CAC DANG BAI TAP VE CHIA HET

CHUYÊN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT TOÁN CHIA HẾT
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
I) KIÊN THỨC CƠ BẢN
1) Đònh nghóa:
a, b ∈ Z ( b ≠ 0 ) bao giờ cũng có duy nhất cặp số q,r sao cho a = bq + r với 0 < r <b
+ a là số bò chia ; b là số chia ; q là thương số ; r là số dư ( Trong đó r = 0;1;2; ... b  -1 )
+ Nếu r =0 thì a =bq ta nói a chia hết cho b ( a  b) hay a là bội của b hay b là ước của a
+ Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia còn dư
2) Một số tính chất:
1) a Μ a ( a ≠ 0 )
2) a Μ b ;b Μ c ⇒ a Μ c ( b, c ≠ 0)
3) a Μ b ⇒ ka Μ b ( b ≠ 0)
4) a Μ b ,a Μ c trong đó b,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì a Μ ( bc)
5) aΜ c , bΜ c thì ( a + b) Μ c ; ( a - b ) Μc
6) ( a.b) Μc trong đó a,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì bΜ c
7) ( a - b ) Μ c thì avà b chia cho c có cùng số dư
8) a ≡ b ( M m) ; c ≡ d (M m) ⇒ a+c ≡ b +d ( M m)
a.c ≡ b.d ( M m)
9 ) a ≡ b(Mm) ⇒ a
n
≡ b
n
(Mm)
3 ) Dấu hiệu chia hết cho 2;3;5 ;4; 9;25;11.....
4) Một số hằng đẳng thức đáng nhớ :
1 ) ( a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

; ( a - b )
2
= a
2
- 2ab + a
2
2) ( a + b )
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
; ( a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3

3 ) a
2
- b

2
= ( a -b) (a + b) ⇒ ( a
2
- b
2
) Μ (a - b) ; ( a
2
- b
2
) Μ ( a + b)
4) a
n
- b
n
= ( a -b)( a
n-1
+ a
n-2
b +a
n-3
b
2
......+ ab
n-2
+ b
n-1
) ⇒ (a
n
- b
n

) Μ ( a -b)
5 ) a
2n+1
+ b
2n+1
=(a+b)(a
2n
-a
2n-1
b + a
2n-2
b
2
-a
2n-3
b
3
+ ....- .....+ ab
2n-1
- b
2n
)
⇒ (a
2n+1
+ b
2n+1
) Μ ( a+b)
6) a
2n
- b

2n
= ( a+b)(a
2n-1
-a
2n-2
b + a
2n-3
b
2
- ......... +ab
2n-2
- b
2n-1
) ⇒(a
2n
- b
2n
) Μ (a + b)
II) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT
A) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA:
Bài 1) Chứng minh rằng :
a) S = 5 +5
2
+5
3
+.......+ 5
99
+5
100
chia hết cho 6

b) A = 2 + 2
2
+2
3
+ .....+ 2
99
+ 2
100
chia hết cho 31
c ) B =16
5
+ 2
15
chia hết cho 33
d) D = 1+2+3+ .........+ 1995 chia hết cho 1995
Lời giải
b) A= ( 2+2
2
+2
3
+2
4
+2
5
) + (2
6
+2
7
+2
8

+2
9
+2
10
) + (......) ....(2
k
+2
k+1
+2
k+2
+2
k+3
+2
k+4
).....
.......+ (2
96
+2
97
+2
98
+2
99
+2
100
) = 2(1+2+2
2
+2
3
+2

4
) + 2
6
( 1+2+2
2
+2
3
+2
4
)...+2
k
(1+2+2
2
+2
3
+2
4
)
.......+ 2
96
(1+2+2
2
+2
3
+2
4
) = 31 (2+2
6
+2
11

+2
16
+ .....+2
96
)
Vậy A Μ 31
c) B = 16
5
+(2
3
)
5
= 16
5
+ 8
5
= (2.8)
5
+ 8
5
= 8
5
( 2
5
+ 1) = 8
5
.33
Vậy B Μ33
d) D = ( 1+ 1995) . 1995/2 = 1995.998 ⇒ D Μ 1995
Bài2 )

Chứng minh rằng : Nếu
ab
Μ13 khi và chỉ khi ( a + 4b) Μ13
Giải
ab
= 10a + b =13a -3a +13b -12b =13a - 13b -3(a + 4b)
Nếu (a + 4b) Μ 13 thì
ab
Μ 13
Nếu
ab
Μ 13 ⇒ 3(a + 4b) Μ13 ;mà 3và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau .
Cho nên (a + 4b) Μ13
2
Bài 3)
Chứng minh rằng :Số có 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 chia hết cho 7 khi và chỉ
khi chữ số hàng chục và hàng đơn vò bằng nhau.
Giải
Gọi số đã cho là
abc
(a,b,c là các chữ số ,a ≠ 0) và a + b + c = 7
Xét
abc
= 100a + 10b + c = 98a + 7b +2a + 2b +2c +b - c
= 98a +7b + 2(a + +b +c) +b-c
vì a,b c là các chữ số ,theo bài ra các chữ số này đều nhỏ hơn7 , mà a+b+c =7
⇒ ä2(a+b+cΜ7
Nếu .
abc
Μ 7 ⇒ ( b - c ) Μ 7 ,vì b,c < 7 nên b -c = 0 ⇒ b = c

Bài4 : Cho a,b ∈ Z .chứng minh rằng : ( 3a + 2b) Μ 17 khi và chỉ khi ( 10a + b ) Μ17
Giải
Cách 1 : 10a +b =34a + 17b - 24a -16b = 17( 2a + b) -8( 3a + 2b)
(10a + b) Μ17 khi và chỉ khi ( 3a + 2b) Μ17
Cách 2 : Xét 2(10a + b) - ( 3a + 2b) = 17a Μ17
Vậy nếu (10a + b) Μ17 khi và chỉ khi (3a + 2b) Μ17
Bài 5 : Chứng minh rằng : A = 2
9
+ 2
99
chia hết cho 200
Giải
A = 2
9
+ 2
99
= 2
9
( 1 + 2
90
) = 2
9
[ 1 + (2
10
)
9
]
mà [ 1 + (2
10
)

9
] Μ ( 1 + 2
10
) ; 1 + 2
10
= 1025Μ25
Vậy AΜ 200
B) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG VIỆC PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ
LOẠI I : PHÂN TÍCH SỐ CHIA
Bài 1 : Chứng minh rằng : 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45
Nhận xét : 45 = 5.9
Dễ thấy A
M
9 vì 21
M
3 ; 39
M
3 ⇒ 21
39
M
9 , 39
21
M
9
A = 21
39

+ 39
21
= ( 21
39
- 1) + (39
21
+ 1)
3
mà (21
39
- 1)
M
( 21 - 1) ⇒ 21
39
- 1
M
5
(39
21
+ 1)
M
( 39 +1) ⇒ 39
21
+ 1
M
5
Vậy A
M
5
Từ điều kiện trên ta có A

M
45
Bài 2 ) Chứng minh : A = ( 11
2n
- 2
6n
)( 1996
4
- 1)
M
285
nhận xét : 285 = 5.57
1996 ≡ 1(M 5) ⇒ 1996
4
≡ 1(M 5) ⇒ (1996
4
- 1)
M
5
11
2n
- 2
6n
= (11
2
)
n
- (2
6
)

n
= (121
n
- 64
n
)
M
( 121 - 64 ) ⇒ ( 11
2n
- 2
6n
)
M
57
Vậy A
M
285
Bài 3 ) Chứng minh rằng : ( 20
15
- 1 )
M
20861
* 20861 = 11.31.61
Đặt A = 20
15
- 1 = (20
15
+ 2
15
) - ( 2

15
+ 1) = ( 20
15
+ 2
15
) - [(2
5
)
3
+ 1]
= ( 20
15
+ 2
15
) - ( 32
3
+ 1)
mà (20
15
+ 2
15
)
M
( 20 + 2) =22 ; (32
3
+ 1)
M
33
⇒ A
M

11
Cách 1* 20
3
= 8000 ≡ 2(M 31) ⇒ (20
3
)
5
≡ 2
5
(M 31)
mà 2
5
= 32 ≡ 1(M 31) ⇒ 20
15
= (20
3
)
5
≡ 1(M 31 ) ⇒ ( 20
15
- 1)
M
31
⇒ A
M
31
* A = 20
15
- 1 = (20
3

)
5
- 1
mà 20
3
= 8000 ≡ 9(M 61) ⇒ 8000
5
≡ 9
5
(M 61)
mà 9
2
= 81 ≡ 20(M 61) ⇒ 81
2
≡ 20
2
(M 61)
Vậy suy ra 9 .81
2
≡ 9 .400(M 61 ) ; mà 9.400 = 3600 ≡ 1(M 61)
⇒ 20
15
≡ 1(M 61) ⇒ 20
15
-1
M
61 hay A
M
61
Vậy A

M
20861
Cách 2 : A = 5
15
2
30
- 1 = 5
15
2
30
-

5
15
+ 5
15
- 1 = 5
5
(32
6
- 1) + (125
5
- 1)
vì 32 - 1 = 31 ; 125 - 1 = 124
M
31 . Vậy A
M
31
4
A = 20

15
- 1 = ( 81
15
- 1) - ( 81
15
- 20
15
) = [(3
5
)
12
- 1] - ( 81
15
- 20
15
)
3
5
= 243 ≡ -1(M 61) ⇒ (3
5
)
12
≡ 1(M 61) ⇒ ( 81
15
- 1)
M
61
( 81
15
- 20

15
)
M
( 81 - 20 ) ⇒ ( 81
15
- 20
15
)
M
61
Vậy A
M
20861
Bài 4 ) Cho số M = 3
40
- 1 và số N = 396880 .Chứng minh rằng M
M
N
N = 16.5.121.41
Giải : M = (3
4
)
10
- 1 = 81
10
- 1 = (81
5
- 1) (81
5
+ 1)

mà (81
5
- 1)
M
80 ; 80 =16.5 ⇒ (81
5
- 1)
M
(16.5)
(81
5
+ 1)
M
82 ; 82 = 2. 41 ⇒ (81
5
+ 1)
M
41
M = (3
5
)
8
- 1 = ( 243
8
- 1)
M
( 243 - 1) mà 242 =2.121 ⇒ M
M
121
Vậy M

M
N
Bài 5) Cho số B = 27195
8
- 10887
8
+ 10152
8
Chứng minh : B

26460
Giải : 26460 = 2
2
.3
3
.5.7
2
ma(27195
8
- 10887
8
)ø
M
(27195 - 10887) ; mà 16308 = 4.27.121
M
2
2
.27 ;
Μ 10152 = 2
2

.3
3
.94
M
2
2.
3
3
.Vậy B
M
2
2
.3
3
mà 27195 = 3.5.7
2
.37 ; (10887
8
- 10152
8
)
M
(10887 - 10152)
M
3.5.7
2
⇒ B
M
5.7
2

Vậy B
M
( 2
2
.3
3
.5.7
2
) hay B
M
26460
LOẠI 2 :PHÂN TÍCH SÔ BỊ CHIA
Bài 1 ) Chứng minh rằng : ( n
5
- n )
M
30 với mọi n
∈
Z
Giải
Ta có 30 = 5.6
* n
5
- n = n( n
4
- 1) = n( n -1)( n + 1)( n
2
+ 1)
vì n ; n -1; n + 1; là 3 số nguyên liên tiếp nên tích n(n+1)(n-1)
M

6
* Nếu n
M
5 ⇒ n
5
- n
M
5
Nếu n không chia hết cho 5 thì n khi chia cho 5 sẽ có các dạng sau
5