Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG
Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2021


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG
Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2021


MỤC LỤC
Trang
1. Lời giới thiệu...............................................................................................
2
2. Tên sáng kiến...............................................................................................

2
3.Tác giả sáng kiến..........................................................................................
2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến………..............................................................
2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến………………………………..………….......
2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử………….…........
2
7. Mô tả bản chất của sáng kiến………………………………..……….…....
3
7.1 . Nội dung của sáng kiến………..…………………………........................
3
Phần I. Đặt vấn đề……………………………………………..................
3
Phần II. Nội dung……….………………………………………..……....
5
I. Cơ sở lý luận…………………………………………..…............
5
1. Cơ sở lý luận của đề tài……………………………….……...
5
2. Cơ sở thực tiễn………………………………..……….……… 5
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu………..………………...........
5
1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu………..……………….......
5
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu……….…………………..
5
III. Biện pháp và giải pháp thực hiện……………..……………........
5

1. Cơ sở đề suất giải pháp………………………………….........
5
2. Giải pháp chủ yếu……….…………………………………....
6
Chương 1. Khái niệm giới hạn của dãy số………..…………........ 6
Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số………… 7
I.
Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số……. 7
……….....
II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và ……….... 10
III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp….……..…………… 14
Chương 3. Một số bài toán liên quan đến giới hạn dãy số………. 16
IV. Kết quả sau khi thực hiện…………………………………........ 23
Phần III. Kết luận và kiến nghị…………………………..…………….
24
Tài liệu tham khảo……………………………………………………..
26
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến.........................................................
27
8. Những thông tin cần được bảo mật………………………………..........
27
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………….......
27
10. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy…….............
27
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
28
dụng sáng kiến lần đầu.

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, các bài tốn giới hạn là vấn đề
khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trước
các bài tốn giới hạn, khơng biết lựa chọn phương án nào và bắt đầu từ đâu?
Trong quá trình giảng dạy “Các bài tốn tìm giới hạn dãy số ” trong sách giáo
khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình
bày ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài
toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng
được về các bài tốn tìm giới hạn dãy số.
Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi
lại có xu hướng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy số, địi hỏi học sinh phải có
tư duy tốt và có sự phân dạng bài tốn để giải quyết được bài tốn.
Vì vậy tơi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài tốn tìm giới hạn dãy số và
chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng qt về các bài tốn
tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài tốn phù hợp. Với mong muốn
cho việc dạy và học về các bài tốn đếm được tốt hơn, tơi quyết định chọn đề tài
“Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm.
2. Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Văn Long
- Địa chỉ tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT Yên Lạc 2
- Số điện thoại: 0978097190.

Email:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến được áp dụng để “Tìm giới hạn của dãy số” trong chương trình
tốn Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT.
Dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỏi mơn
tốn 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2021
2


7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, các bài tốn tìm giới hạn dãy số là
vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi
đứng trước các bài tốn tìm giới hạn dãy số, không biết lựa chọn cách nào và bắt
đầu từ đâu?
Trong q trình giảng dạy, bài tốn tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa Đại
số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tơi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn
gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài toán.
Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về
các bài tốn tìm giới hạn dãy số.
Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi
lại có xu hướng sử dụng các bài tập về bài tốn đếm, địi hỏi học sinh phải có tư
duy tốt và có sự phân dạng bài tốn để giải quyết được bài tốn.
Vì vậy tơi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài tốn tìm giới hạn dãy số và
chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng qt về các bài tốn
tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài tốn phù hợp. Với mong muốn
cho việc dạy và học về các bài tốn tìm giới hạn dãy số được tốt hơn, tơi quyết định
chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh

nghiệm.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài tốn tìm giới hạn dãy số
để học sinh có cái nhìn tổng qt về các bài toán này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số.
Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài tốn tìm giới hạn dãy số”
phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình
tốn THPT, các bài tốn trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của Bộ
Giáo dục và Đào tạo hàng năm.
3


