Các chuyên đề Toán 6 (số học)

*****TÍNH CHIA HẾT.
A. đònh lí chia có dư.
B. các phép chia hết- quy tắc.
C. các vd minh họa:
1. cmr: A= 2006
2002
+2006
2003
+2006
2004
+2006
2005
chia hết cho 223.
Ta nhóm 2 số đầu và 2 số cuối tạo ra số 2007= 223.9 là xong/.
2. cmr với x khác -6 thì A= (x+1`)(x+3)(x+5)(x+7) chia hết cho x+6.
Ta nhận thấy có số 8=3+5=1+7 nên tha nhóm lại và thành 2 tích để tạo ra x+6.
3. chi A=x
95
+x
94
+.. .+x+1 và B= x
31
+x
30
+…+x+1. cmr A chia hết cho B.
ta nhóm từng cụm 32 số từ đầu đến cuối là tạo ra ngay A=B.X. xong.
4. cho M=n
4
-4n
3
- 4n

2
+16n với n chẵn và n > 4. Cmr M chia hết cho 384.
Nhóm ngay n-4 và tạo ra dạng tích của các số hạng.
Sau đó ta dùng n chẵn tức là n=2k. tạo ra 16. tích 4 số liên tiếp nên chia hết cho 24.16. xong
5. c/m M=300(7
2006
+7
2005
+…+7+1) +50 CHIA HẾT CHO 7
2007
.
Ta phân tích số 300= 50.6 vì số 6 có lien quan đặc biệt đến số 7 là 6=7-1.
Mặt khác ta nhận thấy bên trong ngoặc là có dạng bình phương thiếu của tổng nên tạo ra HĐT
x
n
-1. ta được KQ : 50.7.
2007
. xong.
6. c/m nếu n là số tự nhiên chẵn thì : A=20
n
+16
n
-3
n
-1 chia hết cho 323.
Ta nhận tháy 323= 17.19 và nguyên tó cùng nhau. Ta c/m A chia hết cho 17 mvà 19.
Ta nhận thấy có số 20 và 3 rồi lại 16 và 1 đều tạo ra 17 nen nhóm lại và dùng HĐT như thrên
bta tạo ngay số 17.
Ta lại nhận thấy có 20 và1 rồi 16 và 3 nên tương tự ta tạo ra 19.
7. c/m : A= 36

38
+41
33
chia hết cho 77.
Ta nhận thấy 77= 11.7
Ta chia A hết 11. ta nhận thấy 36 tạo ra 33 và 41 tạo ra 44 thì sẽ rút gọn được.
Thêm bớt các đại lượng 3
38
và 3
33
. zsau đó tính ntoán là được.
Ta nhận thấy 36 gần 35 chia hết cho 7 và 41 gần 42 tạo ra số 1. thêm bớt số 1.
8. cmr số : A= 1.2.3.4…2006(1+1/2+1/3+…+1/2006) chia hết cho 2007.
Ta đặt m= cái trước và n là cái sau.
Ta nhóm n thành từng cặp số hạng đầu và số hạng cuối như 1+1/2006 nhằm tạo ra 2007 chung
còn ở trong không xét. Còn m không liên quan.
9. cmr: A=7
n+2
+8
2n+1
chia hết cho 57.
Ta Nhận xét 57 = 19.3.
Ta Nhận xét có 7
2
là 49 và 8
2
=64 còn 8.
Ta nhận thấy 49= 57-8 và nhóm lại.
Còn 64= 57+7 vậy 64
n

và 7
n
nhóm lại được. Tạo ra 57.
10. cmr : M= 3
n
+63 chia hết cho 72 với n chẵn.
Ta nhận thấy 72=9.8.
N chẵn và 63 chia hết cho 9 nên 9 là xong.
Ta nhận thấy n chẵn nên 3
2
chi 8 dư 1 vậy 3
n
dư 1 và kết hợp 63 là xong.
11. cho P= (a+b)(b+c)(c+a)- abc với a,b,c nguyên cmr : nếu a+b+c chia hết cho 4 thì P chia hết cho
4.
Ta phân tích hết ra và nhóm lại mục đích tạo ra a+b+c để dùng.
Sau đó tạo ra 2.abc thì ta biện luận sau.
12. tồn tại hay không số tự nhiên n : 10
n
+2007 chia hết cho 10
2007
-1.
Ta nhẩmvài số để thử xem sao.
Ta đoán chắc là không được.
Ta thấy 10
2007
-1 chia hết cho 9 vì 10=9+1 nên dự đoán số kia không chia hết cho 9.
Từ 10
n
+2007 ta tạo ra số 9 = 10 -1 để tạo ra 2008, hoặc nhóm 10 và 1 tạo ra 2006 cũng dược là

