Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 
 
 

 

 

 

 
 
 

 
 
 
 
 

 

 

 

 

LÂM THỊ THU HƯỜNG

 

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

HÀ NỘI – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
 

 
 
 
 
 

 

 

 

 

LÂM THỊ THU HƯỜNG
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH SƯ PHẠM TỐN
CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số:60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HỊA

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q 
thầy cơ Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi 
và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn. 
Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người 
thầy hướng dẫn của mình là PGS.TSKH.VŨ ĐÌNH HỊA, người thầy đã tận tình hướng 
dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt q trình nghiên cứu và thực hiện luận văn. 
Xin chân thành cám ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP 
dạy  học  Bộ  mơn Tốn K8, Trường Đại học  Giáo Dục, Đại  học Quốc Gia  Hà Nội đã 
dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong q trình học tập và 
nghiên cứu. 
Cuối  cùng,  tác  giả  xin  được  cám  ơn  gia  đình,  người  thân  đã  động  viên  và  tạo 

điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hồn thành luận văn này. 
Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này song 
vẫn khơng thể tránh khỏi những hạn chế vào thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự 
đóng  góp  các  ý  kiến  q  báu  của  các  thầy  cô  giáo,  các  bạn  đồng  nghiệp  và  những 
người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hồn 
thiện hơn. 
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2014
Người thực hiện
 
 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

i 
 

Lâm Thị Thu Hường


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Ý nghĩa

CB                              

 

: Chủ biên 

CNTT  

 

 

 

 

: Cơng nghệ thơng tin 

CT 

 

 

 

 

 

: Chương trình 

ĐC 

 

 

 

 

 

: Đối chứng 

ĐK 

 

 

 

 

 

: Điều kiện 

GV 

 

 

 

 

 

: Giáo viên 

HS 

 

 

 

 

 

: Học sinh 

NC 

 

 

 

 

 

: Nâng cao 

NXB   

 

 

 

 

: Nhà xuất bản 

PPDH  

 

 

 

 

: Phương pháp dạy học 

SGK   

 

 

 

 

: Sách giáo khoa 

THPT  

 

 

 

 

: Trung học phổ thơng 

TM    

 

 

 

 

: Thỏa mãn 

TNSP  

 

 

 

 

: Thực nghiệm sư phạm 

TN 

 

 

 

 

 

: Thực nghiệm 

TXĐ   

 

 

 

 

: Tập xác định 

VD 

 

 

 

 

: Ví dụ 

 

 

 
 

ii 
 


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... i 
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..............................................................................ii 
MỤC LỤC ...................................................................................................................... iii 

MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 
CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT
GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH 
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .......................................................................................... 5 
1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................................. 5 
1.1.1.Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học ................................................. 5 
1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy .............................................................................. 6 
1.2. Khái niệm thuật tốn ................................................................................................. 7 
1.2.1. Khái niệm thuật tốn .............................................................................................. 7 
1.2.2. Các đặc trưng của thuật tốn .................................................................................. 8 
1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật tốn ................................................................... 9 
1.2.4. Độ phức tạp của thuật tốn ................................................................................... 15 
1.3. Tư duy thuật giải ..................................................................................................... 15 
1.3.1. Khái niệm thuật giải ............................................................................................. 15 
1.3.2. Tư duy thuật giải .................................................................................................. 16 
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình
 ........................................................................................................................................ 17 
1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Tốn ......................................... 21 
1.4.1.  Vai  trị  của  việc  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  trong  dạy  học  Tốn  ở  trường  phổ 
thơng ............................................................................................................................... 21 
1.4.2. Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Tốn ...... 22 
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................................... 24 

iii 
 
 


CHƯƠNG 2:MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI 
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH 

