Ebook Nhóm và biểu diễn - ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường (dịch)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

J.L. Alperin with Rowen B.Bell

NHÓM VÀ BIỂU DIỄN

Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường
Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2></div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Mục lục

Mục lục . . . 3

1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . 5

1. Nhắc lại . . . 5

2. Tự đẳng cấu . . . 17

3. Tác động nhóm . . . 29

2. Nhóm tuyến tính tổng qt . . . 40

4. Cấu trúc cơ bản . . . 40

5. Nhóm con parabol . . . 48

6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . 56

3. Cấu trúc địa phương . . . 62

1. Định lí Sylow . . . 62

2. p-nhóm hữu hạn. . . 71

3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . 78

4. Cấu trúc chuẩn tắc . . . 86

10. Chuỗi hợp thành . . . 86

11. Nhóm giải được . . . 91

5. Đại số nửa đơn . . . 102

12. Môđun và biểu diễn . . . 102

13. Lý thuyết Wedderburn . . . 113

6. Biểu diễn nhóm . . . 130

14. Đặc trưng. . . 130

15. Bảng đặc trưng . . . 138

16. Cảm sinh . . . 154

Phụ lục . . . 168

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm

Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm

và giới thiệu các cơng cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1

chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ
một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong
chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan
trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có
thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập
đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tơi trình bày cả những ứng dụng cơ bản
và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau.

1. Nhắc lại

Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập khơng rỗng G và một phép tốn
hai ngơi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau:

• Phép tốn hai ngơi có tính kết hợp: (xy)z=x(yz) với mọix, y, z_∈G.

• Tồn tại duy nhất phần tử 1∈G, gọi là phần tử đơn vịcủa G, sao cho x1 =x
và 1x=x với mọix∈G.

• Với mọi x∈G có duy nhất một phần tử x−1 ∈G, gọi là phần tử nghịch đảo

của x, với tính chấtxx−1 = 1 vàx−1x= 1.

Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu
hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Trật tự các phần tử trong một tích là
rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì khơng nhất
thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x
và y giao hốn. Thơng thường, ta định nghĩa giao hốn tử của x và y là phần tử
[x, y] = xyx−1y−1, khi đó x và y giao hốn nếu và chỉ nếu [x, y] = 1. (Nhiều tác
giả định nghĩa [x, y] =x−1y−1xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất

cả các cặp phần tử của Gđều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử
trong một tích là khơng qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng Glàkhơng abel. Phép

tốn trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các
phần tử xvày được viết thànhx+y thay vìxy, nghịch đảo củax được kí hiệu bởi

−x, và phần tử đơn vị kí hiệu là0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHĨM
ứng, x−n) để chỉ tích x_{· · ·}x (tương ứng, x−1_{· · ·}x−1) gồm n số hạng. Chúng ta
cũng định nghĩa x0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng
ta viết nx thay vì xn với n∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường

cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. Chúng ta nói rằngxcó cấp hữu hạn nếu tồn

tạin∈Nsao cho xn= 1. Nếux có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấpcủa x
là số nguyên dương nhỏ nhất n mà xn _{= 1. Rõ ràng là,} _x _{có cấp} _n _{nếu và chỉ nếu}
1, x, x2_{, ..., x}n−1 là các phần tử phân biệt của_G và_xn= 1.

Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái

lại nó làvơ hạn. Chúng ta định nghĩacấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là|G_|, là
số các phần tử củaG; chúng ta cũng có thể sử dụng_|S_|cho bản số của một tập hữu
hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại
các nhóm vơ hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hồn.

Tuy nhiên, có các nhóm vơ hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp
hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là khơng xoắn.

Một tập conH của G được gọi là mộtnhóm con của G nếu nó tạo thành một

nhóm với phép tính hai ngơi trênG được hạn chế trênH. Tương tự vậy, H_⊆Glà
một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

• Phần tử đơn vị 1của G nằm trong H.

• Nếu x, y∈Gthì tích xy trong Gcũng ∈H.
• Nếu x∈H thì nghịch đảo của nó x−1 ∈H.

Rõ ràng, Glà một nhóm con của chính nó. Tập _{1_} cũng là một nhóm con của G;
nó được gọi lànhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi1.

Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vơ hạn ln
ln có cả các nhóm con hữu hạn và vơ hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường
của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng
một nhóm khơng abel ln ln có cả các nhóm con abel và khơng abel. NếuH là
một nhóm con củaG thì chúng ta viết H 6G; nếu H được chứa thực sự trong G
thì chúng ta gọiH lànhóm con thực sựcủaG, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự

khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng khơng phổ biến.) Nếu K 6H và H 6G
thì hiển nhiênK 6H.

Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng

H_∩K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một
nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1. NHẮC LẠI 7
Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6G. Khi đó _|H_| chia hết
|G|.

NếuX là một tập con của một nhómG thì chúng ta định nghĩa< X > là giao
của tất cả các nhóm con của G chứaX. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của
G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng < X > là
nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm
con như thế bất kì; do vậy nếu X 6 G thì < X >= X. Nếu X = _{x_} thì chúng
ta viết < x > thay vì< X >; tương tự thế, nếu X =_{x1, ..., xn} thì chúng ta viết
< x1, ..., xn >thay cho < X >.

Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó < X > chứa đơn vị
và tất cả các tích dạng xε1₁ · · ·xεr

r , ở đór ∈N, xi∈X và εi=±1 với mọi i.

Một nhómG được gọi làxyclicnếu G=< g >với g_∈G; phần tửg được gọi là
một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp
n thì G=< g > vàg, ..., gn−1, gn= 1 là các phần tử phân biệt của G. Theo Mệnh
đề 2,< g >={gn|n∈Z}và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic

là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối
cộng. Nếu g có cấp n thì < g >= _{1, g, ..., gn−1_}_{, và do đó} _| _{< g >}_| ₌ _{n. Nếu} _g
khơng có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vơ hạn khơng xoắn. Hai nhóm
xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính
xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vơ hạn bất kì cũng tương đương với
cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vơ hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép

cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấpnlàZ/nZ, tập các lớp còn lại của các số

nguyên với phép cộng modulo n.

Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có < g > là một

nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy,

cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu

|G|bằng một số ngun tốpnào đó thì cấp của mọi phần tử củaGphải là một ước
không tầm thường củap, từ đóGlà xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một
phần tử sinh.

Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của

X và Y trong G là XY =_{xy_|x _∈X, y _∈Y_{} ⊆} G. Chúng ta có thể mở rộng khái
niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con củaG. Chúng ta cũng có thể định nghĩa

nghịch đảo của X _⊆Gbởi X−1 =_{x−1_|x_∈X_{} ⊆}G. NếuH là một tập con của G
thì H6G nếu và chỉ nếu HH=H vàH−1 =H.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK
chứa cảHvàK; hơn nữa, nếu K6HthìHK =H. (Các tính chất này không thỏa
mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK =KH với
các nhóm conH vàK bất kì củaG, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một
nhóm abel là một nhóm con.

Bây giờ chúng ta có thể mơ tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vơ hạn.
Định lí 4. Cho G=< g > là một nhóm xyclic cấpn. Khi đó:

(i) Với mọi ướcd củan, tồn tại đúng một nhóm con củaG cấp d, đó là < gnd >.

(ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm
con cấp gcd(d, e).

(iii) Nếudvà elà các ước của nthì tích của các nhóm con cấp dvàelà nhóm con
cấp lcm(d, e).

NếuH 6Gthì chúng ta viết xH thay vì_{x_}H, tậpxH được gọi là một lớp kề
tráicủaH trongG. Tương tự, chúng ta viếtHx thay vìH_{x_}, và chúng ta gọiHx
là mộtlớp kề tráicủa H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề
trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách
sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta khơng phải là bản chất, vì
bất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo
trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương
ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề tráixH
thành nghịch đảo của nó(xH−1) =Hx−1.

Cho H là một nhóm con củaG. Hai lớp kề bất kỳ của H trong Ghoặc là bằng
hoặc là rời nhau, với các lớp kềxH vàyH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y−1_x _∈_H.
Do đó, một phần tử x_∈ Gnằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với
mọi x_∈G, tồn tại một tương ứng song ánh giữaH vàxH; một sự tương ứng như
vậy biếnh_∈H thành xh. Chúng ta định nghĩachỉ số củaH trongG, được ký hiệu
bởi_|G:H_|, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vơ hạn các lớp kề
của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa _|G:H_| là bản số của nó mà khơng
làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có
thể định nghĩa lạiGnhư là bản số|G: 1|.) Các lớp kề của H trongGchia Gthành

|G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H|. (Điều này chứng

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1. NHẮC LẠI 9
Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trongGbởi G/H.
Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mơ tả hồn chỉnh về các nhóm con của các
nhóm xyclic vơ hạn. Chúng tơi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho

sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn.

Định lí 5. Cho G=< g > là một nhóm xyclic vơ hạn. Khi đó:

1. Với mỗid_∈N, có chính xác một nhóm con củaG chỉ sốd,< gd_>_{. Hơn nữa,}

mọi nhóm con khơng tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn.

2. Chod, e_∈N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ sốd vàe là nhóm con chỉ số

lcm(d, e).

3. Cho d, e_∈N. Khi đó tích của các nhóm con chỉ sốd và elà nhóm con chỉ số

gcd(d, e).

Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép
phân tích thành nhân tử của các chỉ số".

Định lí 6. Nếu K6H6G thì |G:K|=|G:H||H :K|.

ChoH là một nhóm con của một nhómGvà cho I là một tập chỉ số tương ứng

song ánh với tập các lớp kề của H trong G. Một tập con T ={ti|i∈ I} được gọi
làlớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biểu diễn lớp kề (trái) của H trongG)
nếu các tập tiH là các lớp kề của H trong Gsao cho khơng có một lớp nào bị lược
bỏ hoặc bị lặp lại.

Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn
tắc của G (hay N làchuẩn tắc trong G) nếu xN =N x với mọi x _∈G, hay tương

đương vớixN x−1_⊆_N với mọi_x_∈G. Nếu_Glà abel thì mọi nhóm con của_Gđều là
chuẩn tắc. Các nhóm con 1vàGln là chuẩn tắc trong G; nếuGchỉ có hai nhóm
con chuẩn tắc này thì ta nói Glàđơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố

là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là
đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N E G; nếu N là nhóm con
thức sự của vừa là chuẩn tắc trong Gthì ta viếtN CG. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả
không phân biệt điều này và chỉ viết N C G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.)
Nếu N EG và K EH thì chưa chắc K EG, chúng ta không đưa ra một phản ví
dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K EG vàK 6H6GthìK 6G.

Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K E G thì

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số2 đều là chuẩn tắc.

Chứng minh. Cho H6Gvà giả sử rằng |G:H|= 2. Khi đó có hai lớp kề trái của

H trong G; một lớp làH và do vậy lớp kia phải làG₋H. Tương tự, H và G₋H
là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó,x _∈H khi và chỉ khixH =H =Hx
vàx /_∈H khi và chỉ khixH =G₋H =Hx. Vậy H EG.

Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm
cũ theo cách sau:

Định lí 9. Nếu N E G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép tốn
xác định bởi (xN)(yN) = (xy)N.

NếuN EG thì chúng ta gọiG/N với phép tốn trên lànhóm thương củaG bởi
N. Khi đó phân tử đơn vị của G/N làN và phần tử nghịch đảo củaxN ∈G/N là

x−1_N_{. Nếu}_G_{là abel thì} _G/N _{cũng là abel.}

Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được
định nghĩa là phần tửgxg−1 của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của_x bởi
g là g−1xg. Các kí hiệu gx và xg đôi khi được sử dụng thay cho gxg−1 và g−1xg.)
Hai phần tử phầnx vàycủa Gđược gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g_∈G
sao cho y = gxg−1. Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một
nhóm conN của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của
N bởi một phần tử củaGđều nằm trong N.

Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X. Tập
các hốn vị củaX, kí hiệu P

X, tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các
ánh xạ. Nếu X =_{1, ..., n_} với n _∈N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc

nvà được kí hiệu là P

n. (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là Sn hoặc Sn.) Nhóm

P

X là hữu hạn và có cấp n! =n(n−1)· · ·2·1.
Một phần tử ρ của P

n được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu
có các số nguyên phân biệt 1 _≤ a1, ..., ar ≤ n sao cho ρ(ai) = (ai+1) với mọi
1_≤ i < r, ρ(ar) =a1 và ρ(b) =b với mọi 1 ≤b ≤n mà b khác các ai. Xích ρ xác
định như trên còn được viết làρ= (a1· · ·ar). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được
viết theor cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4),(2 4 1)và(4 2 1) đều là kí hiệu của

cùng một 3-xích trong P

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

1. NHẮC LẠI 11
trên tập_{1, ..., n_}, và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, mà
đối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái. Trong nhiều giáo trình về
lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.)

Mọi phần tử củaP

ncó thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích như
vậy được gọi là sự phân tích thành các xích rời nhau của các hốn vị. Hai sự phân

tích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hốn vị ln có cùng các xích, tuy
nhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng một
tập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử củaP

n theo cách các
số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trong sự phân tích
thành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ. Chẳng hạn cấu

trúc xích của một r-xích trong P

n là(r,1, ...,1), có n−r số 1; cấu trúc xích của
(1 2 4)(3 5) trong P

6 là (3,2,1). Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết một
hốn vị thành tích các xích rời nhau. Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệu
cho phần tử đơn vị của P

n, sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ bao

gồm các 1-xích.

Mệnh đề 10. Cho n _∈ N. Khi đó hai phần tử của P

n liên hợp với nhau nếu và

chỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích.

Xem chứng minh [24, trang 46-7].
Một chuyển vị trong P

n là một2-xích. Mọi phần tử của

P

n đều có thể thành
tích của các chuyển vị (không nhất thiết rời nhau) theo nhiều cách khác nhau. Tuy
nhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hốn
vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2. (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng
ta có thể nói một hốn vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thành

tích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hốn vị có thể chẵn hoặc lẻ
nhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ. Chẳng hạn, vì một r-xích có thể viết thành tích
của r₋1 chuyển vị nên một xích là một hốn vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của
nó là lẻ. Tập con của P

n bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số
2, và do đó nó là chuẩn tắc trong P

n, theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thay

phiên bậc nvà kí hiệu là An.