Khách thể nghiên cứu: là học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc
2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc.
5. Phạm vi nghiên cứu
Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa cơ bản và nâng cao mơn tốn lớp 11, các
chuyên đề ôn thi TN THPT Quốc gia hàng năm về các bài tốn tìm giới hạn dãy số.
6. Phương pháp nghiên cứu
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong q trình
giải bài tốn tìm giới hạn dãy số.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên lớp giảng dạy trên cùng một lớp đối tượng.
7. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm các phần sau:
Phần I: Đặt vấn đề
Phần II: Nội dung
I. Cơ sở lý luận
1. Cơ sở lý luận của đề tài

2. Cơ sở thực tiễn
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu
2. Thực trạng của vấn đê nghiên cứu
III. Biện pháp và giải pháp thực hiện
1. Cơ sở đề xuất giải pháp
2. Giải pháp chủ yếu
Chương 1. Khái niềm về dãy số
Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số
I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số
II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và…
III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp
IV. Kết quả sau khi thực hiện
Phần III: Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

4


PHẦN II. NỘI DUNG
I.

Cơ sở lý luận
1. Cơ sở lý luận của đề tài

Mơn tốn ở trường Trung học phổ thơng là một mơn khoa học tự nhiên, địi hỏi
sự tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiến
thức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài tốn. Từ đó hình thành hứng
thú học tập cho học sinh học tập bộ mơn tốn ở trường Trung học phổ thông.
2. Cơ sở thực tiễn

Các kiến thức trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban
cơ bản và nâng cao) do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành cịn mang tính hàn lâm,
lý thuyết và ít thực tế.
Trong các bài kiểm tra thường xun về bài tốn tìm giới hạn dãy số, học sinh
vẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm khi
giải tốn.
Trong các đề thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có xu
hướng sử dụng các bài tốn tìm giới hạn dãy số.
II.

Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm và các bài tập về bài tốn tìm giới hạn dãy số trong chương trình
mơn tốn ở trường Trung học phổ thông.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Các bài tập về bài tốn tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa và sách bài tập
còn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cụ thể.
Học sinh khi học xong các bài tốn tìm giới hạn dãy số và làm các bài tập trong
sách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn khơng thể tự mình phân dạng
bài tập được. Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thường bị lúng túng.
III.

Biện pháp và giải pháp thực hiện
1. Cơ sở đề suất giải pháp

5


Theo yêu cầu cụ thể của việc dạy và học, phân phối chương trình bộ mơn tốn ở

trường Trung học phổ thơng (gồm các tiết dạy chính khóa và tự chọn)
Theo các kiến thức về bài tốn tìm giới hạn dãy số và các yêu cầu kỹ năng cần
phải đạt được trong các đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia và thi học
sinh giỏi mơn tốn ở trường Trung học phổ thông.
2. Giải pháp chủ yếu
Hệ thống lại các kiến thức về bài tốn tìm giới hạn dãy số mà học sinh cần sử
dụng đến trong quá trình giải bài tập.
Đưa ra các bài tập thường gặp về bài tốn tìm giới hạn dãy số, các dạng và
phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn dãy số để học sinh có thể tự tìm ra lời giải
phù hợp với mỗi bài toán.
Nội dung cụ thể của đề tài như sau:
CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Trong toán học khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm
số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào
đó. Trong một khoảng khơng gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định
một điểm mới từ một dãy cauchy các điểm đã được xác định trước.giới hạn là khái
niệm quan trọng về giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo
hàm và phép tính tích phân.
Khái niệm giới hạn dãy số
I. Giới hạn hữu hạn
a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực
nếu u n có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

u n = 0 hay u n → 0 khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→ +∞

6

b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi
n → +∞ , nếu lim ( v n − a ) = 0
n → +∞

v n = a hay vn → a khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→ +∞
c) Một số giới hạn cơ bản
1.lim c = c
n →∞

2.lim
n →∞

1
n

3.lim q n = 0, với q < 1
n →∞

II. Giới hạn vơ cực
a) Dãy số có giới hạn +∞
Định nghĩa 3: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy
ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn
số dương đó.

un = + ∞ hay un → + ∞ khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→+∞
b) Dãy số có giới hạn −∞

Định nghĩa 4: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ nếu với mỗi số âm tùy ý
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số
âm đó.

