Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ 1. Tìm x, y, biết : a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0 b) x  2005 + y  1 = 0 2. Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4  100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viên, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV là thành tích của cả đội, thời gian chạy của đội nào càng ít thì thành tích càng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển là ? giây. Biết rằng vịt chạy hết 80 giây? x 8. 3. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : . 1 3  y 8. QuËn t©n phó - tphcm Năm học 2003 – 2004 (90 phút) Bài 1 (3đ): 1, Tính:. 1 1 1   P = 2003 2004 2005 5 5 5   2003 2004 2005. . 2 2 2   2002 2003 2004 3 3 3   2002 2003 2004. 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 x3  3 x 2  0, 25 xy 2  4 x2  y 1 Tính giá trị của A biết x  ; y là số nguyên âm lớn nhất. 2. 3, Cho: A =. Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC A 2, BMC  1200. 1. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB. thị xã hà đông – hà tây Năm học 2003 – 2004 (120 phút) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4. 3 16. 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x =  0, 25 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x  3  x  2  x. Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 2 có giá trị lớn nhất 6m 8n 2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất n3. 1, P =. Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): A Cho ∆ABC cân tại A, BAC  1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao A A cho DBC  100 , DCB  200 . Tính góc ADB ?. 2 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước. Tp hcm Năm học 2004 – 2005 (90 phút) Bài 1 (3đ): Tính:   1 3  1    1  1, 6.    3.    1    1  3    3    3 . 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 3,. 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 6 2. Bài 2 (3đ): 1, Cho. a b c   và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a. Tính b, c. 2, Chứng minh rằng từ hệ thức. ab cd  ta có hệ thức: ab cd. a c  b d. Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2 x ; x  0 x ; x  0. y= . Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE. quÕ vâ – bn Năm 2007 – 2008: (120 phút) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n  N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính :. 3 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 1 2 3   4  2 3 5 7 A =    + 0, (4)  2 4 6 9  2    3 5 7 2. Bài 2 (3đ): Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: a (a  2007b) 2 = c (b  2007c) 2. Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): Cho m, n  N và p là số nguyên tố thoả mãn:. mn p = . p m 1. Chứng minh rằng : p2 = n + 2.. §Ò sè 5 Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 5. a, Cho A  (0,8.7  0.82 ).(1,25.7  .1,25)  31,64 B. (11,81  8,19).0,02 9 : 11,25. Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A  101998  4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? C©u 3: a) Cho f ( x)  ax 2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f (2). f (3)  0 . BiÕt r»ng 13a  b  2c  0 b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A . 2 6 x. cã gi¸ trÞ lín nhÊt.. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE. 4 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña. A  19. 89. 51. 0. 2. 96. 9. 91. §Ò sè 6 C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3   0,375  0,3    1,5  1  0,75  1890 11 12  : a) TÝnh A    115  2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005   3 11 12   1 1 1 1 1 1 b) Cho B   2  3  4  ...  2004  2005 3 3 3 3 3 3 1 Chøng minh r»ng B  . 2. C©u 2: (2 ®iÓm). a) Chøng minh r»ng nÕu. a c 5a  3b 5c  3d   th× b d 5a  3b 5c  3d. (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). b) T×m x biÕt:. x 1 x  2 x  3 x  4    2004 2003 2002 2001. C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax 2  bx  c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số. 7n  8 cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2n  3. §Ò sè 7 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh:. 5 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 3 3   11 11    :    2,75  2,2  7 13   7 13    10 1,21 22 0,25   5 225  :  B =      49  7 3 9     b) Tìm các giá trị của x để: x  3  x  1  3x. A =  0,75  0,6  . C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M . a b c   kh«ng lµ sè ab bc ca. nguyªn. b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  0 .. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng:. 1 1 1 1 9    ...   5 15 25 1985 20. §Ò sè 8 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có: A= 5n (5n  1)  6n (3n  2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho P 2  14 lµ sè nguyªn tè. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n sao cho n 2  3  n  1 b) BiÕt. bz  cy cx  az ay  bx   a b c a b c Chøng minh r»ng:   x y z. Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có một số bưu ảnh, số bưu ảnh của mỗi người chưa đến 100. Số bưu ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch.. 6 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước + B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i. + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. Tính số bưu ảnh của mỗi người. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF . a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB. b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2. 52 p  1997  52 p  q 2. §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 5 5 1 3  1 13  2  10  . 230  46 4 27 6 25 4 TÝnh:  3 10 1 2     1   : 12  14  7  10 3   3. Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho 77. b) Tìm các số nguyên x để B  x  1  x  2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Chøng minh r»ng: P(x)  ax 3  bx 2  cx  d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) a c  . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a 2  b 2 a 2  b2 ab  2 vµ    cd c  d 2 c2  d 2 cd . a) Cho tØ lÖ thøc. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n  1 chia hết cho 7. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a  2b  17  10a  b  17 (a, b  Z ). §Ò sè 10 Bµi 1: (2 ®iÓm). 7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước a) Tìm số nguyên dương a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a. 1 1 1 1    ...  2 3 4 2005 b) TÝnh P  2004 2003 2002 1    ...  1 2 3 2004. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho. x y z t    y zt zt  x t  x y x y z. chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. P. x y y z zt t  x    zt t  x x y y z. Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H  BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N  AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579. §Ò sè 11 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh :. 1 1 1   512 512 512 512 A  6 39 51 ; B  512   2  3  ...  10 1 1 1 2 2 2 2   8 52 68. C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 b) T×m x, y, z biÕt:. x y z    x yz z  y 1 x  z 1 x  y  2. (x, y, z  0 ). C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: S  3n  2  2n  2  3n  2n chia hÕt cho 10. b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7( x  2004) 2  23  y 2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa. 8 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng: a 2 n  b 2 n  c 2 n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.. §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 3 1 16 1 8 .5 3 .5 19 4 : 7 A 9 4 1  24  14  2  2  . 34 34   17 1 1 1 1 1 1 1 B       3 8 54 108 180 270 378. C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m  1  3 2) Chøng minh r»ng: 3n  2  2n  4  3n  2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn dương. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z  ;  vµ x 2  y 2  16 2 3 4 5 b) Cho f ( x)  ax 2  bx  c . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên.. Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn. C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n  1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n  1 lµ hîp sè.. §Ò sè 13 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 1 (1  2  3  ...  99  100)    (63.1,2  21.3,6) 2 3 7 9 A 1  2  3  4  ...  99  100 1 2 3 2 4     14 7  35 . ( 15 )  B 1 3 2 2 5   .   10 25  7 5  . C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A  3x 2  2 x  1 víi x  b) Tìm x nguyên để. x  1 chia hÕt cho. 1 2. x 3. C©u 3: ( 2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt. 3x 3 y 3z   vµ 2 x 2  2 y 2  z 2  1 8 64 216. b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM  EF. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 2. 1 3. 1 4. Chøng tá r»ng: 1     ... . 1 1 1 1 1 1     ...   99 200 101 102 199 200. §Ò sè 14. C©u 1: (2 ®iÓm) 2 2 1 1   0,25  9 11  3 5 a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M  7 7 1 1,4   1  0,875  0,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) TÝnh tæng: P  1       10 15 3 28 6 21 0,4 . C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: 2 x  3  2 4  x  5. 10 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 2) Trên quãng đường Kép - Bắc giang dài 16,9 km, người thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, người thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc người thứ nhất so với người thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc gặp nhau vận tốc người thứ nhất đi so với người thứ hai ®i lµ 2: 5. Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)  ax 2  bx  c (a, b, c nguyªn). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3. 7 a 2  5ac 7b 2  5bd a c  b) CMR: nÕu  th× 2 (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa). 7 a  5ac 7b 2  5bd b d. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE . AB  AC 2. C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn như trên tham gia.. §Ò sè 15 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  11 3   1 2 1 31 . 4 7  15  6 3 . 19   14  31   . 1 A   . 5 1 1 93  50    4 6  6 12  5 3     1 1 1 1 1  b) Chøng tá r»ng: B  1  2  2  2  ...  2 2 3 3 2004 2004. C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C . 3x 2 4 x 5. (x  Z). a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên. C©u 3: (2 ®iÓm). 11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Cho. a c ab (a  b) 2  . Chøng minh r»ng:  b d cd (c  d ) 2. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC và AB lần lượt tại E và D. a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p sao cho: 3 p 2  1 ; 24 p 2  1 lµ c¸c sè nguyªn tè.. §Ò sè 16 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3  7 13 ; A 11 11 2,75  2,2   7 3 B  (251.3  281)  3.251  (1  281) 0,75  0,6 . b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. C©u 2: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z). bz  cy cx  az ay  bx   (=0) a b c a b c Chứng minh rằng:   (Biến đổi đưa về: ay = bx, bz = cy…) x y z. b) BiÕt. C©u 3: ( 2 ®iÓm) Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?. §Ò sè 17. Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. 12 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước 5 3 3   2,5   1,25   0,375  0,3   3 11 12 .  P  2005 :    0,625  0,5  5  5 1,5  1  0,75    11 12  . b) Chøng minh r»ng: 3 5 7 19  2 2  2 2  ...  2 2  1 2 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 2. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì: 3n  3  3n 1  2n  3  2n  2 chia hÕt cho 6. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D  2004  x  2003  x. C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng: a) DE = 2 AM b) AM  DE. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + …+ xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4.. §Ò sè 18 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2. 4 3    81,624 : 4  4,505   125 3 4   A 2  11 2     2  13   : 0,88  3,53  (2,75)  :  25   25 . b) Chøng minh r»ng tæng: S. 1 1 1 1 1 1 1  4  6  ...  4 n  2  4 n  ....  2002  2004  0,2 2 2 2 2 2 2 2 2. Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2005  x  4  x  10  x  101  x  990  x  1000. 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m đi 1/3. Điều đó đúng hay sai ? vì sao ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a    TÝnh M  cd d a ab bc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600. b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ABC lần lượt là M và N. Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z là các số dương. Chøng minh r»ng:. x y z 3    2x  y  z 2 y  z  x 2z  x  y 4. §Ò sè 19 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x 2  6 x  2  x 2  4 b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = (3  4 x  x 2 ) 2004 . (3  4 x  x 2 ) 2005 Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho. x y z t    . y zt zt  x t  x y x y z. CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P. x y y z zt t  x    zt t  x x y y z. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =  . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho 1 3. góc EBA=  . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n.. 14 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bµi 5: (1 ®iÓm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 3  3a 2  5  5b vµ a  3  5c. §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A  3  32  33  34  ...  32003  32004 b) T×m x biÕt x  1  x  3  4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   Th× x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z. NÕu. Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005  2006 x 2004  2006 x 2003  2006 x 2002  ....  2006 x 2  2006 x  1. đề thi học sinh giỏi M«n To¸n líp 7 ( Thêi gian 120 phót) đề bài: C©u 1 . ( 2®) Cho:. a b c   . b c d 3. a abc Chøng minh:    . d bcd . C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: a c b   . bc ab ca Câu 3. (2đ). Tìm x  Z để A Z và tìm giá trị đó. x3 1  2x a). A = . b). A = . x2 x3. A=. C©u 4. (2®). T×m x:. 15 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước x3 = 5 .. a). b).. ( x+ 2) 2 = 81.. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650. C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n.. §Ò thi häc sinh giái to¸n líp 7. C©u 1: (2®) Rót gän A=. x x2 x  8 x  20 2. C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng. 102006  53 lµ mét sè tù nhiªn. 9. C©u 4 : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chøng minh r»ng . a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b,. BH =. AC 2. c, A KMC đều C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn.. ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2008 -2009 Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 2 2 3  1   18 6  (0, 06 : 7 2  3 5 .0,38)  : 19  2 3 .4 4 . Bài 2: (4 điểm): Cho a2  c2 a a) 2 2  b c b. a c  chứng minh rằng: c b b2  a 2 b  a b) 2 2  a c a. 16 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x . 1  4  2 5. b) . 15 3 6 1 x  x 12 7 5 2. Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC. Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y  A biết: 25  y 2  8( x  2009) 2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 2 2 3  1   18 6  (0, 06 : 7 2  3 5 .0,38)  : 19  2 3 .4 4  = 6 15 17 38   8 19  109 ( :  . )  : 19  .  =  0.5đ 100 2 5 100   3 4  6. 109  3 2. 17 19   . 38 . =    .  .   : 19   3   6  50 15 5 50    109  2. 1đ. 323   19. =     :  6  250 250   3. 0.5.  109 13  3  . =  6 10  19 506 3 253 .  = 30 19 95. =. 0.5đ 0.5đ. Bài 2: a) Từ. a c  suy ra c 2  a.b c b a 2  c 2 a 2  a.b khi đó 2 2  2 b c b  a.b a ( a  b) a  = b( a  b) b. b) Theo câu a) ta có:. 0.5đ 0.5đ 0.5đ. a2  c2 a b2  c2 b    b2  c2 b a2  c2 a. 0.5đ. 17 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước b2  c2 b b2  c2 b   1  1 2 2 2 2 a c a a c a 2 2 2 2 b c a c ba  hay 2 2 a c a 2 2 b a ba vậy 2 2  a c a. từ. 1đ 0.5đ 0.5đ. Bài 3: a). x. 1  4  2 5. 1  2  4 0.5đ 5 1 1 1 x   2  x   2 hoặc x   2 5 5 5 1 1 9 Với x   2  x  2  hay x  5 5 5 1 1 11 Với x   2  x  2  hay x   5 5 5 x. 1đ 0.25đ 0.25đ. b) 15 3 6 1 x  x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x   0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 (  )x  0.5đ 5 4 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343 . Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x  4. y  3.z và x  x  y  z  59 Ta có: 1đ hay:. x y z x  x  y  z 59      60 1 1 1 1 1 1 1 59    5 4 3 5 5 4 3 60. 0.5đ. Do đó: 1 x  60.  12 ; 5. 1 x  60.  15 ; 4. 1 x  60.  20 3. Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m). 0.5đ 0.5đ. 18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) 1đ A A suy ra DAB  DAC A Do đó DAB  200 : 2  100 AA  200 (gt) b) cân tại A, mà  ABC. A. 20 0. nên. A ABC  (1800  200 ) : 2  800 A  ABC đều nên DBC  600. Tia. BD. D. nằm. giữa hai tia BA và BC suy A ABD  80  60  200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên A ABM  100 0. M. ra. 0. B. C. Xét tam giác ABM và BAD có: A A AB cạnh chung ; BAM A ABD  200 ; A ABM  DAB  100 Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6:. 25  y 2  8(x  2009) 2 Ta có. 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*). Vì y2  0 nên (x-2009)2 . 0.5đ. 25 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 8. 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y  A ) Từ đó tìm được. (x=2009; y=5). 0.5đ 0.5đ. đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp 7. (Thêi gian lµm bµi 120 phót). 1 1 1 1    ...  1.6 6.11 11.16 96.101. Bµi 1.. TÝnh. Bµi 2.. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:. 1 1 1   x y 5. Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x  1  x  2  y  3  x  4 = 3. 19 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Hồ Thế Chuân – Trường THCS Tân Hưng – Bình Long – Bình Phước Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC.. đề thi Ô-lim -pic huyện M«n To¸n Líp 7. (Thêi gian lµm bµi 120 phót). Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính:. A. 212.35  46.92.  2 .3 2. 6.  8 .3 4. 5. . 510.73  255.492. 125.7 . 3.  59.143. b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n  2  2n  2  3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. x . 1 4 2    3, 2   3 5 5. b.  x  7  Bài 3: (4 điểm). x 1.   x  7. x 11. 0. a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo. 2 3 1 : : . Biết rằng tổng các bình phương 5 4 6. của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b) Cho. a2  c2 a a c  . Chứng minh rằng: 2 2  b c b c b. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng A A c) Từ E kẻ EH  BC  H  BC  . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . A A Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) A  200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác Cho tam giác ABC cân tại A có A ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC. 20 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 năm học 2009 - 2010 Lop7.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>