XétH={1,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} ⊆A4. Ta có thể chỉ ra rằngHEA4.
(Thực ra, H là chuẩn tắc trong P

4. Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên
là bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1,(1 2)(3 4)}. Khi đó K là nhóm con của H với

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Cho G và H là các nhóm. Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G _→ H với tính
chấtϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y) với mọix, y∈G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữa

các nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng. Nếuϕlà một đồng cấu thì
ϕ(1) = 1 và ϕ(x−1) =ϕ(x)−1 với mọi x. Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh
xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H. Nếu đồng cấu ϕ là đơn
ánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là tồn ánh thì chúng ta gọi ϕ là tồn
cấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh. (Nhắc lại rằng, một ánh xạ
f :X _→Y được gọi là đơn ánh nếu f(x) =f(x0₎thì suy ra _x₌_x0, gọi là tồn ánh

nếu với mọiy_∈Y đều tồn tạix _∈X để f(x) =y; và gọi là song ánh nếu nó vừa là
đơn ánh, vừa là tồn ánh.) Nếuϕlà một đẳng cấu thì ϕ−1 :H _→G cũng vậy. Một
đồng cấuϕ:G_→Gđược gọi là mộttự đồng cấucủa G; một tự đồng cấu song ánh

được gọi làtự đẳng cấu.

NếuG vàH là các nhóm và có một đẳng cấuϕ:G→H thì chúng ta nói rằng
GvàH làđẳng cấu, hayGđẳng cấu vớiHvà viết làG∼=H. Đẳng cấu là một quan
hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G∼=G), đối xứng (G∼=H suy
raH ∼=G) và bắc cầu (G∼=H và H ∼=K suy raG ∼=K.) Do đó, chúng ta có thể

nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này. Các nhóm đẳng cấu
được coi là hồn tồn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là
đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm
nào đẳng cấu với nhóm đó. Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhất
định là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu",
theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu.

Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản.

• Cho G=< g >và H =< h > là hai nhóm xyclic cấp n. Chúng ta định nghĩa
một ánh xạϕ:G_→H bằng cách đặtϕ(ga_{) =}_ha với mọi₀_≤a < n. Ánh xạ
này là một đẳng cấu. Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấp
đều đẳng cấu. Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp nđều đẳng cấu với Z/nZvà có

duy nhất một nhóm cấpp với mọi số nguyên tốp. Chúng ta sử dụngZ_nđể kí
hiệu một nhóm xyclic cấp nvà phép tốn được viết theo lối nhân. Tương tự,
chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vơ hạn là đẳng cấu; chúng ta sử
dụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vơ hạn và phép tốn cũng được viết theo
lối nhân.

• Cho Glà một nhóm, H6G vàg∈G.Liên hợpcủa H bởi g là tậpgHg−1 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

1. NHẮC LẠI 13
và g_∈G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ:H _→ gHg−1 bởi ϕ(h) = ghg−1 với
h∈H. Dễ thấyϕlà một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đều
đẳng cấu. Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của một nhómGchưa chắc liên
hợp với nhau. Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng
cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên khơng thể
liên hợp với nhau.

• ChoX=_{x1, ..., xn}vàPX là nhóm các hốn vị củaX. Chúng ta định nghĩa
ánh xạ ϕ:P

n→

P

X bởi ϕ(ρ)(xi) =xρ(i) với ρ∈

P

n và1≤i≤n. Dễ thấy
ánh xạϕlà một đẳng cấu.

• Cho Glà một nhóm và N EG. Có một ánh xạ từGđến nhóm thương G/N,
đó là phép chiếu η:G→G/N xác định bởi η(x) =xN với x∈G. Chúng ta

dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu. Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiêntừ G
đến G/N.

Nếuϕ:G→H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhâncủa ϕlà tập con
kerϕ={g∈G|ϕ(g) = 1} của Gvà ảnhcủa ϕ và tập conImϕ={ϕ(g)|g ∈G} của

H. Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) để
chỉ tập {ϕ(g) =g∈K} với K 6G. Ví dụ, nếu N EG và η:G→G/N là ánh xạ
tự nhiên thì chúng ta có kerη = N và η(K) = KN/N với mọi K 6 G. (Dễ thấy
η(K) =K/N nếu K chứaN.)

Mệnh đề 11. Cho G và H là các nhóm và ϕ :G _→ H là một đồng cấu. Khi đó

kerϕEG và ϕ(K)6H với mọi K 6G.

Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm.

Định lý cơ bản về đồng cấu. NếuGvàH là các nhóm vàϕ:G_→H là đồng cấu
thì có một một đẳng cấu ψ :G/K _→ ϕ(G) sao cho ϕ=ψ_◦η, trong đó K = kerϕ

và η:G→G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất.

(Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũng
đặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấuϕ:G_→H
đều có thể coi như tích của một tồn cấu (từGlênϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G)đến
H.)

Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng.

Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là một nhóm. Nếu N E G và H 6 G thì

HN/N ∼=H/H_∩N.

(Chú ý rằngHN 6Gvà H∩N EH, theo Mệnh đề 7, do N EG.)