xong.
13. tổng 21
39
+39
21
có chia hết cho 45?
Ta nhận thấy 45=5.9.
Ta thấy 21 thì thừa 1 còn 39 thiếu 1 nên thêm bớt số 1 vào là được.
Ta nhận thấy cả 21 và 39 dều chia hết cho 3 nên rất dễ thấy chia hết cho 9.
14. .
*****PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN.
A. Nghiệm nguyên?
B. Phương pháp.
C. Các ví dụ minh họa:
1. tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x+1)(y+2) = 2xy.
Ta thấy có xy nên nhân ra và nhóm lại tạo ra : (x-1)(y-2) =4 và biện luận.
Các ước số của 4.
2. tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
2
+x+6=y
2
.
Ta thấy ngay dùng HĐT số 1 cho Vế trái và tạo ngay HĐT số 3 tiếp nhưng làm thế còn
phân số khó tìm nghiệm nguyên nên nhân 4 vào 2 vế.
Sau đó làm như trên tạo ra: (2y+2x+1)(2y-2x-1) =23. và biện luận
3. tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
2
+y
2
-x-y=8.

Ta nhận thấy có thể dùng HĐT số 1 cho x và y nhưng cũng không tiện nên tha nhân 4 vào
trước tạo ra: (2x-1)
2
+(2y-1)
2
=34.
Ta thấy vế trái có tổng hai bình phương nên tách VP ra? 34= 25+9=5
2
+3
2
.
Biện luận – cẩn thận không sai nghiệm.
4. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x
2
+2y
2
+z
2
+4xy+2xz= 26-2yz.
Ta nhận thấy có dạng HĐT số 1 cho 2 số x;y và 3 số x;y;z.
Còn dư số x
2
. ta phan tích 26 = 0
2
+1
1
+5
2
là sai vì các số dương.
Ta phân tích 26= 25 +1= 1

2
+3
2
+4
2.

Biện luận.
5. tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy+x= 2y +2011.
Ta không nhận dạng được ngay.
Ta rút y theo x để xem sao. => y= -1+2009/(x-2). Vậy là xong.
x-2 là các ước của 2009. tìm các ước.1;41;49 và 2009.
6. cmr phương trình sau không có nghiệm nguyên: x
3
+y
3
+z
3
= x+y+z+2006.
Ta nhận thấy có liên quan x
3
– x nên chuyển qua và nhóm lại chia hết cho 3 mà VP không
chia hết cho 3 là vô lí.
7. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1/x+1/y+1/z =2.
Ta nhận thấy vami trò của các số là như nhau nên ta giả sử x≥ y ≥ z.
Khi đó ta Đánh giá dựa vào số 2 để tìm dược z rồi y và x.
8. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:x
3
+7x=y
3
+7y. với x > y >0.

ta nhận thấy 2 vế như nhau về phép toán nên nếu x > y thì V.T > VP và ngược lại nên x=y.
sai lầm.
Ta nhận thấy có khả năng dùng HĐT số 7 ta đưa về tích và chú ý x-y > 0.
Nên x
2
+xy+y
2
=7.
Đưa về (x-y)
2
= 7- 3xy từ đó 7-3xy ≥ 0. nên x=2 và y=1.
9.
10.
D. .
*****SỐ NGUYÊN TỐ.
A. Số nguyên tố? Hợp số?phân tích thừa số nguyên tố.
B. Phương pháp.
C. Vài VD minh họa.
1. cmr với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì:A=n
8
+n
4
+1 là hợp số.
Ta nhận thấy không thể làm được ngay nên phải tạo ra lượng phụ.
Ta chuyển lũy thừa bằng cách dùng HĐT số 1 nên thêm vào 2n
4
-n
4
. sau đó dùng HĐT số 3.
Ta nhận thấy tích 2 số này đều lớn hơn 1 nên ta => kết quả.

