ÔN tập KIẾN THỨC cơ bản TOÁN 9

/>
TÀI LIỆU ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 9
Chun đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết)
1. Một số kỹ năng cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
2
1) ( 2 + 1)

2
7) (2 2 + 2)

2
2) ( 2 − 1)

8) (2 2 − 2)
9) 2 2 + 1
10) 2 2 − 1

2
3) ( 3 − 2)
2
4) ( 3 − 2)

2

11) ( 2 + 1)( 2 + 1)
12) 2 2 − 8

2
5) ( 3 + 2)

6) ( 3 − 2)
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
8 + 2 15 ;
12 − 140 ; 14 + 6 5
10 − 2 21 ; 5 + 24 ;
8 − 28 ;
28 + 6 3 ;
9+4 2;
17 + 18 2 ; 51 + 10 2
Bài 3: Phân tích thành nhân tử
1) 1 + 3 + 5 + 15 ; 2) 10 + 14 + 15 + 21 ;
3) 35 + 14 − 15 − 6
2

4) 3 + 18 + 3 + 8 ;

2
5) 36x − 5 ;

8) 11 + 9x (x < 0)

;

6) 25 – 3x2;

9) 31 + 7x (x < 0);

7) x – 4 (x > 0)
10) x y + y x

Bài 4: Tính: A = 21 + 6 6 + 21 − 6 6
2
2
HD: Ta có: 6 6 = 2. 3.3 2 và 21 = ( 3) + (3 2) . Từ đó suy ra: A = 6 2
Bài 5: Tìm giá trị của x để

1
2) x + 2x + 5 có giá trị lớn nhất
x 2 − 2x + 1
2
4) x + 4x + 5 có giá trị nhỏ nhất
2

2

1) x − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất
2x 2 + 5
2
3) 2x + 1 có giá trị lớn nhất

Bài 6: Tìm các giá trị của x ∈ Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
6
14
1) A = x − 1 ; 2) B = 2x + 3

Bài 7: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1)
5x − 2 1 − 2x
>
12 ;

3) 4

;

x+5
3) C = x + 2 ;

;

2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
11 − 3x 5x + 2
<
15
4) 10

2. Bài tập tổng hợp
x
1 
 x +1 x −1  2
A=
−
−
+
÷:  2
÷
 x −1 x +1  x −1 x −1 x +1
Bài 8: Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 + 8

c) Tìm giá trị của x khi A = 5
1

4x + 3
4) D = 2x − 6


HD: a) ĐK: x ≠ ±1:

4x
1 − x2 ;

A=

b) x = 3 + 8 = 1 + 2 . Khi đó: A = −2
A=

;

x +1
10
5
− 2
+
x+3 x +x−6 x−2

c) x1 = − 5 ;

x2 =

5
5

Bài 9: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2

; b)
C=

A=

2a − a 2
a+3

x +1
x−2

; c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1

a−2 a +2
4a 2 
−
+

2 ÷
a +2 a −2 4−a 

Bài 10: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C
b) Tìm các giá trị của a để C = 1
c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
a = 1

2
4a
a = − 3
C=
4 ; d) C > 0 ⇔
a + 3 ; c) C = 1 ⇔ 
HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)

⇔ a < −3

1  
1  x+2

C = x −3+
÷:  x − 1 −
÷:
x
−
1
x
−
1




 x
Bài 11: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi x = 6 + 20
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0;
C=

x−2
x+2;

b)
c) C = 5 − 2 ;
d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2}
 a a −1 a a +1 a + 2
A = 
−
÷:
a− a
a+ a ÷

 a−2
Bài 12: Cho biểu thức:

a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị ngun nào của a thì A có giá trị nguyên?

HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
A=

2(a − 2)
a+2 ;

b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
2

a ≠ 0

 a ≠ ±2
 a > −3


;C<0


/>x
2x − x
B=
−
x −1 x − x
Bài 13: Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi x = 3 + 8
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B = x − 1

b) x = 3 + 8 = ( 2 + 1) : B = 2 ;
c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1.
2

B=

a +3

−

3− a

2 a −6 2 a +6
Bài 14: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD:

a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
= 15

a +9
a − 9 ; b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9

B=

 1
1
+


Bài 15: Cho biểu thức A =  1 − x 1 + x

  1
1
−
÷: 
 1− x 1+ x

; c) B = 4 ⇔ a


1
÷+
 1− x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
A=

HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được

1
x (1 − x )

1
x = 7 − 4 3 = (2 + 3) 2 : A = − (3 3 − 5)
2
b)

2
 x −2
x + 2  1− x 
P = 
−
÷. 
÷
x −1
x + 2 x +1÷

 2 
Bài 16: Cho

c) min A = 4 khi

x=

1
4

1) Rút gọn P.
2) Chứng minh: Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa: x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả: P = x (1 − x )
2) Nếu 0 < x < 1 thì: 0 < x < 1 ⇔ P > 0.
2

1 
1
1

P = − x − ÷ ≤
4 
2
4 . Dấu "=" xảy ra ⇔
3)
B=

1

+

x=

1

x −1 − x
x −1 + x
Bài 17: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B

3

1
1
1
1
⇔x=
max P = ⇔ x =
2

4 . Vậy:
4
4

+

x3 − x
x −1


c) Tìm giá trị của x khi B = 4
d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > 1; b) B = x − 2 x − 1 ; c) B = 4 ⇔ x = 10; d) B nguyên x = m2 + 1 (m ∈ Z)
 1
1 
x +1
A=
+
÷:
x −1 x − 2 x +1
x− x
Bài 18: Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
b) So sánh A với 1
A=

HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:
x −1
x

b) Xét hiệu: A – 1 =
Cách 2: Dễ thấy: A =

1−

1
x

<1

−1 =
1
x

x −1− x
x

1+ x
x ( x − 1)

=−

1
x

<0

.

( x − 1) 2
x +1

=

x −1
x

. Vậy: A < 1

>0

vì:
Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết)
Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2;1).
ĐS: a = 3 và b = −5
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5).
ĐS: y = −2x + 7.
Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y =
4x + 3.
ĐS: y = 4x + 12
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt
trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 2.
ĐS: y = −x + 2.
Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2; 1) và C(1; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a; b) = (3; 6).
b) (a; b) = (−2; 5).

c) (a; b) (3; 0)
2
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x và 2 đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d 2): 3x +
2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)
c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P).
m=−

3
2

HD: a) M(3; 1); b)
c) (d1) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m2 = 16 ⇔
m = 4
 m = −4


Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt
nhau
Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d1): 5x + 11y = 8; (d2): 10x − 7y = 74; (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
4


/>
b) (d1): 3x + 2y = 13; (d2): 2x + 3y = 7 ; (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0
b) m = 4,8
Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:

a) A(1; 1) và B(5; 4)
; b) A(−2; 2) và B(3; 5)
2
2
HD: a) AB = (5 − 1) + (4 − 1) = 5 ;

b) AB = (3 + 2) + (5 − 2) ≈ 5,83
Bài tập về nhà
Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2; 15) và B(3; −5).
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x
và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung.
Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ
là 2005. Hãy viết phương trình đường thẳng (d).
Bài 13: Cho hàm số: y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D):
a) Đi qua điểm A (1; 2003);
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2
Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m
để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
2

2

Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết)
1. Hệ phương trình bậc nhất
Bài 1: Giải các hệ phương trình:

 x + 2y = 3

1) 2x − y = 1

3x − 4y = 2

2) 2x + 3y = 7

 x − 7y = −2

3) 2x + y = 11

2x + 3y = 10

4) 3x − 2y = 2

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1 1 4
x + y = 5


1 − 1 = 1
a)  x y 5

1
5
15 7
 1
x − y =9
x + y + x − y = 8





 4 + 9 = 35
 1 − 1 =−3
8 ; d)
; b)  x y
; c)  x + y x − y
10 

 1 1
(x ; y) =  ; ÷
(x ; y) =  2 ;
÷
3  ; b)