Chứng minh. Áp dụng định lí cơ bản choϕlà hạn chế xuốngHcủa ánh xạ tự nhiên
η:G_→G/N.

Chứng minh kết quả tiếp theo thì tương đối đơn giản nhưng hơi nhàm chán một
chút.

Định lý tương ứng. Cho G, H là các nhóm và ϕ:G_→H là tồn cấu có hạt nhân

N. Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của G

chứaN và tập các nhóm con củaH. NếuK là một nhóm con củaGchứaN thì phép
tương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con
củaGlà tạo ảnh của Lđối với phép tương ứng này là ϕ−1(L) ={x∈G|ϕ(x)∈L}.
Hơn nữa, nếu K1 vàK2 là các nhóm con của G chứaN thì:

• K2 6K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K2)6ϕ(K1), khi đó |K1 :K2|=|ϕ(K1) :ϕ(K2)|.

• K2 E K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K1) E ϕ(K2), khi đó ánh xạ từ K1/K2 đến

ϕ(K1)/ϕ(K2) biến xK2 thànhϕ(x)ϕ(K2) là một đẳng cấu.

Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả sau:
NếuG là một nhóm và N E G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với
K là một nhóm con củaG chứaN. (Ở đây chúng ta coiϕlà ánh xạ tự nhiên từ G
vàoG/N.)

Định lý đẳng cấu thứ hai. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một

nhóm G. Nếu H chứaK thì G/H ∼= (G/K)/(H/K).

Chứng minh. Áp dụng định lí tương ứng choϕlà ánh xạ tự nhiên từGvàoG/K.
BÀI TẬP

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

1. NHẮC LẠI 15
2. Chúng ta nói một nhóm Gcó số mũenếu elà số nguyên dương nhỏ nhất sao

cho xe = 1với mọix ∈G. Chứng minh rằng nếu Gcó số mũ 2 thì Glà abel.
Với các số ngun enào thì một nhóm có số mũelà abel.

3. Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạϕ:G→ G xác định bởi
ϕ(x) =x3, với x ∈ G, là một đồng cấu. Chứng minh rằng, nếu 3 khơng chia
hết |G_|thìG phải là nhóm abel. (Xem kết quả tổng quát ở [2].)

4. Cho g là một phần tử của một nhóm Gvà giả sử rằng _|G_|=mn với m và n
nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có duy nhất các phần tửxvày thuộc
Gsao choxy =g=yxvàxm _{= 1 =}_yn. (Trong trường hợp_m là lũy thừa của
một số nguyên tốp, chúng ta gọix làp-phần của gvàylàp0-phần củag; tổng
quát hơn, nếu π là tập các số ngun tố chia hếtm và khơng chia hết nthìx
và y tương ứng được gọi làπ-phần vàπ0-phần củag.)

5. Chor, svàtlà các số nguyên dương lớn hơn1. Chứng minh rằng có một nhóm
G có các phần tửx và y sao chox có cấp r,y có cấp svà xy có cấp t.
6. Cho X và Y là các tập con của một nhóm G. Các nhóm < X >∩< Y > và

< X∩Y > có nhất thiết bằng nhau khơng? Các nhóm << X >∪ < Y >>
và < X∪Y > có nhất thiết bằng nhau khơng?

7. Cho Glà một nhóm hữu hạn và H6G. Chứng minh rằng có một tập con T
của Gmà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H.

8. Giả sử _C là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G
và giả sử rằng gC _{∈ C} với mọi g_∈GvàC _{∈ C}. (Nhắc lại, một sự phân hoạch

của tậpS là một tập hợp_S các tập con củaSsao cho mọi phần tử củaS nằm
trong đúng một phần tử của_S.) Chứng minh rằng _Clà tập các lớp kề của một
nhóm con nào đó của G.

9. Giả sử _C là một họ các tập con của một nhóm Gmà tạo thành một sự phân
hoạch của G và giả sử rằng XY ∈ C với mọi X, Y ∈ C. Chứng minh rằng có

đúng một trong số các tập hợp thuộc C là một nhóm con của Gvà nhóm con
này là chuẩn tắc trongG, đồng thời C bao gồm các lớp kề của nó.

10. Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữu
hạn và H 6Gsao cho |G :H| bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của |G| thì

H EG.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

16 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
NếuK EH 6G thì H/K được gọi là một thành phần của G. Chúng ta nói rằng

hai thành phầnH1/K1 vàH2/K2 làliên thuộc nếu mọi lớp kề của K1 trong H1 có
giao khác rỗng với chính xác một lớp kề của K2 trong H2 và ngược lại. (Nói cách
khác, hai thành phần là liên thuộc nếu quan hệ giao khác rỗng cho ta một tương
ứng song ánh giữa các phần tử của chúng.)

11. Hãy chỉ ra rằng các thành phần liên thuộc là đẳng cấu.

12. (tiếp) Giả sử rằngN EGvàH6G. Hãy chứng minh rằngHN/N vàH/H∩N
là liên thuộc. (Bài tập 11 và 12 đưa ra một chứng minh thay thế của định lí
đẳng cấu thứ nhất.)

