Kien thuc co ban toan 9

LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009
A/ Kiến thức cần để thực hiện chủ đề:
1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
-/ (a+b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
-/ (a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
-/ a
2
– b
2
= (a-b)(a+b)
-/ (a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
-/ (a-b)

3
= a
3
-3a
2
b + 3ab
2
- b
3
-/ a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab+b
2
)
-/ a
3
-b
3
= (a-b)(a
2
+ab+b
2
)
2, Các hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng:
-/ a
5

+ b
5
= (a+b)(a
4
- a
3
b +a
2
b
2
– ab
3
+b
4
)
-/ a
7
+ b
7
= (a+b)(a
6
- a
5
b +a
4
b
2
– a
3
b

3
+a
2
b
4
– ab
5
+b
6
)
-/ a
2007
+ b
2007
= (a+b)(a
2006
- a
2005
b +a
2004
b
2
– … +a
2
b
2004
– ab
2005
+b
2006

)
-/ a
4
– b
4
= (a-b)(a
3
+ a
2
b +ab
2
+b
3
)
-/ a
5
– b
5
= (a-b)(a
4
+ a
3
b +a
2
b
2
+ ab
3
+b
4

)
-/ (a+b+c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2ac + 2bc
-/ (a-b+c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab + 2ac - 2bc
-/ (a-b-c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2ac + 2bc
3, Kiến thức về căn bậc bậc hai :
-/ Điều kiện để

A
có nghĩa ( hay xác định ) khi A
≥
0
-/ Với mọi a
∈
R thì
2
a a=
-/ Với mọi a > b > 0
⇔

a
>
b
-/ Với mọi a
≥
0, b
≥
0 ,
ab a b=
-/ Với mọi a
≥
0, b > 0 ,
a:b :a b=
-/ Với mọi b
≥
0 ,
2
a b a b=

-/ Với mọi ab
≥
0, b
≠
0 ,
a:b :ab b=
-/ Với mọi a
≥
0, b > 0 ,
a : :b ab b=
-/ Với mọi a
2

≠
b, b
≥
0 ,
2
1
a+ b
a b
a b
−
=
−
-/ Với mọi a
≠
b
2
, a

≥
0 ,
2
1
a-b
a b
a b
+
=
−
-/ Với mọi a
≠
b, a
≥
0, b
≥
0 ,
1
a + b
a b
a b
−
=
−
-/ Với mọi a
≠
b, a
≥
0, b
≥

0 ,
1
a- b
a b
a b
+
=
−
B/ Bài tập:
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)−
3)
2
( 3 2)−
4)
2
( 3 2)−
5)
2
( 3 2)+
6)
2
( 3 2)−
7)
2

(2 2 2)+
8)
2
(2 2 2)−
9)
2 2 1+
10)
2 2 1−
11)
( 2 1)( 2 1)
+ +
12)
2 2 8−
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21−
3)
5 24+
4)
12 140−
5)
14 6 5+
6)
8 28−
7)
9 4 2+
8)
28 6 3+

9)
17 18 2+
10)
51 10 2+
Trang 1
CHỦ ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC
dạng 1: Biến đổi biểu thức đại số
Bài 3: Phân tích thành nhân tử
1)
1 3 5 15+ + +

3)
35 14 15 6+ − −
4)
3 18 3 8+ + +
5)
2
36x 5−
6) 25 – 3x
2
7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0)
9) 31 + 7x (x < 0)
10)
x y y x+
Bài 4: Tính:
A 21 6 6 21 6 6= + + −
HD: Ta có:
6 6 2. 3.3 2=
và

2 2
21 ( 3) (3 2)= +
. Từ đó suy ra:
A 6 2=
Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1)
2 5 125 80 605− − +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+ −
;
3)
15 216 33 12 6− + −
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +
−
− +
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3
− +
+

