Khóa luận tốt nghiệp đại học: Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

BÙI NHƢ NGỌC

THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG HỆ NHIỀU HẠT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

Hà Nội – 2018


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn trân thành và sự tri ân sâu sắc tới các thầy cô của trƣờng
Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy cô trong khoa Vật Lý của trƣờng đã tận
tình giảng dạy, trang bị kiến thức cho em trong những năm học qua, tạo điều kiện có
nhiều thời gian để hồn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Nguyễn Thị Phƣơng Lan và thầy giáo
ThS Đỗ Chí Nghĩa đã nhiệt tình hƣớng dẫn em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp.
Thầy cơ là ngƣời đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm đam mê khoa học trong
suốt quá trình làm việc.
Trong q trình ngiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen với phƣơng
pháp ngiên cứu nên đề tài khó tránh khỏi nhƣng thiếu sót. Em mong nhận đƣợc những
ý kiến đóng góp của các thầy cơ để em họ thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn
thành tốt bài báo cáo tốt nghiệp sắp tới.
Em xin trân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018.

Sinh viên

Bùi Nhƣ Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận và những nghiên cứu của em dƣới sự hƣớng dẫn nhiệt tình, nghiêm
khắc của cơ ThS Nguyễn Thị Phƣơng Lan và thầy ThS Đỗ Chí Nghĩa. Bên cạnh đó, em
cũng nhận đƣợc sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Vật Lý
Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2.
Vì vậy, em xin cam đoan nội dung đề tài: “ Thống kê Bose – Einstein và các
ứng dụng trong hệ nhiều hạt” là kết quả nghiên cứu, học tập của riêng em. Các kết
quả trong đề tài này là trung thực và hồn tồn khơng trùng lặp với các đề tài khác.

Sinh viên

Bùi Nhƣ Ngọc


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...............................................................................................................................................1
1. Lý do lựa chọn đề tài................................................................................................... 1
1. Mục đích nghiên cứu................................................................................................... 1
2. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu............................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................................2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................................. 2
NỘI DUNG...................................................................................................................... 2
CHƢƠNG I. TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN................................ 3
1.1 Hệ nhiều hạt và phƣơng pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt.............................................3
1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt. ....................................................................................................... 3
1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt. ................................................................... 4

1.2. Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson..................................................................... 4
1.2.1. Giới thiệu về hệ hạt Boson. ............................................................................................... 4
1.2.2. Đặc trưng của hệ hạt Boson. ............................................................................................ 5
1.3. Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein.

7

1.4. Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein..............................10
1.3.1. Thống kê Bose – Einsstein. ............................................................................................... 7
1.3.2 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein. .......................................................................... 8
CHƢƠNG II. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
TRONG HỆ NHIỀUHẠT. ............................................................................................. 11
2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng.................... 11
2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng. .....................................................................................................11
2.1.2 Các định luật bức xạ. ........................................................................................................13
2.2 Hiện tƣợng ngƣng tụ Bose – Einstein.

18

2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein. ...........................................................................18


2.2.2. Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng photon

22

2.2.3. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium. ......................................24
2.3. Lý thuyết nhiệt dung của vật rắn.

25

2.3.1. Lý thuyết nhiệt dung của Einstein. ................................................................................26
2.3.2. Lý thuyết nhiệt dung Debye. ...........................................................................................27
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................. 31


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Cùng với sự phát triển nhanh chóng của nền văn minh nhân loại vật lý học
cũng phát triển một cách không ngừng, trải qua nhiều giai đoạn và đạt đƣợc rất nhiều
thành tựu khoa học đáng kể.Vật lý thống kê là một bộ phận trong vật lý hiện đại. Vật lý
thống kê gồm vật lý thống kê cổ điển và vật lý thống kê lƣợng tử, vật lí thống kê lƣợng
tử tổng quát hơn, chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển.
Nhắc đến vật lí hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến nhà bác học Anh-xtanh (18791955) là nhà vật lý lý thuyết ngƣời Đức, ngƣời đã phát triển thuyết tƣơng đối tổng
quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại.
Vật lý thống kê là ngành vật lý ngiên cứu hệ nhiều hạt. Từ việc nghiên cứu mối
liên hệ giữa các đặc tính vĩ mơ của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động
của hạt vi mô tạo nên hệ bằng các phƣơng pháp thống kê. Hiện nay, các phƣơng pháp
của vật lí thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện
đại kể từ các vật ngƣng tụ cho đến lý thuyết các hạt cơ bản.Thơng qua việc tìm hiểu
các thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng để ngiên cứu những tính chất và các ứng dụng
trong hệ nhiều hạt. Trên đây là cơ sở để tôi lựa chọn đề tài: “ Thống kê Bose –
Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” để có cái nhìn tổng quan hơn, sâu sắc
hơn về tính chất của hệ nhiều hạt và sự hứng thú giải quyết các bài tập trọng tâm. Từ
đó, vận dụng vào thực tiễn khơi dậy niềm đam mê đối với bộ môn Vật lý và nhận thấy
đƣợc những ứng dụng to lớn của vật lý đối với các ngành khoa học khác.
1.

