Cơ sở quang tử học

Hồ quang quý, chu văn lanh
đoàn hoài sơn, Mai văn lưu

Cơ sở

Quang tử học
(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội


Cơ sở quang tử học

1

_________________________________________________________________

Chng 1

quang học của tia sáng
1.1. Các tiên đề của quang học tia sáng
Tiên đề 1.
Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray). Tia sáng được phát xạ từ
các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng
gặp đầu thu (detecter).
Tiên đề 2.
ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical
medium) đặc trưng bởi đại lượng

n 1
gọi là chiết suất (refractive index).

Chiết suất là tỉ số giữa vận tốc ánh sáng trong chân không (c0) và
vận tốc ánh sáng trong môi trường (c). Do đó, thời gian ánh sáng cần
để truyền trong quảng đường có độ dài d bằng d / c  nd / c0 . Tøc lµ,
thêi gian trun tØ lệ thuận với đại lượng

nd
gọi là quang trình (optical path).
Tiên ®Ị 3.
Trong m«i tr­êng kh«ng ®ång nhÊt (inhomogenous medium),


chiÕt st là hàm của toạ độ không gian r ( x, y, z ) , tøc lµ n(r ) . Độ
dài quang trình giữa hai điểm A và B (xem hình 1.1)sẽ là
B


AB n(r )ds ,



(1.1)

A

trong đó, ds là số gia (differential element) độ dài theo quang trình.


Chương 1. Quang học của tia sáng
2
_______________________________________________________________________

Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng.
Thời gian ánh sáng cần để ®i tõ A ®Õn B tØ lƯ thn víi ®é dài
quang trình.
Tiên đề 4.
Nguyên lý Fermat (Fermats principle). Các tia ánh sáng
truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó
trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực
trị so với quang trình bên cạch. ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc
độ thay đổi bằng không, tức là
B


0 n(r )ds



(1.2)

A

Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn. Tuy
nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu. Trong trường hợp này, chúng
ta có thể phát biểu:
Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức
là theo quang trình ngắn nhất.
Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính
trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều
quang trình khác nhau. Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục.
Hệ quả:

- Trong môi trường đồng nhất tia sáng đi theo đường thẳng.
- Tia sáng khúc xạ qua mặt ngăn cách giữa hai môi trường có
chiết suất khác nhau.
- Tia sáng phản xạ trên mặt gương.


Cơ sở quang tử học

3

_________________________________________________________________

1.2. Các linh kiện quang học đơn giản
Từ các tiên đề trên, chúng ta nghiên cứu một số linh kiện quang
đơn giản được sử dụng để lái các tia ánh sáng.
1.2.1. Gương phẳng (Planar mirror)
Gương phẳng là một mặt phẳng có hệ số phản xạ cao đối với ánh
sáng (hình 1.2).
P1
1

2

P2

Hình 1.2 Phản xạ tia sáng từ gương phẳng.
Tia ánh chiếu vào mặt gương phẳng sẽ bị phản xạ lại. Tia phản
xạ nằm trong mặt phẳng tia tới, tạo bởi tia tới và véc tơ pháp tuyến
của gương tại điểm tới; góc phản xạ bằng góc tới, tức là 1 2 .
1.2.2. Mặt biên phẳng (Planar Boundaries)

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương
phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết
suất n1 và n2 ) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau
gương nếu n1 n2 . Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Tia đi
vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ. Hướng truyền của tia
khúc xạ tuân theo định luật Snell:

n1 sin 1  n2 sin  2 .

(1.3)

Tõ hƯ thøc nµy có thể phân ra hai trường hợp đặc biệt:
* Phản xạ ngoài ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất thấp hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc ra xa biên.
* Phản xạ trong ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường có
chiết suất cao hơn thì 2 1 và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc vào gần biên.


Chương 1. Quang học của tia sáng
4
_______________________________________________________________________

n1
c

n1

n2 > n1

n2

Hình 1.3 Phản xạ trong, ngoài và toàn phần.
* Phản xạ toàn phần ( n1 n2 ). Khi tia sáng tới từ môi trường
có chiết suất cao hơn thì 2 1 và nếu 1 tăng sao cho 2 90o tia
sẽ phản xạ hoàn toàn trên biên (hình 1.3). Góc tới hạn sẽ là

n
c sin 1 2
n1





(1.4)

1.2.3 Gương cầu (Spherical Mirror)
Các tia tạo một góc nhỏ (sin) với trục của gương cầu gọi là tia
gần trục (paraxial ray). Tiêu cự (focal length) của gương cầu bán
kính R là f -R/2 (hình 1.4).