un = − ∞ hay un → − ∞ khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→+∞

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy
1. Phương pháp:
∗ lim
n→∞ un=0 khi và chỉ khi |un | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
∗ lim
v =a khi và chỉ khi lim
(vn-a)=0
n→∞ n
n→∞

7


∗ lim
u =+∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng
n→∞ n
nào đó trở đi
∗ lim
u =-∞ khi và chỉ khi lim
(-un ) = +∞

n→∞ n
n→∞
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho dãy( un) thỏa mãn un> n với mọi n.chứng minh rằng lim
n→∞ un=+∞
Giải:
Ta có : lim n =+∞ lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
mặt khác un> n nên un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó.
Vậy lim
n→∞ un=+∞
Bài 2: Cho dãy số ( un) có un=

2n + 1
. Tìm lim
n→∞ un
n

Giải:
Ta biến đổi: un =

Vậy

lim

n→∞

un =2 vì

2n + 1
1

=2+
2
n
lim

n→∞

1
n =0

2n + 1
lim
n→∞
n
Bài 3: Biết dãy số un thỏa mãn |un | ≤
với mọi n. Chứng minh rằng:
un=0

Giải:
n +1
2
Đặt vn= n
n +1
2
Ta có lim vn=lim n =0. Do đó |vn | có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một

số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác theo giả thiết ta có |un |≤ vn≤ | vn | (2)

8

Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hàng
nào đó trở đi nghĩa là lim un =0.
3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Biết dãy số (un) thỏa mãn un >n2 với mọi n. Chứng minh rằng: lim
n→∞ un=+∞
Giải:
Vì lim n2=+ ∞ nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó
trở đi.
Mặt khác theo giả thuyết mà un >n2 với mọi n, nên un có thể lớn hơn một số
dương tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi. Vậy lim
n→∞ un=+∞
Bài 2: Cho biết lim
n→∞ un=-∞ và vnHướng dẫn:
lim un=+∞ ↔ : lim (-un )=+∞ → - vn>-un → lim (-vn )=+∞
n→∞
n→∞
n→∞

Vậy lim
n→∞ vn =-∞
Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi un=
a, Tìm số n sao cho |un-3|<

3n + 2
n +1

1

1000

b, Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy u n đều nằm trong
khoảng (2,999;3001)
Hướng dẫn:
a, |un-3|=

1
1
⇔ n>999
<
n + 1 1000

b, Khi n>999 ⇔ |un-3|<

1
1
1
⇔ 3⇔ 2,999< un< 3,001
1000
1000
1000

Bài 4: Vì sao dãy (un) với (un)=(-1)n khơng thể có giới hạn là 0 khi n → +∞ ?
Hướng dẫn:
Vì |un|=|(-1)n|=1 nên |un| không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
kể từ một số hàng nào đó trở đi. Chẳng hạn, un không thể < 0,5 với mọi n.
9

Do đó dãy số (un) khơng thể có giới hạn là 0.
Bài 5:
a, Cho hai dãy (un) va (vn), biết lim
n→∞ un=-∞ và vn≤un với mọi n. Có kết luận gì về giới
hạn của dãy (vn) khi n → +∞?
b, tìm lim
n→∞ vn với vn=n!
Bài 6: Biết |un-2| ≤ 3n , có kết luận gì về giới hạn dãy số (un)?
Bài 7: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh:
3n + 2
a, lim
=3
n→∞

sin n
=0
n

n+2
=+∞
n +1

1 − n 2 = -∞
d, lim
n →∞

b, lim
n→∞

n +1

c, lim
n →∞

II. Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải bài
tốn tìm giới hạn dãy.
1. Các giới hạn đặc biệt:
c
=0 ;
n →∞ n

lim

lim

n →+∞

c
=0 ;
n

lim nk=+∞ ,mọi k ∈ N* ;
n→∞

lim c=c
n→∞
lim

n →∞

n = +∞
; lim
n →∞

c
=0 mọi k ∈ N*
nk

lim qn=0, |q|<1 ; lim qn=+ ∞ ,|q|>1
n→∞
n→∞
A
A
lim = ∞ ⇔ lim
lim
n →∞
⇔ n→∞
∞ n→∞ vn
n →∞ v =0
vn= ;
v n=0
n

lim

2. Định lý về giới hạn hữu hạn:
lim
Giả sử lim
n→∞ un=a và n→∞ vn=b, khi đó:

± vn)=a ± b
1. lim
n→∞ (un

2. lim
n→∞ (un .vn)=a.b
u

a

n
= ,b ≠ 0
3. lim
n →∞ v
b
n

10


un = a (với un>0 với mọi n ∈ N*)
4. lim
n →∞

3. Định lý về giới hạn ±∞
un
lim
±∞ thì lim
1, Nếu lim
=0

n→∞ un=a và n→∞ vn=
n →∞ v
n
u
lim
lim n = +∞
2, Nếu lim
n→∞ un=a>0 và n→∞ vn=0 và vn>0 thì n →∞
vn
lim
∞ và lim
∞
3, Nếu lim
n→∞ un=+
n→∞ vn=a>0 thì n→∞ un .vn=+

∗ Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia
cả tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất.
∗ Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạng a ± b ; 3 a ± 3 b ) cần nhân
một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
4. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính lim
n →∞

3n3 − 5n2 + 1
2n 3 + 6n 2 + 4n + 5

Giải: Ta có
5 1
3− + 3

3
3n − 5n + 1
n n
lim 3
= lim
n →∞
6 4
5 =2
n →∞ 2n + 6 n 2 + 4 n + 5
2+ +   2 + 3
n   n n
3

2

2 n 2 + 1 + 5n
1 − 3n 2

Bài 2: Tính lim
n →∞
Giải:

1
1 5
2+ 2 +
2 n + 1 + 5n
n
n
n = 0 =0
= lim

lim
2
n →∞
1
n →∞
−3
1 − 3n
−3
2
n
2

Bài 3: Tính lim
n →∞

(

   n 2 + 7 −    n 2 + 5

)

Giải:
lim( n 2 + 7 − n 2 + 5) = lim
n →∞

n →∞

n2 + 7 − n2 − 5
n 2 + 7 + n2 + 5

= lim

n →∞

2
n2 + 7 + n2 + 5

=0
11


5. Bài tập áp dụng
Bài 1: tính các giới hạn sau:
m
a, lin→∞

 2

c, lim
n −
÷
n →∞
n +1
2

4 n 2 − n − 1
3 + 2 n 2



2n 4 − n 2 + 1
d, lim
n →∞ 2n + 1 (3 − n) n 2 + 2
(
)
(
)