Mục đích nghiên cứu

-

Tìm hiểu, hệ thống lí thuyết thống kê Bose – Einstein.

-

Tìm hiểu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.

-

Áp dụng thống kê Bose – Einstein để nghiên cứu một số hiện tƣợng vật lí mới.

2.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

1


-

Các hạt đồng nhất Boson.

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu

-

Áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ lƣợng tử.

-

Nghiên cứu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.

4.

Phƣơng pháp nghiên cứu

-

Đọc và nghiên cứu các tài liệu tham khảo.

-

Phƣơng pháp vật lí lí thuyết.

-

Phƣơng pháp thống kê.

NỘI DUNG

2


CHƢƠNG I
TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN

1.1

Hệ nhiều hạt và phƣơng pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt

1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt
Hệ nhiều hạt là hệ gồm hai hạt trở lên. Chúng ta khảo sát trong bài toán hệ nhiều
hạt có thể là các nguyên tử, phân tử, ion, electron, photon, neutron trong các hạt nhân
lớn… Hiểu nôm na là hệ có các bậc tự do lớn. Việc gia tăng thêm số hạt trong hệ sẽ
dẫn đến sự thay đổi tính chất của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ nhiều hạt. Bài
toán hệ nhiều hạt thực chất là bài tốn của hệ phƣơng trình Hamilton (cho hệ cổ điển)
hay phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử).
Khảo sát theo quan điểm cơ học cổ điển.
Xét 1 hệ gồm có N hạt tự do, khảo sát khơng gian pha tức khơng gian 2Nf chiều
đối với hệ có f bậc tự do.
Trong trƣờng hợp đơn giản f = 3, trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng 3N tọa độ
và 3N vận tốc. Ta cũng biết rằng trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng 3N tọa độ suy
rộng, 3N xung lƣợng suy rộng:
q1,q2,q3,…..q3N q
p1,p2,p3,…..p3N

p

(1.1)
(1.2)

Chúng ta đi giải các phƣơng trình Hamilton sau để xác định tọa độ và xung
lƣợng của các hạt trong hệ tại thời điểm bất kì: (đây là hệ 6N phƣơng trình 6N ẩn)
{

̇

với k = 1,2, …3N

̇

(1.3)

Trong đó H là hamilton của hệ, ̇ và ̇ lần lƣợt là đạo hàm theo thời gian của tọa độ
và xung lƣợng.
H(q,p) = T(q,p) + U(q,p)

(1.4)

3


Với T(q,p) và U(q,p) lần lƣợt là động năng, thế năng của hệ.
Để xác định đƣợc trạng thái của hệ N hạt ở thời điểm bất kì ta cần phải biết 6N
điều kiện ban đầu.
Khi t = 0, tọa độ suy rộng và xung lƣợng của hệ có dạng:

↔

q1(t, q(0), p(0)), q2(t,q(0),p(0)),…, q3N(t,q(0),p(0))

(1.5)

p1 (t, q(0), p(0)), p2(t,q(0),p(0)),…, p3N(t,q(0),p(0))

(1.6)

{ q1(0), q2(0),…, qf(0)

{ p1(0), p2(0),…, pf(0)

q(0)

p(0)

(1.7)
(1.8)

Mỗi trạng thái của hệ đƣợc gọi là một điểm pha (q,p). Do sự chuyển động
không ngừng của các hạt trong hệ khiến tọa độ và xung lƣợng của hệ ln biến đổi
theo thời gian, do đó điểm pha của hệ di chuyển vẽ nên quỹ đạo pha.
1.1.2

Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt.

Đối với hệ nhiều hạt (N ≥ 2), một trong những khó khăn khi nghiên cứu đó là có biến
số lớn(3N). Vì vậy, ta dựa vào các đặc trƣng khác nhau của hệ để có thể lựa chọn các
phƣơng pháp giải bài tốn phù hợp. Về nguyên tắc, ta chỉ cần giải một số phƣơng trình
nhất định, tìm 6N điều kiện ban đầu của hệ là bài toán sẽ đƣợc giải quyết. Tuy nhiên,
trong thực tế ta cịn gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy,đơn giản nhất, căn bản nhất là
áp dụng các phƣơng pháp thống kê.
1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson
1.2.1

Giới thiệu về hệ hạt Boson
Boson đƣợc đặt theo tên nhà vật lý học ngƣời Ấn Độ Satyendra Nath Bose.