Hình 1.4 Hội tụ ánh sáng bằng gương Parabol.
Phương trình ảnh của tia gần trục
1
1
1


z1 z 2
f

(1.5)

trong đó, z1 , z2 tương ứng là vị trí của nguồn sáng và ảnh so với tâm
gương cầu (P). Vị trí cụ thể của ảnh hay dÊu cđa z2 phơ thc vµo cÊu


Cơ sở quang tử học

5

_________________________________________________________________

trúc mặt gương (dấu của tiêu cự f ), âm khi mặt gương lồi và dương
khi mặt gương lõm.
Gương cầu như trong hình 1.4, thường được sử dụng để tạo chùm
tia tựa song song từ một nguồn sáng đẳng hướng (ví dụ đèn pin).
1.2.4 Gương ellip (Elliptical Mirror)
Một gương hình ellip (hình 1.5) phản xạ tất cả các tia sáng từ tiêu
điểm thứ nhất P1 đến tiêu điểm thứ hai P2. Quang trình của tất cả các
tia đi từ P1 đến P2 bằng nhau, tuân theo nguyên lý của Hero.

P1

P2

Hình 1.5 Phản xạ từ mặt gương Ellip.
1.2.5 Lăng kính (Prism)
Một lăng kính có góc ở đỉnh và chiết suất n sẽ lái tia ra tạo víi
tia tíi mét gãc

1/ 2
 d      sin 1  n 2  sin 2  sin sin cos
(1.4)








d



n

Hình 1.6 Các tia khúc xạ qua lăng kính.
Hệ thức trên có thể dẫn ra bằng định luật Snell, áp dụng cho hai
mặt phản xạ của lăng kính.


Chương 1. Quang học của tia sáng
6
_______________________________________________________________________

Khi góc đỉnh quá nhỏ (ta gọi là lăng kính mỏng) và góc tới
cũng rất nhỏ (gần đúng cận trục), hệ thức (1.6) có thể rút gọn gần
đúng như sau:
d (n 1)

(1.7)

1.2.6 Biên cầu (Spherical Boundaries)
Giả sử có một biên cầu bán kính R giữa môi trường chiết suất n1
và n2 (hình 1.7). R dương khi biên lồi và R âm khi biên lõm. Sau khi
sử dụng định luật Snell và gần đúng cận trục, tức là, giả thiết
tg   , chóng ta rót ra mét sè tÝnh chất sau đây:
* Một tia sáng tạo với trục z một góc 1 gặp biên cầu tại một
điểm cách trục z một khoảng y. Tia này sẽ bị khúc xạ và đổi hướng
sao cho tia khúc xạ tạo với trục z mét gãc
n
n n
 2  1 1  2 1 y
(1.8)
n2
n2 R

Hình 1.7 Khúc xạ qua biên cầu lồi (R>0).
* Tất cả các tia xuất phát từ điểm gốc P1=(y1, z1) trên mặt
phẳng z=z1 sẽ gặp nhau ở điểm P2=(y2, z2) trên mặt phẳng z2 và thoả
mÃn các hệ thøc sau:
n1 n2 n2  n1


z1 z 2
R

vµ

(1.9)


Cơ sở quang tử học

7

_________________________________________________________________

y2

z2
y1
z1

(1.10)

Hai mặt phẳng tại z z1 và z z2 gọi là hai mặt phẳng liên hợp.
Mỗi một điểm trên mặt phẳng thứ nhất sẽ liên kết với một điểm trên
mặt phẳng thứ hai (ảnh) với hệ số phóng đại z2 / z1 . Dấu trừ trong hệ
số phóng đại có nghĩa là ảnh bị lật ngược. Để cho thuận tiện, điểm P1
được xác định trong hệ tọa độ theo chiều phải sang trái, còn điểm P2
xác định trong hệ tọa độ theo chiều trái sang phải (tức là, nếu P2 nằm
bên trái cuả biên thì z2 mang dấu âm).
Những tính chất này cũng tương tự đối với gương cầu. Điều quan
trọng là, các tính chất của ảnh mô tả ở trên chỉ ®óng trong tr­êng hỵp
cËn trơc. Chóng chØ xÈy ra víi các tia cận trục. Các tia tạo với trục z
một góc lớn không tuân thủ gần đúng cận trục; những sai khác của
ảnh gọi là sai quang.
1.2.7 Thấu kính (Lens)

Thấu kính cầu được giới hạn bởi hai mặt cầu có bán kính cong R1
và R2 có độ dày và chiết suất n (hình 1.8).

Hình 1.8 Thấu kính tạo bởi hai biên cầu lồi.
Thấu kính thủy tinh trong không khí được xem như kết hợp
giữa hai mặt biên cầu, không khí-thủy tinh và thủy tinh-không khí.
Thấu kính mỏng được định nghĩa khi độ dày tại trục chính rất nhỏ,
sao cho, y1 cđa tia tíi b»ng y2 cđa tia lã và bằng y. Khi đó
* Hệ thức giữa góc tới vµ gãc lã
 2  1 

y
f

(1.11)


Chương 1. Quang học của tia sáng
8
_______________________________________________________________________

trong đó, f gọi là tiêu cự thấu kính.
* Tiêu cự của thấu kính
1
f 


n  1 1  1 
 R1 R2 

(1.12)

* Tất cả các tia xuất phát từ điểm P1(y1,z1) (cách trục của thấu
kính một khoảng y1 và cách mặt phẳng chính của thấu kính một
khoảng z1) gặp nhau tại P2(y2, z2) và thoả mÃn các hệ thức sau
z2
1
1
1
y


y1


2
và
z1
z1 z 2
f
Cần chú ý rằng các hệ thức trên chỉ đúng với các tia cận trục, khi
mà giả thiết y1 y2=y. Với các tia xa trục, hệ thức gần đúng không
còn áp dụng được nữa. Đối với các tia xa trục các hệ thức trên có sai
số. Hình 1.9 là ví dụ về sai số toạ độ z2.

Hình 1.9 Các tia xa trục không gặp nhau tại tiêu điểm.

1.3. Môi trường chiết suất thay đổi liên tục
Đây là môi trường có chiết suất thay đổi liên tục theo không gian,

tức là n(r ) . Theo tiếng Anh, thuật ngữ Graded-Index Medium được
viết tắt là GRIN medium, mô tả môi trường có chiết suất thay đổi. Do
đó, từ đây chúng ta gọi môi trường này là môi trường GRIN. Đây là
loại vật liệu được chế tạo bằng cách cấy thêm các phụ gia víi nång


Cơ sở quang tử học

9

_________________________________________________________________

độ được khống chế theo không gian. Trong vật liệu GRIN ánh sáng
không truyền theo đường thẳng mà truyền theo quỹ đạo cong (curve
trajector).
1.3.1 Phương trình tia (the ray equation)
Quỹ đạo của tia sáng trong môi trường không đồng nhất có chiết
suất n(r) tuân thủ nguyên lý Fermat
B


n(r )ds 0 .


A

Nếu quỹ đạo được xác định bởi ba hàm x(s), y(s), z(s), trong đó, s
là độ dài của quỹ đạo (hình 1.10), thì sau khi sử dụng phép tách biến
ta có hệ phương trình đạo hàm riêng sau
d dy n

d dx  n
d  dz  n
n  
n  
, ds  n ds   y ,
(1.13)
ds  ds  x
ds  ds  z


Hay


d  dr 
 n n
ds ds

(1.14)

y
x

ds

B

s
A

z

Hình 1.10 Quỹ đạo tia trong môi trường GRIN
mô tả bởi x(s), y(s) và z(s).
1.3.2 Phương trình cho tia gần trục
Đối với các tia gần trục thì dsdz (hình 1.11), do đó, hệ phương
trình (1.13) ®­ỵc rót gän nh­ sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
10
_______________________________________________________________________

d dx n
n  
,
dz  dz  x

d  dy  n
n
dz dz y

(1.15)

Hình 1.11 Quỹ đạo cđa tia gÇn trơc trong GRIN.
Khi chiÕt st n( x, y, z ) cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng
có thể giải được cho hai quỹ đạo x( z ) và y ( z ) .
Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là,
chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sÏ cã
d 2 x / dz 2  0 vµ d 2 y / dz 2  0 , tøc lµ x vµ y lµ hµm tun tÝnh cđa z,
suy ra, quỹ đạo là đường thẳng.

1.3.3 Tấm GRIN
Một tấm GRIN có chiết suất n=n(y) và đồng nhất trên trục x và z,
nhưng thay đổi liên tục trên trục y như trên hình 1.12.

Hình 1.12 Khúc xạ trong tấm GRIN.
Ví dơ, mét tÊm GRIN cã chiÕt st thay ®ỉi theo c«ng tua parabol
nh­ sau:

n2  y   n02 1 2 y2
trong đó, là hệ số mô tả tốc độ thay đổi của chiết suất và độ dày
d

Cơ sở quang tử học

11

_________________________________________________________________

f

1
.
n0 sin d

1.3.4 Sợi quang GRIN
Sợi quang GRIN là một ống thuỷ tinh hình trụ có chiết suất thay
đổi theo hàm Parabol của bán kÝnh h­íng t©m

n2  n02 1   2  2

(1.16)

trong đó, n0 là chiết suất tại trục, là hằng số mô tả tốc độ giảm của
chiết suất, là bán kính hướng tâm.

Hình 1.13. Tia kinh tuyến (a) và tia xoắn ốc (b)
trong sợi quang GRIN.
Phương trình tia của sợi quang GRIN như sau:
d2y
d 2x
2



x
 2 y
,
(1.17)
2
2
dz
dz
2 2
2 2
2
víi gi¶ thiÕt     x  y  1 , tøc lµ chiÕt suất giảm chậm từ
trục.
Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ
2 / . Vị trí ban đầu x0 , y0 và góc tại z là x 0 dx / dz vµ

 y 0  dy / dz sẽ xác định biên độ và pha của các hàm ®iỊu hßa. Do cã

 






Chương 1. Quang học của tia sáng
12
_______________________________________________________________________

sự đối xứng theo chu kỳ, nên nói chung không có mất mát khi chän
x0  0 . Nh­ vËy, lêi gi¶i cđa (1.17) sÏ lµ

x  z   x ,0 sin  z

(1.18)
 y ,0
y  z 
sin  z  y0cos z

NÕu  x ,0  0 , tøc lµ tia ban đầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến
(mặt phẳng đi qua trục, mặt y-z), thì tia tiếp tục nằm trong mặt phẳng
đó, tạo nên quỹ đạo hình sin giống như quỹ đạo truyền trong tấm
GRIN (hình 1.13a).
Trong trường hợp khác,  x,0   y0 ,  y ,0  0 , hệ phương trình (1.18)
trở thành
x z  y0 sin  z

(1.19)
y  z   y0 cos z
và tia truyền theo quỹ đạo xoắn ốc nằm trên mặt của ống trụ có bán
kính y0 (hình 1.13b). Cả hai trường hợp này, quỹ đạo vẫn nằm trong
sợi quang, do đó, sợi quang được ứng dụng như linh kiện dẫn ánh
sáng. Sợi quang này sẽ được ứng dụng trong th«ng tin quang.

1.4. Quang häc ma trËn
1.4.1 Ma trËn truyền (transfer matrix)
Một hệ quang là một tập hợp các linh kiện quang học (môi trường
truyền, gương, thấu kính, bản chia, ) xếp kế tiếp nhau giữa hai mặt
phẳng ngang tại toạ độ z=z1 và z=z2. Hai mặt phẳng này được gọi là
mặt phẳng vào và mặt phẳng ra. Hệ này sẽ tác động lên tia sáng đi
qua nó. Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với
trục của hệ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14).
Với phép gần đúng cËn trơc, khi gãc lƯch cđa tia s¸ng so víi trục
đủ nhỏ sao cho sin, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu
ra được viết như sau:
y 2  Ay1  B1
(1.20)


C¬ së quang tư häc

13

_________________________________________________________________

 2  Cy1  D1

(1.21)

trong đó, A, B, C, D là các số thực, xác định bởi cấu trúc của hệ
quang.

Hình 1.14 Một tia sáng đi vào hệ quang tại vị trí y1 và hướng
theo góc 1 và ra khỏi hệ tại vị trí y2 và hướng theo góc 2.
Phương trình (1.20) và (1.21) có thĨ viÕt d­íi d¹ng ma trËn sau
 y2 
 y1   A B   y1 
    M      
 
(1.22)
 2
 1  C D   1 
Ma trËn M với các thành phần A, B, C, D đặc trưng cho hệ quang,
nhờ đó, có thể xác định được (y2, θ2) víi bÊt kú (y1, θ1) nµo, gäi lµ ma
trËn trun tia s¸ng.
1.4.2 Ma trËn trun cđa mét sè hƯ cơ bản
* Truyền lan trong chân không (Free-space propagation)
Tia sáng truyền thẳng trong chân không, do đó, một tia truyền
trong một khoảng d sẽ tuân theo phương trình:
y2 y1 1d
và góc lệch không đổi:
1 2 .
Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể dưới dạng ma trËn sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
14

_______________________________________________________________________

y2 1 d   y1 
   0 1   
  1
 2 

hay ma trËn truyÒn cã d¹ng
 A B  1 d 
M 


C D  0 1

(1.23)

* Khúc xạ trên biên phẳng
Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và
n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell. Trong gần đúng
cận trục, n sin n , còn vị trí của tia không đổi, y1 y2 , do đó, ma
trận truyền có dạng sau:
1
M 0



0
n1
n2

(1.24)

* Khúc xạ trên biên cầu
Sử dụng phương trình (1.8) với gần đúng y1 y2 , chóng ta cã ma
trËn trun sau:
1
0

M   n2  n1 n1
(1.25)
n R

n
2
2

trong đó, n1 và n2 là chiết suất hai môi trường, R là bán kính cong của
mặt biên, R>0 khi mặt biên lồi, và R<0 khi mặt biên lõm.
* Truyền qua thấu kính mỏng
Sử dụng hệ thức giữa góc ló và góc tới thấu kính (1.11) với gần
đúng y1 y2 , chúng ta có ma trËn truyÒn sau:
 1
M   1
 f


0

1


(1.26)


Cơ sở quang tử học

15

_________________________________________________________________

trong đó, f là tiêu cự thÊu kÝnh, f > 0 khi thÊu kÝnh låi vµ f < 0 khi
thấu kính lõm.
* Phản xạ trên mặt gương phẳng
Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia
cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:
1 0
M

0 1

(1.27)

* Phản xạ trên gương cầu
Xem gương cầu như một thấu kính máng cã tiªu cù f  2 / R ,
trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:
1 0

M 2
(1.28)
R 1

trong đó, R <0 khi gương lõm và R > 0 khi gương lồi.
1.4.3 Ma trận của các hệ quang xếp tuần tù (Cascaded Component)
Mét hƯ quang bao gåm nhiỊu hƯ quang thành phần (ví dụ gồm
khoảng môi trường đồng nhất với một gương, gồm hai thấu kính và
môi trường xen giữa, …) cã ma trËn trun riªng M1, M2, …, MN.
Tia sáng truyền qua hệ này giống như truyền qua một hệ độc lập có
ma trận sau:
M= MN M2M1

(1.29)

Tia sáng vµo tõ hƯ M1 vµ ra tõ hƯ MN. Nh­ vậy, hệ M1 sẽ có tác
động vào tia đầu tiên, sau đó theo thứ tự đến M2 , ... và MN có tác
động cuối cùng.
1.5. Hệ quang tuần hoàn
Hệ quang tuần hoàn là hệ gồm nhiều hệ giống nhau xếp tuần tự
(hình 1.15). Tia sáng truyền qua hệ tuần hoàn tu©n thđ ma trËn sau:


Chương 1. Quang học của tia sáng
16
_______________________________________________________________________
m

y m  A B   y0 
   

m C D 0

(1.30)

Đây là ma trận có thể dùng phương pháp lặp để xác định (ym, m)
từ (ym-1, m-1) bằng máy tính.
Từ (1.30) ta dẫn ra hệ thức truy toán cho vị trí của tia

ym2  2bym1  F 2 y m1

(1.31)

H×nh 1.15 HƯ quang tuần hoàn.
trong đó
b

A B
2

(1.32)

F 2 AD CB detM

(1.33)

Det[M] là định thức của ma trận M.
Hệ thức truy toán trên chỉ dùng để giải bằng máy tính, sau đây là
phương trình tính chính xác vị trí của tia sau khi đi qua hệ tuần hoàn

ym ymax sin(m 0 )

(1.34)
Để ym là hàm điều hòa, thì cos 1b phải là số thực. Điều này yêu

cầu điều kiện
b 1 hoặc

A B
2

1

(1.35)

trong đó,

0 cos1

b
vµ y max  y 0 / sin  0
F

ymax và 0 là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu của y0 và y1.

(1.36)


Cơ sở quang tử học

17

_________________________________________________________________

Các điều kiện trên chính là điều kiện ổn định của quỹ đạo tia.

Một tia sáng trun qua hƯ liªn tơc, gåm nhiỊu hƯ quang gièng
nhau cã ma trËn trun (A,B,C,D) víi AD-BC=1, theo mét q đạo
tuần hoàn khi điều kiện ổn định A D  / 2  1 tháa m·n. VÞ trÝ cđa
tia sau chu kú thø m sÏ lµ y m  y max sin(m   0 ) , m=0,1, 2,…,
trong ®ã,   cos 1  A  D / 2 . Giá trị ymax và 0 được xác định từ
giá ban đầu y0 và y1=Ay0+0d, trong ®ã, θ0 gãc lƯch ban ®Çu cđa tia.
Gãc cđa tia liên hệ với vị trí của nó qua hệ thức  m   ym1  Aym  / B
vµ tuân theo hàm điều hòa m max sin(m 1 ) . Trong gần đúng cận
trục thì max 1 . Quỹ đạo của tia có chu kỳ s khi / 2 là phân số
q/s, trong đó, q là số tự nhiên.

Hình 1.16 Chuỗi chu kú cđa c¸c thÊu kÝnh.
VÝ dơ: mét hƯ gåm nhiỊu thấu kính tiêu cự f, đặt cách nhau một
khoảng d (hình 1.16). Như vậy, hệ quang đơn vị gồm một khoảng
không gian d và thấu kính. Hệ này có A=1, B=d, C=-1/f và D=1-d/f.
Tham số b= (A+D)/2=1-d/2f và giá trị định thức bằng 1. Điều
kiện ổn định tia b 1 hay 1  b  1 sÏ cho ta

0d 4f

(1.37)
tức là, khoảng cách giữa hai thấu kính phải nhỏ hơn bốn lần tiêu cự.
Với điều kiện này thì vị trí của tia tuân thủ hàm điều hòa sau:
d
ym ymax ( m  0 ),   cos 1 (1 
)
(1.38)
2f
NÕu d=2f,    / 2 , khi đó chu kỳ lặp của quỹ đạo là / 2 1/ 4
(hình 1.17a). Do đó, quỹ đạo của một tia bất kỳ sẽ là một đường lặp

Chương 1. Quang học của tia sáng
18
_______________________________________________________________________

lại sau một chu kú 4 b­íc. NÕu d=f, th×  / 2  1/ 6 và do đó, quỹ
đạo sẽ lặp lại sau 6 bước (hình 1.17b).

Hình 1.17 Ví dụ về ổn định của quỹ đạo của tia sáng trong hệ
nhiều thấu kính xếp đều nhau. a: d=2f, b:d=f .

Bằng cách tương tự, ®iỊu kiƯn ỉn ®Þnh cđa tia khi trun qua hƯ
gåm nhiều đôi thấu kính có tiêu cự f1 và f2, đặt cách nhau một
khoảng d, sẽ là

d
d
0 1 
 1 
 1
 2 f1   2 f 2 

(1.39)

Khi thay hƯ hai thÊu trªn b»ng hƯ hai gương cầu có bán kính cong
R1 và R2, cách nhau một khoảng L, (1.39) sẽ có dạng

L
L

0  1  1    1
 R1  R2

(1.40)

là điều kiện ổn định của buồng cộng hưởng quang học cầu, trong đó,
L là độ dài buồng cộng hưởng. Thay các giá trị của L và R1, R2, chúng
ta tìm được chu kỳ ổn định của buồng cộng hưởng quang học. Vấn
đề này, được đề cập trong các giáo trình laser.