Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện – từ trong hố lượng tử với thế cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hƣơng

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hƣơng

LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HIẾU

Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành
tới GS.TS. Nguyễn Quang Báu, TS. Nguyễn Văn Hiếu. Cảm ơn thầy đã hướng
dẫn,chỉ bảo và tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý
lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy
cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài NAFOSTED (N0.103.012015.22)
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã ln
động viên, giúp đỡ em trong suốt q trình học tập cũng như hồn thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn cịn nhiều
thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng10 năm 2015
Học viên: Nguyễn Thị Hương


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ...………………………………………………………………….

1

CHƢƠNG 1. HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
TRONG BÁN DẪN KHỐI …………………………………………………

4

1.1 Hố lƣợng tử ……………………………………………………………..

4

1.1.1 Khái quát về hố lƣợng tử ……………………………………………...

4

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong hố lƣợng tử với hố thế
cao vô hạn …………………………………………………………………...

5

1.2 Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ……………………………

7

1.2.1 Khái niệm về hiệu ứng âm – điện và hiệu ứng âm – điện – từ trong
bán dẫn khối ………………………………………………………………..

7

1.2.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ….

8

CHƢƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƢỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ VNG GĨC CAO VÔ HẠN ...

15

2.1 Hamiltonian tƣơng tác giữa điện tử - phonon trong hố lƣợng tử ……….

15

2.2 Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử …………….

17

2.3 Biểu thức trƣờng âm – điện – từ lƣợng tử trong hố lƣợng tử với hố thế
cao vô hạn …………………………………………………………………..

25

CHƢƠNG 3. TÍNH TỐN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ
THUYẾT CHO TRƢỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ TRONG HỐ LƢỢNG TỬ
AlAs/GaAs/AlAs ……………………………………………………………

35

3.1 Sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ vào từ trƣờng ngoài trong
trƣờng hợp từ trƣờng yếu ….………………………………………………..

36

3.2 Sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ vào từ trƣờng ngoài trong
trƣờng hợp từ trƣờng mạnh …………………………………………………

37

3.3 Sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ vào tần số sóng âm

38

Thảo luận kết quả ……...……………………………………………………

40

KẾT LUẬN ……...…………………………………………………….…...

41

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ………...…………………………

42


PHỤ LỤC ……………………………………...……………………………

45

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối

Trang 7

Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ
vào từ trƣờng ngoài trong trƣờng hợp từ trƣờng yếu, nhiệt độ cao

Trang 36

Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ
vào từ trƣờng ngoài trong trƣờng hợp từ trƣờng mạnh, nhiệt độ cao

Trang 37

Hình 3.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ
vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của từ trƣờng ngồi

Trang 38

Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trƣờng âm – điện – từ
vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của nhiệt độ

Trang 39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ vật
liệu mới, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phƣơng pháp tạo ra các cấu trúc nano
khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (nhƣ siêu mạng, hố lƣợng tử, dây lƣợng
tử, chấm lƣợng tử...)[1-6]. Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này cho ra đời
nhiều cơng nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật
nhƣ: các vi mạch, diot huỳnh quang điện, pin mặt trời… Khi nghiên cứu các hệ bán
dẫn thấp chiều kết quả cho thấy không những hàm sóng và phổ năng lƣợng của
điện tử thay đổi mà các tính chất vật lý trong các hệ bán dẫn thấp chiều hoàn toàn
khác so với hệ bán dẫn ba chiều [7-26].
Trong bán dẫn khối, nếu các điện tử có thể chuyển động trong tồn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều), thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị
giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một, hai, hoặc ba hƣớng tọa độ nào đó. Phổ năng

lƣợng của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phƣơng này. Sự lƣợng tử hóa phổ
năng lƣợng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ nhƣ:
tƣơng tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang. Khi chịu tác dụng của
trƣờng ngồi, các bài tốn trong các hệ thấp chiều nhƣ: tính tốn mật độ dịng, tính
tốn hệ số hấp thụ, tính tốn dịng âm điện, trƣờng âm điện, … sẽ cho các kết quả
mới, khác biệt so với trƣờng hợp bán dẫn khối. Các vật liệu mới với cấu trúc bán
dẫn thấp chiều nói trên đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên
ngun tắc hồn tồn mới và cơng nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa
học kỹ thuật. Đó là lý do tại sao các cấu trúc thấp chiều trên đƣợc nhiều nhà Vật lý
quan tâm nghiên cứu.
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn có các electron dẫn thì do sự
truyền năng xung lƣợng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng
gọi là hiệu ứng âm - điện, nếu mạch kín thì tạo ra dịng âm - điện, cịn mạch hở thì
tạo ra trƣờng âm - điện. Tuy nhiên khi có mặt của từ trƣờng ngồi theo phƣơng
vng góc với chiều truyền sóng âm thì nó gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu
ứng âm - điện - từ, lúc này có một dịng xuất hiện theo phƣơng vng góc với

