Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng hall trong hố lượng tử cơ chế tán xạ điện tử phonon âm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.47 MB, 50 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------
Nguyễn Thị Thi
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG HALL TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HỒNG ĐÌNH TRIỂN
Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------
Nguyễn Thị Thi
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG HALL TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HỒNG ĐÌNH TRIỂN
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo,TS Hồng Đình Triển,
PGS.TS Nguyễn Quang Báu, là người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian
học tập và hồn thành khóa luận.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ
Bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau
đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ
em hoàn thành luận văn.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể người thân, bạn bè
đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa
học quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học
NAFOSTED (103.01 – 2015.22)
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu
sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Thi
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU:…………………………………………….……………….…….........…1
CHƢƠNG 1: HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG
HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI……………………………….……...…….…..4
1. Tổng quan về hố lượng tử………….……………………...…….....…....……..4
1.1 Khái niệm về hố lượng tử ………………..………………….…….............4
1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử.......5
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……..……………..6
CHƢƠNG 2 HIỆU ỨNG HALL TRONG HỐ LƢỢNG TỬ DƢỚI ẢNH
HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM ……….…...…………………..….…....10
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong hố lượng tử…...…..10
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử.........11
2.3. Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall…………….……………….…...23
CHƢƠNG 3: TÍNH TỐN SỐ VÀ ĐỒ THỊ………………………….....….…..35
3.1 Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên từ trở………. …………….………...36
3.2 Ảnh hưởng của phon giam cầm lên hệ số Hall……………………..……....37
KẾT LUẬN………………………………………………………………………..38
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………..…39
PHỤ LỤC………………………………………………………………………….40
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1 Các tham số của vật liệu trong q trình tính tốn
Trang 35
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của từ trở
zz () vào từ trường B khi
khơng có ảnh hưởng của phonon giam cầm (đường trơn), khi có
Trang 39
ảnh hưởng của phonon giam cầm (đường chấm).
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường B khi khơng
có ảnh hưởng của phonon giam cầm (đường trơn), khi có ảnh
hưởng của phonon giam cầm (đường chấm).
Trang 40
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý được đặc
trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối
(bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là, các bán dẫn hai chiều
(hố lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn
một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn khơng
chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu).
Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ
một chiều và hệ khơng chiều), ngồi điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các
nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ. Trường
điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so
với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tuỳ thuộc vào trường
điện thế phụ tuần hồn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc
hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây
lượng tử). Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động
của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt ( hạt chỉ có thể chuyển động tự do
theo chiều khơng có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện
theo hướng này bị lượng tử hố. Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt
tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng,
tenxơ độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện
nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều khơng có [1,2]. Các hệ bán dẫn
với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên
nguyên tắc hoàn toàn mới, cơng nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong
khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng. Nhờ những tính năng nổi
bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ
và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm
đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước.
1
Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hưởng
của sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều. Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây
ra bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều được nghiên cứu tỉ mỉ [1,2].
Những tính tốn về hệ số hấp thụ phi tuyến tính sóng điện từ mạnh được nghiên
cứu sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối [10,11,16],
trong bán dẫn hai chiều [1, 5] và trong dây lượng tử [8]. Hiệu ứng Hall trong bán
dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử trong [9 – 13].
Những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều với sự có mặt của trường
laser đang được nghiên cứu [3,4,6,7,9,12,13,14,15]. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng
Hall trong hố lượng tử đã được nghiên cứu [3,6].Tuy vậy, ảnh hưởng của phonon
giam cầm lên hiệu ứng Hall trong hố lượng tử chưa được nghiên cứu và do đó,
trong luận văn này chúng tơi nghiên cứu và trình bày các kết quả nghiên cứu đối với
đề tài:
“Ảnh hƣởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong hố lƣợng tử”
(cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm).
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tơi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử. Từ
Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon giam cầm trong hố lượng tử với thế giam giữ
được giả thiết là cao vơ hạn và có dạng paraobol, sự có mặt của một từ trường đặt
dọc theo trục Oy: B (0, B, 0) , một điện trường dọc theo trục Oz: E1 (0, 0, E1 )
trường laser như trường điện E ( 0,E0 sint,0) (trong đó Eo và Ω tương ứng là biên
độ và tần số của trường laser).Xây dựng phương trình động lượng tử cho hệ điện tử
và giải phương trình để tìm ra biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall và hệ số
Hall. Biểu thức này chỉ ra rằng độ dẫn Hall phụ thuộc vào từ trường, chu kỳ siêu
mạng, tần số sóng điện từ. Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng
chương trình Matlab để tính tốn số cho hố lượng tử. Đây là phương pháp phổ biến
để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều.