   n 2 − n − 1
b, lnim
→∞
2n 3 + 5

e, lim
n →∞



( 2 − 3n ) ( n + 1)
1 − 4n 4

Đáp số:
a,2

c,+ ∞

b,0

d,-1

e,

27
4

( −n 2 + n n + 1 )
Bài 2: Tính lim
n →∞


( −n2 ) 1 −
( −n2 + n n + 1 ) = lim
Giải: lim
n →∞
n →∞


1 1 
− ÷ = −∞
n n2 ÷


Bài 3: Tính các giới hạn:
a, lim

2n 2 + n 2 − 7
2n 2 − n + 3

c, lim

b, lim

3n 2 + 1 − n 2 − 1
n

d, lim

n →∞

n →∞

Đáp số: a,

2
2

3n 2 + 14 + n
1 − 2n 2

n →∞

n →∞

b, 3 − 1

c,0

3

2n 3 + n

n+2

d, 3 2

Bài 4: Tính các giới hạn sau
a, lim
n →∞

3n − 2
1 + 2n

b, lim
n →∞

4.3n + 7n +1
2.5n + 7 n

c, lim
n →∞

5n + 1
5n − 1

Đáp số:
a,+ ∞

b,7

c,1

Bài 5: Tính các giới hạn sau
12


n −1 − n )
a, lim(
n →∞

n 2 + 3n − n + 2)
b, lim(
n →∞

3 3
n − 2n 2 − n
c, lim
n →∞

n2 − n + n
d, lim
n →∞

4n 2 + 1 − n + 2

e, lim

3
n − n3 + n + 2
g, lim
n →∞

n + 2n − n

n →∞

2

Đáp số:
a.0

b,

7
2

c,

−2
3

d,

1
2

e,1

g,3

Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a, lim

n →∞

n 1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + n + 1

b, lim
n →∞

1 + 2 + 3 + ....n
n2

c, lim
n →∞

n 1 + 3 + ... + 2n − 1
2n 2 + n + 1

d, lim
n →∞

1 + a + a 2 + .... + a n
1 + b + b 2 + .... + b n

 1
1
1
1 
+
+
+ ...... +

÷
n(n + 1) 
 1.2 2.3 3.4

e, lim

n →∞

 1
1
1
1
+
+
+ ...... +
( 2n − 1) ( 2n + 1)
 1.3 3.5 5.7


f, lim
n →∞ 


÷
÷


2.1 + 3.22 + ..... + ( n + 1) n 2
g, lim
n →∞

n4


h, lim
 +
n →∞
1
2

3 5
2n − 1 
+ 3 + ... + n ÷
2
2 2
2 

Hướng dẫn và đáp số:
1+ n 
n n
÷
n 1 + 2 + 3 + ... + n
n n2 + n
1
 2 
lim
=
2
lim 2
= lim 2
=

n →∞
n + n +1
n →∞ n + n + 1
n →∞ n + n + 1
(
) 2 2

a,

b,

1
2

c, lim
n →∞

n 1 + 3 + ... + 2n − 1
n
=
2
lim
2n + n + 1
n →∞

( 1 + 2n − 1) n
2
2n + n + 1
2

=

1
2

1
1− a = 1− b
d, S= lim
n →∞
1
1− a
1− b
13


1

1 1

1 1 1

1 1

1

1

1

e, Ta có 1.2 = 1 − 2 ; 2.3 = 2 − 3 ; 3.4 = 3 − 4 ;....; n ( n + 1) = n − n + 1

 1
1
1
1 
1 

+
+
+ ...... +
÷ = lim
1 −
÷= 1
n
→∞
n(n + 1) 
 n +1
 1.2 2.3 3.4

suy ra: lim

n →∞
1

1



1

=

f, Sn= 1 −
nên lim
n→∞
2  2n + 1 
2

III. Phương pháp dùng nguyên lí kẹp
1. Phương pháp: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) Nếu (un) ≤ (vn) ≤ (wn) với mọi n
và lim (un)=lim (wn)= L (L∈ R) thì lim vn=L
2. Bài tập mẫu


+ 2
+ .... + 2
Tính lim

÷
2
n →∞  n + 1
 n + 2
 n + n 

1

2

n

Giaỉ: Ta thấy:
2

n 
1 + 2 + ... + n 1
 1
+ 2
+ .... + 2
=
 2
÷≥
 n + n 
 n 2 + n
2
  n + 1  n + 2


1

2

n





1

2

n



n ( n + 1)

và  2 + 2 + .... + 2 ÷ ≤   n2 + 1 +  n2 + 1 + .... +  n 2 + 1 ÷ = 2 n2 + 1


 n + n 
(
)
  n + 1  n + 2
Vậy

n ( n + 1)
2
n 
1
 1
+ 2
+ .... + 2
≤  2
÷ ≤ 2 n2 + 1
 n + n 
2
(
)
  n + 1  n + 2

Mà lim
n →∞

n ( n + 1) 1
=
2(n 2 + 1) 2



+ 2
+ .... + 2
Vậy lim

÷ =
n →∞  n 2 + 1
 n + 2
 n + n 
2

1

2

n

1

3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính giới hạn của các giới hạn sau:

a, lim
 −

n →∞

c, lim
n →∞

1 1 
÷
 2 3n 

b, lim
n →∞

n + sin n
3n + 4

d, lim
n →∞

3sin n + 4 cos n
n +1

sin 2n + cos2n
3n + 1

14




e, lim


n →∞

1

2
 n +1

+

1
n2 + 2

+ ..... +


÷
n2 + n 
1

Đáp số:
a,0

b,0

c,

1
3

d,0

f,1

Bài 2: Cho 2 dãy số (un) và (vn). cmr nếu lim vn=0 va u ≤ vn với mọi n thì lim un=0
Hướng dẫn:
lim vn=0 suy ra |vn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y, kể từ số nào đó trở đi.
(1)
vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| với mọi n, nên |un| ≤ | vn| với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y,kể từ số nào
đó trở đi. Nghĩa là lim un=0
Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
1
a, un=
n!