2. tìm n để : P=a
4
+a
2
+1 là số nguyên tố.
3. Cmr : a= 2006
2007
-1 là hợp số.
Dễ dàng nhận thấy có HĐT và tạo 2005.
4. tìm số tự nhiên n để M là số nguyên tố. M= 12n
2
-5n-25.
Ta nhận thấy các số chưa liên quan.
Ta thấy 12 và 25 nên tách số 5?
Ta đoán -5 = 15-20 để tỉ lệ 12/15=20/25. đúng.
Ta phân tích là xong.
5. tìm số p: p+94 và p+1994 đều là số nguyên tố.
Ta nhận xét p phải là số lẻ.
Kiểm tra p=3 đúng.
Liệu p > 3 thì ?
Ta lấy 3 làm chuẩn: xét p = 3k ±1 là xong.
6. .
D.
*****SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A. Số chính phương? Dấu hiệu chia hết của số chính phương.
Số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9.
Số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.
Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
B. Phương pháp.
C. Một vài VD minh họa.

1. cmr tích 4 số tự nhiên lien tiếp cộng thêm 1 là số chính phương.
Ta dùng cách gọi và phân tích thành nhân tử và nhóm tạo thành HĐT là xòng.
2. cho x=11111…1111 (có 2004 chữ số 1) và y=1000…005 ( có 2003 chữ số 0). Cmr xy+1 là số
chính phương.
Ta cố gắng tạo ra dạng HĐT nên ta tạo ra y= 9999….999 +6 (có 2004 số 9)= 9x+6.
Khi đó : xy+1= x(9x+6)+1 = 9x
2
+6x +1= (3x+1)
2
. xong.
3. tìm tất cả các số tự nhiên n : n
2
-14n-256 là số chính phương .
ta có n
2
-14n nên để tạo HĐT số 2 thù ta cần 49 vậy ta thêm vào 49.
Ta được (n-7)
2
-305.
Ta giải sử nó là số chính phương tức là: (n-7)
2
-305 = k
2
, với k là số nguyên nào đó.
Khi đó: (n-7)
2
-k
2
= (n+k-7)(n-k-7)= 305.
305 bằng bao nhiêu. 305= 5.61.

khi đo ta biện luận tìm n và k.
4. cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, nếu ta thêm mỗi chữ số của A một đơn vò thì ta
dược số chính phương B. hãy tìm A và B.
giả sử số đó là abcd khi đó ta có ngay: abcd= m
2
và abcd +1111= n
2
.
Khi đó ta có ngay: m
2
-n
2
= 1111. tức là (m+n)(m-n)=1111.
Ta thấy ngay: 1111= 101.11.
Biện luận tìm m và => A và B.
5.
D.
*****TÌM GTNN CỦA BT.
A. lý thuyết.
B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= ()
2
+()
2
…+a khi
đó A ≥ a. đạt được tại các BT kia bằng 0.
C. Minh họa:
1. tìm GTNN của BT M=x
2
+2x+3.
2. M= 4x

2
+4x+11.
3. 2x
2
-8x+10.
4. M=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6). Ta nhận dạng thấy số -1+6 =2+3 nên nhóm chúng thành 2
nhóm. Xem nhơ ẩn phụ y=x
2
+5x.
5. M=x
2
-2x+y
2
-4y +7. ta dùng HĐT số 2 cho 2nhóm.
6. tìm GTNN của M= 2/(6x-5-9x
2
).
Ta chuyển từ GTNN sang GTLN của Mẫu số.
7. M= (3x
2
-8x+6)/(x
2
-2x+1).
Ta nhận thấy MS đã là bình phương ta chỉ cần phân tích tử ra làm 2 nhóm cho gọn: 3x
2
-
8x+6= 2x
2
-4x+1+(x
2

-4x+4) là xong.
8.
D.
*****TÌM GTLN CỦA BT.
A. lý thuyết.
B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= -()
2
-()
2
…+a khi
đó A ≤a. đạt được tại các BT kia bằng 0.
C. Minh họa:
1. M= 5-8x-x
2
.
2. M= -5x
2
-4x+1.
3. 5-x
2
+2x-4y
2
-4y.
4. M= (3-4x)/(x
2
+1).
Ta thấy MS không thể phân tích được nên phân tích tử.
Phải tạo ra HĐT nên thêm vào TS=x
2
-4x+4-1-x

2
=(x-2)
2
-(x
2
+1) chia cho MS.
Ta được GTNN là -1 tại x=2.
Vậy GTLN? Ta tạo cách khác: có –(4x+x
2
+4)+7+X
2
khi đó chia ta được ? không.
Ta phải tạo ra có x
2
+1 nên ta tách -4x-4x
2
-1+4x
2
+4 thế mới được.
5. M=(x
4
+1)/(x
2
+1)
2
.
Ta phải tách ra chứ chưab thấy gì?
Tách T ra có dạng x
2
nên TS= x