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................ 25 
2.1. Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình trong chương trình sách giáo 
khoa trung học phổ thơng (nâng cao) ............................................................................. 25 
2.2. Một số ngun tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh . 27 
2.3.  Một  số  định  hướng  sư  phạm  góp  phần  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh 
thơng qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình ..................................... 30 
2.3.1.  Rèn  luyện  cho  học  sinh  các  kỹ  năng  thành  phần  khi  giải  phương  trình  và  bất 
phương trình ................................................................................................................... 30 
2.3.2. Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong 
khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thơng qua dạy học giải phương trình và 
bất phương trình ............................................................................................................. 40 
2.3.3.  Xây  dựng  quy  trình  dạy  học  phương  trình,  bất  phương  trình  theo  hướng  phát 
triển tư duy thuật giải ..................................................................................................... 46 
2.3.4. Luyện tập cho học sinh giải các phương trình và bất phương trình đã biết thuật 
giải .................................................................................................................................. 56 
2.4. Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình, bất phương trình ................... 61 
2.5. Ứng dụng của ngơn ngữ lập trình trong viêc dạy học giải phương trình, bất phương 
trình ................................................................................................................................ 76 
2.6. Kết luận chương 2 ................................................................................................... 82 
CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 84 
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm ............................................ 84 
3.1.1. Mục đích ............................................................................................................... 84 
3.1.2. Nhiệm vụ .............................................................................................................. 84 
3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm ........................................................................... 84 
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 85 

iv 
 
 

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................. 85 
3.3.1. Đáp án đề kiểm tra ............................................................................................... 85 
3.3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................................. 88 
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm .............................................................................. 89 
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .............................................................................. 90 
1.  Kết luận .................................................................................................................... 90 
2. Khuyến nghị ............................................................................................................... 90 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 91 
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 93 

v 
 


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Mục tiêu của giáo dục phổ thơng hiện nay là: “Giúp học sinh phát triển tồn diện 
về  đạo  đức,  trí  tuệ,  thể  chất,  thẩm  mĩ  và  các  kỹ  năng  cơ  bản,  phát  triển  năng  lực  cá 
nhân,  tính  năng  động  và  sáng  tạo,  hình  thành  nhân  cách  con  người  Việt  Nam  xã  hội 
chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cơng dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục 
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia và xây dựng bảo vệ tổ quốc”. Và để 
bắt kịp sự phát triển của xã hội ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp 
dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của 
người lao động  trong  nền sản xuất tự động  hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ 
luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm 
giải pháp tối ưu khi giải quyết cơng việc. 
Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các văn 
kiện Đại hội Đảng như: Cương lĩnh  xây dựng đất nước  trong thời kỳ q độ lên chủ 
nghĩa xã hội ( Bổ sung, phát triển năm 2011) nêu rõ: “Đổi mới căn bản và toàn diện

giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội, nâng cao chất lượng theo yêu
cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc
lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. 
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung 
ươngĐảng  khóa X tại  Đại hội  đại biểu tồn  quốc lần thứ XI của Đảng  cũng nêu rõ: 
"Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra
theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo
dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực
sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”. 
Điều  5,  luật  giáo  dục  (2010)  quy  định:  “Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng người học
năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. 
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong q 
trình dạy học là rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh. 
1 
 


 

Tư  duy  thuật  giải  có  vai  trị  quan  trọng  trong  nhà  trường  phổ  thơng  đặc  biệt 

trong dạy học tốn. Trong mơn tốn, có nhiều dạng tốn được giải quyết nhờ thuật giải. 
Trong thực tế giảng dạy những bài tốn, những dạng tốn có thuật giải, có qui tắc, có 
sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu  lĩnh  hội. Thơng qua các 
bước  hoạt  động,  yêu  cầu  của  bài  toán  được  giảm  dần  phù  hợp  với  khả  năng  của  học 
sinh, nó là định hướng để học sinh giải bài tốn đó. 
Qua việc tìm tịi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài tốn, từng dạng 
tốn, nó thúc đẩy  sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: phân tích, 
tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, tương tự hóa, hơn nữa nó cịn hình thành cho học sinh 

những  phẩm  chất  trí  tuệ  như:  tính  cẩn  thận  chi  tiết,  tính  linh  hoạt,  tính  độc  lập,  sáng 
tạo, kích thích sự ham muốn khám phá, các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: 
tính  ngăn  nắp,  tính  cẩn  thận,  tính  kỷ  luật,  ý  thức  tìm  giải  pháp  tối  ưu  khi  giải  quyết 
cơng việc. Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được các u cầu của 
xã hội, của đất nước đang trên con đường cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa đáp ứng u 
của của con người trong nền sản xuất tự động hóa và bối cảnh cơng nghệ, thơng tin, tin 
học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống. 
Đã có một số cơng trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các cơng trình đó có 
thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của 
học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thơng" (1998). Luận án này đã 
xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ 
chưa  đi  sâu  vào  việc  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh  trong  khi  dạy  học  nội 
dung phương trình. 
Luận  văn  của  thạc  sỹ  Nguyễn  Thị  Thanh  Bình:  "Góp  phần  phát  triển  tư  duy 
thuật giải của  học sinh Trung  học phổ thơng  thơng qua dạy  học  nội dung lượng giác 
11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy 
nội dung lượng giác 11. 
Phương  trình  và  bất  phương  trình  là  hai  nội  dung  có  vị  trí  quan  trọng  trong 
chương trình mơn Tốn THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xun suốt 
từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phương trình và bất phương trình cịn là 
2 
 