Boson là tất cả các loại hạt có spin nguyên (0, ±1, ±2…) tất cả các hạt trong tự nhiên
đều đƣợc chia làm hai loại: boson và fermion. Boson có thể nằm cùng một trạng thái
lƣợng tử, không tuân theo nguyên lý Pauli. Theo lý thuyết thống kê spin, Boson lấy các
giá trị nguyên. Chúng là loại hạt duy nhất tuân theo thống kê Bose – Einstein.

4


1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson
Trong tự nhiên, các hạt tạo nên từ các hạt cơ bản hơn nhƣ proton hay hạt nhân
nguyên tử cũng thuộc nhóm Boson hoặc Fermion tùy thuộc vào tổng spin của chúng.
Boson là nhóm các hạt sơ cấp có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose –
Einstein, bao gồm các hạt mang tƣơng tác điện từ (Photon), tƣơng tác yếu (Boson W và
Z), tƣơng tác mạnh (Gluon), tƣơng tác hấp dẫn ( Graviton) và hạt Higgs.
Tên

Kí

Phản

hiệu

hạt

Charge(e) spin

Khối

Trung

Hạt

lƣợng(GeV/c2) gian
tƣơng
tác

photon

Boson

Y

W-

Tự nó

W+

0

-1

1

0

1

80,4

W

Điện

Xác

từ

nhận

Lực

Xác

Tƣơng

nhận

tác yếu
Boson Z

Z

Tự nó

0

1

91,2

Lực

Xác

Tƣơng

nhận

tác yếu
Gluon

g

Tự nó

0

1

0

Lực

Xác

tƣơng

nhận

tác
mạnh
Higgs

H0

Tự nó

0

0

125,3

boson
Graviton G

Tự nó

0

2

0

5

Khối

Xác

lƣợng

nhận

Lực

Chƣa


hấp

xác

dẫn

nhận

Boson W hay hạt W là một hạt cơ bản có khối lƣợng bằng 160.000 lần khối
lƣợng của electron hay khoảng 80 lần khối lƣợng của proton hay neutron tƣơng đƣơng
với khối lƣợng của nguyên tử Brôm.
Boson W là hạt mang điện tích hoặc -1 hoặc +1. Chúng là phản hạt của nhau,
nhƣng cả hai đều không là hạt vật chất. Boson W là hạt truyền tƣơng tác trong tƣơng
tác yếu, và tồn tại ở một thời gian cực ngắn, chỉ khoảng 3.10-25 giây sau đó phân rã
sang các dạng khác.
Boson W phân rã tạo thành hoặc là một quark, hoặc là 1 phản quark có điện
tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino.

Hình1: Biểu đồ Feynman cho thấy sự trao đổi cặp Boson W. Đây là một trong các ví

dụ về sự dao động của hạt trung hòa điện Kaon.[Ảnh Internet]
Boson Z hay hạt Z là một hạt cơ bản, có khối lƣợng khoảng 91 GeV/c2, tƣơng
đƣơng với khối lƣợng của nguyên tử Zirconium. Boson Z là hạt trung hịa và khơng có
sự khác biệt trong số lƣợng tử. Vì vậy, phản hạt của boson Z chính là boson Z.

6


Boson Z là hạt trung gian trong tƣơng tác yếu và khơng làm ảnh hƣởng đến điện
tích, do khối lƣợng của boson Z là rất lớn so với khối lƣợng của photon; trong lớp năng
lƣợng thấp các hiệu ứng trao đổi boson Z là bé nếu so sánh với sự trao đổi photon.
Boson Z đƣợc tạo ra bởi quá trình va chạm của electron và positron- phản hạt của
electron. Năng lƣợng của vụ va chạm này vừa đủ để sinh ra một boson Z và đã đƣợc
nghiên cứu trong máy va chạm tuyến tính ở SLAC.
Theo mơ hình chuẩnmột lý thuyết Gauge, lực giữa các fermion đƣợc mơ hình
hóa bằng cách tạo ra các boson, có tác dụng nhƣ các thành phần trung gian. Hệ
Lagrange của mỗi tập hợp hạt boson trung gian không thay đổi dƣới một dạng biến đối
gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn đƣợc gọi là Gauge boson. Gauge
boson là các hạt cơ bảnmang tƣơng tác cơ bản. Chúng là W boson của lực hạt nhân
yếu, gluon của lực hạt nhân mạnh, photon của lực điện từ, và graviton của lực hấp
dẫn.[5]
1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
1.3.1 . Thống kê Bose – Einsstein
Albert Einstein (1879 – 1955) là nhà vật lý học ngƣời Đức. Trong suốt cuộc đời,
ông đã xuất bản rất nhiều sách và hàng trăm bài báo về vật lý, về chính trị.
Trong vật lý,ơng là ngƣời đã phát triển thuyết tƣơng đối tổng quát một trụ cột của vật
lý hiện đại.
Khi bắt đầu sự nghiệp ông đã nhận ra cơ học Newton khơng cịn thống nhất các
định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trƣờng điện từ. Từ đó, ơng phát triển
thuyết tƣơng đối đặc biệt thông qua các bài báo đăng năm 1905.