 2 3 ;
HD: a) ĐS:
2
 7
(x ; y) = 
; ÷
 66 11 
c) (x; y) = (5; 3);d)

5
 4
 2x − 3y + 3x + y = 2



5
 3 −
= 21
 3x + y 2x − 3y

 mx − y = 1

x y
 2 − 3 = 334

Bài 3: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vơ nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x; y) = (2002; 2001).
5

b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔

m=

3
2


 x + my = 1

Bài 4: Cho hệ phương trình: mx − 3my = 2m + 3

a) Giải hệ phương trình với m = –3

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vơ số nghiệm
b) m ≠ 0 và m ≠ –3
mx − y = 1

Bài 5: Cho hệ p/trình: − x + y = m Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vơ số

nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ ⇒ đpcm
 −2mx + y = 5

Bài 6: Cho hệ phương trình: mx + 3y = 1

a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) (x; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0
2. Phương trình bậc hai
Bài 7: Giải các phương trình:
1) x2 – 4x + 3 = 0; 2) x2 + 6x + 5 = 0; 3) 3x2 – 4x + 1 = 0 ; 4) x2 – 5x + 6 = 0
5) ( 2 − 1)x + x − 2 = 0 ; 6) 2x − ( 2 + 1)x + 1 = 0 ;
7) x + ( 2 − 1)x − 2 = 0
8) x4 – 11x2 + 10 = 0;
9) 3x4 – 11x2 + 8 = 0;
10) 9x4 – 22x2 + 13 = 0
11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0;
12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
2

2

2x
x2 − x + 8
= 2
13) x + 1 x − 3x − 4 ;

2

1
1
1
+
=
14) x − 4 x + 4 3

15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – 1 = 0 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
2
Bài 8: Cho phương trình x + 3x − 5 = 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x1,
x2. Khơng giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
1
1
+
a) x1 x 2 ;

1
1
+ 2
2
c) x1 x 2 ;

b) x + x ;

d) x1 + x 2
HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có
một nghiệm x1 = 2. Tìm nghiệm x2.
HD: m = 2, x2 = 2
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong
hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
2
1

2
2

m>−

1
2

3

3

HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔
b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0

6


/>
b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3
Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng:
A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x = 2 ± 2 7
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
(2m − 5) 2 +

15 15
5
≥
m=
4
4 . Dấu "=" xảy ra ⇔
2

c) P =
Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để ph/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2

= 20
HD: a) Với m = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 5
b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3
b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4. ĐS: k ∈ {1; 2; 3}
Bài 16: Cho phương trình: x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2.
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5;
b) ĐS: m = − 20
2
Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x + 2mx + m − 2 = 0. (*)
a) Giải phương trình (*) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
x=

1
2;

m>

2
, m ≠1
3
.

HD: a) Khi m = 1:

b) ĐS:
2
Bài 18: Cho phương trình x − 2mx + (m − 1)3 = 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
HD: a) Với m = −1 ⇒ x1 = 2, x2 = −4
b) m = 0 hoặc m = 3
Chun đề 4: Giải bài tốn bằng cách lập ph/trình và hệ phương trình (4 tiết)
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B,
người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng
đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
7


HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0).
x
x 1
5
+
+ =5
6 . Giải ra ta được: x = 75 (km)
Ta có phương trình: 30 25 3

Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với
vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canơ II dừng lại 40
phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết
rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
x

x 2
−
=
Ta có phương trình: 20 24 3 . Giải ra ta được: x = 80 (km)

Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu
ơtơ đi với vận tốc đó, khi cịn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người
lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ơtơ đến tỉnh B sớm
hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
x
x

x

−1
 − 60 ÷: 40 +  + 60 ÷: 50 =
40

2

Ta có phương trình:  2
.

Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút.
Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là
4km/h.
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
80

80
1
4
+
=8
x1 = −
5 (loại), x2 = 20 (km)
3 . Giải ra ta được:
Ta có phương trình: x + 4 x − 4

Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xi dịng sông. Sau
khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính
vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
24
16
+
=2
Ta có phương trình: x + 4 x − 4
. Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)

Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30
phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của
mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
50
50
=
+ (1,5 + 1)
x

2,5x
Ta có phương trình:
. Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)

Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử.
Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải
điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe
nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động
180 180
−
= 15
HD: Gọi số xe lớn là x (x ∈ Z+). Ta có PT: x x + 2
⇒ x1 = 4; x2 = –6 (loại)

8


/>
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hơm làm việc, có hai xe được điều
đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
(biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
100 100 5
−
=
Ta có phương trình: x − 2 x 2 . Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10

(thỏa mãn)
Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt đi 4 hình vng bằng
nhau ở 4 góc của một miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của

các hình vng đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vng đó bằng
2
5 diện tích đáy hộp?

HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vng bị cắt ( 0 < x < 9)
4x 2 =

2
(24 − 2x)(18 − 2x)
5
. Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2

Ta có phương trình:
= 4 (thỏa)
Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ
hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ
tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x, y ∈ Z)
6(x + y) = 10x + y
x = 5
⇔

 y = 4 . Vậy số phải tìm là 54
Ta có hệ:  xy + 25 = 10y + x

Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi
2
thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy 5 bể. Hỏi nếu mỗi

vịi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể.

HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
 80 80
 x + y =1
 x = 120

⇔

 y = 240
10 + 12 = 2
Ta có hệ:  x y 15

Bài 12: Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ
nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi
người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hồn thành công việc.
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong cơng việc (x >
0, y > 16)
16 16
 x + y =1
 x = 24

⇔

 y = 48
3 + 6 = 1
Ta có hệ:  x y 4
(thỏa mãn điều kiện đầu bài)

Bài 13: Một phịng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi
dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1
9

thì trong phịng có 400 ghế. Hỏi trong phịng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy
có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x ∈ Z, x > 0)
 360 
(x + 1) 
+ 1÷ = 400
 x

Ta có phương trình:
. Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24

ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.
Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy,
trong thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao
của mỗi tổ theo kế hoạch.
HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y ∈ N*)
Ta có hệ phương trình:
 x + y = 600
 x = 200
⇔

0,18x + 0, 21y = 120
 y = 400

Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm
14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính
vận tốc dự định và thời gian dự định

HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0). Ta có hệ:
(x + 1)(y − 4) = xy
x = 6
⇔

(x − 2)(y + 14) = xy
 y = 28

Chun đề 5: Một số bài tốn hình học tổng hợp (6 tiết)
Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường trịn
µ
bàng tiếp A
, O là trung điểm của IK
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trịn (O)
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
A
0
·
·
HD: a) KBI + KCI = 180 (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O)
0
µ
·
µ
$
b) C1 + OCI = C 2 + I1 = 90 ⇒ OC ⊥ AC ⇒ AC là tiếp tuyến của (O)

c) AH = AC − HC = 20 − 12 = 16 (cm).
2

OH =

10

2

2

2

CH
12
=
=9
AH
16
(cm)

2

2

B

I
1

H
O

K

2

1

C


/>2
2
2
2
Vậy: OC = OH + HC = 9 + 12 = 225 = 15 (cm)

Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vng
góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
A
·
B
b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm
H
E
H chuyển động trên đường nào?
0
·