chìa  khóa  để  giải  quyết  những  vấn  đề  thuộc  hầu  hết  các  chủ  đề  kiến  thức  về  Đại  số, 
Giải tích và Hình học. Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ 
để  phương  trình,  bất  phương  trình  một  cách  đầy  đủ  theo  quy  định  của  chương  trình, 
việc bồi dưỡng kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh cịn có ý 
nghĩa  trong  việc  nâng  cao  chất  lượng  dạy  học  nhiều  nội  dung  mơn  Tốn  ở  trường 
THPT. 

Vì những lý do nêu trên, chúng tơi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:“ Rèn
tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung phương trình và
bất phương trình”. 
2. Mục đích nghiên cứu
  Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa một số vấn đề về tư duy thuật giải, 
về kỹ năng và kỹ năng giải Tốn của học sinh và đề ra một số biện pháp góp phần rèn 
luyện  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh  THPT  thơng  qua  dạy  học  phương  trình  và  bất 
phương trình. 
3. Giả thuyết khoa học
Trong q trình dạy học Tốn trung học phổ thơng nếu giáo viên xây dựng được 
một  số  kỹ  thuật  và  biện  pháp  thích  hợp  trong  q  trình  dạy  học  phương  trình  và  bất 
phương trình, thì có thể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh, góp phần nâng cao 
chất lượng dạy học Tốn ở trường THPT. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau: 
4.1.Tư duy thuật giải là gì ? Vì sao cần phát triển tư duy thuật giải cho học 
sinh trong dạy học mơn Tốn? 
4.2.Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm vi 
nào?  
4.3. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh. 
4.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực và tính 
hiệu quả của đề tài. 

3 
 


5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu tốn học, các tài liệu về lý luận và phương pháp dạy học, tài 

liệu về lý luận dạy học bộ mơn Tốn, các tài liệu về tâm lý học. 
- Các bài báo, các bài viết phục vụ đề tài. 
5.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
-  Dự giờ quan sát hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trị trong các lớp học. 
Quan sát ngay trong giờ học của mình và rút ra các kết luận trong q trình giảng dạy. 
- Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên khác về việc sử dụng các phản ví dụ trong 
dạy học nhằm rèn luyện tư duy phê phán cho sinh viên.
- Dùng các thống kê tốn học để xử lý các số liệu thống kê.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến  hành  thực  nghiệm  sư  phạm  một  số  nội  dung  của  luận  văn  tại  trường  Trung 
tâm  giáo  dục  thường  xuyên  thành  phố  Cao  Bằng,  kiểm  chứng  tính  khả  thi  của  đề  tài 
qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. 
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vị trí của 
việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học tốn. 
6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho 
học sinh. 
6.3. Khai thác được một số dạng bài tốn phương trình và bất phương trình có thể giúp 
học sinh xây dựng được thuật tốn hay quy trình tựa thuật tốn. 
7. Cấu trúc luận văn
Ngồi  phần  mở  đầu,  kết  luận,  khuyến  nghị,  tài  liệu  tham  khảo  luận  văn  dự  kiến 
được trình bày trong ba chương: 
Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài nghiên cứu 
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Tốn theo hướng phát triển tư duy 
thuật giải cho học sinh thơng qua dạy học phương trình và bất phương trình 
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 
4 
 

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.1.