−1
b, un= ( )

d, un=(0,99)n cos n

e, un=5n-cos n

n

2n − 1

c, un=

2 − n ( −1)

n

2 ( n ) + 11
2

Đáp số:
a, 0

b, 0

c, 0

d, 0

e, + ∞

15


CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI GIỚI HẠN DÃY SỐ
I. Chứng minh một dãy số có giới hạn:
1. Phương pháp
a, Áp dụng định lý Weierstrass;
∗ Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
∗ Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.
b, Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số

giảm và bị chặn

dưới) bởi số M ta thực hiện: tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát
mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.
c, Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
∗ Phương pháp 1:
+ Đặt lim
n→∞ un =a
lim
+ Từ lim
n→∞ un+1= n→∞ f(un) ta được một phương trình theo ẩn a.

+ Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (u n) là một trong các nghiệm
của phương trình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn
cần tìm, cịn nếu phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy
số để loại nghiệm.
 Chú ý: Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.
∗ Phương pháp 2:
+ Tìm cơng thức tổng qt un của dãy số bằng cách dự đoán.
+ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp tốn học.
+ Tính giới hạn của dãy số thơng qua công thức tổng quát.
2. Bài tập mẫu:
Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi. u1 = 2 , un +1 = 2 −

1
n

Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải:
16

Ta có u1= 2 và un +1 = un + 2 , un >0 với mọi n ∈N
∗ Ta chứng minh un <2 với mọi n∈ N (1)
Với n=1 ta có u1= 2 <2 thi (1) đúng.
Giá sử bất đẳng thức đúng với n=k thì uk <2.
Vậy un<2,mọi n∈ N
∗ Chứng minh dãy (un) tăng:
Xét dãy un+1>un ⇔ un + 2 >un ⇔ un2 -un -2<0 ⇔ -1≤ un≤ 2
Ma 0Tứ (1) và (2) suy ra (un) có giới hạn.
∗ Đặt lim un =a thi 0≤ a ≤2
un +1 = lim un + 2
un +1 = un + 2 ⇒ lim
n →∞
n →∞
⇒ a = 2 + a ⇒ a2 –a -2=0 ⇒ a=-1 hoặc a=2
lim
Ta có vì un >0 nên lim
n→∞ un= a ≥0.vậy n→∞ un =2
1

Bài 2: Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi un = 2 và un+1=2- u

n

Chứng minh dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải:
1
2

2

3

3
4

4
5

Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = , từ đó ta dự đoán un=

n
(1)
n +1

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
với n=1 ta có u1=

1
1
= ( đúng.)
1+1 2

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k > 1) nghĩa là uk =

k
k +1

1
1
k +1

=
=
k
Khi đó ta có: uk+1= 2 − uk 2 −
k + 2 nghĩa là đẳng thưc (1) cũng đúng với
k +1
n = k + 1 . Vậy un =

n
, mọi n ∈ ¥ *
n +1
17


Từ đó ta có lim un= lim

n
=1
n +1

3. Bài tâp áp dụng:
Bài 1: Chứng minh dãy (un) với un=

2 + 2 + .... + 2 + 2 , (n dấu căn) là dãy số

có giới hạn.
 Phương pháp xét dãy (un) tăng hoặc giảm) xét (un) bị chặn trên hoặc (bị chặn
dưới)
Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi cơng thức truy hồi ta dùng các phương
pháp.