·
HD: a) BHD = BCD = 90 ⇒ BHCD nội tiếp
K
·

·

·

b) DHC = DBC = 45 ⇒ CHK = 45
c) ∆KCH ∆KDC (g.g) ⇒ KC.KD = KH.KB
0

0

D

C

0
·
»
d) BHD = 90 ⇒ Khi E chuyển động trên đoạn BC thì H chuyển động trên BC

Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai N. Đường thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường
tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định
0
·
·
C
HD: a) OMP = ONP = 90 ⇒ ONMP nội tiếp
b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC
1
Suy ra: CMPO là hình bình hành
M
O
c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra:
CM CO
=
CD CN ⇒ CM.CN = CO.CD = Const
·
ODP
= 900

A

B

1
1

N

1

d) ∆ONP = ∆ODP (c.g.c) ⇒
.
E
P
D
F
Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định.
Vì M ∈ [AB] nên P ∈ [EF]
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt
ở E và F.
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? tại sao?
c) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB). Gọi K ≡ MH ∩ EB. So sánh MK với KH
·

·

HD: a) EOA + OME = 180 ⇒ AEMO nội tiếp
b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vng.
11

0


c) ∆EMK
Mặt khác: ∆ABE

EM EF

EM EF
=
=
x
∆EFB: MK BF do MF = BF ⇒ MK MF
EA AB
EF AB
=
=
∆HBK: HK HB . Vì: MF HB (Talet)

EM EA
=
⇒ MK KH . Vì: EM = AE ⇒ MK = KH.

y
F
M

E

Q

K
P

A

H

B

O

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI =

2
AO
3
. Kẻ dây MN ⊥ AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C
M

không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC
c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2
0
·
·
HD: a) Dễ thấy BIE + ECB = 180 ⇒ IECB nội tiếp.
¼

»

·

C

O'

E
A

I

B

O

·

b) Ta có AM = AN ⇒ AME = ABM
⇒ ∆AME ∆ACM (g.g)

N

⇒ AM2 = AE.AC (1)
c) Ta có: MI2 = AI.IB (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago:
AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB
µ

Bài 6: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn, A = 45 . Vẽ các đường cao BD và CE của
∆ABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE.
B
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) Chứng minh HD = DC
E
c) Tính tỉ số DE: BC
x
H

d) Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC.
O
CM: OA ⊥ DE.
A
0

D

0
·
·
HD: a) Ta có: AEH + ADH = 180 ⇒ đpcm

C

0
0
µ
·
b) ∆v.AEC có A = 45 ⇒ ACD = 45 ⇒∆DCH vuông cân
tại D ⇒ HD = HC.

c) ∆ADE

DE AE
AE
2
=
=
=

∆ABC (g.g) ⇒ BC AC AE. 2 2 .
·

·

d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn (O), ta có BAx = BCA
·
·
·
·
·
= AED
mà BCA = AED (cùng bù với DEB
) ⇒ BAx
⇒ DE // Ax ⇒ OA ⊥ DE.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường trịn đường kính AB. Hạ
BN và DM cùng vng góc với đường chéo AC. Chứng minh:
12


/>
a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn
·
·
b) Khi điểm D di động trên đường trịn thì BMD + BCD không đổi
c) DB.DC = DN.AC
HD: a) CBMD nội tiếp trong đường trịn đường kính CD
b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là
D
0

·BMD + BCD
·
N
= 180
tứ giác nội tiếp ⇒
M
0
·
c) Ta có: ANB = 90 (gt) ⇒ N ∈ (O)

·
·
BDN
= BAN
»
·
·
BN
BAN
= ACD

A

B

O

Mặt khác:
(Cùng chắn
) và

(So le trong)
·
·
Suy ra: BDN = ACD .
·
·
·
»
Lại có: DAC = DAN = DBN (Cùng chắn DN )
Vậy: ΔACD ΔBDN (g.g) ⇒ đpcm