Năm 1916, ông cho ra đời lý thuyết về hấp dẫn, xuất bản một bài báo về thuyết tƣơng
đối tổng quát.
Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tƣơng đối tổng qt miêu tả mơ hình cấu
trúc của tồn thể vũ trụ.

7


Năm 1921, ông đƣợc trao giả Nobel Vật Lý “Cho những cống hiến của ơng đối
với vật lí lí thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang
điện”.Ngoài những nghiên cứu của bản thân ông còn hợp tác với rất nhiều các nhà
khoa học khác để tạo ra các nghiên cứu mới nhƣ thống kê Bose – Einsstein, máy làm
lạnh Einstein và nhiều ngiên cứu khác…
Năm 1924, Einstein nhận đƣợc một miêu tả về mơ hình thống kê từ nhà vật lý
học ngƣời Ấn Độ Satyendra Nath Bose trên cơ sở một phƣơng pháp đếm với giả sử ánh
sáng có thể đƣợc hiểu là khí của các hạt khơng thể phân biệt đƣợc.
Thống kê Bose – Einstein do Satyendra Nath Bose phát triển, Albert Einstein
ủng hộ và mở rộng ra đối với các hạt có khối lƣợng và spin nguyên. Thống kê này chỉ
áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái hay các
hạt khơng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Những hạt này đƣợc các nhà vật lý gọi
chung là Boson.
1.3.2

Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
Chúng ta xét hệ có N hạt thay đổi, áp dụng cơng thức chính tắc lƣợng tử lớn[2]:
{

}

.

(1.9)

Trong đó:
là xác suất xác định trạng thái của hệ.
là độ suy biến của hệ ở mức năng lƣợng
N là số hạt trong hệ;

;

là nhiệt độ tuyệt đối;

là thế hóa học;
là thế nhiệt động lớn.
Gọi
lƣợng

là năng lƣợng của một hạt riêng lẻ của hệ;
.

Nếu hệ gồm các hạt không tƣơng tác thì ta có:

8

là số hạt trong hệ có cùng năng


∑

;

(1.10)

∑

(1.11)

Vậy phân bố chính tắc lƣợng tử lớn có dạng:
∑

∑

(1.12)

Ta đặt
Khi đó phân bố đƣợc viết lại dƣới dạng:
(

∑

)

(1.13)

Trong trƣờng hợp tổng qt có thừa số G(

vì có khả năng xuất hiện các

trạng thái vật lí mới khi chúng ta hoán vị (về tọa độ) các hạt.
Đối với hệ boson là hệ đƣợc mơ tả bằng hàm sóng đối xứng nên các phép hốn vị về

tọa độ khơng làm xuất hiện trạng thái vật lí mới nên khi đó:

Từ định lí xác suất ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình trên mức năng lƣợng
̅̅̅

∑

∑

(1.14)

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có: ∑
Với Z = exp {
Ta có:

∑

{ }

(1.15)

) là tổng trạng thái.
.

Xét đạo hàm

(1.16)

Suy ra trị trung bình của số chứa đầy
Đối với hệ hạt Boson:

∑

∑
: ̅̅̅

|

ta có tổng trạng thái:

9

(1.17)
(1.18)

bất kì:


∑

∑

∏

(1.19)

Từ đó:
∑

;

(1.20)

Theo (1.18) ta có phân bố của các số chứa đầy trung bình:
|

̅̅̅

(

(1.21)

)

Chú ý đến sự suy biến năng lƣợng ở mức

và

,

Thế hóa học theo (1.20) và (1.21) đƣợc xác định từ điều kiện ∑
̅̅̅

{

̅̅̅= N ta có:

(1.22)

)

Cơng thức (1.22) đƣợc gọi là công thức của thống kê Bose – Einstein
1.4 Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein
Thống kê Bose – Einstein là lý thuyết thống kê miêu tả hệ lƣợng tử trong đó khơng
giới hạn các hạt phân bố trên cùng một mức năng lƣợng, áp dụng khi hệ có hàm sóng
đối xứng nhau hay nói cách khác là ứng với trƣờng hợp khi hạt có spin nguyên.
Thống kê Bose – Einstein chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ
trong một trạng thái, hay các hạt khơng tn theo ngun lí loại trừ Pauli.
Thống kê Bose - Einstein miêu tả tập hợp các hạt không phân biệt đƣợc, không tƣơng
tác với nhau ở vào một lớp các trạng thái năng lƣợng rời rạc khác nhau ở cân bằng
nhiệt động, một đặc trƣng của các hạt tuân theo thống kê Bose - Einstein lý giải cho
nguyên lý hoạt động của Laser và sự chảy không ma sát của heli siêu lỏng….

