Ảnh hưởng của mở rộng doppler lên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử 87rb ba mức cấu hình bậc thang luận văn thạc sỹ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------ ------

NGUYỄN TUẤN THƯ

ẢNH HƯỞNG CỦA MỞ RỘNG DOPPLER LÊN HIỆU ỨNG
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ TRONG HỆ NGUYÊN TỬ
87

Rb BA MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ


2

VINH, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------ ------

NGUYỄN TUẤN THƯ

ẢNH HƯỞNG CỦA MỞ RỘNG DOPPLER LÊN HIỆU ỨNG
TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ TRONG HỆ NGUYÊN TỬ
87

Rb BA MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC

MÃ SỐ: 60.44.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Đinh Xuân Khoa


3

VINH, 2012

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Đinh
Xuân Khoa, đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành bản
luận văn này.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa
sau đại học, khoa vật lý, các thầy giáo, cô giáo đã giúp đỡ, giảng dạy trong
quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tác giả cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu của TS. Nguyễn Huy Bằng
và những lần thảo luận, trao đổi với ThS. Lê Văn Đoài về những vấn đề liên
quan đến hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ và độ mở rộng Doppler.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với những quan tâm, chăm
sóc và động viên của gia đình, cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ
cùng đồng nghiệp, bạn bè đã đồng hành và tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả
hồn thành khóa cao học.
Vinh, tháng 01 năm 2012
Tác giả


4

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………………......4
Chương 1. Tương tác giữa ánh sáng với hệ nguyên tử …………………...7
1.1 Tương tác giữa ánh sáng và hệ nguyên tử hai mức……………........7
1.1.1 Ma trận mật độ................................................................................7
1.1.2 Tương tác giữa ánh sáng và hệ nguyên tử khi không có phân rã...9
1.1.3 Các quá trình phân rã…………………………………………...12
1.1.4 Sự mở rộng Doppler.....................................................................14
1.1.5 Tương tác giữa ánh sáng và hệ nguyên tử khi có phân rã…........16
1.2 Tương tác giữa ánh sáng và hệ nguyên tử ba mức...........................19
1.3 Các mức năng lượng của nguyên tử 87Rb..........................................20
1.3.1 Cấu trúc tinh tế.............................................................................20
1.3.2 Cấu trúc siêu tinh tế......................................................................23
Kết luận chương 1.....................................................................................24
Chương 2. Ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler lên hiệu ứng trong suốt
cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử 87Rb ba mức.....................................25
2.1 Giải phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức .......25
2.2 Mối liên hệ giữa độ cảm điện và các phần tử ma trận mật độ........31
2.3 Độ cảm điện khi xét đến độ mở rộng Doppler..................................33
2.4 Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc............................................................35
2.5 Ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler.................................................35
Kết luận chương 2....................................................................................39
Kết luận chung...............................................................................................40
Tài liệu tham khảo.........................................................................................41


5

MỞ ĐẦU

Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced
Transparency – EIT) là kết quả của sự giao thoa lượng tử giữa xác suất dịch
chuyển bên trong hệ nguyên tử khi bị kích thích cợng hưởng đồng thời bởi hai
hoặc nhiều trường điện từ ngoài (ví dụ như ánh sáng laser). Hệ quả của sự
giao thoa lượng tử là làm cho môi trường trở nên trong suốt đối với một chùm
sáng (gọi là “chùm laser dò”) dưới sự điều khiển của một chùm sáng khác
(gọi là “chùm laser điều khiển”). Cơ sở lý thuyết của hiện tượng này đã được
Kocharovskaya và Khanin đưa ra vào năm 1988, nhóm Harris đề xuất vào
năm 1989 và được kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991.
Đến nay, hiệu ứng EIT đã được phát triển mở ra nhiều lĩnh vực ứng
dụng mới như: tạo các bộ chuyển mạch quang học, làm chậm vận tốc nhóm
của ánh sáng, lưu trữ và xử lý thông tin lượng tử, tăng cường hiệu suất các
quá trình quang phi tuyến, phổ phân giải cao... Gần đây, nhiều nhóm nghiên
cứu về EIT đã điều khiển được hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ một cách
rõ nét trong môi trường nguyên tử lạnh (được làm lạnh đến nhiệt độ cỡ nK).
Việc khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong mơi trường nhiệt độ
rất thấp cỡ nK thì các ảnh hưởng như: hiệu ứng Doppler và các hiệu ứng do
va chạm của các nguyên tử,… là không đáng kể.
Các nghiên cứu về EIT thường tập trung vào các nguyên tử kim loại
kiềm như: Rb, Cs… vì phổ điện tử của chúng đơn giản và nằm trong miền
nhìn thấy nên có thể sử dụng các laser thương mại làm nguồn kích thích kết
hợp. Tuy nhiên, khi nghiên cứu phổ của các kim loại kiềm trong môi trường


6

khí nóng hoặc ở nhiệt đợ phòng thì ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler là đáng
kể.
Trong các nghiên cứu lý thuyết về sự tạo thành hiệu ứng trong suốt cảm
ứng điện từ của một số luận văn thạc sĩ vài năm trở lại đây ở Trường đại học