C

Bài 8: Cho ∆ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường trịn đường
kính HC cắt AC tại F
A
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
E
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
2 1
1
F
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
1
2
d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của
O
B
H O2 C

hai nửa đường tròn
HD: a) AEHF có ba góc vng ⇒ AEHF là hình chữ nhật
1

µ

µ

$

µ

µ

µ

b) B = E1 = F1 ⇒ BEFC nội tiếp
c) ∆AEF ∆ACB (g.g) ⇒ AE.AB = AF.AC
µ

d) E1 + E 2 = H1 + H 2 = 90 ⇒ EF là tiếp tuyến của (O1).
Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2)
0

Bài 9. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ
BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là
giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE
A
a) Chứng minh BC // DE
b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp

O
c) Tứ giác BCQP là hình gì?
HD: a) BC và DE cùng vng góc với OD ⇒ BC // DE
B
C
0
·
·
b) ODE + OCE = 180 ⇒ CODE nội tiếp

·
·
»
»
Ta có: PAQ = PCQ (Do BD = CD )⇒ APQC nội tiếp

c) BCQP là hình thang. Vì:

P

·
·
Ta có: QPC = CAQ (Cùng chắn cung QC của (APQC)

·
·
·
·
»
Lại có: QAC = QAP và QAP = BCP (cùng chắn BD

) ⇒ BC // PQ

13

E

D
Q


Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của
các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. gọi P và
Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
a) ΔABD ΔCBA
·

·

A

b) BQD = APB
c) Tứ giác APBQ nội tiếp
·
·
¼ 'B
HD: a) Ta có: DAB = ACB (Cùng chắn An
)
·ADB = BAC
·
¼

Lại có:
(Cùng chắn AnB
)
Suy ra: ΔABD ΔCBA
b) ΔABD

O

n'

n

Q

P O'

B

D

C

AD BD DQ
=
=
ΔCBA ⇒ CA BA AP (Do P, Q là trung điểm của AC, AD)

·
·
·

·
Và: BDQ = BAP . Suy ra: ΔBQD ΔAPB ⇒ BQD = APB
·

·

c) Do BQD = APB suy ra: APBQ nội tiếp
Bài 11: Cho ∆ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B.
Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE
lần lượt cắt đường tròn tại cá điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) ∆ABC ∆EBD
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
c) AC // FG
d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui
µ
HD: a) ∆ABC ∆EBD (Hai tam giác vng có B1 chung)
b) Học sinh tự chứng minh

S

F

A
1

2

D

G

1

1

E

B

µ
$
µ
c) C1 = F1 ( = E1 ) ⇒ AC // FG

1

C

d) Gọi S ≡ BF ∩ CA ⇒ ∆BSC có D là trực tâm.
⇒ S, D, E thẳng hàng rồi ⇒ BF, CA, ED đồng qui tại S.
Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm, CB = 40cm. Vẽ về
một phía AB các nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm
theo thứ tự là O, I, K. Đường vng góc với AB tại C cắt nửa đường trịn (O) ở E.
Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K)
a) Chứng minh rằng EC = MN
E
b) MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường trịn (I), (K)
N
c) Tính độ dài MN
S

3
2 1
d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn M 2
1
3
2
HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật ⇒ EC = MN
4
1
µ
µ
µ
µ
b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: M1 + M 2 = C1 + C 2 = 90 ⇒ MN ⊥ MI A
0

I

C

K

0
µ
µ
µ
µ
Tương tự: N1 + N 2 = C3 + C 4 = 90 ⇒ MN ⊥ NK ⇒ MN là tiếp tuyến chung của 2
đường tròn

c) MN = EC = AC.BC = 10.40 = 20(cm) ; d)
14

S=


1πAB

2 4

2

πAC
−
4

2

πBC
−
4

2


2
÷ = 100π(cm )


1

B


/>
Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H
bất kì (H ≠ O, B). Trên đường thẳng vng góc với OB tại H, lấy một điểm M ở
ngồi đường trịn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao
điểm của AD và BC
a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp
b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I
c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh
rằng KCOH nội tiếp
0
·
·
HD: a) MCI = MDI = 90 ⇒ MCID nội tiếp
b) Chứng minh I là trực tâm của ∆MAB rồi suy ra đường cao
M
MH đi qua I
c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh:
K
µC1 + C
µ 4 = 900 ⇒ C
µ 2 +C
µ 3 = 900
C
, từ đó suy ra KCOH nội tiếp.
1

2

4

3

A

I

D

B

O H

Bài 14: Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng ở miền ngồi
tam giác các hình vng ABHK và ACDE
a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại F, chứng minh rằng
∆FBC vuông cân
·

c) Cho biết ABC > 45 . Gọi M là giao điểm của BP và ED,
chứng minh rằng năm điểm B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn
d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC)
0
·
·
HD: a) Từ gt chứng minh: HAB = DAC = 45 rồi chứng

0
·
·
·
Minh: HAB + BAC + DAC = 180 ⇒ H, A, D thẳng hàng
K
0

0 ·
0
·
b) Chứng minh FBC = 45 , BFC = 90 . Suy ra
∆BFC vuông cân

·

·

·

c) Chứng minh BKC = BEC = BMC = 45 , từ đó
suy ra B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn.
Chú ý đến FMDC là tứ giác nội tiếp
0

A

E

M

D

F

H
B

C

TỐN
CĨ SKKN CỦA TẤT CẢ CÁC MƠN CẤP 1-2
40 ĐỀ ĐÁP ÁN VÀO 6 TOÁN HÀ NỘI=60k; 40 ĐỀ ĐÁP ÁN ƠN VÀO 6 MƠN TỐN=60k
33 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ĐẦU NĂM TOÁN 6,7,8,9=50k/1 khối; 180k/4 khối
15 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT TOÁN 6,7,8,9 LẦN 1,2,3,4=30k/1 lần/1 khối; 100k/4 khối/1 lần
20 ĐỀ ĐÁP ÁN THI THỬ TOÁN 9 LẦN 1,2,3=40k/1 lần; 25 ĐỀ ĐA THI THỬ TOÁN 9 HÀ
NỘI=50k
30 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ I (II) TOÁN 6,7,8,9=40k/1 khối/1 kỳ; 150k/4 khối/1 kỳ
15 ĐỀ ĐÁP ÁN HỌC KỲ I (II) TOÁN 6,7,8,9-HÀ NỘI=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1 kỳ
(Là đề thi học kỳ của các quận, huyện)
20 ĐỀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I (II) TOÁN 6,7,8,9=30k/1 khối/1 kỳ; 100k/4 khối/1
kỳ
15


180 ĐỀ ĐÁP ÁN TOÁN VÀO 10 CÁC TỈNH 2017-2020=150k
33 ĐỀ ĐÁP ÁN CHUYÊN TOÁN VÀO 10 CÁC TỈNH 2019-2020=40k
GIÁO ÁN DẠY THÊM TỐN 6,7,8,9 (40 buổi)=80k/1 khối; 300k/4 khối
Ơn hè Tốn 5 lên 6=20k; Ơn hè Tốn 6 lên 7=20k; Ơn hè Tốn 7 lên 8=20k; Ơn hè Tốn 8 lên
9=50k
Chuyên đề học sinh giỏi Toán 6,7,8,9=100k/1 khối; 350k/4 khối

(Các chuyên đề được tách từ các đề thi HSG cấp huyện trở lên)
25 ĐỀ ĐÁP ÁN KHẢO SÁT GIÁO VIÊN MƠN TỐN=50k
Cách thanh tốn: Thanh tốn qua tài khoản ngân hàng. Nội dung chuyển khoản: tailieu + < số điện
thoại >
Số T/K VietinBank: 101867967584; Chủ T/K: Nguyễn Thiên Hương
Cách nhận tài liệu: Tài liệu sẽ được gửi vào email của bạn hoặc qua Zalo 0946095198

16