Skkn kinh nghiệm giải toán về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình toán 7

Kinh nghiệm giải tốn về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau của chương trình tốn
7

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
“KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU CỦA CHƯƠNG TRÌNH TỐN 7 ”
1/. Lí do chọn đề tài:
Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ
thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở
trường phổ thơng và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi.
Luật Giáo dục 2005(điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người
học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Với mục tiêu giáo dục phổ thơng là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân,
tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐBGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi
dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
và trách nhiệm học tập cho học sinh”.
Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lịng say
mê học tập và ý chí vươn lên thì địi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp
dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.Tôi là một giáo viên được phân cơng
giảng dạy mơn tốn 7 nhiều năm liền và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và
Sáng kiến kinh
nghiệm

1

Năm học: 2013 2014


tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trị vẫn cịn sai lầm trong lời giải. Tơi muốn
đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trị khơng cịn sai sót đó nữa nên tơi đã nghiên
cứu đề tài: “KINH NGHIỆM GIẢI TỐN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU CỦA CHƯƠNG TRÌNH TỐN 7 ”.

2/.Đới tượng nghiên cứu:
- Nhằm nắm lại chất lượng mơn Tốn lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi
kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I .
- Thơng qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp
- Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ
đầu năm học đến kết quả học kì một.
- Học sinh có học lực khá, giỏi.
- Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới
3/.Phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh có học lực khá, giỏi của lớp 7 trường THCS để so sánh kết quả.
4/.Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan.
- Thơng qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp.
- Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp.
- Hệ thống lý thuyết của từng tiết dạy, từng chủ đề về tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau , chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc
từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ

đầu năm học đến cuối học kì I.
Giả thiết khoa học đặt ra
Học sinh nắm chắc các kiến thức giải tốn về tỉ lệ thức và tính chất của dãy
tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh


đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải tốn về tỉ lệ thức và tính chất của dãy
tỉ


số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số giữa các số hữu
tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các
số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số
hạng đó, chứng minh đẳng thức,…). Thơng qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành
cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đốn, rèn tính cẩn thận, linh
hoạt.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1/.Cơ sở lý luận:
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị
quyết Trung ương 4 khoá VII(1-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (121996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các
chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999). Luật giáo dục,
điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Vì vậy, ngồi việc nắm vững lý thuyết trên
lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài
tập.Bài tập Tốn nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng,
hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán
nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác

trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá
mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của
học sinh.
Dạy Tốn, học Tốn là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu . tìm tịi,
đúc kết kinh nghiệm của người dạy Tốn và học Tốn là khơng thể thiếu được.
Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo


viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu
ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn đắt
học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học
Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Chính suy nghĩ trên, bản thân tơi đã tìm tịi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp
học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
rên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải
luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó rút ra những
kiến thức cần nhớ.
2/.Cơ sở thực tiễn:
Thơng qua việc giải tốn sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.
Đứng trước một bài tốn, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản,
vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng tốn đó,
từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài tốn nhanh nhất.
Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người
thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu
rộng, giúp học sinh :
- Nhìn nhận từ một bài tốn cụ thể thấy được bài toán khái quát
- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài tốn cụ thể

- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau
- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải tốn.
Với một sự lao động nghiêm túc tơi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn
bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng tốn vận dụng tính chất
của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7.


3/.Nội dung vấn đề:
3.1. Lý thuyết:
a

c

a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số  .
b

Ta cịn viết:

d

a : b = c : d.

Trong đó: a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài)
b và c là các trung tỉ (số hạng trong).
b. Tính chất của tỉ lệ thức:

Tính chất 1: Nếu

a

c

a
b

c
d

thì a.d = b.c



b



d

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
b  d ; c  d ; b  a; c  a .
a c
a b d c d b
Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức  suy ra các tỉ lệ thức:  ,  , 
c d b a c
b d
c. Tính chất của dãy tỉ sớ bằng nhau:
a
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức 
c

b

a c ac ac
suy ra b d  b  d b 
d
d
a

c

Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau  
b
a
b

j

bd j

d

bdj

Tính chất 3: Nếu có n tỉ số bằng nhau (n 2):
a1 a2 a3
a
   ...  n

ta suy ra:

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

c i a  c  i a  c  i
  

d

i

, (b ≠ ± d)

thì

a


b1

b2

b3

bn

a1 a2 a3
a
   ...  n
b1

b2

b3

an a1  a2  a3  ...   a1  a2  a3  ...  an
bn b1  b2  b3  ... 
b1  b2  b3  ...  bn
bn

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)


Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”
trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả
năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới
bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng
thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có:

x



a

y



b

z

c

.

Ta cũng viết: x : y : z = a : b : c
3.2. Các giải pháp thực hiện:
Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trong
quá trình giải tốn . Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải , sự
nhầm lẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”
x

y
x y
 () 
thì các em lại dùng dấu “=” là sai.
d
9 5
9.3 5.3

Ví
dụ:

Hãy tìm x, y, z biết x  y 
z
5 3 4

và x +y + z = 12

Giải: x  y  z () x  y  z  12  1
vậy

5

3S

4

5  3  4 12

x

 1  x  5.1  5

5

Ở trên các em dùng dấu “=>” là sai.
Vì vậy tơi đưa ra một số dạng tốn nhỏ giúp các em khơng cịn sai sót trong lời
giải của mình:
1. Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
2. Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
3. Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng.
3.3. Các dạng toán:


3.3.1/Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp giải: tìm cách biến đổi dể trở về đẳng thức cần chứng minh hoặc có
thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng số k nào đó.


a

Bài 1.1: cho

c



a

chứng minh rằng

c



.

ab cd
a c
hoặc biến đổi tỉ lệ thức cho trứơc
GV: đối với bài toán này ta có thể đặt   k
b d
b

d

để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.
Giải:
a

Cách 1: 

c

b
a

Cách 2:

b d
b
d ab cd
a
(đpcm)
 c 
   1  1 

d
a c
a
c
a
ab cd
c
c



b

d



a

b



c



ab

a
 c

cd

d



(đpcm)

ab cd

Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)
suy ra a  bk; c  dk

a c
đặt   k
b

d

Ta có:
a

k

bk



a  b bk  b
c
cd

k

dk
dk  d

bk
b(k 1)



dk

(1)


k 1

(2)



d (k 1) k 1
a
c

Từ (1) và (2) suy ra
ab cd

a

c
ab cd
  1 thì


với a, b, c, d ≠ 0.

Bài 1.2. Chứng minh rằng : Nếu
b

d

ab

cd

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1
Giải:
Cách 1 : Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: a  c  a  1  c  1  a  b  c  d
b d
b
d
b
d


ab



bc  d d


(1)
a c a  b c  d a  b b (2)
b  d  b  d  c  d
d

dTừ (1) và (2) =>

ab

cd
d



ab
cd



ab



c

(đpcm)

ab c

a c
Cách 2: Đặt   k suy ra a  bk; c  dk
b

d

Ta có a  b  bk  b  b.(k 1)  k 1

Và

(1)

a  b bk  b

b.(k 1)

k 1

c  d

d.(k 1)

k 1 (2)



cd

dk  d





dk  d

d.(k 1) k 1
ab cd

Từ (1) và (2) suy ra

.
ab cd
a
Bài 1.3: Nếu  thì:
c
b

d

5a  3b

a, 5a 
3b

5c  3d
 5c  3d

a 2  b2  a
b
c
d

b, c2  d
2

GV: - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được
khơng? Giáo viên hướng dẫn theo cách 2 của bài 1 và cho học sinh về nhà giải
theo cách 3
a. Từ

Giải:


a

c a
 

(áp dụng kết quả

5c  3d
b

d
d

c

của bài 2 )
b. Từ a

Từ

b



a

  

b
a

c

d

c

b



a2

5c

3b

3d

3d



b2

c2

d



5a 
3b

(1)

a2  b2

d2

5c  3d

c2  d 2

a b a a b a
a2 ab
   .  . 

(2)
c2
d
c d
c

cd

Từ (1) và (2) suy ra a2 

a
b
c
d
a2 
Bài 1.4: Chứng minh rằng: Nếu bc
b2 c2
d2

(đpcm)

thì

ab

ca

điều đảo lại có đúng hay
ab ca

khơng?
Giải:
+ Ta có: a2  bc  ac  ba ac ba a cb a a cb a aabb cca
a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:
ab c

a a  b c 
a
  a  b  c  a    a  b  c  a 
hay ac  a2  bc  ab  ac  a2  bc  ab
 2bc  2a2

 a2  bc

c c

d c


Bài 1.5:Chứng minh rằng: Nếu

Ta có:

(1) và 2bd  c(b  d ) (2)

ac
2b

Giải:

đk: b;d≠0 thì

a



b

c
d

a  c  2b   a  c  d  2bd  3

Từ (3) và (2)
 c  b  d    a  c d

 cb  cd  ad  cd
 cb  ad
 a c
b  d (đpcm)

3.3.2/ Dạng 2 : Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.
Phương pháp giải: giả sử phải chia số S thành ba phần x, y, z tỉ lệ với các số
a, b, c. Ta làm như sau:
x
a
c



y
b

z

 

c

xy z



s

abc ab

do đó x 

s

ab
c

.a ; y

Bài 2.1: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: x  y ; y  z
2 3 4 5

s

ab
c

s

.b ; z

.c

abc

và x + y – z = 10.

Hướng dẫn: ở bài toán này chưa cho ta một dãy tỉ số bằng nhau. Vậy để xuất hiện
một dãy tỉ số bằng nhau ta làm thề nào? Ta thấy ở tỉ số

y và

3

y
4

có hai số hạng trên

giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới( ta tìm một tỉ số
trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau), ta sẽ quy đồng hai tỉ số này
về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm BCNN(3;4)=12 từ đó mẫu chung của 3 và 4
là 12


Giải:
BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:
x



2
y

y x y
  
3
z

8

 

4

y

5

12

( nhân cả hai vế với

12


z
15

) (1)

1
4

( nhân cả hai vế với

Từ (1) và (2) x y

1
3

)

(2)

z . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

8  12 15

x
8

y z
  
12

15

10
xy 

2
x
8 12 15 5

Vậy: x = 8.2 = 16 ; y = 12.2 = 24 ; z = 15.2 = 30
z
y
và
15  20 28

Bài 2.2. Tìm x, y, z biết: 

2x  3y  z  186

GV : Bài cho 2x  3y  z  186
Làm như thế nào để trong dãy tỉ số bằng nhau trên xuất hiện biểu thức
2x  3y  z  186 ?

Giải:
x

Từ 
15

2x 3y z
 z
.
20  28 hay 30 60 28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2x 3y z 2x  3y  z 186
 30  60 28 62
3.
30  60 28

2x = 3.30 = 90  x = 90:2 = 45

Suy ra :

3y= 3.60 = 180  y = 180:3 = 60
z = 3.28 = 84 y z
5
Bài 2.3. Tìm x, y, z cho: x  y và
3 4

 và 2x  3y  z  372
7

GV : Nhận xét bài này và bài 2.2 có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào?
Giải:
BCNN(4;5)=20 nên ta biến đổi như sau:
1
Ta có: x y x y
  
(nhân cả hai vế cho ) (1)
3

4

15

20

5

1
y
z
(nhân
cả
hai
vế
cho
) (2)
 
5 7
20  28
4
y

z

Từ (1) và (2) suy ra x y z

15  20

28

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau giống bài 2 ta giải ra được:
x = 90; y = 120; z = 168
Bài 2.4. Tìm x, y, z biết x y

y
và x + y + z = 98
2  3 và z 
5 7

GV : tương tự bài tập 2.1. Tìm BCNN(3 ;5)=15.
ĐS: x = 20; y = 30; z = 42
Bài 2.5. Tìm x, y, z biết:
a.
b.

x 1
2
2x
3



y2
3



3y
4





z3
4

4z
5

 1 và 2x + 3y –z = 50

 2  và x + y +z = 49


Giải:
a. Ta biến đổi (1) như sau :

2.(x 1)



3.( y  2)

2.2



z3

3.3

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2  x 1



3  y  2 

4

z  3 2 x  2  3 y  6 
z  3 
 2x  3y  z   2  6  3 50  5

9
5
9
4
494

9

x 1
2
y2
3
z3
4

ha
2  x 1 3  y  2 
z3
4 y
 9
4
4

 5  x  11
 5  y  17
 5  z  23

b. Hướng dẫn: ở bài toán này giả thiết cho x + y +z = 49 nhưng các sống hạng
trên của dãy tỉ số bằng nhau lại là 2x ; 3y ; 4z, làm thế nào để các số hạng trên chỉ
còn là x ; y ; z. ta sẽ tìm BCNN (2;3;4) = 12 và khử tử để các số hạng trên chỉ còn
là x ; y ; z
Giải:
Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12
2x



3

3y



4

4z
5



2x

3.12

3y
4.12



4z
5.12

ha
y

x

y z
 

18

16

15

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x

y z
  

18

16

15

49
xy 
1
z
18 16 15 49

=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 2.6. tìm các số a, b, c biết rằng : 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30.
Giải :
Từ 2a = 3b suy ra a  b
3 2


Từ 5b = 7c suy ra b  c
7 5
Ta tìm BCNN(2,7) = 14.

a

b

a

b

a

Từ     
3
b

2
c

3.7
b

2.7

c

b

Từ     
7

5

7.2

5.2

(1)

b
21 14

(2)

c
14

10

Từ (1) và (2) ta có: a b c

21 14 10

Từ

a
b c 3a 7b 5c

 3.21

7.14
21 14 10

3a 7b 5c

5.10
63  98  50

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số bằng nhau
3a

7b

5c

3a  5c  7b

3a
63



7b



98

5c
50

30

ta có: 63 98 50 63  50  98 15  2
Từ đó ta tính được a = 42; b = 28; c = 20
Bài 2.7. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
a1 1 a 2  2
a9 
9

 ... 
9

8

1

 90

và a  a  ...  a
1

2

9

Giải :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a1 1


 ...  9

9

a2  2

8

 ... 

a9  9

1





90  45

1

 a1  a2  ...  a9    1 2

9  8  ... 1

45

Từ đó dễ dàng suy ra : a1  a2  a3  ...  a9  10
Bài 2.8. Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng

8

số học
9


17

sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng

16 số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi

lớp.
Giải:
Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z. theo đề bài ta có:
8

17

x + y + z = 153, y  x z  y .
16
,
9

Do z 

17

y nên

16
8
Do y  x nên
9

z



y

hay

17
16

z
17

hay
y



x

Từ (1) và (2) ta có



8

y

9
x

8
=

y

=



(1)

y
16

x hay

y

9
z

=

(2)

x

16 18

.

18 16 17

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y z
x+y+z
= 17=18+16+17
=
18 16
51



153

3

Từ đây tìm được x = 54; y = 48; z = 51.
Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51.
Bài 2.9: Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m 3 .
biết rằng thời gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút và
5 phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?

Giải:
Gọi số mét khối nước bơm được của ba máy lần lượt là x (m3), y (m3), z(m3)
Theo bài ra ta có: x + y + z =235 (1) và 3x = 4y = 5z.

Từ 3x = 4y = 5z suy ra

3x
60



4y
60



5z
60

hay x y z

20 15

12

(2).


Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , từ (2) và (1) ta có:
x

y
z
x+y+z
235
20  15  12 = 20+15+12 = 47 =5

Do đó: x = 5 . 20 = 100; y = 5 . 15 = 75; z = 5 . 12 = 60
Vậy số mét khối nước bơm được của ba máy theo thứ tự là 100 m3 , 75m3 và 60m3
Bài 2.10: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số của số
thứ nhất với số thứ 2 là 5
9

, của số thứ nhất với số thứ ba là 10

7 .


Giải:
Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y;
z Theo bài ra ta có: BCNN (x , y , z) =
3150
x



y
x
z



5 hay x
hay x  y
y
9
5 9
10 18
10

(2)

x z
hay 

7

10

7

Từ (1) và (2) ta có
:
x

y

(1)

x

y z
 
10 18 7

z

Đặt   = k
10

18

7

 x  10k  2.5.k
 y  18.k 
32.2.k



2
  BCNN (x, y, z)=2.5.k.3 .7



 z  7.k

Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32 .7 = 2.32.52.7
Từ đó suy ra : k = 5
Suy ra x=10 . 5 = 50; y =18 . 5 = 90; z =7 . 5 = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.

3.3.3/ Dạng 3: Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng
x

a

Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y = p và y .
x

a

Đặt   k , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p 
y

k2

p

.

ab

Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.
Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
x

y xy a
 

b

ab


(sai)
Bài 3.1: tìm hai số x và y, biết rằng x 
y
2 5

và xy = 10.

Giải:

x

y

 k , ta có x=2k, y=5k.
Đặt
2 5

Vì xy=10 nên 2k.5k=10  10k 2  10  k 2  1  k  1
hoặc

k  1

+ với k = 1 thì x = 2.1 = 2 ; y = 5.1 = 5.
+ với k = -1 thì x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5.
Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - 5
x
Bài 3.2: Tìm x, y biết rằng:  và xy = 54 .

y
2

3

GV : bài này làm tương tự bài 3.1. tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau :
Giải:
yTừ

x
2



suy ra

x x y
x2 xy 54
9
.
.



3 x
4  6  6
2 2 3 2
x2  4.9   2.3 2   6  2   6  2  hoặc x  6
x6

với x  6  y  54  9

6
với x  6  y  54  9
6

Bài 3.3: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m2 có chiều rộng bằng
5
19

chiều dài. Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó.

Hướng dẫn: loại toán này ta phải gọi ẩn cho đại lượng cần tìm.
Giải:


Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là x (m) ,y(m).
5

x

y

Theo bài cho
ta có x . y = 76,95 và x  . y hay 
y
19
5 19
 k , ta có:
x  5k; y  9k

Đặt

x

5



19

x .y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76,95  95k 2  76, 95  k 2  76, 95 : 95  0,81  k  0, 9
hoặc

k  0, 9 .

+ với k = 0,9 thì x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1.


+ với k = - 0,9 thì x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1.
Do x, y là chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật nên x=4,5 và y= 17,1
Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m).
Bài 3.4: Tìm x và y, biết x 2
và x.y = 40.
x

Hướng dẫn: Biến
đổi



y 5
2

x

5

2

y

thành

y
 và làm tương tự bài 3.1
5

Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10
Bài 3.5: Tìm x, y và z biết




x
y z và xyz  20 .

12 9  5 và xyz  810
x y
z 
2 3 5

 x 4 1


3
2

z
y2
2

và xyz = 12
Giải :

( Bài này tương tự với bài tìm x,y)
x

y z
   k , ta có
12 9 5

a) Đặt

Vì xyz  20

x  12k; y=9k; z=5k .

nên  12k  .  9k  .  5k   20  540k 3  20  20 1

k3

1 5
1
1
x  12.  4 y  9.  3 z  5. 
3 3

Suy ra ;

;

3

3

5

Vậy x 4; y=3; z= .


3

b) Tương tự câu a: đặt



540

27

k

1
3

.


x

y z
   k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k. 2
3 5

vì xyz  810 nên (2k).(3k).(5k)=810  30k3  810  k3  810 : 30  27  k  3 .
Vậy x = 6; y = 9; z = 15
c) cách 1:

3
4
2
=k
x  1 y  2  z  2


Suy ra k( x + 1) = 4  kx = 4 – k (1)
k( y – 2) = 2  ky = 2 + 2k (2)
k( z + 2) = 3  kz = 3 – 2k (3)
Nhân (1),(2) và (3) vế ta được :
k 3 xyz  4k 3  18k 2  2k 
24 123  4k 3  18k 2  2k 

24
8k 3  18k 2  2k  24  0
8k 3  8k 2  26k 2  26k  24k  24  0
8k 2 (k  1)  26k (k  1)  24(k  1) 
0 (k  1)(8k 2  26k  24)  0  k  1
1.(x  1)  4  x  3

 1.( y  2)  2  y  4
1.(z  2)  3  z  1


Cách 2:

4
x1



2
y 2

3



 x1

z2

y2

4

2

Suy ra: x = 4h – 1

(1)

y = 2h + 2

(2)

z = 3h – 2

(3)



z2
3

h

x  3
Tiếp tục giải như cách 1, ta được:  y  4
x  1


Bài 3.6: Diện tích một tam giác bằng 27 cm2. biết rằng tỉ số giữa một cạnh và

đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. tính độ dài cạnh và đường cao nói
trên.
1

Giải: (Phải nhớ lại cơng thức tính diện tích tam giác: .a.h trong đó a là độ dài
2

cạnh ứng với đường cao h).
Gọi độ dài cạnh và đường cao nói trên lần lượt là a (cm) và h (cm).