ĐỀ TOÁN ĐẲNG CẤP ĐH-CĐ SỐ 36

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Sở GD & ĐT Hng Yên</b> <b>đề thi thử đại học lần thứ nhất khối A</b>
<b>Trờng THPT Trần Hng Đạo</b> <i><b>Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút</b></i>

<b>I.PhÇn chung cho tÊt cả thí sinh</b> (7 điểm)
<b>Câu I</b> (2 điểm). Cho hàm sè <i>y</i>=2<i>x</i>+1

<i>x</i>+2 có đồ thị là (C)
<b>1.</b>Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

<b>2.</b>Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm
m để đoạn AB có di nh nht.

<b>Câu II</b> (2 điểm)

<b>1</b>.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
<b>2.</b>Gi¶i bÊt phơng trình



_log₂2<i>_x</i>_log₂<i>_x</i>2<i></i>₃_>



₅₍_log₄<i>_x</i>2<i></i>₃₎
<b>Câu III</b> (1 điểm). Tìm nguyên hµm <i>I</i>=

∫

dx

sin3<i>x</i>. cos5<i>x</i>

<b>Câu IV</b> (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt phẳng đáy bằng 300_{. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A}

1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1.
Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 v B1C1 theo a.

<b>Câu V</b> (1 điểm). Cho a, b, c0 và <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 3

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2

1 1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>P</i>

<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

<b>II.Phần riêng</b> (3 điểm)
<b>1.Theo chơng trình chuẩn</b>
<b>Câu VIa</b> (2 điểm).

<b>1.</b>Trong mt phng với hệ tọa độ Oxy cho đờng trịn (C) có phơng trình (x-1)2_{+ (y+2)}2_{= 9 và}
đ-ờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đđ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai
tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

<b>2.</b>Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và ng thng d cú phng trỡnh

<i>x</i>=1+2<i>t</i>
<i>y</i>=<i>t</i>
<i>z</i>=1+3<i>t</i>

{ {

. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là

lớn nhất.

<b>Câu VIIa</b> (1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn
luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

<b>2.Theo chơng trình nâng cao </b>(3 điểm)
<b>Câu VIb</b> (2 ®iĨm)

<b>1.</b>Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 _{+ y}2_{- 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng}
d có phơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc
hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

<b>2.</b>Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
<i>x −1</i>

2 =
<i>y</i>
1=

<i>z −</i>1

3 . Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới
(P) là lớn nhất.

<b>Câu VIIb</b> (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt
hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

<b></b>

<b>-Ht-ỏp ỏn thi th i hc ln 1 khi a </b><b> mụn toỏn</b>

I.Phần dành cho tất cả các thí sính

<i><b>Câu</b></i> <i><b>Đáp án</b></i> <i><b>Điể</b></i>

<i><b>m</b></i>
<i><b>I </b></i>

<i><b>(2 </b></i>
<i><b>điểm)</b></i>

<i><b>1. (1,25 điểm)</b></i>
<i><b>a.TXĐ:</b></i> D = R\{-2}

<i><b>b</b></i>.<i><b>Chiều biến thiên</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+Giíi h¹n:

<i>x → −</i>2+¿

=<i>− ∞;</i>lim <i>y</i>

<i>x → −2−</i>=+<i>∞</i>

lim <i>y</i>

<i>x →− ∞</i>=lim<i>x →+∞y</i> =2<i>;</i>lim<i>y</i>¿

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là
y = 2

+

<i>x</i>+2¿2
¿
¿

<i>y '</i>=3

¿

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (<i>− ∞;−</i>2) và (<i></i>2<i>;</i>+<i></i>)

0,25

+Bảng biến thiên

x <i>− ∞</i> -2 +<i>∞</i>

y’ + +

+<i>∞</i> 2
y

2 <i> </i>

0,25

<i><b>c.Đồ thị:</b></i>

Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 1

2 ) và cắt trục Ox tại điểm( <i></i>
1
2 ;0)

th nhn im (-2;2) lm tõm đối xứng

0,25

2. (0,75 ®iĨm)

Hồnh độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng

tr×nh

2<i>x</i>+1

<i>x</i>+2 =<i>− x</i>+<i>m⇔</i>
<i>x ≠ −2</i>

<i>x</i>2+(4<i>−m</i>)<i>x</i>+1<i>−</i>2m=0(1)

¿{

Do (1) cã <i>−2</i>¿

2

+(4<i>− m</i>).(<i>−2</i>)+1−2m=<i>−</i>3<i>≠</i>0<i>∀m</i>

<i>Δ</i>=<i>m</i>2+1>0 va¿ nên đờng thẳng d luôn

luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

0,25

Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 +

12) suy ra AB ngắn nhất  AB2_{nhỏ nhất}_{m = 0. Khi đó} _AB₌

_√

₂₄

0,5

<i><b>II</b></i>
<i><b>(2 </b></i>
<i><b>®iĨm)</b></i>

<i><b>1. (1 ®iĨm)</b></i>

Phơng trình đã cho tơng đơng với

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2_{x = 8}

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2_{x – 9sinx + 7) = 0}

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

0,5

 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 0,25

y

O
2
-2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>



1−sin<i>x</i>=0

¿

6 cos<i>x</i>+2 sin<i>x </i>7=0(VN)

