Skkn vận dụng linh hoạt tính chất dăy tỷ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7

MỤC LỤC

Trang

Nội dung

2

Tóm tắt đề tài

3

Giới thiệu

5

Phương pháp

8

Phân tích dữ liệu kết quả

9

Bàn luận Tài liệu tham khảo

10

Kết luận và kiến nghị

12

Tài liệu tham khảo

13

Phụ lục đề tài và kế hoạch bài học

19

Đề và đáp án kiểm tra sau tác động

20

Bảng điểm kiểm tra trước và sau tác động

21

Bảng điểm kiểm tra trước và sau tác động

VẬN DỤNG LINH HOẠT TÍNH CHẤT DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU VÀO VIỆC
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẰM PHÁT HUY TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA
HỌC SINH TRONG HỌC TẬP MƠN TỐN 7
I.TĨM TẮT ĐỀ TÀI
Mơn Tốn trong trường phổ thơng nói chung, mơn đại số nói riêng được xem là cơng
cụ của các mơn học khác và cũng là mơn học có tiềm năng phong phú có thể khai
thác để phát triển tư duy của học sinh .Tuy nhiên việc phát triển tư duy thơng qua dạy
học mơn tốn đại số chưa thực chú trọng. Nhiều học sinh mặc dù có khả năng, có tư
chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng tạo trong toán học, các em thường lệ thuộc nhiều vào
1

tài liệu và các em ngày càng thiếu đi tính tự học tự bồi dưỡng, chủ yếu cách giải các
bài tốn đại số là nhờ học nhiều mà có, các em giải các bài tốn đại số ở đâu đó mà
khơng biết đề xuất các bài tốn đại số tương tự, bài tốn đại số tổng qt hoặc các
em khơng cố gắng trong việc tìm tịi ra các mối ” quan hệ họ hàng” giữa bài toán đại
số đang xét với các bài tốn đại số khác để từ đó có thể đề xuất được các bài tốn đại
số mới từ bài tốn đại số quen thuộc.
Bên cạnh đó các tài liệu tham khảo cũng chỉ nặng về trình bày các lời giải mà không
đề cập đến sự kế thừa kết quả của các bài toán đại số gốc ban đầu, có những bài tốn
đại số nếu chúng ta phát hiện ra được sự liên hệ với một bài toán đại số gốc nào đó
thì chúng ta sẽ tìm được cách giải nhanh chóng hoặc cũng giúp chúng ta đề xuất được
những bài tốn đại số mới. Để có thể làm được điều đó người dạy phải biết khơi gợi
giúp học sinh vận dụng những cái đã có, vốn có của mình, tìm tịi khám phá phát
triển, sáng tạo và mở rộng kiến thức. Đây chính là lý do tơi viết đề tài:

Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số
dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập
mơn tốn 7
Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương: Hai lớp 7A; 7B. Trường THCS
Nam Hồng. Lớp 7B là thực nghiệm và lớp 7A là đối chứng. Lớp thực nghiệm được
thực hiện giải 3 bài toán đại số có liên quan nội dung mà giáo viên đã dạy. Kết quả
cho thấy tác động đã ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh. Lớp thực
nghiệm đã đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm bài kiểm tra đầu ra
của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 6,69 điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp đối
chứng là 5,63. Kết quả kiểm chứng t- test cho thấy p < 0,05 có nghĩa có sự khác biệt
lớn giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó chứng minh
rằng: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng
toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập mơn tốn 7”

2

Vào dạy học làm nâng cao kết quả học tập mơn tốn đại số của học sinh lớp
7.Trường THCS Nam Hồng.
II.GIỚI THIỆU:
Đại số là một môn học rất quan trọng trong việc rèn luyện tính lơgic, tư duy
sáng tạo, giúp học sinh khơng những học tốt mơn tốn đại số mà cịn có thể học tốt
các mơn học khác. Vậy làm thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách
phát triển bài toán và chủ động trong học tập để các em ln có thể tự học và tự sáng
tạo? Ngoài việc rèn luyện kỹ năng giải từng dạng tốn, tìm nhiều cách giải cho một
bài tốn…thì việc khai thác phát triển bài tốn cũng hết sức cần thiết. Nhưng khai
thác như thế nào? Khai thác ở mức độ nào? Đó mới là điều chúng ta cần tập trung suy
nghĩ.
Với mục tiêu đó bản thân tơi xin được trao đổi một kinh nghiệm nhỏ thông qua:
”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán
nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7”
Tuy nhiên ở các trường học hiện nay, mỗi khi học xong một bài học, giáo viên chỉ ra
bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, học sinh chỉ biết giải những bài đó, việc
chỉ dừng lại ở giải các bài tập đó dễ làm cho học sinh thụ động, khó tìm ra được mối
liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài tốn đại số mới các em
khơng biết xuất phát từ đâu, những kiến thức cần vận dụng là gì? Nhưng khi giáo
viên chữa xong bài tập các em mới ồ lờn ụi d quỏ
- Vì vậy ngời thầy giáo ph¶i lùa chän phương pháp thích hợp để học
sinh tích cực tư duy, nâng cao nhận thức, từ đó thúc đẩy tính năng sáng tạo, giải
quyết tốt mọi tình huống các vấn đề đặt ra.
Qua kinh nghiệm của bản thân trực tiếp giảng dạy tơi thấy việc tìm tịi, mở
rộng khai thác kết quả các bài tập đã học là phương pháp khoa học, có hiệu quả từ
chổ bị động các em làm chủ được tình huống, tự tin xử lý các tình huống một cách
nhanh chóng, chính xác. Nếu giáo viên hướng dẫn học sinh biết tìm tịi mở rộng,

3


khai thác kết quả các bài tập đã học, để giải sẽ cuốn hút các em óc sáng tạo, sự phát
triển tư duy.
Một bài tốn đại số dù khó đến mấy cũng được xuất phát từ một bài toán đại
số (hay một mệnh đề) nào đó. Nếu học sinh có thói quen tìm tịi, khai thác, mở rộng
kết quả các bài toán đại số đã học để giải sẽ giúp các em có cơ sỡ khoa học khi phân
tích, phán đốn tìm tịi lời giải của các bài tốn đại số khác một cách năng động hơn,
sáng tạo hơn vào khả năng của bản thân mình. Nếu làm tốt điều này người thầy sẽ
giúp học sinh tin hơn vào khả năng sáng tạo của mình và có thêm hứng thú học tốn
- Trong năm học này tơi được nhà trường phân cơng dạy mơn Tốn lớp 7, tơi
nhận thấy nếu giáo viên có sự trăn trở cho mỗi giờ dạy trước khi lên lớp hay nghiên
cứu kỹ cho mỗi chuyên đề trước khi dạy ơn tập thì hiệu quả của giờ dạy sẽ rất cao.
Đặc biệt trong các giờ luyên tập, ơn tập những giờ học mà địi hỏi phải tổng hợp một
lúc nhiều lượng kiến thức cả về lý thuyết lẫn bài tập thì giáo viên nên hướng dẫn cho
học sinh dạng bài tập để các em có tính hệ thống hóa, nâng cao kiến thức phục vụ
cho việc lưu nhớ lý thuyết và áp dụng vào giải các bài tập. Điều này tôi đã thực hiện
và áp dụng có hiệu quả mỗi giờ lên lớp.
1.Giải pháp thay thế:
”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán
nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7”
Giúp học sinh quan sát, hệ thống phát hiện kiến thức, tổng hợp và ghi nhớ
kiến thức một cách có hệ thống.
2.Vấn đề nghiên cứu:
”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán
nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập mơn tốn 7”
trong dạy học sẽ nâng cao kết quả học tập mơn tốn học, häc sinh lớp 7 không?
3.Giả thuyết nghiên cứu:

4


”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán
nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập mơn tốn 7” sẽ nâng cao
kết quả học tập mơn toán học sinh lớp 7 Trường THCS Nam Hồng.
III. PHƯƠNG PHÁP:
1. Khách thể nghiên cứu:
Tôi lựa chọn trường THCS Nam Hồng vì trường có những điều kiện thuận lợi
cho việc nghiên cứu .
* Giáo viên:
Tôi là người trực tiếp giảng dạy tại trường và lớp 7A; B tôi đang trực tiếp giảng dạy,
có số lượng học sinh tương đối đồng đều. Tôi trực tiếp chọn hai lớp, phân thành như
sau:
Lớp 7B (lớp thực nghiệm)
Lớp 7A (lớp đối chứng)
* Học sinh:
Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ
lệ giới tính, dân tộc. Cụ thể như sau:
Bảng 1. Giới tính và thành phần dân tộc của HS lớp 7A;B Trường THCS Nam Hồng.
Số HS các lớp
Dân tộc
Tổng số
Nam
Nữ
Kinh
7A
24
11
13

24
7B
24
8
16
24
Về ý thức học tập, tất cả các em ở hai nhóm này đều tích cực, chủ động.
Về thành tích học tập của năm học trước, hai lớp tương đương nhau về điểm số của tất
cả các môn học.
2.Thiết kế:
Chọn hai hai lớp 7A;B. Lớp 7B là lớp thực nghiệm và lớp 7A là lớp đối
chứng. Tôi dùng bài kiểm tra 15phút mơn Tốn làm bài kiểm tra trước tác động. Kết
quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự tương đồng, do đó tơi dùng

5


phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2
lớp trước khi tác động.
3.Kết quả:
Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng
5,38

Thực nghiệm
5,44

TBC
p=
0,06

p = 0,06 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp thực
nghiệm và đối chứng là khơng có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương đương.
Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các lớp tương đương (được
mô tả ở bảng 2):
Bảng 3. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm

Kiểm tra trước TĐ

Tác động

KT sau TĐ

Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ
số bằng nhau vào việc giải một số
Thực nghiệm

O1

dạng toán nhằm phát huy tư duy

O3

sáng tạo của học sinh trong học tập
mơn tốn 7
Dạy học khơng “Vận dụng linh
hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Đối chứng

O2

vào việc giải một số dạng toán

O4

nhằm phát huy tư duy sáng tạo của
học sinh trong học tập mơn tốn 7”
ở thiết kế này, tơi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập
4. Quy trình nghiên cứu:
a.Chuẩn bị bài của giáo viên:
- Dạy lớp đối chứng: Thiết kế kế hoạch bài học sử dụng chuẩn bị bài như bình hường.

6


- Dạy lớp thực nghiệm: Thiết kế kế hoạch bài học , sử dụng, chuẩn bị bài như bình
thường. Ngồi ra giáo viên còn cung cấp “Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số
bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học
sinh trong học tập mơn tốn 7” các kiến thức cơ bản một cách vững chắc từ các bài
toán đại số, biết khai thác nhiều bài toán nâng cao.
b. Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà
trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. Cụ thể:
Bảng 4. Thời gian thực nghiệm
Thứ ngày

Môn/Lớp

Học buổi 2

Tên bài dạy
Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số
bằng nhau vào việc giải một số dạng toán

Ba
3/11/2016

Toán 7B

Chiều

nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học
sinh trong học tập mơn tốn 7

5. Đo lường:
Bài kiểm tra trước tác động là mơn tốn, tơi làm bài kiểm tra 15 phút ra đề thi
chung cho cả hai lớp.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong các bài có nội dung
trong chủ đề “Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số
dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập mơn tốn 7’’
tơi dạy lớp 7B. Bài kiểm tra sau tác động gồm 3 câu hỏi tự luận.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, tôi tiến hành bài kiểm tra 45 phút (nội
dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục).
Sau đó tơi tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ:
Bảng 5. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
7

ĐTB
Độ lệch chuẩn
Giá trị P của T- test
Chênh lệch giá trị TB chuẩn

Đối chứng
5,63
1,19

Thực nghiệm
6,69
1,17
0,001

0,89
(SMD)
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 lớp trước tác động là tương đương. Sau

tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P = 0,001, cho thấy: sự
chênh lệch giữa ĐTB lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh
lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm cao hơn ĐTB lớp đối chứng là không ngẫu nhiên
mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =

6,69  5,63
 0,89
1,19

Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có sử dụng “ Vận dụng linh hoạt
tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy

sáng tạo của học sinh trong học tp mụn toỏn 7 các bài toán ở sỏch bi tập tốn
7 đến điểm trung bình học tập của nhóm thực nghiệm là lớn.

8


V.BÀN LUẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là điểm trung bình
= 6,69 kết quả bài kiểm tra tương ứng của lớp đối chứng là điểm trung bình = 5,63.
Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,89; Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai
lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm
trunh bình cao hơn lớp đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,89. Điều
này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. p = 0.001< 0.05

9


Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là p=0,001 < 0.05. Kết
quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai lớp khơng phải là do ngẫu
nhiên mà là do tác động.
* Hạn chế:
“ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng
toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập mơn tốn 7’’
trong giờ học mơn tốn đại số là một giải pháp rất tốt nhưng để sử dụng có hiệu
quả, người giáo viên cần phải biết cách tìm tịi khai thác trên các kênh thông
tin, biết hệ thống các dạng bài tập khi đọc một quyễn sách tài liệu hoặc nghiên
cứu bài dạy thiết kế kế hoạch bài học hợp lí.
VI. KẾT LUẬN VÀ khuyẾn NGHỊ :
1.Kết luận:

“ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng
toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn tốn 7’’
vào giảng dạy mơn Tốn 7 ở Trường THCS Nam Hồng đã nâng cao hiệu quả
học tập của học sinh.
2.Khuyến nghị
Để đáp ứng không ngừng việc đổi mới phương pháp dạy học, cũng như sự đổi
mới trong cách dạy của thầy và cách học của trò, nhằm đạt hiệu quả dạy học cao nhất
thì buộc người thầy phải truyền thụ kiến thức một cách thật sáng tạo, tổ chức các
tình huống học tập, các câu hỏi dẫn dắt để khai thác bài tốn mới có tác dụng gây sự
tập trung chú ý, kích thích hứng thú học tập của học sinh. Hệ thống câu hỏi, nêu ra từ
dễ đến khó đã lơi cuốn học sinh vào hoạt động tự lực, đề xuất bài tốn mới, mới làm
học sinh có niềm vui, sự thích thú khi giải bài tập tốn. Vì thế học sinh say mê học
tập hơn, khả năng tổng quát hóa, tương tự hóa,… được phát triển.
Học sinh biết so sánh các bài toán trong từng dạng, biết xâu chuỗi các bài tốn
từ dễ đến khó, các em tự tìm tịi, khám phá biết quy lạ thành quen, biến phức tạp
thành đơn giản.
10


Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng , biết khai thác các kênh
thơng tin có liên quan đến bộ môn mà bản thân đang trực tiếp giảng dạy nhằm tích
lũy kiến thức để phục vụ dạy học ngày một tốt hơn
Với kết quả của đề tài này, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm, chia
sẻ và đặc biệt là đối với giáo viên dạy học bộ mơn tốn cấp THCS có thể ứng dụng đề
tài này vào việc dạy học để tạo hứng thú và nâng cao kết quả học tập cho học sinh.
Th«ng qua nghiên cứu và thực hiện đề tài này, tôi rút ra đợc nhiều
kiến thức và kinh nghiệm quy báu hỗ trợ công tác giảng dạy ngày
một tốt hơn
Do điều kiện thời gian có hạn, các tài liệu tham khảo cha đầy đủ,
năng lực còn hạn chế nên đề tài không thể tránh khỏi những sai

sót.
Rất mong Hội Đồng Khoa học của trờng và Hội Đồng Khoa học
nghành xem xét, ®iỊu chØnh vµ bỉ sung ®Ĩ qua ®ã nh»m rÌn
lun tay nghề của tôi ngày một vững vàng hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nam Hồng ngày
5/10/2016
Ngời thực hiện

Lê Thị Hơng
VII.TI LIỆU THAM KHẢO

11


1) Sách giáo khoa toán 7, Sách bài tập bài tập toán 7 - Tập I; II. Nhà xuất bản
giáo dục - 2011. Tác giả: Phan Đức Chính - Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Ln –
Ph¹m Gia Đức.
2) Cỏc chuyên đ chọn lọc toán 7 - Tp I; II. Nhà xuất bản giáo dục Việt
Nam - 2013. Tỏc gi: Tụn Thõn - Đặng Văn Luận - Bựi Văn Tun
3) To¸n båi bìng häc sinh 7. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2013.
Tác giả: Tôn Thân - V Hu Bỡnh - Đỗ Quang Thiều.
4) Nõng cao và phát triển Toán 7. Tập I; II. Nhà xuất bản giáo dục. Tác giả: Vũ
Hữu Bình.
5) Thực hành giải toán. Nhà xuất bản giáo dục - 2001 Tác giả: Vũ Dương
Thụy- Phạm Gia Đức- Hoàng Ngọc Hưng - Đặng ỡnh Lng.
6) Bài tập nâng cao và một số chuyên ®Ị to¸n 7. Nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam - 2010. Tỏc gi: Bùi Văn Tuyên.
7) Khai thỏc v phỏt triển một số bài toán trung học cơ sỡ- Tập I; II. Nhà xuất

bản giáo dục Việt Nam - 2013. Tác giả:NGƯT. Nguyễn Tam Sơn .
- Đặc biệt trong đó có sự đóng góp của các đồng nghiệp giáo viên Trường
THCS Nam Hồng

12


VIII. PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI
A. KẾ HOẠCH BÀI HỌC:
LÝ THUYẾT
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a c
a c a c a c


suy ra  
(b ≠ ± d)
b d
b d bd bd
2) Tính chất mở rộng. Nếu có n tỉ số bằng nhau ( n �2 ):

1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

a1 a 2 a 3
a
  �
�
� n
b1 b 2 b3

bn
ta suy ra:

a1 a1  a 2  a 3  �
�
�
 a n a1  a 2  a 3  �
�
�
 an


�
�
�
b1 b1  b2  b3  �
�
�
b n b1  b 2  b3  �
�
�
 bn
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

II. Nhận xét
Nếu đặt trước dấu“ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào đó thì cũng đặt dấu “ - ”
trước số hạng dưới của tỉ số đó.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số
bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số
hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của

bài toán.
III. Các dạng toán và phương pháp giải
Trong chuyên đề này ngoài việc đề xuất được một số dạng tốn vận dụng linh hoạt
tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tơi cịn đề xuất được một số bài toán mới từ một số bài
toán gốc bằng cách thay đổi giả thiết bài toán hoặc biến đổi tương đương.
Dạng 1. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm thành phần chưa biết.
a. Một số bài tốn
Bài tốn 1. Tìm các số x, y, z biết rằng :
x y z
 
và x + y +z = 360
2 5 3

Định hướng : Để sử dụng giả thiết

x y z
  ta đưa về vận dụng tính chất dãy tỉ
2 5 3

số bằng nhau làm xuất hiện tổng x + y + z = 360 từ đó đi tìm giá trị của x; y; z
13


Giải
Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

�x  72
x y z x  y  z 360
�

  

 36 � �y  180
2 5 3 2  5  3 10
�z  108
�
Nhận xét: Ngồi cách giải trên ta có thể giải bài toán bằng phương pháp đặt giá
trị chung:
Cách 2. Đặt giá trị chung.

�x  2k
x y z
�
Đặt:    k � �y  5k
2 5 3
�z  3k
�
Vì x + y +z = 360 nên 2k + 5k + 3k = 360 suy ra 10k = 360 hay k = 36. Ta có:

x  72
�
�
��
y  180
�
z  108
�
Vậy x = 72; y = 180; z = 108.
Nhận xét: Từ giả thiết

x y z
  ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp
2 5 3

thế
Cách 3. Phương pháp thế. Từ:

x z
2z
 �x
2 3
3
y z
5z
 �y
5 3
3
Mặt khác: x + y +z = 360 �

2z 5z
  z  360 � z  108 và x = 72 và y= 180.
3
3

Vậy x = 72; y = 180; z = 108.

14


Nhận xét. Một cách tương đương có thể xem tỉ số

x y z
  thành x: y :z = 2 :
2 5 3

5 : 3 đề xuất được một bài toán mới sau:
Bài toán 1.1. Cho x : y : z = 2 : 5 : 3 và x + y + z = 360. Tìm x; y; z?
Hướng dẫn. Từ x : y : z = 2 : 5 : 3 �

x y z
  và x + y + z = 360.
2 5 3

(Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1).
Nhận xét: Biến đổi tương đương từ tỉ số

�5x  2y
x y z
  thành �
tiếp tục đề
2 5 3
3y

5z
�

xuất bài toán mới
Bài toán 1. 2.

�5x  2y

và x + y + z = 360 . Tìm x; y; z?
3y

5z
�

Cho �

5x  2y
�
3y  5z
�

Hướng dẫn. Từ �
suy ra :

x y�

� x y z
2 5�
��  
y z� 2 5 3
3y  5z � 
5 3�
5x  2y �

và x + y + z = 360.
(Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1).
Nhận xét.
Từ

x y z
x y z
  có BCNN (2; 5; 3) = 30 nên   ta suy ra 15x = 6y = 10z
2 5 3
2 5 3

chúng ta đề xuất được một số bài toán mới.
Bài toán 1.3. Cho 15x = 6y = 10z và x + y + z = 360. Tìm x ; y; z?
x
2

y
5

z
3

Hướng dẫn: Từ 15x = 6y = 10z � 30 �  30 �  30 � �

x y z
  .
2 5 3

(Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1).
Nhận xét. Nếu thay đổi một trong các giả thiết của bài toán x + y + z = 360 bởi
2x + 3y - z = 576), ta có bài toán mới:
Bài toán 1.4. Cho 5x = 2y ; 3y = 5z và 2x + 3y - z = 576 . Tìm x; y; z?
15

Định hướng: Từ giả thiết của bài toán 5x = 2y ; 3y = 5z vận dụng tính chất tỉ
lệ thức đưa về dạng 5x = 2y �

x y
y z
 và 3y = 5z �  , từ đó tìm mối quan
2 5
5 3

hệ giữa x; y; z để vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm ra các giá trị của x;
y; z
Giải:
Theo bài ra ta có:
x y�

2x 3y z
� x y z
2 5�


��   �
y z � 2 5 3
4
15 3
tính 3y  5z � 5  3 �
5x  2y �

Áp dụng
chất dãy tỉ số bằng

nhau, ta ừ có:

x y z 2x 3y z 2x  3y  z 576
  

 

 36
2 5 3 4 15 3
4  15  3
16

Suy ra: x = 72 ; y = 180; z = 108.
Nhận xét: Chuyển bài tốn 1 sang ngơn ngữ bằng lời văn ta tiếp tục đề xuất bài
toán mới
Bài toán 1. 5: Tìm x; y; z biết ba số đó tỷ lệ với các số 2; 5; 3 và tổng của ba số đó
là 360.
Hướng dẫn. Theo giả thiết bài tốn: x; y; z tỷ lệ với các số 2; 5; 3 nên

x y z
 
2 5 3

và tổng của ba số đó là: x + y + z = 360.
(Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1).
Nhận xét: Thay đổi dự kiện tổng của ba số x + y + z = 360 thành tích xyz =
1399680 ta lại có một bài tốn mới
Bài toán 1. 6: Cho

x y z

  và xyz = 1399680. Tìm x; y; z?
2 5 3

Hướng dẫn: Từ tỉ lệ thức:
3

3

3

3

x y z
1399680
3
�x � �y � �z � �x � xyz
  suy ra � � � � � �� � �

 46656   36 
2 5 3
5 3
30
�2 � �5 � �3 � �2 � 2 ��

Vậy: x = 72 ; y = 180; z = 108.
Bài tốn 2:. Tìm x; y; z biết:

x  2 y 1 z 1



 x yz
y
z
x

(Đề thi Giáo viên giỏi Thị xã Hồng Lĩnh năm học 2014- 2015)
Giải.
16


Điều kiện x; y; z �0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x  2 y 1 z 1
(x  2)  (y  1)  (z  1) x  y  z


 xyz 

y
z
x
yzx
xyz

Do đó:

Suy ra:

x yz

 xyz
x yz
�x  y  z �0
�
�x  y  z  1

Trường hợp 1: x + y +z = 0 �

x  2 y 1 z 1


0
y
z
x

�x  2  0 �x  2
�
�
� �y  1  0 � �y  1
�
�
z 1  0
z  1
�
�

Vậy: x = 2; y = - 1; z = - 1
Trường hợp 1: x + y +z �0 �
nên

xyz
 x  y  z � x  y  z 1
xyz

x2
1� x  2  y
y
y 1
 1� y 1  z
z
z 1
 1 � z 1  x � z  x 1
x
Thay y = x - 2; z = x - 1 vào x + y + z = 0 ta có : x + (x - 2) + (x - 1) = 1
4
2
1
Vậy: x  ; y  ;z  và x = 2; y = - 1; z = - 1
3
3
3
Bài toán 3. Cho bài tốn: Tìm x; y biết
2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2



7
11
18

6x

Một học sinh đã giải
như sau:
“ ĐKXĐ x �0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2
20



� 6x  18 � x  3; y 
”
7
11
18
6x
21

a) Em hãy chỉ ra sai lầm trong cách giải của của bạn học sinh đó.
17


b) Em hãy giải bài toán trên
Giải
a) Lời giải cần xét thêm khả năng : 2x + 3y + 2 = 0 ( với x �0) từ đó có thêm giá trị
của x = 2; y = - 2
b) Lời giải bài toán
Trường hợp 1: 2x + 3y + 2 = 0( với x �0) thì :

2x  4 3y  6 2x  3y  2 0



7
11
18
6x
2x  4
�
 0 � 2x  4  0 � x  2
7
3y  6  0 � y  2
Trường hợp 2: 2x + 3y +2 �0 ta có
2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2
20



� 6x  18 � x  3; y 
7
11
18
6x
21
20
Vậy: x = 3; y 
và x = 2; y = - 2.
21

b. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Tìm x, y, z biết:
6
9 18
x  y  z và – x + z = -196.
11
2
5
x  1 y2 z 5


b.
và 5z – 3x – 4y = 50.
2
4
6
4
3
2


c.
và x + y – z = - 10.
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

a.

Bài tập 2. Tìm x, y biết:
a.

1 2 y 1 4 y 1 6 y


18
24
6x

b.

1  3y 1  5 y 1  7 y


.
12
5x
4x

Dạng2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính giá trị biểu
thức.
a. Một số bài tốn
Bài tốn 1: Cho:

a b c
  . Tính giá trị biểu thức:
2 3 5

18


F=

Định hướng : Từ giả thiết

9
2
 a  b �
 b  c    c  a   2016
2

a b c
  để tính được giá trị biểu thức F ta phải tìm
2 3 5

các hiệu a - b; b - c; c - a thông qua tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Giải.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a b bc ca a b bc ca
  





2 3 5 23 35 52
1
2
3

Suy ra:
 c  a �
2

�
2 c  a 
�
3
��  a  b   b  c  
9
2  c  a  �
bc 
�
3
�

ab

Nên:
F=
=

9
2
 a  b �
 b  c    c  a   2016
2
9 2
2
2
�  c  a    c  a   2016 = 2016
2 9

Nhận xét. Từ bài toán 1 ta đề xuất bài tốn mới.

Bài tốn 1.1:

Cho:

a
b
c


2015 2016 2017

Tính giá trị biểu thức: K = (c – a)2 - 4(a - b)(b - c).
Giải. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
ab
bc
ca
a b bc ca








2015 2016 2017 2015  2016 2016  2017 2017  2015
1

1
2
2  a  b  2  b  c  c  a
�


2
2
2

Suy ra:

2  a  b    c  a  �
2
�
 b  c   c  a 
�� 4  a  b  �
2  b  c    c  a  �
Nên: K = (c – a)2 - 4(a - b)(b - c) = (c – a)2 - (c – a)2 = 0 .
Bài toán 2 : Cho:
19


ab bc ca


(với a, b, c �0)
c
a
b

Tính giá trị của biểu thức :
� a�
� b�
� c�
B�
1 �
1 �
1 �
�
�
� b�
� c�
� a�

(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2015 - 2016 của Thị xã Hồng Lĩnh).
Giải
Cách 1: Ta có:
� a�
� b�
� c � �b  a �
�c  b �
�a  c �
B�
1 �
1 �
1  � �
�
�
�

�
�
�
�
� b�
� c�
� a� � b �
�c �
�a �

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a  b b  c c  a (a  b)  (b  c )  (c  a ) 2(a  b  c)




c
a
b
cab
c ab

Trường hợp 1. Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b .
�c ��a �� b �

� ��
� � 1 .
B = � ��
�b ��c ��a �

Trường hợp 2

. a + b + c �0 ta có

a  b b  c c  a (a  b)  (b  c )  (c  a ) 2(a  b  c )




=2
c
a
b
c a b
c a b

Suy ra:
Cách 2. Từ:

B = 2.2.2 = 8.
ab bc ca
ab
bc
ca


�
1 
1 
1

c
a
b
c
a
b
�

a b c a b c a b c


(*)
c
a
b

+) Xét: a  b  c  0 � a  b  c; a  c  b; b  c  a
B

a  b b  c a  c c a b abc
� �

� � 
 1
b
c
a
b c a
abc

+) Xét: a  b  c �0 . Từ (*) ta có :
a  b  c � B  8.

Nhận xét. Nếu đặt

ab bc ca


 k chúng ta có bài toán mới.
c
a
b
20


Bài toán 2.1: Cho:
ab bc ca


 k (với a; b; c �0)
c
a
b

Tính giá trị biểu thức:
P  (k 2  k  1) 2

Giải
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
k

a  b b  c c  a (a  b)  (b  c )  (c  a ) 2(a  b  c )




c
a
b
c a b
c a b

Trường hợp 1: Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c � k 
Khi đó: P  k 2  k  1

2016



  1

2



 11

2016

a  b c


 1 .
c
c

1

Trường hợp 1: a + b + c �0 .
Khi đó: P  k 2  k  1
b. Bài tập vân dụng:
Bài tập 1: Cho:

2016

  22  2  1

2016

 1.

�x, y, z �0vàx  y  z �0
�2
�b y  c 2 z c 2 z  a 2 x a 2 x  b 2 y


3
� x
y
z
�

Tính giá trị biểu thức:
P

Bài tập 2. Cho x, y ,z �0
và

2
2
2
 2
 2
a 3 b 3 c 3
2

y  2x  4z z  2x  4x x  2z  4y


2x
2y
2z

Tính giá trị biểu thức:
� x �
� y �
� z �
P�
2
2 �
2

�
�
�
�
� 2z �
� 2x �
� 2y �

Bài tập 3. Cho :
Tính : A 

a1 a2 a3
a
a


 L  n 1  n
a2 a3 a4
an
a1

a12  a22  L  an2

 a1  a2  L

 an 

2

21

( a1  a2  L  an �0 )


Dạng 3. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức.
a. Một số bài toán
Bài toán 1 :
Cho:
bz  cy cx  az ay  bx


a
b
c

Chứng minh rằng:

( với a, b, c ≠ 0)

(1)

x y z
  .
a b c

(Đề thi học sinh giỏi thị xã Hồng Lĩnh lớp 7 năm học 2007 -2008)
Giải.
Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a, b hoặc c và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau, ta có:
bz  cy cx  az ay  bx abz  cya cxb  abz ayc  bxc






a
b
c
a2
b2
c2
baz  cay  cxb  abz  ayc  bxc
0


0
a 2  b2  c2
a 2  b2  c2

Vậy:

y
�
bz  cy  0
�

�
�
�
b

cx  az  0 � �
�
x
�
�

ay  bz  0
�
�
a
x
y
z
� 

a
b
c
Bài toán 2: Chứng minh rằng: Nếu:
a(y + z) = b(z + x) = c(x + y)
(trong đó a, b, c là các số khác nhau và khác 0) thì:

z
c
z
c

(1)

y z

z x
x y


a ( b  c ) b (c  a ) c ( a  b )

Giải.
Vì a, b, c ≠ 0 nên chia tích abc cho (1) ta được:
a  y  z  b  z  x   c  x  y

a  y  z b z  x c x  y


abc
abc
abc
yz zx xy
�


bc
ac
ab
�

22


Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
y  z z  x x  y  x  y   z  x   y  z   x  y  z  x    y  z 






bc
ac
ab
ab  ac
bc  ab
ac  bc
yz
zx
xy
�


a  b  c b  c  a  c  a  b

b. Bài tập vân dụng:
Bài tập 1:

Bài tập 2:
Bài tập 3:

a b c
  . Chứng minh rằng:
b c d
3
�a  b  c � a

�
�
�b  c  d � d
a b c
Cho:   . Chứng minh rằng: a = b = c.
b c a

Cho:

Cho

a1 a 2 a 3
a
a

 �
�
�
 8  9 ;a 1  a 2  a 3  �
�
�
 a9  0
a2 a3 a4
a 9 a1

�
�= a9.
Chứng minh rằng: a1 = a2 = a3 = �

Bài tập 4 : Cho dãy tỉ số bằng nhau :

a1 a2 a3
a


 L  2014
a2 a3 a4
a2015

Chứng minh đẳng thức :
2014

�a  a  a3  L  a2014 �
a1
 �1 2
�
a2015 �a2  a3  a4  L  a2015 �

Dạng 4. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào giải một số bài toán thực tế.
Bài toán 1. Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của Đội, ba lớp 7A, 7B, 7C đã
thu mua được tổng cộng 120 kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi
đội lần lượt tỉ lệ với 9: 7: 8. Hãy tính số giấy vụn mỗi chi đội thu được.
Giải.
Gọi số kg giấy vụn của lớp 7A,7B, 7C lần lượt là x, y, z (kg).
Điều kiện: x, y, z  N*, x, y, z ≤ 120.
Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 số kg giấy vụn ta có: x  y  z  120
Số giấy vụn thu được của ba chi đội lần lượt tỉ lệ 9 : 7 : 8 nên:

23

x y z
 
9 7 8

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y z x  y  z 120
  

5
9 7 8 9  7  8 24

x  45
�
�
��
y  35 (thỏa mãn điều kiện bài toán)
�
z  40
�
Vậy số giấy vụn thu được của lớp 7A là 45 kg; 7B là 35 kg và lớp 7C là 40 kg.
Bài toán 2: Ba máy xúc, xúc được 718 m3 đất. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ
theo 3: 4 : 5. Số giờ làm việc của các máy tỉ lệ theo 6 : 7 : 8, cịn cơng suất làm việc
của các máy tỉ lệ nghịch với 5 : 4 : 3. Hỏi mỗi máy xúc xúc được bao nhiêu mét khối
đất.
Giải.
Gọi khối lượng đất xúc được của mỗi máy xúc lần lượt là: x, y, z (m3)
(x, y, z �0) ta có: x + y + z = 718.
0)
Gọi số ngày làm việc mỗi máy tướng ứng là: x1; y1;z1 (ngày) (x1 ; y1;z1 �

Ta có:
x1 y1 z1
 
3
4 5

(1)

Gọi số giờ làm việc hàng ngày của mỗi máy lần lượt là x2 ; y2 ; z2 ( giờ)
(x2 ; y2 ; z2 > 0)
Ta có:
x 2 y2 z 2


6
7
8

(2)

Gọi công suất làm việc của mỗi máy xúc tương ứng là x3 ; y3 ; z3 (m3 /giờ);
(x3 ; y3; z3 > 0 )
Ta có:
x 3 y3 z3


1
1
1
5

4
3

(3)

Từ (1), (2), (3) và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x1 x 2 x 3
yy y
zz z
 1 2 3  1 2 3
1
1
1
3 ��
6
4 ��
7
5 ��
8
5
4
3
x
y
z
x yz
718
�





 30
18
40
18
40
359
7
7
5
3
5
3
15

24


�x  108
�
� �y  210 (thõa mãn điều kiện ).
�
z  400
�

Vậy x = 108 m3 ; y = 210 m3 ; z = 400 m3.
Bài toán 3: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m,
giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng
còn lại

2
1
3
cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn
3
3
5

thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2 : 3 : 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng
đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.
Giải.
Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m).
Điều kiện: 0< x, y, z �186
Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là : x + y + z = 186.
Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại

2
1
3
cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai,
3
3
5

cuộn thứ ba. Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai,
thứ ba lần lượt là

x 2 y 2z
, ,

(mét).
3 3 5

Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2: 3: 2 và
giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
Số mét vài bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2: 3: 2
Nên:
�

x 2 y 2z
:
:
 2:3: 2
3 3 5

�

2x 2 y 2z


12 9 10

x y z
x  y  z 186
  

6
12 9 10 12  9  10 31

�x  72

�
� �y  54 (thỏa mãn điều kiện )
�z  60
�

Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần
lượt là : 24 : 36 :24 (mét).
b. Bài tập áp dụng:

25