o
1
2
o
2 2
e
E
1
s
o2
2
1
2
4 2
cos
cos J s a1 1 o cos
3
2
4m2
2
s
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
1 2 eEo q
eEq
2
Jm
Jm
y dy
2
2
m
m
0
Suy ra:
18
8 222 o kBT m eEo 2
2
c E o22 vs2V0 2m2
2
s1 o
1
2
e2 E o22 1 o s
1
2
o
2
4
2
cos
J
a
1
s
y
dy
cos
3
0 s 1
4
m
s
2
2
o
2 2
e
E
1
s
1
o2
2
o
2
4
2
cos
cos
J
a
1
s
y
dy
0 s 1
4m32
2
s
Đây là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có
mặt trường bức xạ laser. Chúng tôi sẽ so sánh các kết quả tính hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu cho siêu mạng pha tạp khi có mặt trường bức xạ laser ở chương sau với
hệ số hấp thụ này trong bán dẫn khối.
19
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP KHI CÓ MẶT
TRƢỜNG LASER (TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Trong chương này bằng cách biến đổi toán tử và sử dụng gần đúng lặp xây
dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Từ phương trình động lượng tử khai triển hàm Bessel và sử dụng phép chuyển phổ
Fourier ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ trong trường hợp gần
ngưỡng đối với cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm.
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp
Khảo sát hệ tương tác hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp trong
trường hợp có mặt hai sóng điện từ được mơ tả dưới dạng véc tơ cường độ điện
trường E (t ) E 01 sin 1t E 02 sin 2t ( E 01 và 1 tương ứng là biên độ điện
tường và tần số vủa sóng điện từ yếu, E 02 và 2 tương ứng là biên độ và tần số của
bức xạ laser, t là thời gian) . Trong trường hợp gần ngưỡng có thế véc tơ tương ứng
E 01c
E 02c
cos 1t
cos 2t .
là A(t )
1
2
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng pha tạp
H HO U
H0
e
(2.1)
n k c A(t ) an,p an,p bqbq
n, p
q
q
U
q n , n' , p
Cq I n,n' (qz )a '
n ,p
q
a n , p (bq bq )
a n, p , a n , p : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, p .
bq , bq : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q
p : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vng góc với trục của siêu
mạng pha tạp
20
: Tần số của phonon âm.
q
A(t ) : Thế vecto của trường điện từ.
I n , n' ( q z )
N .d
n ( z ) n ( z )eiq z dz : Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng pha
z
0
,
tạp
: Năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp
n,
p
2 q2 qz2
: Hằng số tương tác điện tử-phonon âm.
C
2 vsVO
q
Trong đó:
VO : Thể tích chuẩn hóa (chọn VO 1 )
: Hằng số điện biến dạng.
: Mật độ tinh thể
vs : Vận tốc truyền âm.
2.2 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp:
(t ) a a
Gọi nn,
p
n, p
n, p
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:
i
(t )
nn,
p
t
a , H
an,
p
n, p
Số hạng thứ nhất:
e
'
sh1 a n , p a n , p ,
n' p A(t ) a ' ' a ' '
n , p n , p
n' ,p ' c
Ta có:
e
'
p
A
(
t
)
a
a
an,p an,k ,
n' , p' n' , p'
n'
c
n' , p '
e
n' p ' A(t ) an,p an,p , a ' ' a ' '
n , p n , p
c
21
t
(2.2)
t