<i>x</i>=<i></i>
2+<i>k</i>2<i></i>

0,25

<i><b>2. (1 điểm)</b></i>

ĐK:

<i>x</i>>0

log₂2<i>x </i>log₂<i>x</i>2<i></i>3<i>0</i>

{

Bt phng trỡnh ó cho tơng đơng với

_√

log₂2<i>_{x −}</i>_log
2<i>x</i>

2<i>₋</i>₃

>

√

5(log₂<i>x −</i>3)(1)

đặt t = log2x,

BPT (1) 

_√

<i>t</i>2<i>₋</i>₂<i>_{t −3}</i>

>

√

5(<i>t −3</i>)<i>⇔</i>

_√

(<i>t −3</i>)(<i>t</i>+1)>

√

5(<i>t −</i>3)

0,5

<i>⇔</i>

¿<i>t</i>>3
<i>t −</i>3¿2

¿
¿
¿

<i>⇔</i>

¿

<i>t ≤−</i>1

¿

3<<i>t</i><4

¿

<i>⇔</i>

¿

<i>t ≤−</i>1

¿
¿

¿{

¿

(<i>t</i>+1)(<i>t −</i>3)>5¿

0,25

<i>⇔</i>
0<<i>x ≤</i>1

2

¿

8<<i>x</i><16

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: ¿<i>∪</i>(8<i>;</i>16)

<i><b> III</b></i>

<i><b>1 ®iĨm</b></i> <i>I</i>=

∫

dx

sin3<i>_x</i>_{. cos}3<i>_x</i>_{. cos}2<i>_x</i>=8

∫

dx

sin3₂<i>_x</i>_{. cos}2<i>_x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i></i>dt=dx

cos2<i>_x</i> <i>;</i>sin2<i>x</i>=
2t
1+<i>t</i>2
2<i>t</i>

1+<i>t</i>2
3

<i>t</i>2+13

<i>t</i>3

dt

<i>I</i>=8

<i>t</i>

6

+3<i>t</i>4+3t2+1
<i>t</i>3 dt

(<i>t</i>3+3<i>t</i>+3

<i>t</i>+<i>t</i>
<i>3</i>

)dt=1
4tan

4<i>_x</i>
+3

2tan
2<i>_x</i>

+3 ln|tan<i>x</i>|<i></i> 1
2 tan2<i>x</i>+<i>C</i>

0,5

<i><b>Câu </b></i>
<i><b>IV</b></i>

<i><b>1 điểm</b></i> Do _{giả thiết thì góc}AH<i></i>(<i>A B</i>1<i>C</i>1)_AA nên góc <i></i>AA1<i>H</i> là góc giữa AA1 và (A1B1C1), theo

1<i>H</i> bằng 300. Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a,

gãc <i>∠</i>AA1<i>H</i> =300 <i>⇒A</i>1<i>H</i>=
<i>a</i>

√

3

2 . Do tam giác A1B1C1 là tam giác đều

c¹nh a, H thuộc B1C1 và <i>A</i>₁<i>H</i>=<i>a</i>

3

2 nên A1H vuông góc với B1C1. Mặt

khác AH<i>B</i>₁<i>C</i>₁ nên <i>B</i>1<i>C</i>1<i>⊥</i>(AA1<i>H</i>)