1. Tìm công thức tổng quát (dựa vào phương thức đã được nêu trên ở phần kiến
thức dãy số). Sau đó tính giới hạn un.
un +1 = lim f(un). Giải pt tìm lim un=a ⇒ tìm giới hạn.
2. Tìm lim
n →∞
n→∞
n→∞

Bài 2: Cho dãy truy hồi u1=0 và un =

un −1 + 3
( n ≥ 2 ) . Tìm giới hạn của dãy số.
4

Hướng dẫn và đáp số: u1=0
Ta có:
u1=0
u2=

3
1
= 1−  ÷
4
4
2

15
1
u3= = 1 −  ÷
16

4

.
.
.
n−1

1
un=1-  ÷
4

n −1

1
bằng phương pháp quy nạp chứng minh un = 1 −  ÷
4

18


  1 n−1 
lim
vậy n→∞ 1 −   ÷ ÷÷ =1.
 4 

Bài 3: Cho dãy truy hồi. u1=2 và un =

un −1 + 1
( n ≥ 2 ) , chứng minh dãy (un) có giới
2

hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số:
+ Cách 1:dự đốn un=

 2n −1 + 1
 2n − 1

n −1
lim  2 + 1 =1
; lim
u
=
n
n→∞
n→∞
n

 2 − 1

+ Cách 2:
∗ Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. lim
un=a ,tìm a
n→∞
∗ Giả sử

lim un= lim un-1=a= a + 1 ⇔ a = 1; lim un=1
n→∞
n→∞
n→∞

2

Bài 4:
a, Cho dãy truy hồi u1=2 và un +1 =

un + 1
( n ≥ 1) .chứng minh dãy (un) có giới hạn và
2

tìm giới hạn đó.
b, Cho dãy (un) xác định bởi 0
1
(n≥1) .chứng minh dãy (un)
4

có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số:
b, Chứng minh (un) là dãy tăng và bị chặn trên.
Ta có:0Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
un+1+(1-un) ≥ 2. un +1. ( 1 − un )   ≥ 2.

1
= 1 ⇒ un +1 >  un ; n ∈ N*
4

Vậy (un) là dãy tăng và bị chặn trên thì dãy (un) có giới hạn.
đặt lim
n→∞ un=a, a>0. Ta có:

un+1+(1-un) ≥

1
1
1
1
1

⇒ lim      un +1 + ( 1 − un )  ≥ ⇔ a ( 1 − a ) ≥ ⇔  a − ÷ ≤ 0 ⇒ a =
n
→∞
4
4
2
2
4

19


1
vậy lim
n→∞ un=

2
1

2

Bài 5: Cho dãy (un) xác định bởi un+1=  un + ÷ và u1>0

2
u


n



a, Chứng minh rằng un ≥ 2 với mọi n≥2.
b, Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số:
1

2

a. Ta có u1>0. un+1=  un + ÷ ⇒ un>0,∀n∈N*
2
u


n



Áp dụng bất đẳng thức cosi:
1

2

2

un+1=  un + ÷ ≥ un . = 2; ∀n ≥ 1 , n∈N*
2
un 
un  
Suy ra un> 2, ∀n ≥ 2, n ∈ N
b. Ta có un> 2, ∀n ≥ 2, n ∈ N nên (un) là dãy bị chặn dưới.
1
2
1
Xét un+1- un =  un + ÷- un =
2
un 
un

 un 2 
*
1 −
÷ < 0; ∀n ≥ 2, n ∈ N nên un+12



un = a, a ≥ 2 ta có:
đặt lim
n →∞
1

2

1

2

lim  un + ÷ ⇔ a =  a + ÷ ⇔ a2=2 ⇔ a= 2
un+1=  un + ÷ ⇒ lim
n→∞ un+1= n→∞
2
un 
2
un 
2
a
1

2

un = 2
hoặc a= - 2 vậy lim
n →∞

Bài 6: Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un=cosn, n∈ N*. Chứng minh
dãy khơng có giới hạn.
Hướng dẫn:
lim
⇒ lim  cos ( n + 2 ) − cos n  =0
⇒ lim
Giả sử lim
n→∞ un= n→∞ cosn =a
n→∞ cos (n+2)=a

n →∞
⇔ −2 lim sin(n+1)sin1=0 ⇒ lim sin(n+1)=0 ⇒ lim sinn=0
n→∞
n→∞
n→∞

Mặt khác: sin(n+1)=sinn.cos1+cosn.sin1 ⇒ lim
n→∞ cosn=0
20


2
2
Suy ra lim
n→∞ (cos n+sin n)=0, vô lý

Vậy dãy số (un) với un=cosn khơng có giới hạn.
Bài 7: Chứng minh các dãy sau bị chặn (hội tụ).
a. an=1+