+ −
;
6)
16 1 4
2 3 6
3 27 75
− −
;
7)
4 3
2 27 6 75
3 5
− +
;
8)
( )
3 5. 3 5
10 2
− +
+
9)
8 3 2 25 12 4 192− +
;
10)
( )
2 3 5 2− +
;
11)
3 5 3 5− + +
;

12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +
;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − −
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ + − −
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −
+
+ + − −
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−
;
17)
14 8 3 24 12 3− − −

;
18)
4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+ − −
;
19)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+ − −
20)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
− + + +
.
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2

2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20

P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
Bài tập:
1/
1
2009 2008
+
+
1
2008 2007
+
+ . . . +

1
3 2
+
+
1
2 1
+
2/
2
2
9 2
5
x
x
− −
−
(
x

≤
3 , x
≠
+
5
, -
5
3/
11 4 12 12 19 2 48 3
− − − +
4/

8 3 3 2 17 2 72 2
− + − +
5/
1 1 1 3
:
3 3 1
x x
x x x x
 
+ +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
( x>0,x
≠
1, , x
≠
9)
6/
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x

x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
7/
10 4 15 2 38 4 18 2
+ − − −
8/
3 5. 3 6 5 . 4 13 6 5 . 4 13 6 5
+ + + + + + − + +
9/
7 2 11 2 . 10 4 1 2a a
− + + + + −
Với a = 22-12
2
10/
2 1 1 4
: 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
   
− −
 ÷  ÷

− − + +
   
11/
1 1 1 1
4 :
1
1 1 1
x x
x
x
x x x
 
+ −
 
− + −
 ÷
 ÷
 ÷
−
− + −
 
 
12/
6
1,5 6
2 3
− +
13/
5 3 29 12 5
− − −

14/
4 7 4 7 2
+ − − −
15/
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2
x x
x x
+ −
+
+ + − −
Với x =
3
4
16/
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 . 3 2 . 19 8 3 3 2
+ − − +
17/
( )
2
2
4 8 32 2
: 1
2 4 2 8 2
x x
x
x x x x x x
 
+

+
 
 ÷
+ − −
 ÷
 ÷
+ + − − +
 
 ÷
 
(Với x = 4- 2
3
)
18/
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6
9 3 11 2
+ − −
−
19/
4
3 5 2 2 5
+ + +
20/
2
25 20 6 24a a
− +
21/ Tính:
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2

x x
x x
+ −
+
+ + − −
với
3
4
x =
(Đề thi HSG Huyện n/học 2007-2008)
22/ Tính:
5 3 29 12 5− − −
(Đề thi HSG Huyện n/học 2006-2007)
23/ Tính:
4 7 4 7 2+ − − −
(Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
24/ Tính:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 3 2 19 8 3 3 2+ − − +
(Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
25/ Tính:
( )
2
2
4 8 32 2
: 1
2 4 2 8 2
x x
x
x x x x x x

 
+
+
 
 ÷
+ − −
 ÷
 ÷
+ + − − +
 
 ÷
 
Với x = 4 - 2
3
(Đề thi HSG Huyện n/học 04-05)
26/ Tính:
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6
9 3 11 2
+ − −
−
(Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004)
27/ Tính:
4
3 5 2 2 5+ + +
(Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004)
28/ Tính:
2
25 20 6 24a a− +
Với a =

2 3
3 2
+
(Đề thi HSG Huyện n/học 2002-2003)
29/ Tính:
2
1 1
:
a
a a a a a a
+
+ + −
(0 < a
≠
1) với a =
1 2 6
3 2 2 3 5
−
− + +
(Đề thi HSG Tỉnh n/học 2006-2007)
30/ Tính:
1 1 2 1 2 1
:
1
1 1
x x x x x
x
x x x x
 
+ − + −

 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 
31/ Tính:
4 7 3 5 7 2 1 5 7 2 1 5 7+ + + + + + − + +
32/ Tính:
1 4 2 5 4 4 2a a+ + +
Với a = 17 - 12
2
PP:
cách 1:
- Tìm nhân tử chung
-Quy đồng phân số v à thu gọn
cách 2: - Dùng các hằng đẳng thức:
(a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
a
2
– b
2

= (a-b)(a+b)
(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a-b)
3
= a
3
-3a
2
b + 3ab
2
- b
3
a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab+b
2
)

a
3
-b
3
= (a-b)(a
2
+ab+b
2
)
- Tiến hành quy đồng phân số và thu gọn
dạng 2: rút gọn bằng cách quy đồng hoặc đặt nhân tử chung
Bi 1: Cho biu thc:
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2 x 1
+
= +
ữ
+

a) Tỡm iu kin ca x A cú ngha, rỳt gn A.
b) So sỏnh A vi 1
HD: a) iu kin: x > 0 v x 1. Ta cú:
2
1 x ( x 1) x 1
A .
x( x 1) x 1 x
+
= =
+

b) Xột hiu: A 1 =
x 1 x 1 x 1
1 0
x x x

= = <
. Vy: A < 1
Cỏch 2: D thy: A =
1
1 1
x
<
vỡ:
1
0
x
>
Bài 2: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 3: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +


A, Rút gọn biểu thức B; B,Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
A, Rút gọn biểu thức C; B,Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4

D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
; b)
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

;
c)
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
+ +
; d)
x 1 2 x 2
H =
x 2 1

Bài 6: Cho biểu thức
1 1 a 1
M = :
a a a 1 a 2 a 1
+

+
ữ
+

a, Rút gọn biểu thức M; b,So sánh M với 1.
Bài 7: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 8: Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x

+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.

Bài 10: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

.
Bi 8: Cho biu thc:
2
x 1 x 1 2 x 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
+

= +
ữ ữ
+ +

a) Rỳt gn biu thc A
b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi
x 3 8= +
c) Tỡm giỏ tr ca x khi A =
5
HD: a) K: x 1:
2
4x
A
1 x
=

;
b)
x 3 8 1 2= + = +
. Khi ú: A = 2 ; c)
1
x 5=
;
2
5
x
5
=
Bi 9: Cho biu thc:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6

+
= +
+
+
a) Tỡm iu kin ca x A xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc A
c) Tỡm giỏ tr ca x A > 0
HD: a) a 3, a 2 ; b)
x 1
A
x 2
+
=

; c) A > 0 x > 2 hoc x < 1
Bi 10: Cho biu thc
2 2
2
2a a a 2 a 2 4a
C
a 3 a 2 a 2
4 a

+
= +
ữ
+ +


a) Tỡm iu kin i vi a biu thc C xỏc nh. Rỳt gn biu thc C

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a C = 1
c) Khi no thỡ C cú giỏ tr dng? Cú giỏ tr õm?
HD: a) a 3, a 2; b)
2
4a
C
a 3
=
+
; c) C = 1
a 1
3
a
4
=



=

; d) C > 0
a 0
a 2
a 3

>

; C < 0 a < 3
Bi 11: Cho biu thc
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+

= +
ữ ữ


a) Tỡm iu kin i vi x biu thc C xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc C
c) Tớnh giỏ tr ca biu thc C khi
x 6 20= +
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x C cú giỏ tr nguyờn
HD: a) x 1, x 2, x 0; b)
x 2
C
x 2

=
+
; c)
C 5 2=
; d) x {1, 3, 4, 6, 2}
Bài 12: Cho biểu thức:
a a 1 a a 1 a 2

A :
a 2
a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2)
A
a 2
−
=
+
; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
Bài 13: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi
x 3 8= +
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1:
B x 1= −
b)
2
x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + =
;
c) B > 0 ⇔ x > 1; B < 0 ⇔ x < 1; B = 0 ⇔ x = 1 .
Bài 14: Cho biểu thức
a 3 3 a
B
2 a 6 2 a 6
+ −
= −
− +
a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
a 9
B
a 9
+
=
−
b) B > 1 ⇔ a > 9, B < 1 ⇔ 0 ≤ a < 9
c) B = 4 ⇔ a = 15

Bài 15: Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) min A = 4 khi
1
x
4
=

Bài 16: Cho
2
x 2 x 2 1 x
P .
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
1) Rút gọn P .
2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả:
P x(1 x)= −
2) Nếu 0 < x < 1 thì :
0 x 1< <
⇔ P > 0.
3)
2
1 1 1
P x
4 2 4

=
ữ

. Du "=" xy ra
1 1
x x
2 4
= =
. Vy:
1 1
max P x
4 4
= =

Bi 17: Cho biu thc
3
1 1 x x
B
x 1 x x 1 x x 1

= + +
+
a) Tỡm iu kin biu thc B xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc B
c) Tỡm giỏ tr ca x khi B = 4
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn dng ca x B cú giỏ tr nguyờn
HD: a) x > 1
b)
B x 2 x 1=

c) B = 4 x = 10
d) B nguyờn x = m
2
+ 1 (m Z)
BI TP
Bài 1: Xét biểuthức A =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và Rút gọn A
b) Với giá trị nguyên nào của x thì A < 1
c) Tìm giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên
Bài 2: Cho biểu thức : P =

+

+










xx
x
x
x
x
x
11
:
1

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x =
32
2
+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P
436
=
xxx
Bài 3: Cho A =
( )
2
1
.
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x

++
+



a) Rút gọn A
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 : Cho biểu thức :P=
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để P xác định
b . Rút gọn P
c, Tìm x sao cho P>1
Bài 5 : Cho biểu thức : C

9 3 1 1
:
9
3 3
x x x
x
x x x x

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để C xác định
b . Rút gọn C
c, Tìm x sao cho C<-1
Bài 6 : Cho biểu thức: B=
2 2 1
.
1
2 1
a a a
a
a a a

+ +

ữ

ữ

+ +

1 ,Tìm điềukiện của a để biểu thức B có nghĩa . 2, Chứng minh rằng
2
1
B
a
=

Bài 7: Xét biểuthức A =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3

65
92
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa và Rút gọn A
b) Với giá trị nguyên nào của x thì A < 1
c) Tìm giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên
Bài 8: Cho A =
( )
2
1
.
12
2
1
2
2
x
xx
x
x
x









++

+



a) Rút gọn A
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
Bài 9 : Cho biểu thức :P=
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để P xác định
b . Rút gọn P
c, Tìm x sao cho P>1
Bài 10: Cho biểu thức : C
9 3 1 1
:
9

3 3
x x x
x
x x x x

+ +
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để C xác định
b . Rút gọn C
c, Tìm x sao cho C<-1
Bài 11 : Cho biểu thức: B=
2 2 1
.
1
2 1
a a a
a
a a a

+ +

ữ
ữ

+ +

1 ,Tìm điềukiện của a để biểu thức B có nghĩa . 2, Chứng minh rằng
2
1
B
a
=

Bài 12:








+
+
+

+


+

=

6a5a
2a
a2
3a
a3
2a
:
2a
3a
-1 P
thứcbiểugọnRút9.a4;a0;aVới
Bài 13. Cho biểu thức:
ba0;ba;
ab
ba
aab
b
abb
a
M
>
+

+
+
=
a. Rút gọn M b. Tính giá trị của a và b để M = 1
Bài 14. Cho biểu thức:
1x0;x
xxxx1
x2
1x
1
:
1x
x
1A









+
+

+
+=
với
1/ Rút gọn A
2/ Tính giá trị của A khi
223x
+=
3/ Tìm giá trị của x để A < 1
Bài 15: Cho biểu thức :
1a0;a
a1
aa1
:a
a1
aa1
M

+
+








+


=
với
1/ Rút gọn biểu thức M 2/ Tìm ggiá trị của a để M = 0
Bài 16: Cho biểu thức :








++
+

+
=
1
2
:)
1
1
1
2
(
xx
x
xxx
xx
A
a) Rút gọn biểu thức . b,Tính giá trị của
A
khi
324
+=
x
Bài 17: Cho biểu thức : A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a

+ +

ữ
ữ

+

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Bài 18: Cho biểu thức : A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + + +
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
Bài 19: Cho biểu thức : M=
( ) ( )
( )
( )
2
2 1 1
2
2
1
x x x
x

x

+

+



1, Tìm điều kiện của x để M có nghĩa .
2, Rút gọn M.
3, Chứng minh : M
1
4

Bài 20: Cho biểu thức :A=
5
3 3
1 5
a a a a
a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

a, Tìm các giá trị của a để Acó nghĩa . b, rỳt gn biu th c
Bài 21: Cho
x3

1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P

+


+

+

=
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị của x để P<1.
c. Tìm
Zx

để
ZP

.
2. Rút gọn các biểu thức sau:
6342534284546c/C
.324324b/B
yx0;y0;x.
yx
xy2

yxy
y
xxy
x
a/A
+=
++=
>>



+
+
=
Với
Bài 22: RG biểu thức B =








+

+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
Bài 23: Cho biểu thức : P =








+

+










xx
x
x
x
x
x
11
:
1
a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P biết x =
32
2
+
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P
436
=
xxx
Bài 24: Chứng minh rằng : a)
a

a
aa
a
aa
=



















+
+
+
1
1
1.

1
1

( )
1,0 aa
b)
62951229512
=+
c)
( )( )
232.26.32
=+
d, Tính giá trị các biểu thức sau :
A =
1
1
1
1
+
+
+
ba
( với a =
734
1
+
và b =
734
1

)
B =
12
13
:
324
12

+

+

Bài 25: Cho biểu thức P =
( )( ) ( )
( ) ( )
31
324132
2
2
+

xx
xxx

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1 +
2
c) Tìm giá trị của x để P > 1
Bài 26: a) Thu gọn các biểu thức sau :
A =

( )
26.32
+
B =
21
2
2
232
23
228

+
+


+
b) Giải phơng trình :
105811541
=++++
xxxx

Bài 27: Cho hai biểu thức : A =
( )
yx
xyyx

+
4
B =
xy

xyyx
+

a) Tìm điều kiện có nghĩa của mỗi biểu thức
b) Rút gọn A và B
c) Tính tích A.B với x =
23

và y =
23
+
Bài 28: 1/ Thực hiện phép tính:
20354

2/ Rút gọn biểu thức:
1ba,0;ba;với
1b
1a
:
1a
b21b
>


+
++
3/ Chứng minh biểu thức:
( )
13.32.2
+

có giá trị là số nguyên
Bài 29: Cho biểu thức :
2
2
2
1
2
1
.)
1
1
1
1
( x
x
xx
A


+
+

=
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .
Bài 30: Cho biểu thức :
xxxxxx
x
A

++
+
=
2
1
:
1
a) Rút gọn biểu thức A . b, Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 31: Cho biểu thức C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

. Rút gọn C
Bài 32: Cho biểu thức M =
25 25 5 2
1 :
25
3 10 2 5

a a a a a
a
a a a a

+

ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M < 1 c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 33: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn:

( )
4123
=
xmpxm

Bài 34: Cho biểu thức P =
( )
( )
( )
2 2
2
1 3 2 1
2
1 1
3 1
a a
a a a
a a

+

+
a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q =
2 1
1
a
a


Bài 35: Cho biểu thức A =

3 1 1 1 8
:
1 1
1 1 1
m m m m m
m m
m m m

+

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1
Bài 36: Cho biểu thức A =
2 1 2
1
1
1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x

+ +
+
ữ
ữ

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
6 6
5






















+

+

=
2
3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx
P

+


+
=
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
P








+

+
+
=
1x
x
x1
4x
:x
1x
2x
P








+

+


+

+
+
=
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x

x
x
xx
x
P









+
+

+
++
+
=
1xx
2x
x1
1
1xx
1x
:xP
Bài 37: Cho biểu thức P =
3 1 2

:
2 2
2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x

+ +
+ +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :
( ) ( )( )
4222522
+=++
xxpx

Bài 37: Cho biểu thức P =
( )
2
1
1 1
: .
1 1 1

x x
x x x x
x x
x x x



+
+

ữ ữ
ữ ữ
+ +



a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+

Tìm x để Q max.
Bài 38: Cho biểu thức P =
2 2
2 2
1 :
xy x xy y

xy xy
x y x xy y xy

+
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

a) Rút gọn P b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 39: Cho biểu thức P =
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x x

+ +
+
ữ
ữ

+

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =
5 3

.
x
P
x x

+
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có:
( )
( )
. 1 3 1P x x m x x+ + > +
Bài 40:
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 0 ; c/ Tìm x để P < 1
Bài 41: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ;
c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 43: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
2
5
1

P
Bài 44: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P = 7

Bài 45: Cho biểu thức:
1x
2x
2x
3x
2xx
3)x3(x
P



+
+
+
+
+
=
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
4
15
P
<
Bài 46: Cho biểu thức:

+




=
2x
x
x
2x
:
x2
3
x2x
4x
P
a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để
x3 - 3xP
=

b/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn :
ax1)xP(
+>+
Bài 47: Cho biểu thức:











+
+
+

+
+
=
1
x1
1
x
2x
2x
1x
2xx

3)x3(x
P
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm các giá trị của x để
xP
=
Bài 48: Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc P:
P =
Bài 49: Chng minh biu thc A sau khụng ph thuc vo x: A =
6 2x
x 6x : 6x
x 3

+ +
ữ

(vi x > 0)
Chuyờn 2: Hm s v th
Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1).
ĐS: a = 3 và b = −5
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5).
ĐS: y = −2x + 7.
Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3.
ĐS: y = 4x + 12
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2.
ĐS: y = −x + 2.
Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x
2
và hai đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD: a) M(3 ; 1); b)
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x

2
− mx + 2 = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ m
2
= 16 ⇔
m 4
m 4
=


= −

Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau
Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d
1
): 5x + 11y = 8 (d
2
): 10x − 7y = 74 (d
3
): 4mx + (2m −
1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13 (d
2
): 2x + 3y = 7 (d
3
):
(d
1
): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8

Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ;
2) và B(3 ; 5)
HD: a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
Bài tập
Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5).
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
Bài 3: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại
điểm nằm trên trục tung.
Bài 4: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là 2005. Hãy viết phương
trình đường thẳng (d).
Bài 5: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x
2
Bài 6: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
A. Tóm tắt cách giải hệ phương trình:
a) Giải hệ bằng phương pháp thế:
B1: Dùng quy tắc thế để biến đổi hệ đã cho để được một hệ mới trong đó có một phương trình một
ẩn.
B2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

b) Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số:
B1: Nhân hai vế của mỗi phương trình của hệ với cùng một số thích hợp ( nếu cần) sao cho hệ số
của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
B2: p dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới ( trong đó có một phương trình một
ẩn)
CHUYÊN ĐỀ 3: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
B. Bài tập luyện tập:
Bµi tËp vµ h íng dÉn :
Bài 1: : Gi¶I c¸c HPT sau:
Vd: 1, a.
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =


Gi¶i:
a. Dïng PP thÕ:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= − = − = =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ − = = = − =
   
Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ:
2
1
x
y
=



=

Dïng PP céng:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + = =
  
Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ:
2
1
x
y
=



=


- §Ĩ gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sư dơng PP céng cho thn lỵi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = − = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = + − = = −
   
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
2
2

x
y
=


= −

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1,
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =



+ =

2,
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =



Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1.
3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)

2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)

6 2 2
x y
b
x y

+ =


− =


Bài 4: giải hệ pt bằng phương pháp thế



=
=
⇔



=
−=
⇔



=−+
−=
⇔




=+
=−
1
2
2
32
4)32(2
32
42
32
y
x
x
xy
xx
xy
yx
yx
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;1)
Bài 5: Giải hệ pt bằng pp thế



=
=
⇔




−=
=
⇔



−=
=−−
⇔



=−
=−
5
7
163
7
163
3)163(54
163
354
y
x
xy
x
xy
xx

yx
yx
Bài 6: Giải các hệ phương trình:
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2

+ =


− =

Bài 7: BT1: giải hệ pt :



−=
=
⇔



=−
=
⇔



=−
=
⇔



=−
=+
3

3
6
3
6
93
6
32
y
x
yx
x
yx
x
yx
yx
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;-3)
Bài 8: giải hpt:
a,



=−
=+
432
922
yx
yx
Trừ vế theo vế 2pt (TVTV) 5y=5  y=1 thay vào pt (1) có :2x+2.1 =9  x=7/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (7/2; 1)
b,




=+
=+
⇔



=+
=+
664
2169
332
723
yx
yx
yx
yx
TVTV: 5x=15< =>x=3
Thay vào pt (1)ta có 9+2y=7=>y=-1 .Vậy nghiệm của hệ (3;-1)
* Tóm tắt cách giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số : SGK/18
Bài 9: Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số



=
=

=+
=+




=+
=+



=
=




=
=+



=
=

=
=+
2
3
824
634
42
634
/
1
2/3
032
852
/
3
2
72
33
/
y
x
yx
yx
yx
yx
c
y
x
yx
yx

b
y
x
yx
yx
a
Baứi 10: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ =


Baứi 11: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =


=

;

1
3 2 3
x y
x y
=


+ =

;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


=

;
3 5 0
3 0
x y
x y
=


+ =

;

0,2 3 2
15 10
x y
x y
=


=

;
3 2
2 4 2007
x y
x y
=


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
=


+ =

;

5
2
2 6
y
x
x y

=



=

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15

2 4 2
x y
x y
+ =



+ =


Bài 12: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
Gi h phng trỡnh bng cỏch t nhõn t chung
Vd: 1,
2 3
1
1
2 5
1

1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+

+ =

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =

+ = =



+ = =

= =
+ =
+ +



+

Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2

3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

=


=
+




=
=



(TMĐK)
Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1

x
y

=



=

Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp t n ph:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




=


b)
15 7
9
x y

4 9
35
x y

=




+ =


c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+



=

+

d)
4 5

2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

+



=

+

Bài 3: GiảI các hệ phơng trình sau
a)







=


+
=

+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx
c)





=+
=
1222

32423
yx
yx
(đk x;y

2 )

3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=

;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ =


=

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

=

+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y

x y x y
+ = +


+ = +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
+ + =


+ =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

;

1 1 4

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =


+ −

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

− +



− = −

− +

;
Bµi 4: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh







=

−
+
+
=
−
+
+
18
2
2
1
3
0
2
1
1
2
yx
yx
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x - 5 = 3
2
+
x

1 2
1
1 1x y
+ =
+ +

c, Gi¶i hÖ ph¬nh tr×nh :
8 5
1
1 1x y
− =
+ +
d, 5(3x+y)=3y+4
3-x=4(2x+y)+2
Bµi 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh







=
+
−
+
=
+
−
+



=−
=+
4

3y
2
1x
3
5
3y
1
1x
2
2/
42y3x
5y2x
1/
3,



=−+
=+−
033yx
0y1x
4,
2
2
1
3
1
3
x
x

y y
x
x
y y

+ + =




+ + =



Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh



=−
=+
652
3
yx
yx

Bµi 7: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :








=
−
−
−
=
+
+
−
4
1
2
1
5
7
1
1
1
2
yx
yx
PP Giải hệ pt đối sứng loại I

Bµi 1: 1, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :






−=−
=+
yyxx
yx
22
22
1
2, Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax
2
+ bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x
1
, x
2
. LËp ph¬ng tr×nh bËc
hai cã hai nghiÖm lµ 2x
1
+ 3x
2
vµ 3x
1
+ 2x
2
.
PP Giải hệ pt đối sứng loại II