Đề thi vào lớp 10 chuyên toán_mã đề 01

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên
Môn chung : Toán (Dành cho khối chuyên B C D)
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 (2.0 điểm) : Cho biểu thức P =
3 3 3 2 1
1
2 1 2
m m m
m m m m
+
+
+ +
a/ Rút gọn P
b/ Tìm m để
2P =
c/ Tìm giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên
Bài 2 (1.5 điểm)
a/ So sánh :
1
50
2
và
1
200
5
b/ Giải phơng trình :
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 3 8 15 12 35 16 63 5x x x x x x x x
+ + + =
+ + + + + + + +

c/ Tìm các số nguyên x, y sao cho y =
2
4 5x x+ +
Bài 3 ( 1.0 điểm) : Cho A(0 ; 5); B(-3 ; 0); C(1 ; 1); M(-4,5 ; -2,5)
a/ Chứng minh : 3 điểm A, B, M thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b/ Tính diện tích tam giác ABC
Bài 4 (3,0 điểm) : Cho đờng tròn (O ; R) và điểm A với OA = 2R. Vẽ các tiếp tuyến AB và
AC với (O) ( B , C là các tiếp điểm). Vẽ đờng kính BOD
a/ Chứng minh DC //OA
b/ Trung trực của BD cắt AC và cắt đờng thẳng DC tại S và E. Chứng minh tứ giác OCEA
là hình thang cân
c/ Gọi I là giao điểm của OA và đờng tròn (O). Chứng minh SI là tiếp tuyến của đờng tròn
(O).
Bài 5 (1.0 điểm ) : Đờng tròn nội tiếp với tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB t-
ơng ứng tại D, E, F. Gọi H là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh rằng
ã ã
BHD CHD=
.
Câu 6 ( 1.5 điểm) :
a/ Cho biết :
(
)
(
)
2 2
3 3 3x x y y+ + + + =
Tính giá trị của biểu thức M = x + y
b/ Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t thoả mãn :
xyzt xy zt= +
c/ Cho a, b, c là ba số dơng thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh

3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
-----------------------------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh : ...............................................................................................................
Số báo danh : ...................... Phòng thi : ............................
Giáo viên ra đề : Nguyễn Đức Tính
ĐT : 01292837488
Email :
Web : />Đáp án
Bài 1 (2.0 điểm) : a/ Điều kiện m 0 và m 1
P =
3 3 3 2 1 3 3 3 4 1 2
1
2 1 2 ( 1)( 2)
3 2 1
( 1)( 2) 1
m m m m m m m m m
m m m m m m
m m m
m m m
+ + + + +
+ =
+ + +
+ + +
= =
+
b/

2P =
<=>
9
1 2 1
1
9
m
m m
m
=


+ = <=>

=

( thoả mãn điều kiện)
c/ Ta có : P =
2
1
1m
+

nên để P N thì
1m
Ư(2)
Suy ra :
1m

{ }

2; 1;1;2
Từ đó suy ra m = 0; 4; 9
Với m = 0 thì P = -1 loại
Với m = 4 thì P = 3 (t/m)
Với m = 9 thì P = 2 (t/m)
Vậy m = 4 hoặc m = 9
Bài 2 (1.5 điểm)
a/ Ta có :
1
50
2
=
12,5
và
1
200
5
=
8
Do
1 1
12,5 8 50 200
2 5
> => >
b/ Ta có : x
2
+ 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
x
2
+ 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)

x
2
+ 12x + 35 = (x + 5)(x + 7)
x
2
+ 16x + 63 = (x + 7)(x + 9)
Điều kiện : x -1; -3; -5; -7; -9 : Phơng trình đã cho tơng đơng
2
1 2
1 1 1 1 1
( 1)( 3) ( 3)( 5) ( 5)( 7) ( 7)( 9) 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 5 7 7 9 5
10 11 0 ( 1)( 11) 0 1; 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
+ + + =
+ + + + + + + +

<=> + + + =
ữ
+ + + + + + + +

<=> + = <=> + = <=> = =
(thoả mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm S =
{ }
11;1
c/Ta có : x
2

+ 4x + 5 = (x + 2)
2
+ 1 với mọi x, nên y luôn xác định với mọi x, từ đó ta cũng
có y > 0
Bình phơng hai vế y =
2
4 5x x+ +
ta đợc y
2
= (x + 2)
2
+ 1
<=> (y + x + 2)(y x 2) = 1. Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2); (y x 2) cũng
là số nguyên. Ta thấy tổng và tích của hai biểu thức này là dơng nên
2 1 2
2 1 1
y x x
y x y
+ + = =

=>

= =

Bài 3 ( 1.0 điểm) : a/ Gọi đờng thẳng y = ax + b là đờng thẳng AB
Đờng thẳng này đi qua 2 điểm A(0 ; 5) và B(-3 ; 0) => y =
5
3
x + 5
§iÓm M(-4,5 ; -2,5) thuéc ®êng th¼ng y =

5
3
x + 5. Do ®ã A, B, M th¼ng hµng
§iÓm C(1 ; 1) kh«ng thuéc ®êng th¼ng y =
5
3
x + 5. Do ®ã A, B, C kh«ng th¼ng hµng
b/ Ta cã : AB
2
=
2
2
3 5 34− + =
AC
2
= (1 – 0)
2
+ (1 – 5)
2
= 17
BC
2
+ (-3 – 1)
2
+ (0 - 1)
2
= 17
Suy ra : AB
2
= AC

2
+ BC
2
suy ra tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C
Do ®ã :
1 1
. 17. 17 8,5( )
2 2
ABC
S CA CB dvdt= = =
Bµi 4 (3,0 ®iÓm) :
I
S
O
E
D
C
B
A
a/ OA ⊥ BC ( do OA lµ trung trùc cña BC)
CD ⊥ BC ( do C thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh BD)
=> OA // CD
b/ CE // OA ( do CD // OA) (1)
∆ODE = ∆BOA (g.c.g) nªn EO = AB =>EO = AC (2)
Tõ 1, 2 => OCEA lµ h×nh thang c©n
c/ ∆ SOA c©n t¹i S cã SI lµ trung tuyÕn ( OI = IA = OA/2) nªn SI còng lµ ®êng cao
=> SI ⊥ OI t¹i I => SI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O)
Bµi 5 (1.0 ®iÓm ) :
K
I

H
F
E
B
A
C
D
Hạ BI EF và CK EF => BI // DH // CK
Theo định lý ta lét ta có :
BD IH
DC HK
=
, theo t/c tiếp tuyến BD = BF; DC = CE
nên :
BF IH
CE HK
=
(1)
Dễ thấy BIF đồng dạng với CKE ( theo trờng hợp g.g)
=>
(2)
BI IF BF
CK KE CE
= =
Từ (1) và (2) =>
BI IF IH
CK KE HK
= =
=>BIH đồng dạng với CKH ( theo trờng hợp g.c.g)
=>

ã ã
BHD CHD=
Câu 6 ( 1.5 điểm) :
a/ Ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 ( 3) ( 3) 3.3 9x x y y x x y y x x y y

+ + + + + + = + + = =

Mà
(
)
(
)
2 2
3 3 3x x y y+ + + + =
=>
(
)
(
)
2 2

3 3 3x x y y y+ + + =
=>
(
)
(
)
2 2
3 3x x y y+ + + +
=
(
)
(
)
2 2
3 3x x y y y+ + +
=>
2 2
3 3x y y x+ = +
- Nếu x = 0 => y = 0 = M = x + y = 0 (1)
- Nếu x 0 => y 0 và x, y trái dấu. Khi đó bình phơng hai vế ta đợc
x
2
(y
2
+ 3) = y
2
(x
2
+ 3) => x
2

= y
2
=> x = -y ( Do x, y trái dấu)
M = x + y = 0 (2)
Từ (1) và (2) => M = x + y = 0
b/ Đặt :
,a xy b zt= =
, Bình phơng hai vế ta đợc 100a + b = (a +
b
)
2
<=>
2 100a b+ =
Vì b là số có hai chữ số mà phải là số chính phơng nên b nhận 6 giá trị sau : 16 ; 25 ; 36;
47; 64; 81. Khi đó các giá trị tơng ớng của a là : 92; 90; 88; 86; 84; 82
Vậy ta có các bộ số x, y, z, t thoả mãn là
(x, y, z, t ) =(9; 2; 1; 6) ; (9; 0; 2; 5); (8; 8; 3; 6); (8; 6; 4; 9); (8; 4; 6; 4); (8; 2; 8; 1)
c/
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
+ +
+ + +
(1)
Đặt
1 1 1
; ;a b c
x y z
= = =
. Từ a, b, c > 0 và abc = 1 suy ra x, y, z > 0 và xyz = 1

áp dụng BĐT cô si ta có : x + y + z
3
3 xyz
và xyz = 1 suy ra x + y + z 3 (2)
Sau khi thay x, y, z vào (1) ta đợc :
2 2 2
3
(3)
2
x y z
y z z x x y
+ +
+ + +
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
( )
.2( ) ( )
(4)
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
x y z

x y z x y z
y z z x x y
x y z x y z
y z z x x y





+ + + + + + + + +
ữ ữ
ữ

ữ ữ


+ + +




<=> + + + + + +

+ + +

+ +
<=> + +
+ + +
Kết hợp (2) và (4) ta đợc điều phải chứng mính.
Dấu = xảy ra khi : a = b = c = 1

----------------------------------------------------------------------