Bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng oxy có lời giải chi tiết

Câu 1: Cho Elip ( E ) :
A. MN =

x2 x2
+ = 1 . Đường thẳng ( d ) : x = −4 cắt ( E ) tại hai điểm M, N. Khi đó:
25 9

9
.
25

B. MN =

18
.
25

C. MN =

18
5

D. MN =

9
5

Lời giải
Chọn C
Dễ thấy ( d ) : x = −4 là đường thẳng đi qua tiêu điểm F1 ( −4;0 ) của ( E ) .

c

 18
Do đó MN = 2MF1 = 2  a + xM  =
a  5

Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và có tiêu cực bằng 4 3

x2 y 2
A.
+
=1.
36 9

x2 y 2
B.
+
=1.
36 24

x2 y 2
C.
+
= 1.
24 6

x2 y 2
D.
+
= 1.

16 4

Lời giải
Chọn D

x2 y 2
Gọi phương trình chính tắc của Elip 2 + 2 = 1, ( a  b  0 ) .
a b
a 2 = 16
2a = 2.2b a 2 = 4b 2





Ta có 
.
2
2
2
2c = 4 3
a − b = 12 b = 4

Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn
1
bằng .
3

x2 y 2
+

= 1.
A.
9
3

x2 y 2
+
= 1.
B.
9
8

x2 y 2
+
= 1.
C.
9
5

x2 y 2
+
= 1.
D.
6
5

Lời giải
Chọn B

x2 y 2

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng 2 + 2 = 1, ( a  b  0 ) .
a b
Tỉ số

2c 1
=  a = 3c .
2a 3

Lại có 2a = 6  a = 3  c = 1  b 2 = a 2 − c 2 = 8 .
Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 và một tiêu điểm là điểm

( −1;0 ) .
A.

x2 y 2
+
= 1.
4
3

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 15

C.

x2 y 2

+
= 1.
16 9

D.

x2 y 2
+
= 1.
9
8

Lời giải
Chọn A
Trang 1


Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) .
a 2 b2

a
c2
2
Ta có = 4  a = 16. 2  a 2 = 4c
e
a

F ( −c;0 )  F ( −1;0 )  c = 1  a 2 = 4  b 2 = a 2 − c 2 = 3 .

Câu 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A ( 0;5 ) (khơng có đáp án
đúng)
A.

x2 y 2
+
=1.
100 81

B.

x2 y 2
+
= 1.
15 16

C.

x2 y 2
+
=1.
25 9

D.

x2 y 2
−
=1.

25 16

Lời giải
Chọn C
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) .
a 2 b2

Ta có 2c = 6  a 2 − b 2 = 9

A ( 0;5 )  ( E )  b 2 = 25  a 2 = 34  ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
34 25

Câu 6: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và đi qua điểm ( 2; −2 )

x2 y 2
A.
+
= 1.
24 6

x2 y 2
C.

+
= 1.
16 4

x2 y 2
B.
+
=1.
36 9

x2 y 2
D.
+
=1.
20 5

Lời giải
Chọn D

x2 y 2
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng: 2 + 2 = 1, ( a  b  0 ) .
a b
Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé  a = 2b  a 2 = 4b 2

x2 y 2
22 ( −2 )
Điểm ( 2; −2 ) thuộc Elip 2 + 2 = 1  2 + 2 = 1
a
b
a

b
2

a 2 = 4b 2
b 2 = 5


Ta được hệ: 
.

4
4
2

+ = 1 a = 20
 4b 2 b 2
Câu 7: Cho Elip ( E ) :
A. 4  OM  5 .

x2 y 2
+
= 1 . M là điểm nằm trên ( E ). Lúc đó đoạn thẳng OM thỏa:
16 9
B. OM  5 .