Nếu L/M là một thành phần của G và H 6 G thì hình chiếu của H lên L/M là
một tập con củaL/M bao gồm các lớp kề củaM trongL mà chứa các phần tử của
H.

13. (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu của HtrênL/M là nhóm con(L_∩H)M/M
của L/M.

ChoH1/K1 và H2/K2 là các thành phần của một nhóm G.

14. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của K2 trên H1/K1 là nhóm con chuẩn tắc
của hình chiếu của H2 trên H1/K1. Nhóm thương thu được bằng cách đó gọi
là hình chiếu của H2/K2 trên H1/K1.

15. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của H1/K1 trên H2/K2 và hình chiếu của
H2/K2 trênH1/K1 là liên thuộc. Hãy suy ra kết quả sau:

Định lý đẳng cấu thứ ba. Cho H1, H2, K1 EH1 vàK2 EH2. Khi đó

(H1∩H2)K1/(H1∩K2)K1 = (H∼ 1∩H2)K2/(K1∩H2)K2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

2. TỰ ĐẲNG CẤU 17

2. Tự đẳng cấu

Tập các tự đẳng cấu của một nhóm G được kí hiệu là Aut(G). Nếu ϕ và ρ là
các tự đồng của G thì tích của chúng ϕ_◦ρ cũng là một tự đẳng cấu của G và do
đó tích của các ánh xạ là một phép tốn hai ngơi trên Aut(G). Phép tốn này cho
ta một cấu trúc nhóm trênAut(G); phần tử đơn vị là tự đẳng cấu tầm thường biến
mỗi phần tử thành chính nó, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu ϕ là nghịch ánh
xạ ngược ϕ−1 của nó. Chúng ta gọi Aut(G) với phép tốn này là nhóm tự đẳng cấu
của Gvà có thể viết ϕρthay cho ϕ_◦ρ với ϕ, ρ_∈Aut(G).

Mọi phần tửgcủa một nhómGxác định một đồng cấu liên hợpϕg :G→Gbởi
ϕg(x) =gxg−1. (Rõ ràng ta cóϕg(xy) =ϕg(x)ϕg(y)vàϕg(x−1) =ϕg(x)−1.) Những

ánh xạ như vậy thực ra là một tự đẳng cấu của G, bởi vì với x là một phần tử cho
trước của Gta cóx=ϕg(g−1xg), và nếuϕg(x)ϕg(y)thì ta cóx=y bằng cách giản
ước. Các ánh xạ này được gọi là tự đẳng cấu trong củaG. Chúng ta có ϕgϕh =ϕgh
với mọi g, h∈G, vìg(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1 với mọix ∈G; do đó, có một đồng

cấu từGvàoAut(G)biếng∈Gthành ϕg. Ảnh của đồng cấu này được gọi lànhóm

tự đẳng cấu trong của Gvà được kí hiệu làInn(G), đồng thời hạt nhân của nó được
gọi là tâmcủa G và kí hiệu làZ(G). Chú ý rằng

Z(G) =_{g_∈G_|ϕg(x) =x với mọix∈G}
=_{g_∈G_|gx=xg với mọix_∈G_},

và do đó Z(G) bao gồm các phần tử của Gmà nó giao hốn được với mọi phần tử
của G. Rõ ràng, Glà abel nếu và chỉ nếuZ(G) =G.

Nếuσ_∈Aut(G)vàϕg∈Inn(G)thì dễ dàng kiểm tra được rằngσϕgσ−1=ϕσ(g).
Điều này chứng tỏ Inn(G) E Aut(G); nhóm thương Aut(G)/Inn(G) được gọi là

nhóm tự đẳng cấu ngồi của G và được kí hiệu là Out(G). Tuy nhiên, thuật ngữ
"tự đẳng cấu ngồi" thường khơng dùng để chỉ các phần tử của Out(G) mà thường
được dùng để chỉ các tự đẳng cấu của Gnhưng không phải là tự đẳng cấu trong và
do đó chúng có ảnh không tầm thường trongOut(G)dưới ánh xạ tự nhiên. Khi đó,
nếu G là abel thì tất cả các tự đẳng cấu khơng tầm thường của Gđều là tự đẳng
cấu ngồi, vì trong trường hợp này chúng ta có Inn(G) = 1.

Cho trước một nhóm G, chúng ta ln muốn xác định cấu trúc của nhóm tự
đẳng cấu của nó. Đây thường là một bài tốn khó. Bây giờ, chúng ta xét một vài
tính chất của các nhóm tự đẳng cấu của các nhóm xyclic.

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

18 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHĨM
chúng ta cóAut(G)∼=Z₂.

