Hệ phương trình khác - Phạm Thành Luân

96
Bài 5:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Có thể giải bằng các pp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, bất đẳng
thức.
I. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình:
2
xym
(x 1)y xy m(y 2)
+=
⎧
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩

1. Giải hệ khi m = 4
2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm.
(ĐH Quốc Gia TPHCM Khối A năm 1997)
Giải
1. m = 4
Hệ
2
xy4
(x 1)y xy 4(y 2)
+=
⎧

⎪
⇔
⎨
++=+
⎪
⎩

32 2
x4y x4y
y4y80 (y2)(y2y4)0
=− =−
⎧⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
−+= − −−=
⎪⎪
⎩⎩

2
x4y
x4y
y2y1 5
y2y 2y40
=−
=−
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔

⎨⎨
=∨=±
=∨ − −=
⎪
⎪
⎩
⎩

⇒
nghiệm (2, 2);
(3 5,1 5),(3 5,1 5)−+ +−
b. Hệ
32
xmy
(*)
ymy2m0 (1)
=−
⎧
⎪
⇔
⎨
−+=
⎪
⎩

(*) có hơn 2 nghiệm, (1) phải có 3 nghiệm.
Đặt
32
f(y) y my 2m=− +

2
f'(y) 3y 2my⇒=−

2m
f'(y) 0 y(3y 2m) 0 y 0 y
3
=⇔ − =⇔=∨=

97
Nếu
m0:(1)≠
có 3 nghiệm phân biệt
2m
f(0).f 0
3
⎛⎞
⇔ <
⎜⎟
⎝⎠

32
2
2m 2m
2m m 2m 0
33
27 3 6 3 6
mm m
222
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞

⎢⎥
⇔ −+<
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⇔>⇔<− ∨>

Vậy
36 36
mm
32
<− ∨ > hệ có hơn 2 nghiệm.

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:
22
xy 3x 2y 16
x y 2x 4y 33
−−=
⎧
⎪
⎨
+ −−=
⎪
⎩

(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999).
Giải

Đặt u x 1, y 2,
= −∨=− hệ trở thành:
22
u(uv)23
uv38
∨− + =
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Đặt
suv,pu.v= +=

2
p s 23 (1)
s2p38 (2)
−=
⎧
⎪
⇒
⎨
−=
⎪
⎩

(1) và (2)
2

s1 85
s2s840
s1 85
⎡
=+
⇒−−=⇔
⎢
=−
⎢
⎣

.
s1 85:(1) p24 85=+ ⇒ = +
u,v⇒ là nghiệm phương trình:
2
sp0α −α+ =
Với
22
s 4p (1 85) 4(24 85) 10 2 85 0− =+ − + =−− <

⇒ VN
.
s1 85:(1) p24 85=− ⇒ = −
u,v⇒ là nghiệm phương trình:
2
sp0α −α+ =
Với
2
s4p102850− =− + >

98
18510285 38510285
ux
22
18510285 58510285
vy
22
⎧⎧
−+−+ −+−+
⎪⎪
==
⎪⎪
⇒⇔
⎨⎨
⎪⎪
− −−+ − −−+
==
⎪⎪
⎩⎩

hoặc:
18510285 38510285
ux
22
18510285 58510285
vy
22
⎧⎧
−−−+ −−−+

⎪⎪
==
⎪⎪
⇒⇔
⎨⎨
⎪⎪
− +−+ − +−+
==
⎪⎪
⎩⎩


Ví dụ 3:

Giải và biện luận theo a hệ phương trình:
1
x2y5
x2y
x2y
a
x2y
⎧
+ +=
⎪
−
⎪
⎨
+
⎪
=

⎪
−
⎩

(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1995)
Giải
Đặt
1
u0,x2y
x2y
=≠∨+
−

uv5
u.v a
+=
⎧
⇒
⎨
=
⎩
nên u, v là nghiệm phương trình:
2
5a0 (*)
25 4a
α−α+ =
∆= −

Để phương trình có nghiệm
25

0a
4
⇔∆≥ ⇔ ≤
*
25
a
4
≤
và a 0≠ : nghiệm
12
21
uu
vv
=α =α
⎧⎧
∨
⎨⎨
=α =α
⎩⎩
với
12
,α α là nghiệm
phương
trình (*).
* a = 0:
uv5
u.v 0
+=
⎧
⎨

=
⎩
mà
u0 0,u5≠⇒∨= =


99
⇒
hệ
1
1
1
x
5
x2y
10
x2y
5
1
x2y0
y
x2y0
20
⎧
⎧
=
⎧
⎪
=
−=

⎪⎪⎪
−
⇔⇔
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
+=
=−
+=
⎩
⎩
⎪
⎩

*
25
a
4
> hệ vô nghiệm.
II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
5.1. Giải hệ phương trình:
32
32
32
xy y y2
yz z z2
zx x x2
⎧
= ++−
⎪
⎪

= ++−
⎨
⎪
= ++−
⎪
⎩

(ĐH Ngoại Thương TPHCM năm 1996).