1


phƣơng truyền sóng âm và từ trƣờng ngồi gọi là dịng âm - điện - từ, nếu mạch hở
thì xuất hiện trƣờng âm - điện - từ.
Trên phƣơng diện lý thuyết, hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ trong bán
dẫn khối đƣợc xem xét dƣới hai quan điểm khác nhau. Trên quan điểm lý thuyết cổ
điển, bài toán này đã đƣợc giải quyết chủ yếu dựa trên việc giải phƣơng trình động
cổ điển Boltzmann, xem sóng âm giống nhƣ lực tác dụng. Trên quan điểm lý thuyết
lƣợng tử, bài toán liên quan đến hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ đã đƣợc giải
quyết bằng phƣơng pháp lý thuyết hàm Green trong bán dẫn khối, phƣơng pháp
phƣơng trình động lƣợng tử trong bán dẫn khối với việc xem sóng âm nhƣ một dịng
phonon âm. Bên cạnh đó với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học cơng nghệ thì các

hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ đã đo đƣợc bằng thực nghiệm trong siêu mạng,
hố lƣợng tử, ống nano cacbon. Tuy nhiên, hiện nay chƣa có một lý thuyết hoàn chỉnh
cho các kết quả thực nghiệm về hiệu ứng âm - điện và âm - điện - từ trong hệ bán
dẫn thấp chiều trên. Và bài tốn tính tốn hiệu ứng âm - điện - từ trong hố lƣợng tử
bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử vẫn cịn đang bỏ ngỏ. Vì vậy đề tài
lựa chọn tiêu đề: “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử với
thế cao vô hạn” để nghiên cứu.
2. Mục tiêu và Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trƣờng âm - điện - từ lƣợng tử trong hố lƣợng tử. Biểu
thức giải tích trƣờng âm - điện - từ đƣợc thu nhận. Các kết quả thu đƣợc trong hố
đƣợc so sánh với kết quả đã đƣợc nghiên cứu trong bán dẫn khối cho thấy sự khác
biệt cả định tính lẫn định lƣợng.
Để giải những bài tốn thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phƣơng pháp
lý thuyết khác nhau nhƣ lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green phƣơng pháp
tích phân phiến hàm, phƣơng trình động lƣợng tử. Trong luận văn này, tôi sử dụng
phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử sóng âm ngồi trong hố lƣợng tử, sử dụng phƣơng trình chuyển động Heisenberg
thiết lập phƣơng trình cho hàm phân bố điện tử, từ đó tìm ra từ trƣờng âm - điện từ lƣợng tử trong hố lƣợng tử.

2


3. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Hố lƣợng tử và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2. Biểu thức giải tích trƣờng âm - điện - từ trong hố lƣợng tử với hố
thế cao vô hạn.
Chƣơng 3. Tính tốn số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho trƣờng âm - điện từ trong hố lƣợng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chƣơng 2 và chƣơng 3.
Chúng tôi đã thu đƣợc biểu thức giải tích của trƣờng âm - điện - từ trong hố lƣợng

tử với thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng đƣợc thực hiện và cho thấy sự phụ
thuộc của trƣờng âm - điện - từ vào từ trƣờng ngoài trong 2 trƣờng hợp: từ trƣờng
yếu và từ trƣờng mạnh. Kết quả thu đƣợc là mới, có những điểm khác biệt so với
trƣờng hợp trƣờng âm - điện - từ trong bán dẫn khối.

3


Chƣơng 1
HỐ LƢỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Hố lƣợng tử
1.1.1. Khái quát về hố lƣợng tử
Hố lƣợng tử (quantum wells) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn
hai chiều, đƣợc cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có
cấu trúc tinh thể tƣơng đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau
có độ rộng vùng cấm khác nhau nên tại các lớp tiếp xúc sẽ xuất hiện độ lệch ở
vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng
hóa trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử,
làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên
cạnh (tức là khơng có hiệu ứng đƣờng ngầm). Do vậy, trong cấu trúc hố lƣợng tử,
các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế
năng hai chiều. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố lƣợng tử là
chuyển động của điện tử theo một hƣớng nào đó (thƣờng chọn là hƣớng z) bị giới
hạn rất mạnh, phổ năng lƣợng của điện tử theo trục z khi đó bị lƣợng tử hố, chỉ
cịn thành phần xung lƣợng của điện tử theo hƣớng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lƣợng tử do sự giam giữ điện tử
là mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu nhƣ trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều,
mật độ trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật  1/2 (với  là năng lƣợng
của điện tử), thì trong hố lƣợng tử cũng nhƣ các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng
thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lƣợng cho phép thấp nhất