0,5

Kẻ đờng cao HK của tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1

vµ B1C1

0,25

Ta cã AA1.HK = A1H.AH <i>⇒</i>HK=

<i>A</i>₁<i>H</i>. AH
AA1

=<i>a</i>

√

3

4

0,25

A1

A B

C

C
1
B1

K

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Câu V</b></i>

<i><b>1 điểm</b></i> Ta cú: P + 3 = <i>a</i>
3

√

1+<i>b</i>2+<i>b</i>
2

+ <i>b</i>

3

√

1+<i>c</i>2+<i>c</i>
2

+ <i>c</i>

3

√

1+<i>a</i>2+<i>a</i>
2

<i>⇔P</i>+ 6

4

√

2=
<i>a</i>3
2

_√

1+<i>b</i>2+

<i>a</i>2
2

_√

1+<i>b</i>2+

1+<i>b</i>2

4

√

2

+<i>b</i>3

2

_√

1+<i>c</i>2+

<i>b</i>2
2

_√

1+<i>c</i>2+

1+<i>c</i>2

4

√

2

+<i>c</i>3

2

_√

1+<i>a</i>2+

<i>c</i>2
2

_√

1+<i>a</i>2+

1+<i>a</i>2

4

√

2 3
3

√

<i>a</i>6

16

√

2+3
3

√

<i>b</i>6

16

√

2+3
3

√

<i>c</i>6

16

√

2
<i>⇒P</i>+ 3

2

√

2<i>≥</i>
3
2

√

32

√

2(<i>a</i>

2

+<i>b</i>2+<i>c</i>2)= 9

2

√

68 <i>⇒P ≥</i>
9
2

√

623<i>−</i>

3
2

√

2=

9
2

√

2<i>−</i>

3
2

√

2=

3

√

2
Để PMin khi a = b = c = 1

0,5

0,5

<i><b>Phần riêng.</b></i>

1.Ban cơ bản
<i><b>Câu </b></i>

<i><b>VIa</b></i>
<i><b>2 </b></i>
<i><b>®iĨm</b></i>

<i><b>1.( 1 ®iĨm)</b></i>

Từ phơng trình chính tắc của đờng trịn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2
tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và AB<i>⊥</i>AC => tứ giác ABIC là hình vng
cạnh bằng 3 <i>⇒</i>IA=3

_√

2

0,5

<i>⇔</i>|<i>m−</i>1|

√

2 =3

√

2<i>⇔</i>|<i>m−</i>1|=6<i>⇔</i>
<i>m</i>=<i>−</i>5

¿

<i>m</i>=7

¿
¿
¿
¿

¿
0,5

<i><b>2. (1 ®iĨm)</b></i>

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) l khong cỏch t H n (P).

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH<i>≥</i>HI => HI lín nhÊt khi

<i>A ≡ I</i>

VËy (P) cÇn tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận _AH làm véc tơ pháp tuyến.

0,5

<i>HdH</i>(1+2<i>t ;t ;1</i>+3<i>t</i>) vì H là hình chiếu của A trên d nên

<i>u</i>=(2<i>;</i>1;3)

AH<i>d</i>_{AH .}<i>_u</i>₌₀ là véc tơ chỉ phơng của d)

<i>H</i>(3<i>;1;</i>4)<i></i>AH(<i></i>7<i>;</i>1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

<i><b>C©u </b></i>
<i><b>VIIa</b></i>
<i><b>1 </b></i>
<i><b>điểm</b></i>

Từ giả thiết bài toán ta thấy có <i>C</i>24=6 cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có

số 0)và <i>C</i>5
2

=10 cách chọn 2 chữ sè lÏ => cã <i>C</i>5
2

. <i>C</i>5
2

= 60 bé 4 số thỏa
mÃn bài toán

0,5

Mi b 4 s nh th có 4! số đợc thành lập. Vậy có tất cả <i>C</i>4
2 _.

<i>C</i>5

2 _{.4! =}

1440 sè

0,5

<i><b> </b></i>2.Ban nâng cao.
<i><b>Câu </b></i>

<i><b>VIa</b></i>

<i><b>1.( 1 điểm)</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>2 </b></i>

<i><b>điểm</b></i> tuyến AB, AC tới đờng tròn và _{bằng 3} <i>_⇒</i>_IA₌₃

_√

₂ AB<i>⊥</i>AC => tứ giác ABIC là hình vng cạnh 0,5
<i>⇔</i>|<i>m−</i>1|

√

2 =3

√

2<i>⇔</i>|<i>m−</i>1|=6<i>⇔</i>
<i>m</i>=<i>−</i>5

¿

<i>m</i>=7

¿
¿
¿
¿
¿

0,5

<i><b>2. (1 ®iĨm)</b></i>

Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) l khong cỏch t H n (P).

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH<i>≥</i>HI => HI lín nhÊt khi

<i>A ≡ I</i>

VËy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận _AH làm véc tơ pháp tuyến.

0,5

<i>HdH</i>(1+2<i>t ;t ;1</i>+3<i>t</i>) vì H là hình chiếu của A trên d nên

<i>u</i>=(2<i>;</i>1;3)

AH<i>d</i>_{AH .}<i>_u</i>₌₀ là véc tơ chỉ phơng của d)

<i>H</i>(3<i>;1;</i>4)<i></i>AH(<i></i>7<i>;</i>1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

0,5

<i><b>Câu </b></i>
<i><b>VIIa</b></i>
<i><b>1 </b></i>
<i><b>điểm</b></i>

Từ giả thiết bài toán ta thấy có <i>C</i>5
2

=10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kĨ c¶ sè cã

chữ số 0 đứng đầu) và <i>C</i>5
3

=10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có <i>C</i>5
2

. <i>C</i>5
3

= 100
bộ 5 số đợc chọn.

0,5

Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả <i>C</i>52 . <i>C</i>53 .5! = 12000

sè.

Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là <i>C</i>14.<i>C</i>53. 4<i>!</i>=960 .

VËy cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 số thỏa mÃn bài toán

</div>

<!--links-->