10


CHƢƠNG II
MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN TRONG
HỆ NHIỀU HẠT
2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng
2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng
Bức xạ là hiện tƣợng một vật thể phát ra các sóng điện từ lan truyền trong khơng
gian thực chất q trình phát và lan truyền sóng điện từ là q trình lan truyền năng
lƣợng. Con ngƣời có thể làm cho các vật chất phát sóng điện từ bằng cách truyền năng
lƣợng cho nó bằng các tác dụng hóa học, cơ học…
Phƣơng pháp đơn giản nhất để truyền năng lƣợng cho vật thể là truyền nhiệt trực tiếp
cho vật.
Bức xạ nhiệt là bức xạ điện từ đƣợc tạo ra bởi các chuyển động nhiệt của các hạt
điện tích trong vật chất. Mọi vật ln bức xạ các sóng điện từ ra môi trƣờng xung
quanh.

Khi nhiệt độ của vật lớn hơn độ khơng tuyệt đối thì sự va chạm giữa các nguyên
tử hoạt động làm thay đổi động năng của các nguyên tử hoặc phân tử. Điều này làm
tăng tốc độ điện tích hoặc gây ra các dao động lƣỡng cực từ đó sản sinh ra bức xạ điện
từ.
Ở nhiệt độ thấp sóng điện từ bức xạ có tần số nằm trong vùng hồng ngoại, nhiệt
độ của vật càng tăng thì tần số cũng tăng theo. Nếu nhiệt độ của vật khơng đổi thì bức
xạ đó đƣợc gọi là bức xạ nhiệt cân bằng.
Năng lƣợng truyền đi bằng bức xạ không cần thông qua một môi trƣờng trung gian
mặc dù bức xạ có thể chụp, chép lại khi nó đi qua nhiều môi trƣờng khác nhau.
Đặc trƣng cho bức xạ là cƣờng độ bức xạ (phụ thuộc vào tần số hoặc bƣớc sóng). Bức
xạ phát ra thơng qua vùng bƣớc sóng mà bức xạ đó phát ra.

11


Công suất bức xạ là năng lƣợng vật chất mất đi trong một đơn vị thời gian do
vật bức xạ. Nó phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ. Nhiệt độ tuyệt đối của
vật càng cao thì công suất bức xạ càng cao và ngƣợc lại.
Nếu một vật phát ra bức xạ đáp ứng các đặc tính vật lí của vật đen ở trạng thái
cân bằng nhiệt động lực học thì các bức xạ này đƣợc gọi là bức xạ vật đen với công
thức nổi tiếng của Planck về mật độ năng lƣợng bức xạ. Định luật Planck mô tả quang
phổ của bức xạ vật đen chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật.

Hình 2: Đường cong bức xạ Planck khi nhiệt độ tăng dần.(Ảnh Internet).
Vật đen là một vật có hệ số đặc trƣng cho bức xạ hoặc hấp thụ bằng một.
Vật đen đƣợc xem nhƣ là khí photon có spin S = do đó chúng là các hạt boson.
Chúng ta sẽ đi tới công thức Planck bằng việc áp dụng thống kê Bose – Einstein cho
khí photon.
Ở trạng thái cân bằng nhiệt động các photon đƣợc bức xạ và hấp thụ không ngừng,
đồng thời năng lƣợng của trƣờng bức xạ không đổi. Mỗi hạt photon mang năng lƣợng

, tần số

(

). Vì vậy với khí photon thế hóa bằng khơng.

Ta đƣợc hàm phân bố photon theo các trạng thái lƣợng tử:

12


f(E) =

(

=

)

(

)

= f(

(2.1)

là năng lƣợng của photon tƣơng ứng với tần số

kí hiệu

; N(

là số photon

có năng lƣợng .
Xét trong không gian vector tổng số trạng thái photon đƣợc xác định bởi ⃗ nằm
trong khoảng (k, k+dk) trên một đơn vị thể tích là:
(2.2)
ở đây thừa số 2 xuất hiện phía trƣớc vì trạng thái lƣợng tử có 2 bội suy biến g =
2 ứng với 2 phân cực độc lập của photon. Thay k =

vào (2.2) ta có số trạng thái

photon ứng với cả hai phân cực có tần số nằm trong khoảng (
d

:

(2.3)

Vậy ta có thể tính trung bình tổng số photon trong khoảng tần số khảo sát:
N=

f(

=

(

(2.4)

)

Tiếp tục ta chia năng lƣợng trung bình nhận đƣợc cho khoảng tần số d

ta sẽ thu đƣợc

năng lƣợng bức xạ của vật đen:
(

(2.5)

)

Công thức phân bố cƣờng độ bức xạ theo tần số (2.5) đƣợc gọi là công thức Planck.
2.1.2 Các định luật bức xạ
a, Định luật Stefan – Boltzmann về bức xạ
Năm 1879, Josef Stefan sau khi tiến hành nhiều thí nghiệm về bức xạ nhiệt dựa
trên các đo đạc thực nghiệm của John Tyndall đồng thời kết hợp với những cơ sở lý
thuyết do Ludwig Boltzmann suy luận ra bằng các tính tốn lý thuyết vào năm 1884, sử
dụng nhiệt động lực học, đã đúc kết thành định lý Stefan – Boltzman.

13


Định lý Stefan – Boltzmann mô tả năng lƣợng bức xạ từ một vật đen tƣơng
ứng với nhiệt độ cụ thể.
Cơng suất bức xạ nhiệt của một vật thì tỷ lệ với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối
của vật bức xạ và diện tích bề mặt của vật bức xạ.

Theo công thức Planck (2.5) lƣợng năng lƣợng bức xạ vật đen tuyệt đối dƣới
dạng sóng điện từ có tần số nằm trong khoảng (
dE(

=

=

(

có dạng:
(2.6)

)

Từ cơng thức (2.1.6) ta xác định năng lƣợng toàn phần của bức xạ cân bằng
trong thể tích V có dạng:
E=∫
Đặt x =

∫

(

(2.7)

)

rồi tính tích phân:
∫

;

Khi đó (2.1.7) đƣợc viết lại bằng:
E=

(2.8)

Với a =
Suy ra:

(2.9)

Công thức (2.9) là biểu thức của định luật Stefan – Boltzmann.
Trong đó: k là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng trong
chân không.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng những vật thể hấp thụ mạnh mọi bức xạ tới cũng là
những phát xạ tốt và ngƣợc lại những vật thể cho sự phát xạ mạnh những bức xạ tới
cũng là những vật thể phát xạ kém.

14


Do mọi vật đều phát ra các bức xạ nhiệt vào mơi trƣờng xung quanh nên đồng
thời nó cũng hấp thụ bức xạ nhiệt từ các vật thể xung quanh nó. Các vật có sự tập trung
dày đặc của các phân tử có tính chất phát xạ tƣơng đƣơng nhƣ vật đen tuyệt đối. Do đó,
định luật Stefan – Boltzmann rất gần gũi với thực tiễn, gắn liền với quá trình nóng lên
và phát sáng của vật rắn, hay các thiên thể khí đậm đặc nhƣ mặt trời và những ngơi
sao…
Ví dụ tính cơng suất bức xạ: Cho biết cơng suất bức xạ của Mặt Trời gần bằng

4.

W, bán kính Mặt Trời là 6,5.

. Tính nhiệt độ tuyệt đối ở bề mặt Mặt Trời

nếu có thể xem Mặt Trời là vật đen tuyệt đối
là 1

. Tính nhiệt lƣợng của một diện tích

trên bề mặt Trái Đất đƣợc hấp thụ ánh sáng mặt trời trong một giây. Cho biết

hệ số hấp thụ của Trái Đất là
quanh Mặt Trời là 1,5.

. bán kính quỹ đạo của chuyển động Trái Đất

km. Tính nhiệt lƣợng đó bằng Cal và eV.

Lời giải:
Áp dụng cơng thức tính cơng suất bức xạ (đối với Mặt Trời) ta đƣợc:
=

=

= 132,8.

Suy ra T = 3395
Công suất hấp thụ trên 1

trên bề mặt trái đất:

Năng lƣợng Mặt Trời phân bố trên một hình cầu bán kính là khoảng cách đến Trái Đất
nên trong một giây năng lƣợng đó là 0,0109J hay bằng 6,8.
b, Định luật dịch chuyển Wien.
Vào năm 1896, nhà vật lí Wilhelm Wien đã đƣa ra định luật Wien dùng để mô
tả quang phổ của bức xạ nhiệt. Phƣơng trình mơ tả chính xác ngắn bƣớc sóng(cao tần)
phổ phát xạ nhiệt từ các vật thể nhƣng nó khơng phù hợp với thực nghiệm đối với bƣớc
sóng(tần số thấp) phát xạ.

15


Wilhelm Wien đã khảo sát công suất bức xạ của vật đen tuyệt đối (
theo
từng bƣớc sóng ở các nhiệt độ khác nhau. Ông dùng cách suy luận nhiệt động lực học
và các số liệu thực nghiệm để dẫn đến mối liên hệ giữa công suất bức xạ và bƣớc sóng.
Đối với vật thể bức xạ có nhiệt độ tuyệt đối nhất định ứng với bƣớc sóng
sao cho
bƣớc sóng đó ứng với công suất bức xạ cực đại.
Ta viết lại cơng thức Planck (2.5) theo bƣớc sóng của ánh sáng bức xạ:
(

)

(2.10)

Sau đó, ta lấy vi phân (2.1.10) theo bƣớc sóng
Đặt x =

và cho nó bằng 0.

(2.11) ta có phƣơng trình siêu việt:

x.exp(x) = 5.exp(x) – 5
giải phƣơng trình ta đƣợc nghiệm x = 4,9650.
Thay giá trị x vào (2.11) ta đƣợc định luật dịch chuyển Wein:
(2.12)
với b là hằng số Wien có độ lớn bằng 2,896.
Tích số của bƣớc sóng Wien

m.K;

là bƣớc sóng Wien.

và nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ là một

hằng số khơng đổi.

Hình 3: Đồ thị biểu diễn bước sóng ứng với đỉnh của bức xạ đối với quang phổ khác
nhau của các vật đen như là một hàm nhiệt độ.[Ảnh Internet]

16


Nếu ta xét mức phát xạ vật thể tối đa trên một đơn vị tần số thì ta phải sử dụng
một hằng số tỉ lệ khác nhau nhƣng hình thức vẫn giữ nguyên: bƣớc sóng đỉnh tỉ lệ
nghịch với nhiệt độ hay tần số đỉnh tỉ lệ thuận với nhiệt độ.
Trong thực tiễn, động vật có vú với nhiệt độ da khoảng 300kK phát ra bức xạ

cực đại ở khoảng 10

trong hồng ngoại xa. Hay khi so sánh màu sắc rõ ràng của

nguồn sáng (đèn huỳnh quang, đèn LED, photoflash…) thƣờng thƣờng phải trích dẫn
nhiệt độ màu, ánh sáng huỳnh quang màu xanh – trắng đôi khi đƣợc sử dụng trong văn
phịng có thể có nhiệt độ màu 6500K, đèn sợi đốt màu đỏ nhạt có thể có nhiệt độ màu
2000K.
c, Định luật Reyleigh – Jeans.
Định luật Rayleigh – Jeans do nhà vật lý học Lord Rayleigh phát triển có thể đƣợc sử
dụng để mơ tả phổ bƣớc sóng dài của bức xạ nhiệt nhƣng không mô tả phổ bƣớc sóng
ngắn của phát xạ nhiệt.
Quan điểm của vật lí cổ điển coi các nguyên tử phát xạ và hấp thụ liên tục từng lƣợng
năng lƣợng bức xạ nhỏ bao nhiêu tùy ý.
Định luật Rayleigh – Jeans tƣơng đƣơng với sự phát xạ quang phổ của bức xạ điện từ
nhƣ một hàm của bƣớc sóng từ vật đen có nhiệt độ nhất định.
Giả sử trong trƣờng hợp

. Dựa vào công thức Planck (2.5) ta cũng có thể xác

định đƣợc cơng thức Rayleigh – Jaens có dạng:
;
Trong đó: k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Định luật Raylaigh – Jeans phù hợp với kết quả thực nghiệm ở bƣớc sóng lớn.
Có một điều khá thú vị liên quan đến cơng thức này đó là nó đƣợc tìm ra trƣớc
cơng thức Planck vì vậy ngƣời ta nghĩ rằng nó đúng với mọi tần số. Do đó nảy sinh

17

mâu thuẫn giữa quan sát và dự đoán của vật lí cổ điển đƣợc gọi là “thảm họa tử
ngoại”.
2.2 Hiện tƣợng ngƣng tụ Bose – Einstein
2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein
Ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là trạng thái vật chất đặc biệt của khí Boson
lỗng, các ngun tử đƣợc làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối. Dựa vào
các điều kiện này, một phần lớn các boson tồn tại ở trạng thái lƣợng tử thấp nhất,đó là
khi các boson giảm đến trạng thái khơng vận tốc, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở
nên rõ rệt ở mức vĩ mô. Ta gọi hiệu ứng này là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô.[5]
Vào những năm đầu của thế kỷ XX (1924 – 1925), hai nhà vật lí học Satyendra
Nath Bose và Albert Einstein đã tiên đoán sự tồn tại của trạng thái vật chất này. Tiên
đoán này dựa trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi
ơng Bose để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối. Sau đó, Einstein đã
mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất.
Trong q trình nghiên cứu các thí nghiệm đã cho thấy sự phức tạp trong hệ.
Những nỗ lực không ngừng của Bose và Einstein đã cho kết quả về khái niệm khí Bose
trong lý thuyết thống kê Bose – Einstein miêu tả phân bố thống kê cho những hạt đồng
nhất với spin nguyên. Các hạt boson bao gồm photon cũng nhƣ các nguyên tử heli-4
đƣợc phép tồn tại ở cùng một trạng thái lƣợng tử nhƣ nhau.
Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh hay hạ nhiệt độ của các nguyên tử
Boson đến nhiệt độ thấp thì hệ này sẽ tích tụ hay ngƣng tụ lại trong trạng thái lƣợng tử
thấp nhất có thể và tạo ra một trạng thái vật chất mới.
Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của heli-4 vào năm 1938, Fritz London đã
đề xuất ra các phƣơng pháp gần đúng đầu tiên dựa vào tính siêu chảy của heli-4.
Cho đến nay trên khắp thế giới có đến 13 nguyên tố đã đƣợc làm cho ngƣng tụ. Mƣời
trong số các ngƣng tụ này đƣợc tạo ra từ mƣời nhóm ngun cứu khác nhau. Lí thuyết

18

đầu tiên của tƣơng tác khí Bose trong lĩnh vực BEC đƣợc xây dựng vào năm 1947 bởi
Bogoliubov.
Năm 1995,khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bới nhóm của Eric Cornell và
Carl Wieman ở phịng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ tiêu chuẩn quốc gia
(NIST) tại đại học Colorado ở Boulder. Họ tạo ra bằng cách làm lạnh ngun tử khí
Rubidi đến 170(nK).
Cùng thời gian đó, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts
tạo ra ngƣng tụ Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép ngiên cứ tính chất này của hệ. Chính thành tựu này đã
giúp Cornell, Wieman và Ketterle nhận đƣợc giải Nobel Vật Lý vào năm 2001.
Cuối cùng một ngƣng tụ nữađƣợc nghiên cứu thành cơng đó là ngƣng tụ của ngun tử
Hidro đã đƣợc hồn thành vào năm 1998. Có hai kĩ thuật làm lạnh để tạo ra các nguyên
tử BEC loãng trong phịng thí nhiệm bằng cách kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh
bay hơi. Kĩ thuật làm lạnh nhờ kết hợp tia laser dựa trên bẫy các nguyên tử có sự dịch
chuyển Zeeman trong bẫy từ - quang và làm lạnh chúng đến khoảng 10 K. Sau đó
đƣợc bắn phá bởi các photon trong chùm tia laser phản lan truyền trong không gian ba
chiều. Kĩ thuật làm lạnh thứ 2 đƣợc thực hiện bằng cách loại bỏ đuôi năng lƣợng cao
của phân bố nhiệt từ cái bẫy do đó làm giảm nhiệt độ.
Trong vật lý các hạt đƣợc chia ra làm hai lớp hạt cơ bản: lớp Boson và lớp
Fermion. Boson là các hạt có spin nguyên và tn theo thống kê Bose – Einstein. Đối
với mơ hình khí lí tƣởng khi nhiệt độ đạt đến độ khơng tuyệt đối tất cả các hạt boson có
thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tự với năng lƣợng thấp nhất. Đó chính là
ngưng tụ Bose – Einstein. Trong trƣờng hợp một hệ khí lí tƣởng ba chiều tồn tại một
chuyển động pha mà hệ khí sẽ ngƣng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này. Sau khi sát
hiện tƣợng Ngƣng tụ Bose các nhà vật lí thực nghiệm đã tiếp tục đạt đƣợc những thành
công trong việc làm lạnh khí Fermion dù khó hơn nhƣ là đối với boson.

19

Áp dụng thống kê Bose – Einstein cho hệ các hạt có spin ngun hay spin bằng khơng
(photon, mezon,..) đƣợc gọi là các hạt Boson hay khí Bose.

Hình 4: Trạng thái ngưng tụ của nguyên tử Rubidi. Qua hình vẽ ta thấy tốc độ phân bố
chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí, màu sắc. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển
động nhanh, màu xanh và màu trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Phía bên trái là
trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên
phải là chỉ trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. ở đỉnh màu trắng các ngun tử có
cùng vận tốc và vị trí hay cùng trạng thái năng lượng. (Ảnh Internet).
Đối với khí Bose lí tƣởng, theo cơng thức thống kê Bose – Einstein số hạt
trung bình có năng lƣợng trong khoảng (
dn(
trong đó: dN(

(

)

đƣợc xác định:

;

(2.13)

là số các mức năng lƣợng trong khoảng (

.

Ta đi xác định dN( . Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Bose chứa trong thể
tích V có thể xem nhƣ các sóng đứng De Broglie. Do đó, ta có thể xác định dN(

thơng qua cơng thức cho ta số sóng đứng có chiều dài của vector sóng ⃗ (k, k+dk):
dN(k) =
theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng

(2.14)
và vector sóng ⃗ :

20