2
3. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Tính tốn độ dẫn Hall và hệ số Hall trong hố lượng tử để làm rõ hơn ảnh
hưởng của phonon giam cầm lên các cấu trúc bán dẫn thấp chiều.
Đối tượng nghiên cứu: Hố lượng tử với thế dạng parabol.
Phạm vi nghiên cứu: Xét trường hợp từ trường, điện trường là không đổi và
tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon âm.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này
được chia làm ba chương:
CHƢƠNG 1: Hố lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn
khối.
CHƢƠNG 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn
Hall, hệ số Hall cho hố lượng tử.
CHƢƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử GaAs
- AlGaAs dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm.
3
CHƢƠNG 1
HỐ LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL
TRONG BÁN DẪN KHỐI
Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về hố lượng tử và
hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử. Từ Hamiltonnian của hệ
điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức
tenxơ độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối.
1.1 Tổng quan về hố lƣợng tử.
1.1.1 Khái niệm về hố lƣợng tử
Hố lượng tử (quantum wells) là cấu trúc bán dẫn thuộc hệ hai điện tử chuẩn
hai chiều, được cấu tạo bởi bán dẫn có hằng số mạng xấp xỷ bằng nhau, có cấu trúc
tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các bán dẫn khác nhau có độ rộng
vùng cấm khác nhau, nên tại các lớp tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn khác nhau sẽ
xuất hiện độ lệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn. Giả sử có 2 lớp dị tiếp xúc của hai
chất tạo bằng phương pháp Epitaxy chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại
hóa hữu cơ (MOCVCD) thì có thể xảy ra một số khả năng như sau:
Hình 1. Mơ hình hóa các vùng năng lượng
Trường hợp 1: Các điện tử trong bán dẫn vùng cấm hẹp sẽ bị phản xạ khi
chúng đến dị tiếp xúc từ bên phải, vì thế chúng bị giam giữ trong lớp bán dẫn vùng
cấm hẹp.Các điện tử trong bán dẫn vùng cấm rộng ở trong miền có thế năng cao
hơn, nên khi tiếp xúc từ bên trái, các điện tử được gia tốc bởi điện trường có mặt
phân cách và thu được động năng nào đó. Chuyển động của các điện tử được tăng
4
tốc theo chiều vng góc với thành hố lượng tử.Cả hai tính chất này đều được sử
dụng theo các linh kiện dị tiếp xúc.
Trường hợp 2: hai lớp dị tiếp xúc cạnh nhau tạo thành một hàng rào thế. Các
cấu trúc này rất được chú ý khi kích thước của chúng nhỏ hơn bước sóng De
Brogile của điện tử. Một điện tử tới hàng rào có thế mỏng có thể xuyên qua hàng
rào và dịch chuyển này có thể thay đổi được bằng cách thay đổi các tham số của
hàng rào thế hoặc đặt vào hệ một điện trường. Đây chính là cơ sở cho một phương
pháp mới điều khiển chuyển động của các hạt tải điện trong các linh kiện bán dẫn.
Trường hợp 3: Hố lượng tử có cấu trúc trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn
này được đặt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị của hai chất bán
dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử. Các hạt tải điện nằm trong
mỗi lớp bán dẫn bên cạnh. Như vậy, trong các cấu trúc hố lượng tử các hạt tải bị
định xứ mạnh, chúng bị cách li liên tục lẫn nhau trong các giếng thế hai chiều.Hàm
sóng của điện tử bị phản xạ mạnh tại các thành hố, do đó các điện tử bị giữ lại trong
hố thế và phổ năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa, các giá trị xung lượng được
phép của điện tử theo chiều vng góc với dị tiếp xúc cũng bị giới hạn.Chính nhờ
hiệu ứng lượng tử hóa quan trọng này mà người ta có thể điều chỉnh hoặc tối ưu hóa
vào các mục đích ứng dụng cụ thể hoặc để điều khiển chính xác các dịch chuyển
của điện tử trong các thiết bị kiểu transistor.
1.1.2 Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử với
thế giam giữ parabol
Xét một cấu trúc hố lượng tử với thế giam giữ có dạng parabol (sau đây ta
gọi tắt là hố lượng tử parabol) lí tưởng, giả thiết theo phương z, được cho bởi V(z) =
me ( ωzz )2 / 2 với ωz là tần số giam giữ đặc trưng cho hố lượng tử.