Cơ sở lý luận

1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao 
lưu  của  học  sinh  nhằm  thực  hiện  những  mục  đích  dạy  học.  Cịn  học  tập  là  một  q 
trình xử lý thơng tin. Q trình này có các chức năng: đưa thơng tin vào, ghi nhớ thơng 
tin, biến đổi thơng tin, đưa thơng tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng 
này bằng những hoạt động của mình. Thơng qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí 
tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực. 
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với 
nó, căn cứ vào mục đích dạy học sau đó lựa chọn phương pháp để tập luyện cho học 
sinh.  Việc  phân  tích  một  hoạt  động  thành  những  hoạt  động  thành  phần  sẽ  giúp  ta  tổ 
chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức với học sinh. 
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là 
tri  thức  phương  pháp.  Những  tri  thức  này  lại  là  kết  quả  của  một  q  trình  hoạt  động 
khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền 
đề  để  tập  luyện  và  đạt  kết  quả  cao  hơn.  Do  đó  cần  phân  bậc  những  hoạt  động  theo 
những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo q trình dạy học. Trên cơ sở việc 
phân  tích  trên  về  phương  pháp  dạy  học  theo  quan  điểm  hoạt  động.  Luận  văn  được 
nghiên  cứu  trong  khuôn  khổ  của  lý  luận  dạy  học,  lấy  quan  điểm  hoạt  động  làm  nền 
tảng  tâm  lý  học.  Nội  dung  của  quan  điểm  này  được  thể  hiện  một  cách  tóm  tắt  qua 
những tư tưởng chủ đạo sau: 
*  Cho  học  sinh  thực  hiện  và  tập  luyện  những  hoạt  động  và  hoạt  động  tương 
thích với nội dung và mục đích dạy học. 

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động. 

5 
 


* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện 
và kết quả của hoạt động. 
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển q trình dạy học. 
Như vậy, nếu phân tích rõ được tư tưởng và phương pháp dạy học dựa trên quan 
điểm hoạt động sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư 
duy thuật giải cho học sinh. 
1.1.2. Tư duy và đặc điểm của tư duy
a. Tư duy 
    Theo [16]: “Tư duy là một q trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, 
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong 
hiện thực khách quan mà trước đó ta đã biết”.  
    Tư duy là một q trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức 
mới về chất so với cảm giác và tri giác. Trong đó nhận thức lý tính là một q trình mà 
chủ thể nhận thức, khái qt hố từ các dữ kiện mà họ có một cách cảm tính bằng cách 
hệ thống hố chúng rồi đi đến thiết lập mối liên hệ giữa chúng và hiểu được mối quan 
hệ bản chất giữa các hiện tượng nghiên cứu. Từ đó phát biểu thành các tri thức và được 
kiểm tra lại bằng thực nghiệm. 
    Tư duy là giai đoạn cao nhất của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra 
tính quy luật của sự vật hiện tượng bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, 
phán đốn và suy nghĩ.  
b. Đặc điểm của tư duy 
Với tư cách là một mức độ mới thuộc nhận thức lý tính, khác xa về chất so với 
nhận thức cảm tính, tư duy do con người là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau đây: 
*  Tính  “có  vấn  đề”:  Đứng  trước  những  hồn  cảnh,  những  tình  huống  mà  vốn 

hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người khơng đủ để giải quyết, khi 
đó con người rơi vào hồn cảnh “có vấn đề”, lúc này con người phải vượt ra khỏi phạm 
vi  những  hiểu  biết  và  đi  tìm  những  cái  mới,  hay  nói  cách  khác  đi  con  người  phải  tư 
duy. 

6 
 


* Tính gián tiếp: tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật 
giữa chúng nhờ sử dụng cơng cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy vi tính…). 
Ngơn  ngữ  là  một  phương  tiện  rất  quan  trọng  của  tư  duy.  Con  người  luôn  dùng  ngôn 
ngữ  để  tư  duy.  Nhờ  đặc  điểm  gián  tiếp  này  mà  tư  duy  đã  mở  rộng  khơng  giới  hạn 
những khả năng nhận thức của con người. 
 

* Tính trừu tượng và khái qt: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung cho 

nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù (khái qt), đồng thời loại 
bỏ  khỏi  những  sự  vật  đó,  những  cái  cụ  thể,  cá  biệt.  Nói  một  cách  khác,  tư  duy  đồng 
thời mang tính chất trừu tượng và khái qt. 
 

* Tư duy của con người có sự liên hệ chặt chẽ với ngơn ngữ: Ngơn ngữ được 

xem là phương tiện của tư duy. Nếu khơng có ngơn ngữ thì bản thân q trình tư duy 
khơng diễn ra được, đồng thời tạo ra các sản phẩm của tư duy cũng khơng được chủ thể 
và người khác tiếp nhận. 
 

* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy phải dựa trên 

những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Tư duy và 
nhận thức cảm tính là hai mức độ nhận thức khác nhau, nhưng khơng thể tách rời nhau, 
có  quan  hệ  chặt  chẽ  bổ  sung  cho  nhau,  chi  phối  lẫn  nhau  trong  hoạt  động  nhận  thức 
thống nhất và biện chứng. Như F.Anghen đã nói: “Nhập vào với con mắt của chúng ta 
chẳng những có những cảm giác khác, mà cịn có cả hoạt động tư duy của ta nữa”.
1.2.Khái niệm thuật toán
1.2.1. Khái niệm thuật toán
           Khái  niệm  tư  duy  thuật  giải  liên  hệ  chặt  chẽ  với  khái  niệm  thuật  tốn,  do  đó 
trước khi đưa ra khái niệm thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật tốn. 
Thuật tốn là một hệ thống chặt chẽ và rõ rang các quy tắc nhằm xác định một dãy
các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các
thao tác ta đạt được mục tiêu định trước[6, tr.13]
Từ định nghĩa ta thấy thuật tốn có các tính chất sau: 
 

* Tính dừng: Thuật tốn phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao 

tác. 
7 
 


 

* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật tốn kết thúc 

hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo. 
* Tính khách quan: Một thuật tốn dù được viết bởi nhiều người, thực hiện trên 

nhiều máy tình vẫn phải cho kết quả như nhau. 
* Tính phổ dụng: áp  dụng  được  cho  nhiều  bài  tốn  khác  có  cùng  cấu  trúc,  với 
các dữ liệu khác nhau. 
 

* Tính đúng đắn: sau khi thuật tốn kết thúc ta phải nhận được kết quả cần tìm. 

1.2.2. Các đặc trưng của thuật tốn
a. Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật tốn địi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là 
hai  phần  tử  thuộc  cùng  một  cơ  cấu,  thực  hiện  cùng  một  thao  tác  trên  cùng  một  đối 
tượng thì phải cho cùng kết quả. 
Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài tốn của Polya [11]. 
Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài tốn. 
Bước 2. Tìm đường lối giải tốn. 
Bước 3. Thực hiện chương trình giải tốn. 
Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải. 
Quy  trình  này  khơng  phải  là  một  thuật  tốn  vì  tính  đơn  trị  bị  vi  phạm.  Chẳng 
hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 khơng  được xác định vì người ta có thể hiểu và 
làm theo nhiều cách khác nhau. 
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật tốn. Bất kể cơ 
cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ khơng 
cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ 
đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số cơng việc 
thay thế cho con người. 
b. Tính hiệu quả 
 Tính  hiệu  quả  của  thuật  tốn  được  đánh  giá  dựa  trên  một  số  tiêu  chuẩn  như: 
khối lượng tính tốn, khơng gian và thời gian khi thuật tốn được thực hiện. Tính hiệu 
quả của thuật tốn là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn 
8 

 


đề - bài tốn trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật 
tốn. Độ phức tạp của thuật tốn là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi. 
c. Tính tổng qt 
Thuật  tốn  có  tính  tổng  qt  là  thuật  tốn  phải  áp  dụng  được  cho  mọi  trường 
hợp của bài tốn chứ khơng phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào 
đó.  
1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật tốn
Khi chứng  minh hoặc  giải một bài tốn trong tốn học, ta thường  dùng những 
ngơn ngữ tốn học như: “ta có”, “điều phải chứng minh”, “giả thiết”,…và sử dụng các 
phép suy luận tốn học như phép kéo theo, phép tương đương,… 
Thuật tốn là một phương pháp thể hiện lời giải một bài tốn nên cũng phải tn 
theo  một  số  quy  tắc  nhất  định.  Để  có  thể  truyền  đạt  thuật  tốn  cho  người  khác  hay 
chuyển thuật tốn thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật 
tốn. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật tốn:[6] 
1. Ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học (natural languages). 
2. Dạng lưu đồ – sơ đồ khối (flowcharts). 
3. Dạng mã giả (pseudocode). 
4. Dạng ngơn ngữ lập trình (programming languages). 
 Ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học
Trong  cách  biểu  diễn  thuật  tốn  theo  ngơn  ngữ  tự  nhiên  và  ngơn  ngữ  tốn  học, 
người ta sử dụng ngơn ngữ thường ngày và ngơn ngữ tốn học để liệt kê các bước của 
thuật tốn. Các thuật tốn ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngơn ngữ tự nhiên và ngơn 
ngữ tốn học. 
 Phương pháp biểu diễn này có ưu điểm là đợn giản, khơng u cầu người viết cũng 
như người đọc thuật tốn phải nắm các quy  tắc, các kiến thức  nền  tảng. Nhưng cách 
biểu diễn này thường dài dịng, khơng thể hiện rõ cấu trúc của thuật tốn, đơi lúc gây 
hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc và khó biển diễn được những bài tốn phức 

tạp. 
 
9 
 


Ví dụ: Thuật tốn xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: 
ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc  ¹  0) 
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c 
Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0 
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3 
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 4 
Bước 3: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
 Chuyển sang bước 14 
Bước 4: Tính  = b2 - 4ac 
Bước 5: Kiểm tra điều kiện > 0 
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9 
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6 
Bước 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0 
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7 
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8 
Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương 
Chuyển sang bước 14 
Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm 
Chuyển sang bước 14 
Bước 9: kiểm tra điều kiện  = 0 
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10 
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13 
Bước 10. Kiểm tra điều kiện ab > 0 
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11 

+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12 
Bước 12. Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương 
Chuyển sang bước 14 
Bước 13: Kết luận: phương trình vơ nghiệm 
Bước 14: Kết thúc 
10 
 
 


Lưu đồ – Sơ đồ khối (flowcharts)



Lưu đồ hay  sơ đồ khối là một cơng cụ trực  quan để diễn đạt các thuật tốn. Biểu 
diễn thuật tốn bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường 
hợp  và  q  trình  xử  lý  của  thuật  tốn.  Phương  pháp  lưu  đồ  thường  được  dùng  trong 
những thuật tốn có tính rắc rối, khó theo dõi được q trình xử lý. 
 

Để  biểu  diễn  thuật  tốn  theo  sơ  đồ  khối,  ta  phải  phân  biệt  hai  loại  thao  tác: 

thao tác lựa chọn và thao tác hành động.  
*Thao tác lựa chọn: 
 

Thao  tác  lựa  chọn  được  biểu  diễn  bằng  một  hình  thoi,  bên  trong  chứa  biểu 

thức điều kiện: 
 

Đ

 

Đ

a = b 

 

∆ = 0 
S

S

 
 

*Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung 
xử lý.  
i:= i +1 

 
* Đường đi  
 

Trong ngơn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các 

hình vẽ này  ở bất  kỳ  vị trí nào nên ta phải  có phương pháp để thể hiện trình tự thực 

hiện các thao tác. 
 
 

Bước 1 

Bước 2 

 
 
 

 
Bước 3 

 
 
11 
 
 


Hai  bước  kế  tiếp  nhau  được  nối  bằng  một  mũi  tên  chỉ  hướng  thực  hiện.  Từ  thao  tác 
chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng 
với điều kiện sai. 
 
 
 

S 

 

= 0 

 > 0 

 
 
 

Đ 
PT có hai nghiệm phân biệt 

* Hình ơ van thể hiện các thao tác nhập, xuất dữ liệu, khởi đầu hoặc kết thúc của 
một thuật tốn. 
 
 

Bắt đầu 

Kết thúc 

 
(Có thể thay chữ Bắt đầu bởi Start (hoặc Begin), thay Kết thúc bởi End). 
 

Ngồi ra cịn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật tốn có lưu đồ 

lớn. 
Ví dụ: Lưu đồ thuật tốn giải phương trình bậc hai 

12 
 
 


Bắt đầu 

Hỏi giá trị a, b , c 

 = b2 - 4ac 

S 

0  

Đ 
Có 2 nghiệm phân biệt 

x 1, 2 

 b 
2a

S 

  0 

Đ 
,

 

Có nghiệm kép   

x=−



Vơ nghiệm 

 

 

Kết thúc 

Lưu đồ  mơ tả thuật tốn  một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải 
mơ tả những thuật tốn phức tạp. Một phương pháp khác để biểu diễn thuật tốn khắc 
phục nhược điểm ấy là ngơn ngữ phỏng trình. 

 

Dạng mã giả (pseudocode) 
Tuy  sơ  đồ  khối  thể  hiện  rõ  quá  trình  xử  lý  và  phân  cấp  các  trường  hợp  của 

thuật  toán  nhưng  lại  cồng  kềnh,  đặc  biệt  đối  với  những  bài  tốn  phức  tạp.  Để  mơ  tả 
thuật tốn nhỏ ta phải dùng một khơng gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai 
thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế, các thuật tốn 
cịn có các lặp. 

13 
 
 


 

Biểu diễn thuật tốn bằng dạng mã giả là cách biểu diễn sự vay mượn các cú 

pháp của  một ngơn ngữ lập trình nào đó  (Pascal, C, C++,  …) để thể hiện thuật  tốn. 
Ngơn ngữ dạng mã giả, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngơn ngữ tự nhiên 
và  chưa  q  sa  đà  vào  những  quy  ước  chi  tiết.  Mặt  khác,  nó  cũng  dễ  chuyển  sang 
những ngơn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hố. 
Ví dụ: Biểu diễn thuật tốn giải phương trình bậc hai bằng dạng mã giả. 
Begin 
If Delta > 0 then begin 
x1 = (-b-sqrt(delta))/(2*a); 
x2 = (-b + sqrt (delta))/(2*a); 
inra: phương trình có 2 nghiệm là x1, x2 
End; 
Else 
If Delta = 0 then 
Inra: phương trình có nghiệm kép là   x  

b
 
2*a

Else (trường hợp Delta < 0) 

Inra: phương trình vơ nghiệm; 
End. 
Trên  đây,  ta  đã  chỉ  ra  3  cách  để  biểu  diễn  một  thuật  toán.  Trong  trường  hợp 
thuật tốn viết bằng ngơn ngữ máy tính, ta có một chương trình. 


Dạng ngơn ngữ lập trình (programming languages) 

 

Có nhiều ngơn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Asembly,…Sau đây là 

ví dụ dùng ngơn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật tốn. 
Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai: 
 

 

 

 

  ax2 + bx + c = 0,  (a  ¹  0) 

Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím. 
Outpt: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thơng báo “Phương trình vơ nghiệm”. 
Thuật tốn: Thuật tốn giải phương trình bậc hai bằng ngơn ngữ lập trình Pascal. 

14 
 

 


Program Giai-pt bậc hai;
Uses Crt;
Var

a , b, c: real;

, x1, x2: real;
Begin
Clrscr;
Write (‘a, b, c: ’);
Readln (a, b, c) ;
 = b * b – 4 * a * c ;
if

< 0 then Writeln (‘Phương trình vơ nghiệm’)

Else
Begin
x1 = ( - b – sqrt (  ))/(2 * a);
x1 = ( - b + sqrt (  ))/(2 * a);
Witeln ( ‘x1 =’,

x1: 8:3 ,

‘x2 = ’ , x2: 8:3);

End;

Readln
End.

1.2.4. Độ phức tạp của thuật tốn
Trong thực tế có nhiều thuật tốn, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, 
tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt q khả năng làm việc của chúng ta. Do đó để 
đánh giá tính hiệu quả của một thuật tốn, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các 
thuật tốn. Độ phức tạp của thuật tốn có thể đo bằng khơng gian, tức là dung lượng bộ 
nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật tốn; và bằng thời gian, tức là thời gian 
máy tính làm việc. Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật tốn ta ln 
hiểu là độ phức tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật tốn chính là cơ sở để phân loại 
bài tốn giải được hay khơng giải được. 
1.3. Tư duy thuật giải
1.3.1. Khái niệm thuật giải
Trong  quá  trình  nghiên  cứu  giải  quyết  các  vấn  đề  –  bài  toán,  người  ta  đã  đưa  ra 
nhận xét sau: 
 

+ Có nhiều bài tốn cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật 

tốn và cũng khơng biết có tồn tại thuật tốn hay khơng. 
15 
 
 


 

+ Có nhiều bài tốn đã có thuật tốn để giải nhưng khơng chấp nhận được vì 

thời gian giải theo thuật tốn đó q lớn hoặc các điều kiện cho thuật tốn đó khó đáp 
ứng. 
 

+ Có những bài  tốn được giải theo cách giải vi phạm thuật tốn  nhưng vẫn 

chấp nhận được. 

 

Như vậy, khơng phải cách giải nào, thuật tốn nào cũng đều đạt được các tiêu chí 
nêu trên.  
Do vậy, các cách giải chấp nhận được nhưng khơng hồn tồn đáp ứng đầy đủ
các tiêu chuẩn của thuật tốn được gọi là các thuật giải.
Khái niệm mở rộng này của thuật tốn đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm 
phương pháp để giải quyết các bài tốn được đặt ra. Ngồi việc mở rộng tính đúng của 
thuật tốn, thuật giải có tất cả các tính chất như thuật tốn. Nó cũng có các hình thức 
biểu diễn phong phú như thuật tốn. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tương 
ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn 
phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức của học sinh. Sự hiểu biết về 
thuật  giải,  các  tính  chất  và  phương  tiện  biểu  diễn  nó  phản  ánh  trình  độ  văn  hố  của 
thuật giải. Ngơn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hố thuật giải.
1.3.2. Tư duy thuật giải
Tư duy thuật giải (thể hiện trong Tốn học) là hình thức biểu lộ của tư duy biện 
chứng trong q trình con người nhận thức khoa học tốn học hay thơng qua hình thức 
áp dụng tốn học vào các khoa học khác. [8] 
Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy tốn học. Nó là phương thức tư
duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
giải.

T2: Phân tích một q trình thành những thao tác được thực hiện theo những
trình tự xác định.
T3: Khái qt hóa một q trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
16 
 
 


T4: Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài tốn.
Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực 
xây dựng thuật giải. 
Khái  niệm  tư  duy  thuật  giải  được  xác  định  như  trên  là  hoàn  toàn  phù  hợp  với 
những  kết  quả  nghiên  cứu  về  hình  thành  văn  hóa  thuật  giải.  Trong  [9]  tác  giả 
Monakhơp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm: 
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó, hiểu bản chất ngơn ngữ 
là phương tiện biểu diễn thuật giải. 
- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải. 
- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp tốn học và các ứng dụng của 
chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình tốn phổ thơng. 
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử. 
Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hình 
thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh. 
Từ khái niệm về tư duy   thuật giải ta thấy rằng để phát triển  tư duy  thuật giải 
cho học sinh trong dạy học tốn, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư 
duy thuật giải. Thơng qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc 
đồng  thời  phát  triển  tư  duy  thuật  giải  cho  học  sinh.  Sau  đây  là  một  số  ví  dụ  về  phát 
triển tư duy thuật giải trong mơn tốn khi dạy nội dung phương trình, bất phương trình 
ở trường phổ thơng. 

1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương
trình
Trong  chương  trình  tốn  lớp  11,  học  sinh  đã  được  học  về  qui  trình  để  giải 
phương trình bậc nhất đối với hàm số sin và cos như sau 
+

Bước 1: Kiểm tra:  a 2  b2   c2  

 

 

Nếu sai, kết luận phương trình vơ nghiệm. 

 

 

Chuyển sang bước 5. 

 

 

Nếu đúng, chuyển sang bước 2. 
17 
 

 

+ Bước 2: Chia cả hai vế cho  a 2  b2  
a
a


cos 
sin  
2
2 
2
a b
a  b 2 


+ Bước 3: Đặt  
hay  
 
b
b
 sin 
cos  
2
2


a b
a 2  b2

+ Bước 4: Giải phương trình  sin  x    

c
a 2  b2  

 hay  cos  x    

c
a2  b2  

 

+  Bước 5: Trả lời. 
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau.           
Bài  tập:  áp  dụng  quy  tắc  giải  phương  trình  bậc  hai,  hãy  giải  các  phương  trình 
sau: 
a.  sin x  3 cos x  1  
b.  3 sin 2 x  c os 2 x   3  
c.  2 s in3x+ 6 cos 3x  2  
Mục đích của bài tập này là u cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1). Do đó 
cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc. Có 
thể dùng  một phần bảng trình bày quy  tắc giải phương trình, phần bảng cịn lại trình 
bày lời giải phù hợp với từng quy tắc. Tiến hành nhất qn như vậy trong một thời gian 
nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy  tắc giải phương trình bậc hai, đồng thời phát 
triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải. 
Ví dụ 2.
Khi dạy luyện tập giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có thể đưa 
ra cho học sinh thêm bài tập sau: 
2

Giải phương trình:  sin x 

3 sin x cos x  2 cos 2 x  1  

Đứng trước bài tốn này học sinh phải biết các cơng thức nhân đơi và cơng thức 
hạ bậc, từ đó áp dụng các cơng thức này để biến đổi. Ta có thể hướng dẫn học sinh giải 
bài tốn này theo các bước sau: 
+ Bước 1: Tính sin2x, cos2x theo cos2x. 

18