Bây giờ, cho n ∈N và G=< x >∼=Z_n. Giả sử rằng _ϕ là một tự đồng cấu của
G. Khi đó, ϕ(x) =xm với m nào đó,0≤m < n; và do đóϕ biến mọi phần tử của
Gthành lũy thừam của nó. Từ đó ta thấy rằng G có chính xácn tự đồng cấu, đó
là các ánh xạ lũy thừam, kí hiệu làσm, với0≤m < n.

Mệnh đề 1. Cho G=< x >∼=Z_n với _n_∈_Nvà với mỗi số ₀_≤_{m < n} gọi_σm là tự

đồng cấu của G biến x thành xm. Khi đó Aut(G) bao gồm các tự đồng cấu σm với

m6= 0 và gcd(m, n) = 1. Hơn nữa, Aut(G) là abel và đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)×

của các phần tử đơn vị của vành Z/nZ.

Chứng minh. Ánh xạσ0có ảnh tầm thường và do đó nó khơng phải là một tự đẳng
cấu. Bây giờ, giả sử 1 ≤ m < n, ta xét σm. Nếu gcd(m, n) = 1 thì tồn tại các số
nguyên a, bsao cho am+bn= 1, từ đóσm(xa) =xam=x1−bn =x(xn)−b=x, điều
này chứng tỏσm là tồn ánh. VìGlà hữu hạn nên một toàn ánh từ Gvào Gcũng
là đơn ánh; do đóσm ∈Aut(G). Ngược lại, nếuσm ∈Aut(G)thìx=σm(xa) =xam
vớia∈Z; suy raxam−1 = 1, từ đó ta phải cóam−1 =bnvớib∈Z, điều này chứng

minhgcd(m, n) = 1. Như vậy, khẳng định thứ nhất đã được chứng minh.

Giả sử 1 _≤ m1, m2 < n. Khi đó σm1σm2 = σt = σm2σm1, với 1 ≤ t < n sao
cho m1m2 ≡ t (modn); do đó Aut(G) là abel. Vì (Z/nZ)× ={m+nZ|1 ≤ m <
n,gcd(m, n) = 1_} nên dễ thấy rằng ánh xạ biếnσm thành m+nZlà một đẳng cấu
từAut(G) vào (Z/nZ)×.

Chúng ta định nghĩa giá trị hàm Ơle của n∈Nlà số các số nguyên dương vừa

nhỏ hơnn vừa nguyên tố cùng nhau với n. (Giá trị này còn được gọi là giá trị tại
ncủa hàm-phi Ơle.) Nếu chúng ta viết n=pa1₁ · · ·par

r , ở đó pi là các số ngun tố
phân biệt, thì giá trị hàm Ơle của n là (pa1₁ ₋p₁a1−1)_{· · ·}(par

r −parr−1). Theo Mệnh
đề 1, cấp của Aut(Z_n₎ là giá trị hàm Ơle của n. Đặc biệt, _|_Aut(Z_p₎_|₌_p₋₁ với _p
là số nguyên tố.

Mệnh đề 2. Cho p là số nguyên tố. Khi đó Aut(Z_p₎∼₌Z_p₋₁_.

Chứng minh. Cho F là trường có p phần tử. Theo Mệnh đề 1, Aut(Z_p₎ đẳng cấu
với nhóm nhânF× các phần tử khác khơng của F. Với mỗi ước dcủa p−1, gọifd
là số phần tử cấp dtrongF× vàzd là số phần tử cấp dtrong Zp−1.

Giả sửdlà một ước củap−1. Nếux∈F× là một phần tử có cấp chia hếtdthì
x phải là nghiệm phương trình Xd₋₁_∈_F_[X] _{và phương trình này có nhiều nhất}
dnghiệm. Ngược lại, nếu x có cấpdthì các lũy thừa của x là các phần tử của F×

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

2. TỰ ĐẲNG CẤU 19
phải chứa trong < x >∼=Z_d. Vậy hoặc _f_d _{= 0} hoặc _f_d bằng số các phần tử cấp _d
trong Z_d.

Theo Định lí 4, nếu d là một ước tùy ý của p−1 thì tất cả các phần tử cấp d
của Z_p₋₁ được chứa trong một nhóm con xyclic đơn cấp d; do đó _z

d bằng số phần

tử cấp d của Z

d. Từ lập luận ở trên chỉ suy ra fd≤zd với mọid|(p−1). Nhưng ta
có

X

d|(p−1)

fd=|F×|=p−1 =|Zp−1|=

X

d|(p−1)
zd,

điều này kéo theo fd =zd với mọi d|(p−1). Đặc biệt, fd−1 = zd−1 > 0 và do đó
F×∼=Z_p₋₁.

Cho G =< x >∼= Z_n với _n _∈ _N và xét tự đẳng cấu lũy thừa _m _(σ_m₎ của G,
trong đó 1≤m≤n vàgcd(m, n) = 1. Bằng lập luận quy nạp ta chứng minh được
(σm)k(x) =xmk với mọi k ∈N; do đó cấp của σm là số nguyên dương knhỏ nhất
mà xmk

=x, hay là số k_∈ Nnhỏ nhất sao cho mk_≡_{1 (mod} n). Nếu cấp của _σ
m
bằng giá trị hàm Ơ le của n thì chúng ta nói rằngm làcăn nguyên thủy modulo n.