2
+1)
2
- 2x
2
. khi đó
M= 1- (2x/(x
2
+1))
2
là thấy ngay..
Ngoài ra bài này nếu ta dùng bunhiacôpxki thì thấy ngay GTNN là ½.
Cách 2 : ta tạo ra 1/M=1+2x
2
/(x
4
+1). Khi đó ta dùng ≥ 0 và 2x
2
/(x
4
+1)≤1. để tìm GTNN
và GTLN.
6. tìm GTNN của M={3x-1{
2
-4{3x-1{+5.
Ta dùng tính chất trò tuyệt đối ≥ 0.
Nếu ta Nhận xét hai trò tuyệt đối bằng 0 là sai.
Phải xen ẩn phụ y={3x-1{. Khi đó: M=y
2
-4y+5 trong đó y ≥ 0.

7. tìm GTNN và GTLN của: M= (x
2
+2x+3)/(x
2
+2).
Ta phân tích TS= 2x
2
+4x+4 –x
2
-2x -1 nhằm tạo ra dấu – để có GTNN.
Ta phân tích nhằm tạo dấu +()
2
để tìm GTLN? Ts= x
2
+2 không được.
Nhân 2 vào tạo ra 2M. rồi nhóm.
8. cho x;y : 3x+y=1. tìm GTNN của M=3x
2
+y
2
và GTLN của N=xy.
Ta cứ rút ra và thay vào rồi tính bình thường.
9. tìm GTNN của : 9x
3
-6x+5, x
2
+3x-1; (x
2
+5x+4)(x+2)(x+3). Và (x-1)(x-3)(x
2

-
4x+5).
10. tìm GTLN của: 3-x
2
+4x.; -2x
2
+3x+1; -5x
2
-4x-19/5,
11. tìm GTNN của : A= 2x
2
+2xy+y
2
-2x+2y +2. và B= x
4
-8xy-x
3
y+x
2
y
2
-
xy
3
+y
4
+200.
12. timg GTLN của : A= -x
2
+2xy-4y

2
+2x+10y+5. và B= -x
2
-2y
2
-2xy+2x-2y-15.
13. tìm GTNN: A= {x-7{+{x+5{; B= (2x-1)
2
-3{2x-1{+2. ; C= {x
2
+x+1{+
{x
2
+x-12{
14. cho a-b =1. tìm GTNNcủa: A=a
3
-b
3
-ab.
15. cho 3a+5b=12 tìm GTLN của: B=ab.
16. cho a;b > 0 và a+b =1. tìm GTNN của: M=(1+1/a)
2
+(1+1/b)
2
.
:
17. Cho x;y thỏa: 2x
2
+1/x+y/4 =4, tìm GTNN của xy.
18. tìm GTNN của: A= x

2
-x+4+1/(x
2
-x+1). B= x
2
+2x+1)/(x+2). Với x > -2.
19. tìm GTLn của: A=3/(4x
2
-4x+5). Và B= (x
2
-6x+14)/(x
2
-6x+12).
20.
D.
*****CHUYÊN ĐỀ BĐT.
A. LÝ THUYẾT.
B. PHƯƠNG PHÁP:
1. Đònh nghóa.
2. các tính chất cơ bản.
a. a > b  b < a.
b. tính chất bắc cầu.
c. A > b  a +c > b+c.
d. A > c và b > d thì a+b > c+d.
e. A > b và c < d thì a –c < b-d.
f. Nhân .
g. Lũy thừa.
h.
3. các BĐT thường dùng.
a. HĐT số 1 và 2.

b. Côsi.
c. Bu nhiacỗpki.
d. Trò tuyệt đối.
e.
4. các phương pháp thường dùng.
a. biến đổi tương đương.
b.
5. .
C. minh họa:
1. c/m a
2
+b
2
≥ 2ab.
2. với avà b cùng dấu cmr nếu a > b thì 1/a < 1/b.
3. c/m: a/b +b/a ≥ 2.
4. cho a ;b là số dương, cmr: 1/a+1/b ≥ 4/(a+b).
5. c/m BĐT côsi cho 2 số.
6. c/m : (a-a
2
+1)/(a-a
2
-1) < 1.
Ta chuyển vế và trừ ra rồi c/m nhỏ hơn 0 vì: a-a
2
-1= -(a
2
-a+1) < 0.
7. cm : a
2