1 1
1
+ 2 + .......... + 2 ; n ∈ N
2
2 3
n

b. bn=1+

1 1

1
+ 3 + .......... + n ; n ∈ N
2
2 3
n

Hướng dẫn:
a. Ta thấy. dãy an=1+

1 1
1
+ 2 + .......... + 2 ; n ∈ N là dãy tăng, ta cần chứng minh dãy
2
2 3
n

(an ) bị chặn.
1

1

1

1

1

1

1

1+ 22 + 32 + .......... + n 2 < 1 + 1.2 + 2.3 + .... + ( n − 1) n = 2 − 2 < 2
Vậy dãy hội tụ.
b. Dãy bn=1+

1 1
1
+ 3 + .......... + n ; n ∈ N là dãy tăng, ta cần chứng minh dãy b n bị
2
2 3
n

chặn.
Thật vậy: bn=1+

1 1
1
1 1
1
+ 3 + .......... + n ≤ 1+ 2 + 2 + .......... + 2 <2
2
2 3
n
2 3
n

Vậy dãy bị chặn nên hội tụ.
II. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới
hạn. Biểu thị một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số.
1. Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vơ hạn và có cơng bội là q,

với |q|<1.
+ Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un):
u1

S=u1+u2+…+un+…= 1 − q
+ Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10.
21


X=N,a1a2a3…an..=N+

a
a
a1
a
+ 2 2 + 3 3 + .... + n n + ...
10
10 10
10

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Viết số thập phân m=0,030303…(chu kỳ 0,3) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải:
3
3
3
3
3
1 100
+

+ ... +
= 3 + 100 = 3 +
= 3+
=
Ta có: m = 3 +
n
1
100 10000
100
99
33
33
1−
100

Bài 2: Tính tổng s=2- 2 + 1 −
Giải: xét dãy 2,- 2 ,1,2

=

Vậy s= 1 + 1

1 1
+ − ...
2 2

1
− 2
1
1

=−
;| q |=
<1
,…là dãy cấp số nhân q=
2
2
( 2)  
2
2

2 2
= 4−2 2
2 +1

2

3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Hãy viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số:
a=34,1212….(chu kì 12)
Đáp số: a=

1134
33

Bài 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
1 1
1
+ ... + n−1 + ...
4 16
4

a. s=1 + +

2 +1
1
1
+
+
+ .... s t
2 −1 2 − 2
2

b. s=

Hướng dẫn:
1
4

a. q= ; s =

4
3

b.q=

2− 2
;s = 4+3 2
2

Bài 3. Tìm cấp số nhân lùi vơ hạn. biết tổng S=6. Tính 2 số hạng đầu u1+u2=4.

1
2
22


Hướng dẫn:
u

s= 1 −1q = 6 ⇔ u1 = 6 ( 1 − q ) (1)
1
1
1
u1 + u1q = 4. ⇔ u1 ( 1 + q ) = 4. (2) kết hợp (1) và (2) ⇒ q = ±
2
2
2

Bài 4:
a. Cho 0<α<

π
. Tính tổng s=1-tanα+tan2α-tan3α+…
4

b. Viết số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ:
a=0,272727……..

b=0,99999999………
π

2

b. Cho dãy (bn)=sin a=sin2a+sin3a+….+sinna với a≠ + kπ . Tìm giới hạn dãy.
Hướng dẫn:
a. S=

1
1 + tan α

1
1
3
b. a=2. 101 + 7. 101 =
1− 2
1 − 2 11
10
10

c. lim (bn)=

IV.

9
1
.
=1
b= 10 1 − 1
10

sin α

1 − sin α

Kết quả sau khi thực hiện

Sau khi áp dụng “Sáng kiến kinh nghiệm” trên vào giảng dạy, tôi đã tiến
hành kiểm tra với 10 học sinh ở lớp 11A1.1 trường THPT Yên lạc 2 và thu được kết
quả như sau:
Điểm lần 1 là điểm kiểm tra của học sinh sau khi đã học xong chương IV và
chưa được cung cấp phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn dãy số.
Điểm lần 2 là điểm kiểm tra của học sinh đã được cung cấp thêm phương
pháp giải bài tốn tìm giới hạn dãy số.
23