5.2. Giải hệ phương trình:
2
22
xxy6
xy5
⎧
+ =
⎪
⎨
+ =
⎪
⎩

(ĐH Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1996).

5.3. Giải hệ:
22
82
xy
9
110 10 1

xxyy
y3 3 y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
+ +−+=++
⎪
⎩


100
Hướng dẫn và giải tóm tắt

5.1. Ta có:
32
32
32
xy y y2 (1)
yz z z2 (2)
zx x x2 (3)
⎧
=++−
⎪
⎪
=++−
⎨
⎪

=++−
⎪
⎩

2
(1) x y(y y 1) 2⇔= ++−
. Xét y 0 x 2 z 2 y 2≤ ⇒ ≤− ⇒ ≤− ⇒ ≤−
323232
(1) (2) (3) y y x x z z 6++⇒+++++=

222
y(y 1) x(x 1) z(z 1) 6 (4)⇔+++++=

Vì x 2,y 2,z 2 y 1 0,x 1 0,z 1 0≤− ≤− ≤− ⇒ + < + < + <
222
y (y 1) x (x 1) z (z 1) 0 (4)⇒+++++<⇒
không thỏa.
. Xét y 0 : z 0>⇒> và x > 0
.
32 32
0y1: y y y3 0x1 x x x3 0z1<<⇒ + +<⇒<<⇒ + +<⇒<<
323232
yyxxzz6:(4)⇒+++++<
không thỏa.
. y > 1 :
32
xy y y21 z1⇒= + +−>⇒>

3232 32
zzxxyy6:⇒+++++> (4) không thỏa.

* y = 1 : (1)
x1⇒=
và (3)
z1,⇒=
(2)
y1⇒=

Vậy hệ chỉ có 1 nghiệm là x = y = z = 1

5.2.
2
22
xxy6 (1)
xy5 (2)
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

(1)
2
6x
y(x0)
x
−
⇔= ≠ thế vào (2):
22

2
2
(6 x )
x5
x
−
+=
42 2
2x 17x 36 0 x 4,⇔− +=⇔=

2
9
xx2,
2
=⇔=±
32
x
2
=±

y1,⇒= y1,=−
2
y,
2
=
2
y
2
=− .

101
5.3.
22
82
xy (1)
9
110 10 1
xxyy (2)
y3 3 y
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
++ −+= ++
⎪
⎩

(2)
110 1 10
xxyx xy
y3 y 3
⎛⎞
⎛⎞
⇔ ++ −+= + + −+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

⎝⎠

2
10
110
yy1
1
y0
x0
3
0
y3
y
y
10 1
10
10 1
yx
xy0
yx
3y
3
3y
⎧
⎧++
⎧
⎪
++≥
+≥
⎪

⎪
≥
⎪
⎪⎪ ⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
+≥≥−
−+≥
+ ≥≥−
⎪⎪ ⎪
⎩
⎩
⎪
⎩

Xét 2 trường hợp:

TH 1: y < 0 Hệ
2
2
2
22
10
10
yy10
yy10
3
3
10

10 82
yx0
yx y
3
39
⎧
⎧
++≤
++≤
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎛⎞
⎪⎪
+≥>
+ ≥=−
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩

2
2
2
2
2

82 1
10
y3x y
yy10
10
93
3
yy10
10 3
182
yy10
yxy3
3
39
⎡
⎧
= −⇒ = − =
++≤
⎢
⎪
⎪
⎢
⇔⇔++=⇔
⎨
⎢
⎪
++≥
⎢
= −⇒= − =
⎪

⎩
⎢
⎣

Là nghiệm của hệ.

TH 2: y > 0:
22
82
x
y
9
= −

+ Nếu
2
82 82 100 10
x0 x y y
9993
≥⇒= − < < < +


102
2
182
x0 0x
y9
10
82
xy0

yx0
3
9
⎧
⎧
+≥ ≤<
⎪
⎪
⎪⎪
⇒⇒
⎨⎨
⎪⎪
−+>
=−>
⎪⎪
⎩
⎩

+ Neáu x < 0
22
82 10 82 1
xy0xy0, yy
93 9y
⇒=− − <⇒ −+> ∀⇒ − ≤
2
2
82 1
y
9
y

⇔−≤ (vì y > 0).
2
42
2
y3
y9
82
yy10
1
1
9
y
y
3
9
⎡
≥
⎡
≥
⎢
⎢
⇔− +≥⇔ ⇔
⎢
⎢
≤
≤
⎢
⎢
⎣
⎣

Vaäy heä coù nghieäm:
22
2
2
82 82
1
3y (do x y )
0y
99
3
82
82
xy
xy
9
9
⎧
⎧
≤≤ + =
<≤
⎪
⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
⎪⎪
=− −
=− −
⎪⎪

⎩
⎩