+b
2
+c
2
≥ ab+bc+ac..
nhân2 vào.
8. c/m nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì : a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac).
Ta dùng a-b < c < a+b. ta chuyển 1 nửa qua trái thôi,
a
2
-ab+b
2
-bc+c
2
-ac = a(a-b)+b(b-c) +c(c-a) < ac+ab+cb. Đúng.
Cộng từng vế cũng được.
9. c/m: a
4
+b
4
+c
4
+d
4

≥ 4abcd.
Nếu ta dùng côsi thì ra ngay tuy nhiên ta có cách khác.
Ta thấy muốn dùng HĐT thì phải nhóm lại 2 số. a
4
+b
4
≥ 2a
2
b
2.
và c
4
+d
4
≥ 2c
2
d
2
.
Khi đó V.T ≥ 2( a
2
b
2
+c
2
d
2
) ≥ 4abcd. Xong.
10. c/m: 2(a
2

+b
2
) ≥ (a+b)
2
.
11. c/m: 3(a
2
+b
2
+c
2
) ≥ (a+b+c)
2
.
12. với a;b;c dương c.m: a
2
/b+b
2
/c+ c
2
/a ≥ a+b+c.
ta nhận dạng? Nếu ta chọn và ghép thì? Quy đồng mẫu? Sai lầm.
Ta nhóm thử a
2
/b và b ?
Dấu trừ a
2
/b-b = (a
2
-b

2
)/b không ra gì.
Ta thêm a+b+c vào 2 vế để được dấu + xem sao.
A
2
+b
2
≥ 2ab nên a
2
/b +b ≥ 2a. cộng lại đúng.
13. với a;b;c dương c/.m: a
2
/(a+b) +b
2
/(b+c) + c
2
/(c+a) ≥ (a+b+c)/2.
Ta tạo ra a
2
/(a+b) ?
Ta xuất phát có a
2
+ ? b.
Phải có a+b vào.
Vạy a
2
+ (a+b)
2
≥ 2a.(a+b). như thế không có chia 2 ở VP.
Vậy : a

2
+ (a+b)
2
/2
2
≥ 2a.(a+b)/2= a(a+b). => a
2
/(a+b) ≥ a- (a+b)/4.
Cộng lại ta được đpcm.
14.
D. Bổ Sung:
1. ((a+b)/2)
2
> ab.
2. a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e).
3. cho a+b=1 c/m: a
3
+b
3
+ab > ½.

4. cho x+y =2 c/m: x
4
+y
4
≥ 2.
Ta xuất phát từ (x
2
-y
2
)
2
≥ 0 => x
4
+y
4
≥ (x
2
+y
2
)
2
/2.
Xuất phát từ (x-y)
2
≥ 0 => x
2
+y
2
≥ 2.
5. C/M KHÔNG ∃ 3 SỐ dương a;b;c thỏa mãn cả 3 Bất đẳng thức: a+1/b

<2;b+1/c<2và c+1/a<2
Ta dùng phương pháp p/c, giả sử cả 3 Bất đẳng thức cùng sảy ra khi đó cộng lại mới có quan
hệ và ta thấy ngay vô lí.
6. a
2
+b
2
+1 ≥ ab+a+b.
7. a
2
+b
2
+c
2
≥ a(b+c).
8. (x+y+z)
2
≥ 3(xy+yz+zx).
9. x
2
(1+y
2
)+y
2
(1+z
2
)+z
2
(1+x
2

) ≥ 6xyz.
10. cho a;b;c là các số không âm, c/m (a+1)(ab+1) ≥ 4ab.
11. cho a
2
+b
2
=1 và c
2
+d
2
=1 c/m: {ac+bd{ ≤ 1.
12. cho 3 số thỏa : xy+yz+zx =1 c/m: x
4
+y
4
+z
4
≥ 16/3.
13. cho a và b : a+b =1, c/m: a
2
+b
2
≥ ½. Và a
4
+b
4
≥ 1/8.
14. tìm GTNN của : {x-2006{+{x-2007{.
15.
E.

*****CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ:
A. LÝ THUYẾT:
B. PHƯƠNG PHÁP:
16. các HĐT.
17. biến đổi linh hoạt- thêm bớt.
C. VẬN DỤNG: