Đề 2 + ĐA lớp 11 Toán

Câu 1. Giải các phương trình:
( )
a) tan x -cot x sin x - cos x
3 cos2x cot 2x
b) 2sin 2x 2
cot 2x cos2x
=
+
− =
−
Câu 2. Biểu diễn
2 2i và 3 i+ −
dưới dạng lượng giác. Từ đó tìm n để
n
2 2i
3 i
 
+
 ÷
 ÷
−
 
là số thực?
Câu 3. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển
n
3
3
2 x ;x 0

x
 
+ >
 ÷
 
biết
1 2 n 40
2n 1 2n 1 2n 1
C C ... C 2 1
+ + +
+ + + = −
Câu 4. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trượt bia của xạ thủ thứ
nhất là 0,3 và xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai là 0,5.
a) Tính xác suất để chỉ một người bắn trượt bia.
b) Biết rằng có một viên đạn bắn trúng bia. Tính xác suất để viên đạn đó của người thứ nhất?
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy N là trung điểm của SD, M là
điểm trên SA sao cho
( )
1 2,
SA
x x
SM
= ≤ ≤
.
a) Tìm giao tuyến của
( )
SAC
và
( )
BMN

.
b) Gọi P là giao điểm của
( )
BMN
và
SC
, đặt
SC
y
SP
=
. Chứng tỏ
x y
+
không phụ thuộc vị trí M.
c) Tìm vị trí của M để
1 1
x y
+
đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, tìm các giá trị ấy.
------Hết------
TRƯỜNG THPT CHUYÊN SƠN LA
TỔ TOÁN TIN
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
LỚP 11 TOÁN
Năm học 2010 – 2011
Thời gian: 90 phút
Đề số 2
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM – ĐỀ SỐ 2
Câu Đáp án

Điểm
1a
Giải các phương trình:
a) tan x - cot x sin x - cos x
=
ĐK:
x k
2
π
≠ + π
;
( ) ( )
tan x - cot x sin x - cos x
sinx cos x
sinx cos x
cos x sinx
sinx cos x sinx cos x sin x cos x 0
x k
4
sin x 0
4
1 2
x arcsin k2
4 2
1 2
sinx cos x
3 1 2
2
x arcsin k2
4 2

=
⇔ − = −
⇔ − + − =
π

= + π

 π
 

− =
 ÷

π −

 

⇔ ⇔ = − + + π


−

+ =

π −


= − + π



1
1b
( )
( )
3 cos2x cot 2x
b) 2sin 2x 2 *
cot 2x cos2x
+
− =
−
ĐK:
x k
4
π
≠
;
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
cos2x
3 cos2x
sin 2x
* 2sin 2x 2
cos2x
cos2x
sin 2x
3cos 2x sin 2x 1

2 1 sin 2x
cos2x 1 sin 2x
1 sin 2x 3 2 1 sin 2x 0
sin 2x 1 Loai
x k2
1
6
sin 2x
2
 
+
 ÷
 
⇔ − =
−
+
⇔ = +
−
⇔ + − − = 
 
= −
π

⇔ ⇒ = − + π

= −


1
2

Ta có:
1,5

n
n
n
2 2
2 2i 2 i 2 cos isin
2 2 4 4
3 1
3 i 2 i 2 cos isin
2 2 6 6
cos isin
2 2i 5 5
4 4
cos isin
12 12
3 i
cos isin
6 6
5n 5
cos isin
12
 
π π
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷

 
 
 
 π π 
   
− = − = − + −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
   
 
 
 
π π
+
 
 
+ π π
 
 
= = +
 ÷
 ÷
 ÷
π π
   
−
 
 

 
− + −
 ÷  ÷
 
   
 
π
= +
n
12
π
Vậy:
n
2 2i
3 i
 
+
 ÷
 ÷
−
 
là số thực khi:
5n 5n
sin 0 k 5n 12k; k
12 12
π π
= ⇔ = π ⇔ = ∈
¥
3
1 2 n 40

2n 1 2n 1 2n 1
2n 1 40
C C ... C 2 1
1
.2 2 n 20
2
+ + +
+
+ + + = −
⇔ = ⇔ =
( )
( )
2n 20 k
20 k
20
k
20
3 3 3
k 0
20
5
10 k
k 20 k k
6
20
k 0
3 3 3
2 x 2 x C 2 x
x x x
C 2 3 x

−
=
−
−
=
     
+ = + =
 ÷  ÷  ÷
     
=
∑
∑
Số hạng không chứa x tức là:
5
10 k 0 k 12
6
− = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa x là:
12 8 12
20
C .2 .3
1,5
4a
A: Xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu; P(A) = 0,7
B: Xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu; P(B) = 0,5
H: Chỉ một người bắn trúng mục tiêu; Ta có:
H AB AB
= ∪
Do A; B độc lập và
AB;AB

đôi một xung khắc nên

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
P H P AB P AB P A .P B P A .P(B) 0,7.0,5 0,3.0,5 0,5= + = + = + =
1
4b
Ta có: E: Chỉ có một viên đạn bắn trúng bia; P(E) = P(H) = 0,5
1
G: Người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai bắn trượt bia
G/E: Chỉ có một viên đạn bắn trúng bia và đó là viên đạn của người thứ nhất
P(G) = P(E).P(G/E); P(G) = 0,7.0,5 = 0,35
( )
( )
( )
P G
0,7.0,5
P G / E 0,7
P E 0,5
⇒ = = =
5
a) Gọi
, ,O AC BD I BN SO P MI SC= ∩ = ∩ = ∩
( )
( )
( )
( )
( ) ( )

MI BMN
P BMN
P MI
P BMN SAC
P SC
P SAC
SC SAC
⊂
∈
∈
⇒ ⇒ ∈ ∩
∈
∈
⊂






 







Mặt khác,
( ) ( )

BMN SACM ∩∈
nên
( ) ( )
BMN SAC
MP
∩
=
b. Trong tam giác SAC, O là trung điểm AC
nên
2 3
SA SC SO
SM SP SI
+ = =
(Do I là trọng tâm
SAC
∆
). Vậy
x y
+
không phụ thuộc vị trí
điểm M.
c) Dễ thấy
[ ] [ ]
1 2 1 2; ;x y∈ ⇒ ∈
- Từ bất đẳng thức quen thuộc
( )
1 1
4x y
x y
 

+ + ≥
 ÷
 
ta suy ra
1 1 4
3x y
 
+ ≥
 ÷
 
, dấu đẳng thức xảy
ra khi
3
2
x y
= =
.
Vậy khi M chia SA theo tỉ số -2
( )
2MS MA
= −
uuur uuur
thì
1 1
x y
 
+
 ÷
 
đạt

giá trị nhỏ nhất là
4
3
.
- Vì
[ ]
1 2 3, ; ,x y x y∈ + =
nên
( )
1 1 3 3 3
3 2x y xy x x
+ = = ≤
−
, dấu
đẳng thức xảy ra khi
1
2
x
x
=


=

.
Vậy khi M trùng với A hoặc là
trung điểm của SA thì
1 1
x y
+

đạt
giá trị lớn nhất và giá trị đó bằng
3
2
.