  0 và tăng theo quy luật khác  1/2 .
Hố lƣợng tử đƣợc chế tạo bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau, ví dụ nhƣ
phƣơng pháp epitaxy (Molecular beam epitaxy - MBE), phƣơng pháp kết tủa hóa
hữu cơ kim loại (Metal organic chemical vapor deposition - MOCVD). Với công
nghệ chế tạo vật liệu hiện đại, ngƣời ta có thể chế tạo ra hố lƣợng tử có thế giam
giữ khác nhau, việc khảo sát lý thuyết về hố lƣợng tử chủ yếu dựa trên hàm sóng
và phổ năng lƣợng của điện tử thu đƣợc nhờ giải phƣơng trình Schrodinger với hố
4


thế đặc trƣng của nó. Ngồi ra, khi chuyển từ hệ ba chiều sang hệ hai chiều thì mật
độ trạng thái cũng thay đổi, mật độ trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác khơng.
Sự thay đổi mật độ trạng thái của hệ điện tử trong hố lƣợng tử đóng vai trị quan
trọng trong việc chế tạo laser bán dẫn hố lƣợng tử. Trong luận văn này, chúng tôi
quan tâm đến hố lƣợng tử với thế giam giữ cao vơ hạn.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong hố lƣợng tử với hố thế
cao vô hạn
a, Trƣờng hợp vắng mặt của từ trƣờng
Chúng ta xét một hố lƣợng tử với hố thế cao vô hạn. Điện tử bên trong hố
V(z)
đƣợc giam giữ bởi một hố thế cao vơ hạn có dạng:
V(z) =

(1.1)

Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử bị giam cầm

z
0

L

trong hố lƣợng tử với thế tƣơng ứng thu đƣợc từ việc giải phƣơng trình
Schrodinger[2,6]
Hàm sóng: (x,y,z) =
Phổ năng lƣợng:

.exp(

=

+

).sin(

+

,
,

(1.2)
(1.3)

Trong đó n=1,2... là chỉ số mức năng lƣợng gián đoạn trong hố lƣợng tử,
Lz=L là độ rộng hố lƣợng tử, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo phƣơng Ox và Oy, m
và e lần lƣợt là khối lƣợng và điện tích hiệu dụng của điện tử trong hố lƣợng tử.
b, Trƣờng hợp có mặt của từ trƣờng
b.1. Từ trường vng góc với thành hố lượng tử
Bây giờ chúng ta đặt thêm một từ trƣờng khơng đổi

vng góc với hố lƣợng tử, tức là song song với phƣơng Ox. Đối với từ trƣờng này
ta sử dụng thế vector A =

. Trong trƣờng hợp này hàm Hamilton đối với

điện tử có dạng:
5


H=

=

(1.4)

Phƣơng trình Schrodinger đối với điện tử trong hố lƣợng tử cao vô hạn:
 = ,
 =  ,

Hay

(1.5)

Giải phƣơng trình (1.5) bằng phƣơng pháp tách biến ta thu đƣợc hàm sóng và
phổ năng lƣợng của điện tử nhƣ sau:
=

exp(i
= (N + )ħ

y)sin(
+

)

,

(1.6)

,

(1.7)

Với

là hàm sóng của dao động từ điều hòa quanh tâm
số cyclotron,

với tần số

=

tần

là đa thức Hermite, N=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

b.2. Từ trường song song với thành hố lượng tử
Giả sử từ trƣờng ngoài đƣợc đặt vào nhƣ hình vẽ, khi đó ta có =(B,0,0).
Trong trƣờng hợp này nếu thế vectơ đƣợc chọn A=Ay=-zB thì phƣơng trình
Schrodinger có thể viết dƣới dạng sau:

 = 

 = .

hay

Giải phƣơng trình này bằng phƣơng pháp tách biến ta thu đƣợc phổ năng
lƣợng và hàm sóng
= (n + )ħ
=

+

,

(1.8)

exp[i(

y)].
6

(1.9)


1.2. Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
1.2.1. Khái niệm về hiệu ứng âm - điện và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán
dẫn khối
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn thì do sự truyền năng lƣợng và
xung lƣợng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu

ứng âm - điện. Tuy nhiên, trong sự có mặt của từ trƣờng, sóng âm truyền trong vật
dẫn có thể gây ra một hiệu ứng khác gọi là hiệu ứng âm - điện - từ. Hiệu ứng âm điện - từ tạo ra một dòng âm điện từ nếu mạch kín và tạo ra một trƣờng âm - điện từ nếu mạch hở.


H

W

0

V

x

y

Hình 1.1: Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Hiệu ứng âm - điện - từ tƣơng tự nhƣ hiệu ứng Hall trong bán dẫn, ở đây


dịng âm W đóng vai trò của dòng điện jx. Về bản chất nguyên nhân xuất hiện ứng
âm - điện - từ là sự tồn tại các dịng riêng của các nhóm hạt tải mang năng lƣợng
khác nhau, khi dịng trung bình tồn phần trong mẫu bằng không.
Do sự phụ thuộc vào năng lƣợng  của thời gian phục hồi xung lƣợng, độ linh
động trung bình của hạt tải trong các dịng riêng này nói chung sẽ khác nhau. Vì
vậy nếu nhƣ tồn bộ mẫu đƣợc đặt trong từ trƣờng ngồi thì dịng Hall tạo bởi các
nhóm hạt tải này sẽ khơng triệt tiêu nhau và xuất hiện dòng âm - điện - từ (nếu mẫu
đóng mạch theo phƣơng Oy) hoặc trƣờng âm - điện - từ (nếu mẫu đóng mạch theo
phƣơng Oy hở ).

7


1.2.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Lý thuyết lƣợng về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối đã đƣợc
A.D.Margulis và V.I.A.Margulis nghiên cứu và công bố 1994, tác giả xem sóng âm
nhƣ những dịng phonon kết hợp với hàm phân bố Delta N( )=

(

)

tác giả bắt đầu từ việc xây dựng Hamiltonian tƣơng tác của hệ điện tử-sóng âm
H= H0 + He-ph =

   p a a   C U  q a

p

n

n, p

p

q


pq

a p cq exp( i q t)

(1.10)

p ,q

Trong đó:
lần lƣợt là các tốn tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái  .
p, q lần lƣợt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

q là tần số của phonon ngoài. Cq là hằng số tƣơng tác điện tử - phonon âm.
 n ( p) là năng lƣợng của điện tử trong từ trƣờng ngồi.

là yếu tố ma trận của tốn tử U  exp(iqy  l z ) .
Để thu đƣợc trƣờng âm - điện - từ chúng ta cần thiết lập phƣơng trình động
lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối. Bắt đầu từ phƣơng trình động cho tốn tử
i

số hạt

f p (t )
t




 a p a p , Hˆ



t

(1.11)

Sử dụng Hamilton (1.10) và hệ thức giao hoán của toán tử, thực hiện các phép
biến đổi chúng ta thu đƣợc phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
f p (t )
t

 i



C

q s ,l  

2
q



 eEq 
 eEq 
J 
 exp( il t )
J s 
2  s l 
2 
 m 

 m 

 n p  q (1  n p )( N q  1)  n p (1  n p  q ) N q n p q (1  n p ) N q  n p (1  n p q )( N q  1) 



 p  q   p   q  s  i
 p q   p   q  s  i



Theo tính chất của hàm Delta Dirac ta có :
f p (t )
t

   Cq N q (n p  q  n p ) ( p  q   p  q )  (n p q  n p ) ( p q   p  q )
2

q

8


f p (t )

Hay

t



W
[ f p q  f p ] ( p q   p  q )  [ f p q  f p ] ( p q   p  q )
 C1
vs 3
2

Ở đây:  là mật độ tinh thể, vs là vận tốc sóng âm, C1 là thế biến dạng.
Vậy ta thu đƣợc phƣơng trình đối với hàm phân bố f p của điện tử tƣơng tác
với phonon ngoài qua thế biến dạng C12 :

 

f p  f 0

 
  f p 
  eE   H p, h ,   
 ( p ) 
p 

C12W  
[ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )  [ f p q  f p ] ( p  q   p  q )
vs 3

Ở đây H 

(1.12)

eH
gọi là tần số cyclotron ,  ( p ) là sự phụ thuộc của thời gian

mc

phục hồi xung lƣợng vào năng lƣợng của điện tử .
e 

p (   p ) và tổng theo toàn bộ p ta nhận đƣợc
m

phƣơng trình cho mật độ dịng riêng R( ) :

Nhân cả 2 vế của (1.12) với

e 

 m pf

p


p

e 

 (   p )


 ( p )

 m pf  (  


p

0

 ( p )


p

)



p

   f p
e 
p (   p ) H  [ p, h ], 
m
p






  f p 
e 
p (   p ) E ,  


p m
 p 


eC12W p 

f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p   q )  [ f p q  f p ] ( p q   p   q )

v s 3 m
p
 e

e 



 m pf  (  

p


p

 ( p )


p

)

e 
pf  (   p )





f p  p m 0
 p
 H  ep [  (   p ), h ],   

p 
 ( p )
p
 m


p   f p 
 e   E ,   (   p )

p 
p m


eC12W p 

f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )  [ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )

vs 3 m
p

2

9


e 



 m pf  (  

p


p


p

e 
pf 0 (   p )




ep 
p m
 H [h ,  f p (   p )] 

 ( p )

p m

)

 ( p )


p   f  
Đ
 e 2   E , p  (   p )

p 
p m


eC12W
p 

 f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )  [ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )
vs 3 p m

ặt: R( ) 


ep
p m f p (   p )



eC12W

S ( ) 
vs 3

Suy ra


Q( )  e 2 

p


p   f p
 E, 
m  p


 (   p )



p 
p m f p (   p )[ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )  [ f p  q  f p ] ( p  q   p  q )



R( )
 H [h , R( )]  Q( ) + S ( )
 ( p )

(1.13)





Trong gần đúng tuyến tính theo E và W , thay thế hàm f p bằng hàm phân bố


điện tử cân bằng f 0 , ta biến đổi tổng theo tích phân trong biểu thức của Q( ) và

S ( ) , sau đó tích phân trên hệ tọa độ cầu :


 
2


2
 f 
p   f p 
e
p
2
 E ,   (   p ) 
d  sin   p dp  E 0  (   p )
3


p 
(2 ) 0 0
m  p 

p m
0



4e 2
p f 0
2
 )E

p
dp

(




p
(2 )3 0
m p


Q( )  e 2 

e2

2 2




0

2

f
 p
p   pdp 0  (   p ) E
 p
m



e2 p 3 f 0
 2 2
pdp (   p ) E
2 0 m  p
3/2



3 
 1 ( )3/2

e2 (2mn ) 2   g
f 0


E

2
2 mn

 2 
1  
 g 

(1.14)

Tính tốn tƣơng tự ta có
10




eC12Wq 1
S ( )   3
vs (2 ) 2 1  2

g

 mn g

 2



eC12Wq 1  mn 

 

vs 3 (2 ) 2 1  2  2 
g

1/ 2


2
eC1 Wq 1

vs 3 2 1  2

g

1/ 2





1/ 2

2
 


 2  1  1

  g






g

 2

1/ 2








 g
1/ 2

1/ 2


 mn 
1/ 2 
     1
 2 
g


1/ 2






f 0
 (  1 )


1/ 2



2  1


 g


f 0
 (  1 )


f 0
 (  1 )


2
2

C m q
Gọi  là hệ số hấp thụ sóng âm , cơng thức:   1 n f0 (1 )

vs

 g 

1/ 2

q2 

 (  1 ) là hàm bậc thang têta với 1  1 
2  2mn 




 1



1/2

eW
1
S ( )   2
3/2
vs (2mn ) f 0 (1 )



1/2



  1
 g

2
1

f 0
 (  1 ) .


g



(1.15)



Giải phƣơng trình (1.13) với Q( ) và S ( ) biết từ (1.14) và (1.15) ta đƣợc:







 

 
 




1
 Q( )  S ( )  ( )  H ( ) h , Q( )  h , S ( )
2 2
R( )  1  H  ( )  ( )
 


2 2

 H  ( ) Q( )  S ( ), h h















(1.16)

Ta sẽ tính mật độ dịng điện tồn phần trong mẫu theo cơng thức:

 

j  L0 (Q)  L0 ( S )   R( )d
0

Thực hiện một số phép biến đổi tích phân và ten-xơ ta thu đƣợc:
ji   ij E j  nijW j

11

(1.17)


Ở đây:  ij là ten-xơ độ dẫn điện, nij ten-xơ “độ dẫn âm” có dạng nhƣ sau:
e2 n
 ij 
a1 ij  H a2 ijk hk  H 2 a3hi hj ,
mn



nij 



e
b1 ij  H b2 ijk hk  H2 hi h j .
vs (2mn )3/2



2



Với n là nồng độ điện tử ở vùng dẫn.
 ijk là ten-xơ phản đối xứng bậc 3.
0(i  j )
1(i  j )

 ij  





Giả sử dịng sóng âm W và từ trƣờng ngoài H cũng lần lƣợt đƣợc hƣớng dọc


theo các trục Ox và Oz và giả thiết rằng mẫu hoàn toàn cách điện ( j  0 ). Khi đó từ
(1.17) thiết lập hệ phƣơng trình jx = jy =0 và giải ra ta thu đƣợc biểu thức của
trƣờng âm - điện - từ EAME xuất hiện theo phƣơng Oz của mẫu :
Ta có phƣơng trình :

jx   xj E j   xjW j   xx Ex   xy E y   xz Ez   xxWx   xyWy   xzWz  0
j y   yj E j   yjW j   yx Ex   yy E y   yz Ez   yxWx   yyWy   yzWz  0
 xy E y   xxWx  0
 yx xy E y   yx xxWx  0


 yy E y   yxWx  0  yy yy E y   yy yxWx  0
 E y ( yx xy   yy yy )  Wx ( yx xx   yy yx )  0
 Ey 

( yx xx   yy yx )Wx

 2  2
xy

( yx   xy )

(1.18)

yy

(1.18) là biểu thức tổng quát để tính trƣờng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Kane khi có sự phụ thuộc của thời gian phục hồi xung lƣợng vào năng lƣợng của
điện tử.
Xét trƣờng hợp thời gian phục hồi xung lƣợng của điện tử theo quy luật lũy thừa:

12





1   
v 
 g 
 
 ( )   0   
T  1 2 

v

g

Ta có:  yx  
 xx 

e2n
e2n
e2n
H a2 ;  yy 
(a1  H2 a3 ) ;  xy   yx 
H a2
mn
mn
mn

e
e
(b1  H2 b3 ) ;  yx  
H b2
2

3/ 2 2
(2mn ) vs
(2mn )3 / 2 vs

 e2 n

e
e2 n
e
2


a
(
b


b
)

H b2
(a1  H2 a3 )  W
H 2
1
H 3

3/2 2
3/2 2
m
(2mn ) vs

mn
(2mn ) vs

Suy ra E y   n
4 2
en
 2 a 2  (a1  H2 a3 )2 
2  H 2
mn

Suy ra
Ey 

Đặt EW 

 a1b2  H2 a3b2  a2b1  H2 a2b3 


23/2 e(mn )1/2 nvs2 
H2 a22  (a1  H2 a3 )2


H W

W
trƣờng Weinreich
nvs e

Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường yếu :

e 0 H
 1  H 0  1
mnc

  2 n  e 0 H  1

 f 0 (0, z )[ Fv3 / 2, 2 ( z,  )]2
E y  E AME  EW 
2


 4mn vsT  mn c 
{Fv  3 / 2, 2 ( z,  ) F2v 1 / 2,3 ( z,  )  F2v  3 / 2,3 ( z,  ) Fv 1 / 2, 2 ( z,  )}

(1.19)



f 0  ( x  x)v
dx : tích phân Fermi tổng quát hay tích phân 2

x  (1  2x) k
0

Với Fv, k ( z,  )    
tham số Fermi.

Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường mạnh :

13

e 0 H
 1  H 0  1
mnc


1

E y  E AME

  2 n  e 0 H 

 f 01 (0, z )[ Fv 3 / 2, 4 ( z,  )]2
 EW 
2


 4mn vsT  mn c 
{F3v  3 / 2, 4 ( z,  ) F2v 1 / 2,3 ( z,  )  F2v  3 / 2,3 ( z,  ) F3v 1 / 2, 4 ( z,  )}

(1.20)

Từ cơng thức (1.19) và (1.20) ta có nhận xét rằng trong từ trƣờng yếu trƣờng
âm - điện - từ EAME tỉ lệ thuận với từ trƣờng ngoài H , còn trong từ trƣờng mạnh
trƣờng âm - điện - từ EAME tỉ lệ nghịch với từ trƣờng ngoài H.

14


Chƣơng 2

BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƢỜNG ÂM - ĐIỆN - TỪ
TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
2.1. Hamiltonian tƣơng tác giữa điện tử - phonon trong hố lƣợng tử.

Xét hố lƣợng tử với hố thế cao vô hạn. Trong hố lƣợng tử điện tử bị giam
cầm trong thế dọc theo trục Oz, điện tử chuyển động tự do trong mặt phẳng (x,y).
Đặt từ trƣờng không đổi theo phƣơng = (0,B,0) song song với thành hố lƣợng tử,
sóng âm truyền dọc theo trục Oz. Trong trƣờng hợp này nếu thế vectơ đƣợc chọn
A=Ay=-zB.Giải phƣơng trình này bằng phƣơng pháp tách biến ta thu đƣợc phổ
năng lƣợng và hàm sóng:
= (n + )ħ

+

=

,

exp[i(

y)],

Với Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo phƣơng Ox, Oy.

là hàm sóng của dao động từ điều hòa quanh tâm

với tần số

=

tần số

là đa thức Hermite, n=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

cyclotron,

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lƣợng tử có dạng:
H  H 0  H e ph ,

(2.1)

H 0    n , p an, p an , p   k bkbk ,
x

x

n , px

(2.2) H e ph 

x

k



n , n' , p x , q

CqU n ,n (q )an, p  q an , p bq exp(iq t )
'

x

'

x

(2.3)
15


Trong đó:
an, px , an, px lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy điện tử.

bq , bq lần lƣợt là các toán tử sinh, hủy phonon.

p, q lần lƣợt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.

q là tần số của phonon ngoài.
k là tần số của phonon trong
Cq là hằng số tƣơng tác điện tử - phonon ngoài.
1

 q 3  2
2
 ;
Cq  iCl 
 2 S 



1

 C 2 2
 t  1  s2  ;
 Ct 

1   l 2  l
1 t2 
  q
 (  2)
;
t
2 t 
 2 l
1

 C 2 2
 l  1  s2  .
 Cl 

với Cs là vận tốc sóng âm,  là mật độ khối trung bình,  là thế biến dạng
Ct , Cl là vận tốc sóng âm ngang và dọc hố; S=LxLy là diện tích bề mặt.

U n,n' (q ) là yếu tố ma trận của toán tử U  exp(iqy  l z ) .




l   q 2 

 q
2

1
2


c 2l  là thừa số tắt dần của thế trong trƣờng dịch chuyển.

Ta có:
Un,n’( =  U dV
ip y y
ip y y
ipx x
ip' x x
1



(
z

z
)
exp(
)
exp(
)

exp(iqy



z)
exp(
) exp(
)  n '( z  z0) dV
n
0
l

Lx Ly
'

=

1
i
i
n ( z  z0 ) exp( ( p ' x  px ) x) exp( ( p ' y  p y  q) y) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV

Lx Ly

16


=

1
 2
Lx Ly

Tính

=






n

2

p

'

x , px

p

'

y , py 

q




n

( z  z0 ) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV

( z  z0 ) exp(l z) n ' ( z  z0 ) dV


mc
1 mc 12
(
)  exp(l z) H 2 n (z  z 0 )
n
2 n! 



 mc

(z  z 0 ) 2 dz
 exp 





 mc

2
mc 


1 mc 12
) exp(l z 0  l )  H 2 n (z  z 0 )
(z  z 0  l ) 2 dz
= n (
 exp 
2 n! 
4mc
2mc 




Tra bảng tích phân


có:  H 2n (z z0 )


 mc

mc 

 1/2 n
(z z0  l )2 dz  (
) 2 .n ! L0n (l2
)
 exp 
2mc 
mc

mc



Nhƣ vậy ta có:

1
U
 2
Lx Ly

  p ,p 
2

'
x

2

Với L (
0
n

2
l

mc

)  3 4

x

l4

L (

0
'
py , py  q n

2
l

mc

) exp( z0l 

l2

)

4mc

2

m22

2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử.
Phƣơng trình động lƣợng tử cho trung bình số điện tử nn, px  t   an, px an, px có
t

dạng:

i

nn, px  t 
t

  an, px an, px , H  .
t

(2.4)

Hay:
i

nn, px  t 
t



  an, px an, px ,   n' , p' an', p 'x an ', p 'x 
x
n' , px'



t




  an, px an, px ,  k bkbk 
k





  an, px an, px ,  CqU n ', n1 '  qz  an', p 'x q an' , p ' bq exp(iq t ) 
1
x

n ', n1 ', p 'x , q


17


t

(2.5)
t


Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson:

a

n , px





 



, an', p 'x  an, px an', p 'x  an, px an', p 'x   n,n ' px , p 'x ; an, px , an ', p 'x  an, px , an', p 'x  0 ,

bq , bq'   bq bq'  bq'bq   q ,q ' ; bq , bq '   bq , bq'   0 .

Ta có:
 an, p an, p , a  a   an, p an, p a  a  a  a an, p an , p
n ,p n ,p 
n ,p n ,p
n ,p n ,p

x

'

x

 an, p ( n,n  p
'

x

'
x

'

'
x , px

'
x

x

'

x

'
x

'

'
x

'

'
x

 an , p an, p )an , p  an , p ( n ,n  p
'

'
x

'

x

'
x

'

'
x

'

'

'
x , px

'
x

x

x

 an, p an , p )an, p
'

x

'
x

x

 an, p an , p  n,n  p p  an, p an , p ' an, p an ', p '  an', p ' an, p  n ,n  p p  an', p ' an, p an ', p ' an, p
'

x

'
x

'

'
x x

'

x

x

x

x

x

'

x

'
x x

x

x

x

x

0





Suy ra:  an, p an , p ,   n ', p ' an', p ' an ', p '   0 ,


x

x

x

x

x

n ', p 'x



(2.6)

t

an, p an , p , bk bk   an, p an , p bk bk  bk bk an, p an , p  0 .
x

x

x

x

x



x



Suy ra:  an, p an , p ,  k bkbk   0 ,
k


x

(2.7)

x

t

 an, p an, p , an', p '

x

x

x

q

an '

1,

b   an, p an , p an', p '

p 'x q

x

x

 an, p ( n,n ' p
x

an', p '

q

x , p 'x

an '

1,

q

1

 an, p an '

 an', p '

1,

x

x

x

b  n ,n ' p

p 'x q

x , p 'x  q

Suy ra:

 a  a , C U (q)a 
q n ', n '
n ', p '
 n , p n , p n
', n '
p' q

x

x

1

1

x,

x

b  an', p '

p 'x q

x

x

q

an '

1,

an, p )an '

q

x

1,

b an, p an , p

p 'x q

x

x

b 

p 'x q

( n,n '  p p '  an, p an ' p ' )an, p bq

x q

x

x



 q an ' p ' bq


1,



x

18

t

,

x

 an', p '

x

x

q

an , p bq n ,n '  p p ' .
x

1

x

x




CU
q

n ', n '1

an, p an '
x

1,

b  n ,n ' p

p 'x q

x , p 'x

CU



q

n ', n '1
p 'x , q

q

  CqU nn ' (a

an , p bq  a


n , px

x

an', p '

x

an , p bq n ,n '  p p '

q

x

1

x

x

n ', n '1
p 'x , q

t


n ', px  q

n ',n '1

t

(2.8)

an ', p q bq ) ,
x

n ',q

Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8)vào (2.5) và đặt:
Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p2 bq

Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p2 bq

t


t

,

 an2 , p2 an1 , p1 bq .
t

Ta thu đƣợc phƣơng trình:
nn, px (t )

i

  CqU nn ' ( Fn ', px  q,n, px ,q  Fn, px ,n ', px q ,q )

(2.9)

 CqU nn '[Fn, p ,n ', p q ,q (t )  Fn', p q ,n, p ,q (t)] ,

(2.10)

t

n ',q

Hay:
nn, px (t )
t



i

x

x

x

x

n ', q

an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p 'x an ', p 'x   an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p 'x an ', p 'x  an', p 'x an ', p 'x an1 , p1 an2 , p2 bq1 









 an1 , p1  n2n ' p2 p 'x  an', p 'x an2 , p2 an ', p 'x bq1  an', p 'x  n2n ' p1 p 'x  an1 , p1 an ', p 'x an2 , p2 bq1 

 an1 , p1 an ', p 'x bq1 n2n ' p2 p 'x  an1 , p1 an', p 'x an2 , p2 an ', p ' x bq1 
an', p 'x an2 , p2 bq1 n2n ' p1 p 'x  an', p ' x an1 , p1 an ', p ' x an2 , p2 bq1 
 an1 , p1 an ', p 'x bq1 n2n ' p2 p 'x  an', p 'x an2 , p2 bq1 n2n ' p1 p 'x .
 



 an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   n ',p'x an ', p 'x an ', p 'x 
n ',p'x



Suy ra:





n ',p'x

a

b 

t

 p p '  an', p ' an , p bq  n n ' p p '



n1 , p1 n ', p 'x q1 n2 n '

a



2

x

x

2

2

1

2

1

x



n ', p 'x

  n2 ,p2 an1 , p1 an2 , p2 bq1


t

t

  n1 ,p1 an1 , p1 an2 , p2 bq1

19

t



   n1 ,p1   n2 ,p2

a



n1 , p1 n2 , p2 q1 t

a

b


an1 , p1 an2 , p2 bq1 , bk bk   an1 , p1 an2 , p2 bq1 bk bk  bk bk an1 , p1 an2 , p2 bq1 





 an1 , p1 an2 , p2 bk bq1 bk  an1 , p1 an2 , p2 bk bk bq1  an1 , p1 an2 , p2 bk  q k  bk bq1 
1

 an1 , p1 an2 , p2 bk bk bq1  an1 , p1 an2 , p2 bk  q k .

(2.11)

1

 



 an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,  k bk bk 
k



Suy ra:

  k an1 , p1 an2 , p2 bk  q k
1

k

t

 q1 an1 , p1 an2 , p2 bq1


t

(2.12)

t

an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p 'x q an '1 , p 'x bq   an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p 'x q an '1 , p 'x bq  an', p 'x q an '1 , p 'x bq an1 , p1 an2 , p2 bq1 
 an1 , p1 an2 , p2 an', p 'x q an '1 , p 'x bq1 bq  an', p 'x q an '1 , p 'x an1 , p1 an2 , p2  qq1  bq1 bq 









 an1 , p1  n2n ' p2 , p 'x q  an', p 'x q an2 , p2 an '1 , p ' x bq1 bq 









an', p 'x q  n1n '1 p1 p 'x  an1 , p1 an '1 , p ' x an2 , p2 qq1  bq1 bq 

 an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq n2n ' p2 , p 'x q  an', p ' x q an1 , p1 an '1 , p ' x an2 , p2 bq1 bq 
an', p 'x q an2 , p2  n1n '1 p1 p 'x  qq1  an', p 'x q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p ' x 
an', p 'x q an1 , p1 an '1 , p 'x an2 , p2  qq1  an', p 'x q an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq 





 an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq n2n ' p2 , p 'x q  an', p 'x q n1n '1 p1 p ' x  an '1 , p ' x an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq 

an', p 'x q an2 , p2  n1n '1 p1 p 'x  qq1  an', p 'x q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p ' x 





an', p 'x q an1 , p1 an '1 , p 'x an2 , p2 qq1  an', p ' x q n1n '1 p1 p ' x  an '1 , p ' x an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq 

 an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq n2n ' p2 , p 'x q  an', p ' x q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1p ' x 
an', p 'x q an '1 , p 'x an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq  an', p ' x q an2 , p2 n1n '1 p1 p ' x qq1 

an', p 'x q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p 'x  an', p 'x q an1 , p1 an '1 , p ' x an2 , p2 qq1 





 an1 , p1 an '1 , p 'x bq1 bq n2n ' p2 , p 'x q  an', p ' x q an2 , p2 qq1  bq1 bq n1n '1 p1p ' x 

20