Vinh đã nghiên cứu các hiệu ứng EIT với độ trong suốt cao với môi trường
lạnh được giả thiết làm lạnh đến nhiệt đợ cỡ nK. Nhưng để vận dụng vào thực
nghiệm thì điều này gặp khó khăn do chi phí tớn kém trong việc đầu tư công
nghệ làm lạnh nguyên tử. Vì thế, các nghiên cứu lý thuyết về sự trong suốt
cảm ứng điện từ ở nhiệt độ phòng là cần thiết để định hướng cho thực nghiệm
và mục đích sử dụng trong thực tiễn. Trên cơ sở đó, chúng tôi chọn đề tài:
“Ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler lên hiệu ứng trong suốt cảm ứng
điện từ của hệ nguyên tử 87Rb ba mức cấu hình bậc thang ” làm luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ cho mình.
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler lên
sự tạo thành hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử 87Rb ba
mức cấu hình bậc thang được kích thích bởi hai trường laser (một trường laser
dò yếu và một trường laser điều khiển có cường độ mạnh). Các ảnh hưởng do
va chạm hay các thăng giáng của laser thì chúng tôi không đề cập ở đây.
Bố cục của luận văn ngoài các phần: Mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo. Luận văn gồm hai chương chính có nội dung như sau:
Chương 1: Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường ánh sáng.
Trình bày cơ sở lý thuyết về tương tác giữa hệ nguyên tử hai mức với
trường ánh sáng theo lý thuyết bán cổ điển. Ở đây chúng tôi thiết lập hệ
phương trình tương tác giữa hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang với các
trường ánh sáng khi xét đến các quá trình phân rã và trình bày lý thuyết về mở
rộng phổ do hiệu ứng Doppler.


7

Chương 2: Ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler lên sự tạo thành hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ của hệ nguyên tử 87Rb ba mức cấu hình
bậc thang.
Chương này chúng tơi trình bày lời giải của phương trình ma trận mật

độ cho hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang tương tác với các trường ánh
sáng được thiết lập trong chương 1. Sử dụng lý thuyết về đợ mở rộng Doppler
để khảo sát ảnh hưởng của nó vào hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc của môi
trường. So sánh kết quả khi tính đến ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler và
khi bỏ qua ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler. Vẽ đường biểu diễn hiệu suất
biến đổi độ trong suốt cảm ứng điện từ theo cường độ trường điều khiển khi
xét đến ảnh hưởng của độ mở rộng Doppler và xác định bộ thông số tối ưu.
Phần kết luận chung: Nêu những kết quả mà luận văn đã nghiên cứu và
hướng mở rộng, ứng dụng vào thực tiễn của luận văn.


8

Chương 1
TƯƠNG TÁC GIỮA HỆ NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG ÁNH SÁNG
1.1. Tương tác giữa hệ nguyên tử hai mức với trường ánh sáng
1.1.1. Ma trận mật độ
Ma trận mật độ là một cơng cụ quan trọng dùng để tính giá trị kỳ vọng
của các toán tử ứng với các đại lượng vật lý cần đo trong trường hợp không
biết hàm sóng một cách chính xác.
Để đưa vào khái niệm ma trận mật độ chúng ta hãy xét một hệ lượng tử
mà trạng thái của hệ được đặc trưng bởi hàm sóng

Ψ ,t)
(r

được khai triển qua các hàm riêng

các giá trị riêng


U n (r ) của


Ψ ,t)
(r

. Hàm sóng

tốn tử Hamiton với

C n (t ) :



Ψ( r , t ) = ∑C n (t ) U n ( r )
n

,

(1.1)
ở đây


C n (t ) , U n (r )

tương ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A

đặc trưng cho một đại lượng vật lý nào đó, nghĩa là:



A U n ( r ) = C n (t ) U n ( r )


⇒ A Ψ( r , t ) = ∑C n A U n ( r )

.

n

(1.2)
Ký hiệu giá trị trung bình của một đại lượng vật lý A trong trạng thái

Ψ ,t)
(r

là

A

thì

A = ψ r , t ) Aψ r , t )
(
(

, ta có:


9







Ψ r , t ) A Ψ r , t ) = ∑ m (t )C n (t ) U m ( r ) A U n ( r ) = C m (t ) U m ( r ) A U n ( r ) C n
(
(
C*
∑ *
n,m

n,m

= ∑ m (t ) Amn Cn (t )
C*
n,m

*
A = ∑C m Amn C n

Như vậy

m ,n

.

(1.3)

Nếu ta không biết trạng thái chính xác của hệ thì sự thiếu thơng tin này
sẽ được phản ánh trong độ bất định về giá trị của

Ψ ,t )
(r

Cn

trong khai triển của

. Tuy nhiên, nếu có đầy đủ thơng tin để tính được giá trị trung bình

theo tập hợp của

*
CmCn

và được ký hiệu là

*
CmCn

thì ta có thể tính được giá trị

trung bình của giá trị kỳ vọng, cụ thể giá trị trung bình của kỳ vọng một toán
tử A được xác định như sau:
A = ∑ m C n Amn
C*
m ,n

(1.4)
Ta ký hiệu:

Ma trận được tạo bởi các giá trị
Như

(1.5)

*
ρnm = C m C n

ρnm

được gọi là ma trận mật độ.

*
A = ∑C m C n Amn = ∑ρnm Amn = ∑( ρA) nm = Tr ( ρA) .

vậy

m,n

m,n

m,n

(1.6)
Do

*

ρnm = C m C n

nên

ρnm = ρ*
nm

vì vậy ρ là ma trận tự liên hợp. Một kết quả

*
quan trọng khác là Tr ( ρ I ) = ∑ CmCm = 1 . Kết quả này được suy ra từ điều kiện
m

chuẩn hóa.
Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình
theo tập hợp. Q trình này có thể giải thích như sau: người ta tạo ra một hệ
gồm N trạng thái đủ lớn sao cho các trạng thái này gần như đồng nhất với
nhau, theo mức độ mà các thông tin không đầy đủ có được cho phép. Sau đó


10

để các hạt này tiến triển theo thời gian, như vậy được đặc trưng bởi một hàm
trạng thái:


(
Ψ j ( r ,t ) = ∑ C n j ) ( t )U n ( r )
n

(1.7)
với j = 1,2,3...,n. khi đó trung bình theo tập hợp của

*
C m C n sẽ

được tính theo

cơng thức sau:

1 N ( j)* ( j)
ρ nm ( t ) = C ( t ) Cn (t ) = ∑ Cm ( t ) Cn ( t )
N j =1
*
m

(1.8)

Trung bình theo tập hợp là trung bình trên cả hệ N hạt.
Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía
cạnh xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo
một trong các hệ đó ở trạng thái
trung bình theo tập hợp của


U n (r ) .

*
CmCn ,

ρ
nn

là xác suất để

Các phần tử ngồi đường chéo bằng

nó có liên quan với lưỡng cực phát xạ của

tập hợp các hệ đang xét.
Chúng ta cũng có thể biểu diễn các hệ
phần tử ma trận của tốn tử
của hàm sóng

*
CmCn

ở trên đơn giản hơn là các

được phản ánh thông qua các véc tơ cột

ΨΨ

Ψ
*
u m Ψ Ψu n = C m C n

(1.9)
Từ

(1.5)

và

(1.9)

ta

được

.

ρ= Ψ Ψ

(1.10)
Như đã trình bày ở trên trong hệ cơ sở của

{u

1

, u2 , u3 ,..... un ,} toán tử mật

độ được biểu diễn bằng một ma trận, gọi là ma trận mật độ với các thành
phần:
*
ρnm = u m ρ u n = C m C n

(1.11)

11

ở đây ta cần lưu ý rằng các phần tử ma trận

ρmn

là Écmit, tức là:

*
ρ* = C m C n = ρ mn ↔ ρ + = ρ
nm

(1.12)

Với các tính chất đặc trưng như trên, toán tử ρ thỏa mãn đầy đủ các đặc
trưng trạng thái của một hệ lượng tử. Nói cách khác, tốn tử mật độ ρ cho
phép chúng ta thu được các tiên đoán vật lý từ

. Cụ thể là chúng ta có thể

Ψ

diễn tả định luật bảo tồn xác suất, tính được giá trị trung bình của đại lượng
cần đo hay có thể diễn tả sự tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử thơng qua
các yếu tố thành phần của ρ.
1.1.2. Tương tác giữa hệ ngun tử với trường khi khơng có phân rã
Chúng ta sử dụng lý thuyết bán cổ điển để khảo sát sự tương tác giữa
nguyên tử và bức xạ điện từ. Một sóng điện từ biến thiên theo thời gian và
không gian tương tác với nguyên tử. Để đơn giản, trước hết ta xét hệ nguyên

tử gồm hai mức năng lượng tham gia vào quá trình này, mức
cơ bản và mức

|2

là trạng thái kích thích.

Hình 1.1 Mơ hình hệ ngun tử hai mức

|1

là trạng thái


12

Theo lý thuyết bán cổ điển thì hệ nguyên tử được hệ lượng tử hóa các
mức năng lượng còn trường điện từ vẫn được mô tả dạng cổ điển, tức là điện
từ trường được mô tả bằng các hàm sóng thơng thường.
Hàm sóng của mỗi hệ ngun tử thỏa mãn phương trình Schrodinger:

∂ Ψ r , t)
(

i

∂
t

= H Ψr,t)

(

(1.13)
⇒ i ∑
n

∂C n (t )


U n (r ) = ∑C n (t ) HU n (r )
∂t
n

(1.14)
Nhân hai vế phương trình với
hàm


U m (r )


U m (r ) ,

đồng thời dùng tính trực chuẩn của

ta có:
ih∑
n

∂





Cn ( t ) .U m ( r ) .U n ( r ) = ∑ Cn ( t ) .U m ( r ) H .U n ( r )
∂t
n

⇒ i ∑
n

∂Cn (t )
= ∑Cn (t ) H mn .
∂t
n

(1.15)
Vì

*
ρnm (t ) = C m (t )C n (t )

nên ta suy ra:
*
∂ρ nm (t )
∂C m
* ∂C n
= Cn
+ Cm
∂t

∂t
∂t

(1.16)
Do tính tự liên hợp của H, phương trình trở thành
∂ρ i
= [ ρ, H ]
∂t

[ ρ, H ] = ρH − Hρ

Trong đó:

H = H0 + HI

là Hamilton toàn phần.

H0

là Hamilton của hệ nguyên tử khi khơng có trường.

HI

là Hamilton diễn tả tương tác của hệ với môi trường.

(1.17)


13

Phương trình (1.17) là phương trình Louville cho ma trận mật độ, nó được áp
dụng để mơ tả tương tác của hệ nguyên tử với trường ánh sáng cũng như để
mơ tả các q trình phi tuyến khác.
Do ta chỉ xét nguyên tử hai mức năng lượng và không suy biến nên
toán tử

H0

là :
W
H0 =  1
0

0
W2 


(1.18)
Cường độ trường ngoài được biểu diễn dưới dạng :

(

)


E = E0 cos ωL t − k r .

ở đây



k là

(1.19)

7
−1
véc tơ sóng. Với ánh sáng nhìn thấy thì k = ( 2π / λ ) ≈ 10 m và với

bán kính nguyên tử r ≈ 10 −10 m , thì có thể lấy kr ≈ 0 . Trong phép gần đúng
như thế gọi là phép gần đúng lưỡng cực.
E=

(

)

E 0 iωL t
e
+ e −iωLt .
2

Thông thường ta chọn gốc toạ độ tại tâm nguyên tử nên có thể đặt

F

tác dụng lên electron là



F = −eE ,

gọi là mômen lưỡng cực,


E



r0 = 0 ,

lực

khi đó thế năng tương tác là :



V (r ) = − E .
d


d

(1.20)

(1.21)

là cường độ trường laser phụ thuộc thời gian.


Các phần tử ma trận chéo H I = V ( r ) được lấy bằng không d11 = d 22 = 0 , điều

này thích hợp với các chuyển đổi giữa các trạng thái có tính chẵn xác định.
Khơng mất tính tổng qt ta có thể lấy các hàm riêng sao cho d 21 = d12 = d là
thực. Khi đó ta có thể viết :
 0
HI = 
− dE ( t )

− dE ( t ) 
.
0 


(1.22)

Trạng thái của hệ nguyên tử hai mức được mô tả bằng toán tử ma trận mật độ
với các thành phần :


14

ρ
ρ =  11
 ρ 21

ρ12 
.
ρ 22 


(1.23)

i
[ ρ , H ] mn .
h

(1.24)

Khi đó ta viết lại (1.17) như sau:
&
ρ mn =

Phương trình (1.24) là phương trình Bloch quang học cho hệ nguyên tử 2
mức.
1.1.3. Các quá trình phân rã
• Q trình phân rã do phát xạ tự phát
Phát xạ tự phát là quá trình các nguyên tử đang ở trạng thái có mức năng
lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng lượng thấp hơn. Nếu
xác suất phát xạ tự phát của nguyên tử trên một đơn vị thời gian là Pmn hoặc Pnm
và Pm , Pn tương ứng là xác suất tìm thấy nguyên tử ở trạng thái m và n. Khi
đó, theo định luật Boltzman, Pn được xác định như sau:
Pn = C.e

Xét hai mức

|1

và

|2

−

En
kT

(n = 1,2).

(1.25)

, E1 và E2 là các giá trị năng lượng tương ứng,

khi khơng có tác động của trường ánh sáng ngồi thì:
TN
dP21
= A21 .
dt

(1.26)

Trong đó A21 là hệ số Einstein, hệ số này phụ thuộc bản chất nguyên tử
và chỉ xác định bằng thực nghiệm.
Gọi γ là tốc độ phân rã trong phát xạ tự phát, ta có:
2γ = A21 = 1 / τ R .

(1.27)

• Phân rã do va chạm
Sự mở rộng vạch phổ phụ thuộc nhiều vào các điều kiện vật lý của các
nguyên tử, chẳng hạn như: sự mở rộng do va chạm, do hiệu ứng Doppler...

15

Khi xét đến q trình va chạm, hàm sóng của nguyên tử có dạng rất phức tạp,
các mức năng lượng của nguyên tử sẽ thay đổi bởi các tương tác giữa hai
nguyên tử khi chúng va chạm với nhau và hàm sóng sẽ trở thành tổ hợp tuyến
tính của các hàm sóng ngun tử khơng nhiễu loạn. Nếu khoảng thời gian va
chạm đủ ngắn, ta có thể bỏ qua sự hấp thụ hoặc phát xạ ánh sáng xảy ra trong
quá trình va chạm.
Sự va chạm có ảnh hưởng tới q trình quang học và sự thay đổi trong
các trạng thái lượng tử, kết quả là nguyên tử thay đổi từ mức năng lượng này
sang mức năng lượng khác, từ trạng thái này sang trạng thái khác. Hiệu ứng
do chúng tạo ra được mô tả bởi tốc độ phân rã được thêm vào mật độ cư trú ở
các mức của nguyên tử trong phương trình Bloch quang học. Trong va chạm
đàn hồi, gọi tốc độ phân rã là γcoll , đại lượng này được biểu thị theo tốc độ va
chạm 1 / τ0
γ coll =

1
τ0

.

(1.28)

Như vậy γ ' = γ + γ coll là tốc độ phân rã do cả hai quá trình phát xạ và quá
trình va chạm gây ra cho hệ nguyên tử.
1.1.4. Sự mở rộng Doppler
Chúng ta chỉ có thể bỏ qua độ mở rộng vạch phổ do hiệu ứng Doppler
khi xét hệ nguyên tử có vận tốc rất bé như khi nó chuyển động trong mơi

trường được làm lạnh tới nhiệt độ rất thấp cỡ nK. Khi nghiên cứu các hiệu
ứng tương tác kết hợp trong môi trường nguyên tử ở thể hơi thông thường thì
nhất thiết phải xét đến độ mở rộng Doppler do nguyên tử chuyển động trong
vạch phổ.
Xét một nguyên tử đang chuyển động với vận tốc v = {v x, vy, vz} đối
với một hệ quy chiếu đứng yên của người quan sát. Tần số trung tâm của vạch


16

phổ phát xạ, hấp thụ của nguyên tử là ω0 trong hệ tọa độ của nguyên tử, thì
tần số phát xạ, hấp thụ sẽ bị thay đổi do hiệu ứng Doppler. Đới với quan sát
viên hướng theo ngun tử thì tần số đó là:

ωe = ω0 + kv

(1.29)

Tần sớ phát xạ biểu kiến ωe được tăng lên nếu nguyên tử chuyển động theo


hướng quan sát viên ( kv > 0 ) và giảm xuống nếu nguyên tử chuyển động


ngược lại ( kv < 0 ).
Tương tự, có thể thấy rằng tần số hấp thụ ω0 của một nguyên tử chuyển


động với vận tốc v qua một sóng phẳng điện từ E = E0 exp(iωt − k .r ) cũng bị
dịch chuyển. Tần số sóng ω trong hệ quy chiếu đứng yên xuất hiện trong hệ

quy chiếu của nguyên tử chuyển động là:

ω ' = ω − kv

(1.30)

Nguyên tử chỉ có thể bị hấp thụ nếu ω’ trùng với tần số riêng ω0. Do đó tần số
hấp thụ là:

ωa = ω0 + kv

(1.31a)

Cũng giống như trong trường hợp phát xạ, tần số hấp thụ ωa được tăng


lên nếu kv > 0 , đây là trường hợp khi nguyên tử chuyển động song song với


phương lan truyền của ánh sáng kích thích và giảm nếu kv < 0 khi nguyên tử
chuyển động ngược với hướng lan truyền của ánh sáng kích thích.
Nếu chọn chiều dương của trục z trùng với chiều truyền của ánh sáng
kích thích thì biểu thức (1.31a) trở thành (với k = k z =

2π
):
λ

ωa = ω0 (1 + vz / c)

(1.31b)

Ở trạng thái cân bằng nhiệt, số nguyên tử của môi trường khí ta xét tuân theo
phân bố vận tốc Maxwell. Tại nhiệt độ T, số nguyên tử N(v z)dvz trên một đơn
vị thể tích có thành phần vận tốc trong khoảng giữa vz và vz + dvz là:


17

N (v ) =

N 0 − ( vz / u ) 2
e
dv
u π

Trong đó N0 là mật độ nguyên tử ở trạng thái cơ bản, u =

(1.32)
2 k BT
là vận tốc căn
m

quân phương của nguyên tử (vận tốc của xác suất lớn nhất), m là khối lượng
của nguyên tử và kB là hằng số Boltzmann. Đưa hệ thức (1.31b) với
dvv = (c / ω0 )d ω vào (1.32) ta được số nguyên tử mà tần số hấp thụ bị dịch

chuyển một lượng dω là:
  c(ω − ω )  2 
c

0
N (ω )d ω = N 0
exp  − 
÷  dω
ω0u  
ω0u π
 



(1.33)

Vì cơng śt hấp thụ hoặc phát xạ, bức xạ P(ω)dω thì tỷ lệ với mật độ
N(ω)dω, do đó công tua cường độ của vạch phổ mở rộng Doppler trở thành:
  c (ω − ω )  2 
0
I (ω ) = I 0 exp  − 
÷
ω0u  
 



(1.34)

1.1.5. Tương tác giữa hệ nguyên tử với trường ánh sáng khi có phân rã
Phương trình (1.24) chỉ là trường hợp lý tưởng chỉ đúng khi cường độ,
pha và tần số của trường kích thích là hồn tồn đơn sắc và các mức năng
lượng của hệ lượng tử không suy biến. Tuy nhiên trong thực tế không phải
như vậy, do nhiều nguyên nhân, các thơng số thường có thể thăng giáng và

năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó, chẳng hạn
như: sự mở rộng Doppler, sự mở rộng do va chạm, mở rộng tự nhiên hay
thăng giáng của laser ... Vì vậy để tổng quát hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh
hưởng của các thăng giáng này vào phương trình Louville, tức là phải đưa
thêm vào ma trận mật độ sự suy giảm tương ứng với các thăng giáng, các q
trình phân rã. Khi đó phương trình của hệ ngun tử với trường có dạng:


18

&
ρ mn =

i
[ ρ , H ] mn − ( γρ ) mn
h

(1.35)

Trong đó H là Hamilton tồn phần của nguyên tử, thông thường H được biểu
diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử với trường,
phần còn lại đặc trưng cho Hamilton của nguyên tử khi khơng có trường.
Trong gần đúng lưỡng cực điện Hamilton toàn phần được biểu diễn:
H = H 0 − dE

(1.36)

γ là tốn tử mơ tả q trình tích thốt do phân rã tự phát, do va chạm và ρ là
toán tử ma trận mật độ.
Với m = 2, n = 2 ta có :

ρ11
 ρ 21

[ ρ, H ] = 


ρ12 
ρ 22 


 ρ11W1 − ρ12 dE

 W1
− dE


− dE   W1
W2  − dE
 

− ρ11dE + ρ12W2 

− dE 
W2 


 ρ11
ρ
 21

 W1 ρ11 − dEρ21

ρ12 
=
ρ 22 

W1 ρ12 − dEρ22 

= ρ W − ρ dE − ρ dE + ρ W  - − dEρ + W ρ − dEρ + W ρ 
 21 2
22
21
22 2 

11
2 21
12
2 22 
dE ( ρ 21 − ρ12 )



= − dE ( ρ − ρ ) − ρ (W − W )
22
11
21
2
1


dE ( ρ 22 − ρ11 ) + ρ12 (W2 − W1 )
.
− dE ( ρ 21 − ρ12 )


(1.37)
Trong đó ω0 =

W2 −W1


là tần số chuyển mức của hệ lượng tử.

Từ đó ta nhận được hệ phương trình cho các thơng số nguyên tử :
&
ρ11 =

idE
( ρ21 − ρ12 ) − Γ ρ11 + Γ ρ22
1
2


(1.38a)
&
ρ12 = iω0 ρ12 +

idE
( ρ22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12


&
ρ21 = −iω0 ρ21 −
&
ρ22 = −

(1.38b)
idE
( ρ22 − ρ11 ) − γ 21 ρ21


idE
( ρ21 − ρ12 ) − Γ ρ22
2


(1.38c)
(1.38d)


19

&
&
ρ11 − ρ22 = i

2dE
( ρ21 − ρ12 ) .


(1.38e)

Trong đó Γ1 và Γ 2 là tốc độ phân rã mật độ cư trú của mức

1

và

2

.

Từ các công thức trên chúng tìm được ρ và ρ22 mô tả xác suất tồn tại của
11
hạt ở các mức

1

và

2

(thông thường ρ và ρ22 còn được xem là mật độ
11

cư trú của các mức tương ứng) cịn ρ12 , ρ21 mơ tả xác suất dịch chuyển hạt
giữa hai mức (đơi lúc cịn được gọi là xác suất chuyển lưỡng cực hay một
cách đơn giản hơn là phép chuyển lưỡng cực).
Để thuận lợi cho những tính tốn về sau, ta định nghĩa các biến số mới
~
~

ρ12 (t ), ρ21 (t ) thông qua các hệ thức sau:

~
ρ 12 (t ) = ρ 12 (t )e iω Lt ,

~
ρ 21 (t ) = ρ 21 (t )e − iω Lt ,

(1.39)

~
~
~
~
&
&
&
&
ta có ρ12 = ρ12eiω t + iω L ρ12 eiω t , ρ21 (t ) = ρ 21 (t )e −iω t − iωL ρ21e −iω t .
L

L

L

L

(1.40)

Thay (1.39) và (1.40) vào hệ phương trình (1.38) .

Ta được hệ phương trình sau:
&
ρ11 =

(

)

idE0 iωLt
~
~
e + e −iωLt ( ρ 21e −iωLt − ρ12 e iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22
2

(1.41a)

idE0 iωLt
~
~
~
~
&
(e + e −iωLt )( ρ22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12eiωLt
ρ12 e iωLt + iωL ρ12 e iωLt = iω0 ρ12 e iωLt +
2

(1.41b)
idE0 iω t
~
~

~
~
&
(e + e −iω t )( ρ22 − ρ11 ) − γ 21 ρ21e −iω t
ρ21e −iω t − iωL ρ21e −iω t = −iω0 ρ21e −iω t −
2
L

L

L

L

L

L

(1.41c)
&
ρ 22 = −

(

)(

)

idE0 iωLt
~

~
e + e −iωLt ρ 21e −iωLt − ρ12 e iωLt − Γ2 ρ 22
2

(1.41d)

suy ra
&
ρ11 =

idE0 ~
~
~
~
( ρ 21 − ρ12 − ρ12 e 2iωLt + ρ 21e −2iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ2 ρ 22
2

idE0
~
~
~
~
&
(1 + e −2iωLt )( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12
ρ12 = −iω L ρ12 + iω0 ρ12 +
2

(1.42a)
(1.42b)

20

idE0 2iωLt
~
~
~
~
&
( e + 1)( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ 21
ρ 21 = iω L ρ 21 − iω0 ρ 21 −
2
&
ρ 22 = −

idE0 ~
~
~
~
( ρ 21 − ρ12 − ρ12 e 2iωLt + ρ 21e −2iωLt ) − Γ2 ρ 22 .
2

(1.42c)
(1.42d)

Trong phép gần đúng sóng quay bỏ qua các số hạng dao động nhanh
e 2iωL t và e −2iωLt , đồng thời sử dụng các kí hiệu ∆ = ω0 −ωL gọi là độ lệch tần,
Ω=

dE0



gọi là tần số Rabi.

Ta tính được:
&
ρ11 =

iΩ ~
~
( ρ21 − ρ12 ) − Γ ρ11 + Γ2 ρ22
1
2

(1.43a)

iΩ
~
~
&
ρ12 = −( γ 21 + i∆) ρ12 + ( ρ22 − ρ11 )
2

(1.43b)

iΩ
~
~
&
ρ21 = −( γ 21 − i∆) ρ21 −

( ρ22 − ρ11 )
2

(1.43c)

&
ρ22 = −

iΩ ~
~
( ρ21 − ρ12 ) − Γ2 ρ22
2

(1.43d)
Ở trạng thái dừng
lượng thì
Đặt:

Γ =0
1

~
~
&
&
ρ12 = ρ21 = 0

&
&
và ρ11 = ρ 22 = 0 và với nguyên tử hai mức năng

và ρ11 + ρ22 = 1 .
γ 21 =

Γ1 + Γ 2 Γ
=
2
2

Suy ra
iΩ ( ρ 22 − ρ11 ) iΩ (2 ρ 22 − 1)
~
ρ12 =
=
2 γ 21 + i∆
2 γ 21 + i∆

(1.44)

iΩ ( ρ 22 − ρ11 )
iΩ (2 ρ 22 − 1)
~
ρ 21 = −
=−
2 γ 21 − i∆
2 γ 21 − i∆

(1.45)

iΩ (2 ρ − 1)

iΩ (2 ρ − 1)

~
~
22
22
⇒ ρ 21 − ρ12 = − 2 γ − i∆ − 2 γ + i∆ = −
21
21

(1.46)

iΩ(2 ρ 22 − 1)γ 21
iΩ(2 ρ 22 − 1)Γ / 2
=−
2
2
(λ21 + ∆ )
(Γ / 2) 2 + ∆2


21

Γρ 22 = −

iΩ ~
~
( ρ 21 − ρ12 ) .
2

(1.47)

Từ (1.46) và (1.47) ta tính được :
ρ 22 =

1
Ω2 / 2
2 Ω 2 / 2 + (Γ / 2) 2 + ∆2

,

(1.48)


Ω
∆ − i (Γ / 2)
~
ρ 12 =  2
 Ω / 2 + (Γ / 2) 2 + ∆ 

2


(1.49)


Ω
∆ + i (Γ / 2)
~

ρ 21 =  2
 Ω / 2 + (Γ / 2) 2 + ∆  .

2


từ đó suy ra

(1.50)

1.2. Tương tác giữa ánh sáng và hệ nguyên tử ba mức
Xét nguyên tử ba mức tương tác với trường điện từ. Đưa vào hệ nguyên
tử ba mức năng lượng hai trường laser có tần số và cường độ thích hợp, một
trường điều khiển cường độ mạnh (Ec) và một trường dị có cường độ (E p) yếu
hơn nhiều so với trường điều khiển để điều hưởng hai dịch chuyển của
nguyên tử có một mức chung.
Phương trình mơ tả tương tác giữa hệ ngun tử ba mức với hai trường
ánh sáng laser có dạng như sau:
dρ i
= [ ρ , H ] mn + Λρ
dt h

(1.51)

Trong đó số hạng Λρ mô tả các quá trình phân rã.
Ứng với hệ ba mức năng lượng, ρ là tốn tử ma trận mật độ cỡ (3 × 3):
 ρ11
ρ =  ρ 21

 ρ 31



ρ12
ρ 22
ρ 32

ρ13 
ρ 23 

ρ 33 


(1.52)

ρ mn là các phần tử ma trận mật độ (m, n = 1,2,3).
*
*
ρ mn = CmCn phải thoả mãn điệu kiện ρ11 + ρ 22 + ρ 33 = 1 và điều kiện ρ mn = ρ nm .

1.3. Cấu trúc năng lượng của nguyên tử 87Rb


22

1.3.1. Cấu trúc tinh tế của 87Rb
87

Rb là nguyên tố thuộc kim loại kiềm (các nguyên tố đứng ở cột thứ

nhất trong bảng hệ thống tuần hoàn ). Ở nguyên tử, ngồi các lớp lấp đầy cịn

có một điện tử hóa trị ns ngồi cùng. Chính nhờ tính chất của điện tử này mà
phổ của Rb nói riêng và kim loại kiềm nói chung rất giống phổ của ngun tử
Hyđrơ.
Biểu thức năng lượng của nguyên tử Hyđrô khi không xét đến spin ta có :
0
En = −

Z 2 m0e 4

(n = 1,2,3….)

2 2 n 2

(1.53)
Trong phép gần đúng cấp không, ta tìm được bở chính năng lượng
mức

0
En

∆ nj
E

cho

trong phép gần đúng bậc nhất.
∆ nj
E

Trong đó

α =−



Z 4α 2  n
3

= ∫ R ( w1 + w2 + w3 ) r dr = −R
− 
1
4
n4 
0
j+


2

∞

2
nl

e2
1
≈
 c 137

2

là hằng số cấu trúc tinh tế, còn R = −

.

(1.54)
m0e 4
2 2

là hằng số

Rydberg. Từ đó ta có thể viết được cấu trúc tinh tế của phổ nguyên tử đồng
dạng Hyđrô:
0
E nj = ∆E nj + E n = − R 2

Z 2  Z 2α 2
1 +
n2 
n2

 n
3 

 j + 1 / 2 − 4  .




Hệ các mức năng lượng tương ứng với các giá trị

giá trị

0
En

∆ nj
E

( 1.55)

khác nhau ứng với các

như nhau gọi là cấu trúc tinh tế của phổ nguyên tử. Tuy nhiên với

các kim loại kiềm, điện tử hoá trị so với điện tử trong H sẽ chuyển động
trong một trường xuyên tâm hiệu dụng. Vì thế biểu thức (1.56) cho phép dùng
chung để xác định năng lượng cho các kim loại kiềm.
RyZ 2
Enj = −
(n − ∆ )2

(1.56)


23

trong đó ∆ là số bổ chính của số lượng tử chính n gọi là độ sai lệch lượng tử.
Có thể xác định được ∆ theo lý luận sau:
Với kim loại kiềm điện tử hoá trị sẽ chuyển động trong trường của lõi
nguyên tử (chứa hạt nhân và các điện tử của lớp lấp đầy), dưới ảnh hưởng của

điện tử hố trị, lõi bị phân cực. Có thể xem trường của lõi là tổng của các điện
tích điểm và trường của mômen lưỡng cực điện, thế năng tương tác sẽ là:

Ze 2
Ze 2
U (r ) = −
− C1 2
r
r

(1.57)

trong đó C1 là hằng số đặc trưng cho độ lớn của mơmen lưỡng cực.
Phương trình Schrodinger đối với kim loại kiềm có dạng:
∆ψ +

Khi xem đại lượng

C1

Ze 2
r2

2m
Ze 2
Ze 2
(E +
+ C1 2 )ψ = 0
2
r

r

(1.58)

là nhiễu loạn, ta có thể giải phương trình trên bằng

phương pháp phân ly biến số xét trong toạ độ cầu và sử dụng phép gần đúng
bậc 0, ta tìm được giá trị năng lượng ứng với số lượng tử

n∗

như sau:

RyZ 2
E = − ∗2
n

(1.59)

mZe 2 
'
n* = nτ + l + l = n − C1 2

  (l + 1 / 2) 

với
(1.60)
suy ra:





mZe 2 
∆ = n − n = C1
.
  2 (l + 1 ) 


2 

∗

(1.61)

Từ biểu thức của ∆ ta có thể suy ra các hệ quả sau:
•

Từ sự phụ thuộc của độ sai lệch lượng tử ∆ vào l, dẫn đến các giá trị

năng lượng của kim loại kiềm và ion tương tự sẽ phụ thuộc vào n và l.


24

•

Cấu trúc tinh tế là kết quả của tương tác giữa mơmen qũy đạo của

electron và spin của nó. Mơmen toàn phần của êlectron được cho bởi
→

→

→

J = L+ S .

(1.62)

Số lượng tử J tương ứng có giá trị trong khoảng

| L − S |≤ J ≤ L + S .

Ở trạng thái cơ bản của 87Rb, L = 0 và S = 1/2 suy ra J = 1/2.
Ở trạng thái kích thích L = 1 suy ra J = 1/2 hoặc J = 3/2.
Năng lượng các mức riêng thay đổi theo giá trị của J.
Vậy chuyển L = 0 → L = 1 (vạch D) tách thành hai thành phần: Vạch D 1 (5
2

S1/2 → 52P1/2 ) và vạch D2( 5 2S1/2 → 52P3/2 ).
Ý nghĩa của sự phân bố các mức năng lượng như sau:

Số đầu tiên là số lượng tử chính của êlectron hố trị, chỉ số trên phía bên trên
là độ bội χ = 2S + 1, chỉ số dưới ký hiệu cho giá trị của J và thứ tự quy theo
L (s ↔L = 0; p ↔L = 1; d ↔L = 2).
Nếu chỉ xét đến êlectron ở lớp ngồi cùng ta có sơ đồ sau:
5s1/2, 5p1/2, 5p3/2, 5d3/2, 5d5/2
Khi bị kích thích êlectron ở lớp ngoài cùng nhảy từ mức cơ bản 5s 1/2 lên các
mức kích thích có mức năng lượng cao hơn.
1.3.2. Cấu trúc siêu tinh tế của 87Rb

Cấu trúc siêu tinh tế là kết quả tương tác của mơ men tồn phần của
êlectron lớp ngồi cùng với mơmen
Mơ men tồn phần

→

F

→

I

của hạt nhân.

của nguyên tử được cho bởi:
→

+

→

F =J

→

I

.

(1.63)

Độ lớn của

→

F

có thể nhận các giá trị :
J −I ≤ F ≤ J + I

.

(1.64)


25

Với

87

Rb thì I = 3/2, ứng với trạng thái điện tử cơ bản của 87Rb là 52S1/2 ta có

J = 1/2, do đó F sẽ nhận các giá trị là F = 1 hoặc F = 2.
Ở trạng thái kích thích của vạch D1 (52P1/2), F nhận một trong hai giá trị
1 hoặc 2 (2 mức siêu tinh tế). Với trạng thái kích thích của vạch

D2 (5

2

P3/2), F có thể nhận nhiều giá trị 1, 2, 3 hoặc 4 (có 4 mức siêu tinh tế). Các

mức năng lượng nguyên tử cũng thay đổi theo các giá trị của F. Ở mức 5 2D5/2
ta có J = 5/2 và I = 3/2 do đó F sẽ nhận các giá trị F = 1; 2; 3; 4 hoặc 5 (có 6
mức siêu tinh tế)…khoảng cách các mức tinh tế trong hệ nguyên tử 87Rb được
tạo bởi các laser có bước sóng λ ; 15nm . Khi đó hai thành phần của vạch D
được xem như riêng biệt. Hơn nữa, độ rộng tần số giữa các mức siêu tinh tế là
rất nhỏ nên nó có ích trong một vài mơ tả hình thức sự biến đổi của năng
lượng. Hamilton mô tả cấu trúc siêu tinh tế của mỗi thành phần vạch D riêng
→→

→→

H hfs = Ahfs I J + B hfs

là:

→→

→→

3 →→
( I J ) − I ( I +1) J ( J +1)
2
+
2 I (2 I −1)(2 J −1)

3( I J ) 2 +

→→

10.( I J )3 + 20.( I J ) 2 + 2( I J ).[ I ( I +1) + J ( J +1) + 3] − 3I .( I +1) J ( J +1) − 5 I .( I +1) J ( J +1)
+ Chfs
I ( I −1)(2 I −1) J ( J −1)( 2 J −1)

(1.65)
Sự biến đổi năng lượng siêu tinh tế theo biểu thức :
∆E hfs
+ C hfs

3
K ( K +1) − 2 I ( I +1) J ( J +1)
1
= Ahfs K + B hfs 2
+
2
4 I (2 I −1) J (2 J −1)

5 K 2 ( K / 4 +1) + K [ I ( I +1) + J ( J +1) + 3 − 3I ( I +1) J ( J +1)] − 5 I ( I +1) J ( J +1)
I ( I −1)(2 I −1) J ( J −1)(2 J −1)

(1.66)
trong đó:

K = F ( F +1) − I ( I +1) − J ( J + 1) .