Giả sử đặt vào hố lượng tử nói trên một từ trường B (0, B, 0) , một điện
trường E1 (0, 0, E1 ) .Khi đó hàm sóng đơn hạt và năng lượng của điện tử có dạng
1
ψ(r) =
exp(i pr )n z z0
2
5
(1.1)
1
2
n,p (n )
1
2me
2 2 p eE1 2
) , n 0,1, 2,..
p (
Z pc +eE1 / m 2
0
e
Trong đó
2 2 2
với z p
n z z0 H n z z0 exp z z0
2 /2
(1.2)
(1.3)
(1.4)
1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong phần này chúng tơi giới thiệu tổng qt về ảnh hưởng của sóng điện từ
lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn
khối. ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc
với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi vecto cường độ điện
trường E (0, E0sin t,0) với Eo và tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện
từ).
Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối khi có mặt trường sóng điện từ.Ta bắt đầu đi từ Hamiltonian của hệ electronphonon:
H He H
ph
H
(1.5)
e ph
e
H n p
A(t) a a h, q b b
h,q h,q
c
n, p n, p h,q
n, p
h
Ch,q I n,n 'an, p q an, p bh,q bh,q
h, q n,n', p
Trong đó:
a , a : Tốn tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n, p
n, p n, p
b , b : Toán tử sinh hủy phonon
h,q h,q
C : Hằng số tương tác điện tử - phonon
h,q
I h : Thừa số dạng của điện tử trong hố lượng tử
n, n '
6
(1.6)
p, p q : Trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ
p : Năng lượng của điện tử
A(t) : Thế vectơ của trường điện từ
h,q : Tần số của phonon
Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng p là:
F t a a
n, p
n, p n, p t
(1.7)
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:
F t
n, p
i
a a , H
n, p n, p t
t
(1.8)
Sử dụng Hamiltonian (1.4) và các các phép biến đổi đại số tốn tử, ta thu được
phương trình
qeE
F t F t 1
n, p
n, p
o
x
J
eE1
J
D
(
q
)
2
S
m 2 l
t
p
q
s ,l e
t
f t ' N
f t (1 N ) exp
h,q
n, p q
h,q
n, p
q eE
x o exp i s l t
m 2
e
n p q n p h,q l i (t t ')
i
fn, p t ' ( Nh,q 1) fn', p q t ' (1 Nh,q ) exp i n' p q n p h,q l i (t t ')
fn, p q t ' Nh,q fn, p t (1 Nh,q ) exp i n p n' p q h,q l i (t t ')
fn, p q t ' ( Nh,q 1) fn, p t Nh,q exp i n p n' p q h,q l i (t t ')(1.9)
Trong đó, N h,q là hàm phân bố phonon cân bằng , J S (x) là hàm Bessel loại một
bậc s đối số x,σ là một số dương vô cùng bé.
Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được:
7
f t
f n, p t
n, p
eE1 c p h
t
p
(1.10)
2
2
2
D N h,q J l p f f p p q p l
p k
l
pq
B
Trong đó „ ‟ là ký hiệu tích có hướng của hai vector, h = là vector đơn vị dọc
B
eEo
theo hướng của từ trường, ....... là hàm Delta Dirac và =
.
m 2
e
Trong các tính tốn dưới đây, trong phương trình chỉ lấy l= -1,0,1. Điều này
có nghĩa là ta chỉ xét các quá trình với một photon, bỏ qua các q trình từ hai
photon trở lên.
Sau đó nhân hai vế (1.7) với
R
T
e
p và lấy tổng theo n, p ta thu được:
n, p
me
c p, R Q S
(1.11)
Trong đó:
e
f n, p
Q
p
F
n, p
me n, p
p
2 e
S
me
2
h
Ch,q .I n,n ' 2 Nh,q 1 p p f p f p q f p
h, q n,n ',
(1.12)
2
p
p
p
p
pq
p q
pq
Giải phương trình (1.12) ta thu được:
T
(1 c2 T 2 ( ))
Q S cT h, Q S c2T 2 h h, Q S
R
(1.13)
8
Hàm R có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với
năng lượng . Đại lượng này liên hệ với mật độ dịng bởi cơng thức:
j R d
(1.14)
Hay j im Em .
(1.15)
0
i
Xét trường hợp tán xạ điện tử- phonon âm, ta thu được biểu thức tenxo độ dẫn như
sau:
im
bT
eT ( )
me 1 2T 2
c
2
lm cT lmp hp c2T
ij cT ijk hk c2T
2
2
hi h j il
(1.16)
hl hm .
Trong đó:
Và dựa vào đó, ta sẽ xác định được các thành phần của độ dẫn là
zz
và xz để tính
được từ trở zz theo cơng thức sau:
zz
zz
zz2
2
xz
(1.17)
Từ đó ta có: cơng thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:
1 xz
RH
B xz2 zz2
(1.18)
Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức
tenxơ độ dẫn Hall từ đó xác định được cơng thức hệ số Hall trong bán dẫn khối.
Theo (1.16) và (1.18), ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số
Hall RH phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall cịn phụ thuộc
vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với B và phụ thuộc vào điện trường không đổi E1.
9
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ
VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL,
BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO HỐ LƢỢNG TỬ
Trong chương này, chúng tôi đưa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm phonon trong hố lượng tử. Sau đó bằng phương pháp phương trình động lượng tử
cho điện tử trong hố lượng tử, từ đó tìm được biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn
Hall và từ trở Hall.
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong hố lƣợng tử
Xét một hố lượng tử parabol, nếu ta đặt vào trong hố lượng tử một điện
trường dọc theo trục Oz: E1 (0,0, E1 ) , một từ trường không đổi theo phương
Oy: B1 (0, B1 ,0) , khơng những thế cịn có sự góp mặt của trường laser
E (0, E1sin t ,0) .
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm khi có mặt của trường Laser:
H H0 U
(2.1)
e
H0 p A t a a b b
n
c
n, p n, p h ,q h ,q h ,q h ,q
n , p
(2.2)
U= C I h a a b b
n
,
n
'
h
,
q
h
,
q
n ', p q n, p
h ,q n,n ', p h ,q
e
H p A t a a b b
n
c
n, p n, p h ,q h ,q h ,q h ,q
n , p
C I h a a b b
n,n ' n ', p q n, p h ,q h , q
h ,q n,n ', p h ,q
Trong đó:
n: Chỉ số lượng tử theo phương z (n=0,1,2,…)
N; Chỉ số Landau
n, p
và
n' , p q
trạng thái của điện tử trước và sau va chạm
10
(2.3)
h,q : Năng lượng của phonon âm với vecto sóng
a và a
n, p : Toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử
n, p
a
n, p
a
n, p
, an',
an,
an',
an',
a = n,n '
p '
p
p '
p ' n, p
p ,p '
(2.4)
, an',
a n,
an',
an',
a p 0
p '
p '
p ' n ,
p
(2.5)
bh, q và bh, q là toán tử sinh và toán tử hủy của phonon âm
b , b b b b b = h,h '
q ,q '
q ,h q ',h ' q ,h q ',h ' q ',h ' q ,h
(2.6)
b , b b b b b 0
q ,h q ',h ' q ,h q ',h ' q ',h ' q ,h
bq ,h , bq',h ' =bq,hbq',h ' bq',h 'bq,h 0
At
(2.7)
: Thế vecto của trường điện từ
Inh,n' q : Yếu tố ma trận tương tác. Nó phụ thuộc vào trạng thái đầu và trang thái
cuối của điện tử và tương tác cơ học
Ch,q : Hằng số tương tác điện tử và phonon âm.Nó phụ thuộc vào tán xạ cơ học,
tương tác điện tử - phonon âm.
2
C
q 2 qz 2
h,q 2VO Vs
Với:
(2.8)
VO là thể tích chuẩn hóa (chọn VO 1 )
Vs : vận tốc sóng âm
: hằng số thế biến dạng
ρ : mật độ tinh thể
2.2 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử
a a
- Số điện tử trung bình tại thời điểm t là: Fn,
.
p
n, p
n, p
t
- Phương trình phương động lượng tử cho số điện tử trung bình có dạng:
11
a an, p
n, p
t a a , H
i
n, p
t
n, p
t
Hay: i
t
Fn,
p
t
a , H U
an,
p n, p 0
(2.9)
t
Ta lần lượt tính các số hạng trong biểu thức (2.9)
e
'
a ,
Số hạng thứ nhất: sh1 t an,
p
' n ' c A t an ', p' an ', p'
p
n, p
n ',
p
e
'
Ta có:
sh1 t
p
A t an, p an, p , a ' a '
n '
n ', p n ', p
c
n ', p'
t
e
'
a
p
A t an, p an, p a ' a ' a ' a ' an,
n
'
p n , p
n
',
p
n
',
p
n
',
p
n ', p
c
n ', p'
' e
a '
p
A
t
a
a
' ' a
'
'
n
'
n , p n ', p n ,n p , p
n , p n ,n p , p'
n
',
p
c
n ', p'
e
'
p
A t an, p a ' a ' an,p n,n' '
n '
n ', p
p , p
c
n ', p
n ', p '
n ' p'
n ', p'
Vậy: sh1
t
e
A t an, p , a ' n, n' ' 0
p , p
c
n ', p
0
Số hạng thứ hai: sh2
(2.10)
t
a ,
b b
an,
p n , p
h
,
q
h
,
q
h
,
q
h ,q
0
(2.11)
t
Số hạng thứ ba:
h
a ,
I
b
sh3 t an,
C
q
a b
n
n
z a n ,
p n , p
h ,q 1 2
h ,q
h , q
'
2 p ' q
n1 , p
n1 ,n2 , p ' h ,q
h
a ,
I
C
q
bh, q bh, q
Ta có: an,
a
z a n ,
p n , p
m , q n1n2
'
2 p ' q
n1 , p
n1 , n2 , p ' h , q
12
t
h
I
C
q
' h,q n1n2 z an,p an,p , an2 ,p ' q an1 ,p' bh,q bh,q
n1 ,n2 , p h , q
b b
a a
a
Ch,q I nh1n2 qz an,
a a
a a
p n , p n2 ,
n
,
p
n
,
p
p ' q
'
n
,
p
'
q
'
h,q h, q
2
n1 , p
n1 , p
' h ,q
n1 , n2 , p
h
I
a a
C
q
bh,q bh, q
' h,q n1n2 z an,p an1 ,p' n,n2 p,
p ' q
n , p n ,n1 p , p '
n2 , p ' q
n1 , n2 , p h , q
h
a b b
I
Ch,q I nh1n2 qz an,
C
q
h,q n1n2 z a n ,p q an,p bh,q bh,q
p
h ,q
h , q
n ,p p
n1 ,h ,q
1
Chuyển n2 n1; n1 n ' ta suy ra:
a b b
sh3 t Cm,q I nnh ' qz an,
p
h ,q
h , q
n ', p p
n ',h ,q
b b
Ch,q I nnh ' qz a n', p q an,
p
h ,q
h , q
n ',h ,q
h
I
C
q
h,q nn ' z an,p an ',p p bh,q
n ', h , q
b
a n', p q an,
p h ,q
t
t
t
2
t
t
a b
an,
p
n ', p p h , q
t
b
a n', p q an,
p h , q
t
h
I
C
q
h,q nn ' z an,p an ',p p bh,q
n ', h , q
b
a n', p q an,
p h ,q
n2 ,h ,q
t
a n, p a n ', p q bh,q
a
b
an,
p h , q
n ', p p
*
t
t
*
(2.12)
Thay (2.10), (2.11), (2.12) vào (2.9) ta được:
i
(t )
Fn,
p
t
C
h
h ,q nn '
n ', h , q
I
a
qz an,
b
p n ',
p p h ,q
b
a n', p q an,
p h ,q
C
n ',h ,q
h
h ,q nn '
I
t
a n, p a n ', p q bh,q
q F
z
n , p ,n ', p p , h , q
a
t
n ', p p
t
*
t Fn*',p p ,n,p ,h,q t
t F t
Fn*,
p , n ', p q ,h ,q
n ', p q ,n , p ,h ,q
*
t F t
Ch,q I nnh ' qz Fn ',
p p ,n , p ,h , q
n , p , n ', p p , h , q
n ',h ,q
13
*
a
b
n , p h , q
t
*
t F t
Fn,
p , n ', p q ,h ,q
n ', p q ,n , p ,h ,q
Với: Fn ,p ,n ,p
1
1
2
2 ,h ,q
t
an ,p an ,p bh,q
1
2
1
2
Xây dựng biểu thức tính Fn ,p ,n ,p
1
1
2
t
2 ,h ,q
t
Phương trình động lượng tử cho Fn ,p ,n ,p
1
i
Fn ,p ,n ,p
1
1
2
2 ,h ,q
t
t
(2.13)
2
1
b , H
an ,p an ,
1 1 2 p2 h,q
t
2 ,m,q
t :
b , H U
an ,p an ,
1 1 2 p 2 h ,q 0
(2.14)
t
Ta lần lượt tính các số hạng của (14)
Số hạng thứ nhất:
e
,
sht1 t an ,p an ,
b
p A t an, p an, p
p h ,q
n
c
1 1 2 2
n , p
e
p A t an , p an , p bh,q , an, p an, p
n
c
1 1 2 2
n , p
e
n
p A t an1 , p1 an2 , p2 bh,q , an, p an, p
c
n , p
t
t
t
e
p A t an , p an , p bh,q an, p an, p an,
a a a b
p n , p n1 , p1 n2 , p2 h ,q
n
1 1
2 2
c
n , p
t
e
a a a b
p A t an , p n,n2
p2 , p
n , p n2 , p2
n, p h ,q
n
1 1
c
n , p
an,
n,n1 p ,
an ,p an,
an ,
b
p
p
p
p h ,q
1
1
1
2
2
t
e
a a b
p A t an , p an, p bh,q n,n2
p2 , p
n , p n2 , p2 h ,q n ,n1 p1 , p
n
1 1
c
n , p
e
e
n2 p2 A t n1 p1 A t an ,p an ,
b
p h ,q t
c
c
1 1 2 2
t
1
1 2 2 p eE1 2
p (
) , n 0,1, 2,..
Ta có : n,p (n )
2 2m*
Do đó :
c2 e
e
e
1
n p2 A t n p1 A t n ,
p p1 A t
p
n ,p
2 mc 2
c
c
2
1
2
14
2
1
1
p
Suy ra :
e
sh1 t n ,
p2 p1 A t an , p an , p bh ,q
p
n1 , p1
t
mc
2 2
1 1 2 2
e
n ,
p2 p1 A t Fn , p ,n , p ,h,q t
p
n1 , p1
mc
2 2
1 1 2 2
(2.15)
Số hạng thứ hai:
sh2
t
,
b b
an ,p an ,
b
p h ,q
h1 ,q1 h1 ,q1 h1 ,q1
1 1 2 2
h1 , q1
b , b b
h,q h1 ,q1 h1 ,q1
h1 ,q1 n1 , p1 n2 , p2
m1 ,q1
a
t
a
t
h ,q an ,p an ,
bh,q bh ,qbh ,q bh ,qbh ,qbh,q
p
1
h1 , q1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
t
h,q an ,p an ,
h,h1 q ,q bh ,qbh ,q bh ,q bh ,qbh ,qbh,q
p
1
h1 , q1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
t
h,q Fn ,p ,n ,
p ,h ,q
1
1
2
(2.16)
2
Số hạng thứ ba:
h
,
I 1
b
sh3 t an ,p an ,
b
C
q
a n ,
a
b
n
n
z
p
h
,
q
h
,
q
h
,
q
h
3
4
p
q
n
,
p
1 1
2 2
1 1
1 1
1 , q1
4
3
n3 ,n4 , p h1 ,q1
b
Ch ,q I nh31n4 q1z an ,p an ,
b , a n ,
a
b
h1 ,q1
h1 , q1
n3 , p
1 1
1 1
2 p2 h , q
4 p q
n ,n , p h ,q
3
4
1
1
Xét:
b
a a b , a a b b
n1 , p1 n2 , p2 h,q n4 , p q n3 , p h1 ,q1 h1 , q1
an ,p an ,
a p q a n ,
b
p n ,
h ,q
p
1
1
2
2
4
3
m1 ,q1
bh , q
1
1
a b b
b
a n ,
a
a
n ,p n ,p
h ,q
h , q
h ,q
p q
n ,p
4
3
1
1
2
2
1
1
1
1
a a a b b b
an ,p n2 ,n4
p , p q
n ,p
h ,q
h ,q
h , q
n , p q
n ,p
1
1
2
4
2
2
3
a b b
b
a n ,
a
a
n ,p n ,p
h ,q
h , q
h ,q
p q
n ,p
4
3
1
1
2
2
1
1
1
1
15
1
1
1
1
t
t
b
a a a b b b
an ,p n2 ,n4
p , p q
n ,p
h ,q
h ,q
h , q
n , p q
n ,p
1
1
2
4
2
2
a a
a n ,
n , n
p ,p
n ,p n ,p
1 3
p q
4
1
1
1
3
3
1
1
1
1
bh , q bh,q
h1 , q1
1
1
b b
an ,p a n ,
b
n2 ,n4 p , p q
m,q
h ,q
h , q
p
1
1
3
1
1
1
1
2
b b
b
a n ,
a
n ,p
h ,q
h , q
h ,q n2 , n4 p
p q
4
2
2
1
1
1
1
2 , p q
b b
an ,p a n ,
b
n2 , n4 p , p q
h ,q
h ,q
h , q
p
1
1
3
1
1
1
1
2
b b
b
a n ,
a
n ,p
h ,q
h , q
h ,q n1 ,n3 p ,q
p q
4
2
2
1
1
1
1
1
b b
an ,p a n ,
b
n2 , n4 p , p q
h ,q
,hq
h , q
p
1
1
3
1
1
1
1
2
b b
b
a n ,
a
n ,p
h ,q
h , q
h ,q n1 ,n3 p ,q
p q
4
2
2
1
Khi đó: sht3 t
1
1
1
1
h
I 1
b b
C
q
an ,p a n ,
b
1z
h ,q
h ,q
h , q
h ,q n2 n3
p q
1
n2 , n3 ,q1
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
h
I 1
C
q
h ,q n2n4 1z an ,p q an ,p bh ,q bh ,q bh,q
n1 ,n4 ,q1
1
1
4
2
1
2
1
1
1
1
t
(2.17)
t
+ Thay (2.15), (2.16), (2.17) vào (2.14) ta được:
i
Fn , p , n
1
2 , p2 ,h,q
1
t
t
c2 e
t
n , p n , p 1 2 p2 p1 A t h , q Fn , p , n ,
2
2
1 1
1 1 2 p2 , h , q
m
c
p
b b
Ch , q I nh21n3 q1z an , p a n ,
b
h
,
q
h
,
q
h
,q
p q
n2 , n3 , q1
1
1
h
I 1
C
q
n
n
1z
1 4
h , q
n1 , n4 , q1
1
1
1
1
3
2
1
1
a n ,
a
n
p q
4
2 , p2
b
h1 , q1
1
1
1
1
bh , q bh , q
1
1
t
t
(2.18)
c2 e
F (t ) i
Hay
n1 , p1 n2 , p2 h,q 1 2
p p2 . A(t ).F (t ) G (t ) (2.19)
mc 1
t
p
e
Giải công thức 2.19 bằng phương pháp biến thiên hằng số. Ta có:
F 0 (t )
F 0 (t )
X (t ).F 0 (t ) 0 X (t ).t
t
F (t )
16
t
t G(t1 )
t
0
X
(
t
).
dt
F
(
t
)
exp
X
(
t
).
dt
F
(
t
)
.exp
X (t1 ).dt1
0
1
1
1 1
F (t1 )
t
ln F 0 (t )
Hay:
F (t )
i
h
b b
b
a
Ch1 , q1 I n11n3 q1z a n3 ,
n2 , p2
h1 , q1
h1 , q1
h, q
p q
1
n
,
n
,
q
1 3 1
b b
Ch , q I nh31n2 an , p a n ,
b
h, q
h1 , q1
h1 , q1
1 1
1 1
3 p2 q1
x exp
t1
t1
2
i
1 c e p p . A(t ) dt
n
,
p
n
,
p
h
,
q
1 2
2
1 1 2 2
2p me c
i
2 e
h, q 1 c
p1 p2 . A(t ) dt2
n1 , p1 n2 , p2
2p me c
t
x exp
t1
t
t
t
t
t1
t1
Áp dụng (.....)dt2 (.....)dt1 (.....) dt2 (.....) dt2 (.....) dt2
F (t )
i
h
b b
b
a
Ch1 , q1 I n11n3 q1z a n3 ,
n2 , p2
h1 , q1
h1 , q1
h, q
p q
1
n1 , n3 , q1
b b
Ch , q I nh31n2 an , p a n ,
b
h, q
h1 , q1
h1 , q1
1 1
1 1
3 p2 q1
x exp
t1
t1
t
2
i
1 c e p p . A(t ) dt
h
(
t
t
)
n
,
p
n
,
p
h
,
q
1
1 2
2 2
2
2
t1 1 1
p mec
(2.20)
Áp dụng (2.20) để viết ra các số hạng của (2.14)
Fn ', p q , n, p , h, q (t )
i
h
Ch1 , q1 I n11n3 q1z
n1 , n3 , q1
b b
Ch , q I nh31n2 an , q p a n ,
b
h, q
h1 , q1
h1 , q1
1 1
1 1
1
3 p2 q1
x exp
a
n3 , q1 p q
1
an
2 , p2
b
h1 , q1
bh , q bh , q
1
1
t1
t1
t
2
i
1 c e p p . A(t ) dt
h
(
t
t
)
n ,p
n2 , p2
h, q
1
1 2
2 (2.21)
2
t1 1 1
p mec
Ta có :
17
F t
Fn, p t 1
n, p
I h )2 J S J l exp i s l t
eE1
(
C
2
n,n '
t
p
q h,q1
s,l
t
f t ' N
f t (1 N ) exp
h,q
n, p q
h,q
n, p
n p q n p h,q l i (t t ')
i
fn, p t ' ( Nh,q 1) fn ', p q t ' (1 Nh,q ) exp i n ' p q n p h,q l i (t t ')
fn, p q t ' Nh,q fn, p t (1 Nh,q ) exp i n p n ' p q h,q l i (t t ')
fn, p q t ' ( Nh,q 1) fn, p t Nh,q exp i n p n ' p q h,q l i (t t ')(2.22)
q xeEo
2
với
(1 c2 )
me
p
Áp dụng công thức chuyển phổ Fourier:
f
1
f
t eit dt ; f
t
t eit d (2.23)
f
N ,n,k y
N ,n,k y
2 N ,n,k y
N ,n,k y
Từ (2.22) và (2.23. Ta có :
1
it d eE f eit d
f
e
1 p
n, p
t 2 n, p
2
1
i s l t
Ch , q I nh, n ' J s J e
l
2 n' ,q
s,l
t
it
it
1
1d N 1
1d N 1
e
dt
f
f
e
n, p
'
1
h
,
q
h, q
2 n , p q
2
i
exp p q n p l i t t1
q
n'
it
1
it d N 1 1
1d N
f
e
f
e
'
h
,
q
h,q
2 n , p q
2 n, p
i
exp
k y q y N ,n k y l i t t1
' '
q
N , n
it
it
1
1d N 1
1d N 1
f
e
f
e
'
q
h, q
2 n, p
2 n , p q
18
i
exp n p l i t t1
q
n' , p q
it
it
1
1d N 1 1
1d N
f e
f ' e
h,q
h,q
2 n, p
2 n , p q
(2.24)
i
exp n p p q l i t t1
'
q
n
Vế trái của (2.24) tương đương với
VT (2.23)
i
it d i f
f n, p e
n, p t
2
(2.25)
t
t
Đổi thứ tự tích phân trong (2.24): ...dt1 ...d ...d ...dt1
2
1
i s l t
h
VP(2.23)
J s Jl e
Ch , q .I n , n '
2 n' ,q
s,l
1
x
2
d f
n, p
i
( ).N h , q f n , p p ( )( N h , q 1) x exp n ' ( p q ) n ( p )
l i t
h,q
i
.exp n ' ( p q ) n ( p )
l i t
h,q
n ' ( p q) n ( p) h,q l i
i
i
( ) N
f n , p (( N h , q 1) f n ,
l i t
h , q x exp n ' ( p q ) n ( p )
pq
h, q
i
i
exp n ' ( p q ) n ( p )
l i t
h, q
n ' ( p q ) n ( p) h,q l i
i
( ) N
f n ',
l i t
h , q f n , p ( )( N h , q 1) x exp n ( p ) n ' ( p q )
pq
h,q
i
i
exp n ( p ) n ' ( p q )
l i t
h, q
n ( p) n ' ( p q) h,q l i
i
( )( N
f n ',
l i t
h , q 1) f n , p ( ) N h , q x exp n ( p ) n ' ( p q )
pq
h, q
i
i
.exp n ( p ) n ( p q )
l i t
h, q
n ( p) n ' ( p q) h,q l i
19
eit
Hay
VP
i
h
Ch, q I n, n '
N ,n,q
f N
h, q
n, p
n' p q n
f
f
2
eE q y eE q y
1 t it
Jl *0 2 J s 0 2 exp i l s t
e d
2
l ,s m m
p q l i
N fn , p N 1
h, q
h, q
n ', p q
n p
n'
p q
N 1
h, q
n ', p q
q l i
f N h, q 1 f N h, q
n, p
n ', p q
N ', n ' k y q y N , n k y q l i
N 1 fn, p N
h, q
h, q
n ', p q
n p n ' p q q l i
f
(2.27)
So sánh vế trái và vế phải của (2.23) ta thấy hệ số Fourier hai vế bằng nhau
và trong vế phải ta chỉ xét l=s và thực hiện các bước chuyển đổi cho số hạng thứ hai
và số hạng thứ tư bằng cách đổi
q q ; l l
ở (40) ta sẽ có:
f n , p
2
i
Ch , q I nh, n ' J l 2
i f eE1
n, p
n' , q
k y
l
f N
h, q
n, p
n' p q n
f
f
p q l i
N fn , p N 1
h, q
h, q
n ', p q
n p
n'
p q
N 1
h, q
n ', p q
q l i
f N h,q 1 f N h,q
n, p
n ', p q
N ', n ' k y q y N , n k y q l i
N 1 fn, p N
h, q
h, q
n ', p q
n p n ' p q q l i
f
(2.28)
Hay: i f
n, p
f n, p i
2
Ch, q I nh, n ' J l 2
eE1
p
n' , q
l
f N 1 f n , p N
1
1
h
,
q
h
,
q
n ', p q
f N f N 1
2
2
h
,
q
h
,
q
n, p
n ', p q
Với
1
1 n ' p q n p q l i
1
2 N ', n ' k y q y N , n k y q l i
20
(2.29)