(Thuật ngữ này xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Z_n₎ là xyclic nếu
và chỉ nếu tồn tại một căn nguyên thủy modulo n.

Với hợp số n, việc xác định cấu trúc của nhóm Aut(Z_n₎ thuộc về lĩnh vực lí
thuyết số hơn là lí thuyết nhóm. Kết quả sau đây, mà chúng ta sẽ không chứng
minh, cho biết dạng của nmà làm cho nhóm Aut(Z_n₎ là xyclic.

Định lí 3. Aut(Z_n₎ là xyclic nếu và chỉ nếu _n_{= 2} hoặc ₄, hoặc _n₌_pk hay_2pk với
p là số nguyên tố lẻ và k∈N.

Một kết quả tương đương về sự tồn tại và không tồn tại của căn nguyên thủy modulo
n được chứng minh trong [9, Phần 8.3].

Cho ϕ là một tự đẳng cấu của một nhóm G và H là một nhóm con của G.
Khi đó ϕ làm H đẳng cấu với một nhóm con ϕ(H) của G; chúng ta nói rằng H bị
cố định bởi ϕ nếu ϕ(H) = H. Trong trường hợp đó, hạn chế của ϕ lên H là một
tự đẳng cấu của H. Nếu Llà một nhóm con của của Aut(G) thì chúng ta nói rằng
H bị cố định bởi L nếu H bị cố định bởi mọi ϕ∈ L. Với thuật ngữ này, chúng ta

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

20 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
y _∈ G, điều này chứng tỏ ϕ(x) _∈ Z(G). Rõ ràng rằng các nhóm con đặc trưng là
chuẩn tắc nhưng ngược lại thì khơng chắc đúng. Đặc biệt, một nhóm abel vơ hạn
có thể khơng có một nhóm con đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập 5.

Trong Phần 1, chúng ta đã biết rằng chuẩn tắc khơng có tính chất bắc cầu giữa
các nhóm con. Tuy nhiên, tính đặc trưng thì lại có tính chất bắc cầu.

Bổ đề 4. Nếu K là một nhóm con đặc trưng của H và H là một nhóm con đặc
trưng của Gthì K là một nhóm con đặc trưng của G.

Chứng minh. Nếu ϕ ∈ Aut(G) thì hạn chế của ϕ xuống H là một phần tử của
Aut(H) vì H là đặc trưng trong G, và do đó hạn chế của ϕxuống K là một phần

tử của Aut(K) vì K là đặc trưng trong H. Do đó mọi tự đẳng cấu của G đều cố
địnhK, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lí do mà chuẩn tắc khơng có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếuN EG thì
hạn chế xuốngN của một phần tử củaInn(G) chắc chắn nằm trongAut(N)nhưng
không nhất thiết nằm trongInn(N).

Nhắc lại rằng nếu x và y là các phần tử của một nhóm G thì giao hốn tử
của x và y là [x, y] = xyx−1y−1. Chúng ta định nghĩa, nhóm con giao hốn tử

của G là nhóm con G0 của G sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử trong G; tức
là G0 =< {[x, y]|x, y ∈ G} >. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu G0 = 1, đồng
thời nếu H 6 G thì H0 6 G0. Một điều quan trọng là nên nhớ là, G0 bao gồm
nhiều hơn chứ không chỉ là các giao hốn tử của G. Vì với mọi phần tửx, y ta có
[x, y]−1_{= (xyx}−1_y−1₎−1 ₌_yxy−1_x−1_{= [y, x]}_{nên theo Mệnh đề 2, một phần tử bất}
kì củaG0 _{là tích của các giao hoán tử của các phần tử của} _G.

Bổ đề 5. Cho G là một nhóm. Khi đó G0 là đặc trưng trong G.

Chứng minh. Cho ϕ ∈ Aut(G). Ta có ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] với mọi x, y ∈ G.

Nếug ∈G0 thìg là một tích của các giao hoán tử; suy ra ϕ(g) cũng vậy, và do đó
ϕ(g)∈G0. Vậy ϕ(G0)6G0; bằng lập luận tương tự ta cũng có ϕ−1(G0)6G0 và do
đóG0 =ϕ(ϕ−1(G0))6ϕ(G0). Từ đóϕ(G0) =G0, bổ đề được chứng minh.

Nhóm con giao hốn tử có tính chất quan trọng sau:

Mệnh đề 6. Cho G là một nhóm và N EG. Khi đó G/N là abel nếu và chỉ nếu

G0 6N.

Chứng minh. Với mọi x, y _∈ G, ta có [xG0_{, yG}0_{] = [x, y]G}0 ₌_G0; do vậy nhóm con

</div>

<!--links-->