C. OM  3 .

D. 3  OM  4 .

Lời giải

Chọn D
Gọi M ( 4 cos t ;3sin t )  ( E ) . Khi đó OM = 16 cos 2 t + 9sin 2 t = 9 + 7 cos 2 t . Vì 0  cos 2 t  1 nên
3  OM  4 .

Trang 2


Câu 8: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M ( 4;3)
A.

x2 y 2
+
= 1.
16 9

B.

x2 y 2
−
= 1.
16 9

C.

x2 y 2
+
= 1.
16 4

x2 y 2

+
= 1.
4
3

D.

Lời giải
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) .
a 2 b2

Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: ( a; b ) , ( a; −b ) , ( −a; b ) , ( −a; −b )
a = 4

Ta có M ( 4;3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn 
.
b = 3

Câu 9: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
A. 9 x 2 + 16 y 2 = 144 .

B.

x2 y 2
+

= 1.
9 16

C. 9 x 2 + 16 y 2 = 1 .

D.

x2 y 2
+
=1.
64 36

Lời giải
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) .
a 2 b2

 2a = 8  a = 4


Ta có 
.

2b = 6 b = 3

Câu 10: Đường thẳng y = kx cắt Elip

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) tại hai điểm
a 2 b2

A. đối xứng nhau qua trục Oy.

B. đối xứng nhau qua trục Ox.

C. đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

D. Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải

Chọn C
Vì ( E ) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O ( 0;0 ) , hàm số y = kx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó cũng có
tâm đối xứng là O ( 0;0 ) nên chọn C.
Cách khác:
Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = k x với Elip

x2 y 2
+
= 1, ( a  b  0 ) là nghiệm của hệ:
a 2 b2

 y = kx

a 2b 2


x
=

 2
0
2
b 2 + k a2
 x + y =1
 a 2 b 2

Trang 3


a 2b 2
Suy ra hai giao điểm là: A ( − x0 ; −kx0 ) ; B ( x0 ; k x0 ) ; x0 = 2
.
b + kb 2
Câu 11: Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm (6;0) và có tâm sai bằng
A.

x2 y 2
+
=1.
36 27

B.

x2 y 2
+
= 1.

6
3

C.

x2 y 2
+
= 1.
6
2

D.

1
.
2

x2 y 2
+
=1.
36 18

Lời giải
Chọn A
Ta có có e =

c 1
a
=  c = mà Elip đi qua điểm (6;0) nên a = 6 từ đó
a 2

2

x2 y 2
c = 3  b = 27 . Vậy ( E ) : +
= 1.
36 27
2

Câu 12: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một elíp có khoảng cách giữa các đường
50
chuẩn là
và tiêu cự 6?
3
A.

x2 y 2
+
=1.
64 25

B.

x2 y 2
+
= 1.
89 64

C.

x2 y 2

+
=1.
25 16

D.

x2 y 2
+
= 1.
16 7

Lời giải
Chọn C
Ta có: Tiêu cực 2c = 6  c = 3 , khoảng cách giữa 2 đường chuẩn
2a 50
=
 6a2 = 50c  a 2 = 25  b 2 = 16 .
e
3

(

) (

Câu 13: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1 − 7;0 , F2

)

9


7;0 và đi qua M  − 7;  . Gọi N là điểm đối
4


xứng với M qua gốc tọa độ. Khi đó
A.

x2 y 2
+
= 1.
16 12

B. M ( 2;3) .

C. F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2;0 ) .

D. NF1 + MF1 = 8 .

Lời giải
Chọn D

9

Ta có: N  7; −  . Suy ra: NF1 =
4


( −2 7 )

2

2

23
9
 9
+  −  = ; MF1 =
4
4
 4

Từ đó: NF1 + MF1 = 8 .
Câu 14: Cho elíp có phương trình 16x 2 + 25 y 2 = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hồnh
độ x = 2 đến hai tiêu điểm.
A.

3.

B. 2 2 .

C. 5.

D. 4 3 .

Lời giải
Chọn C
Trang 4


Ta có: 16 x 2 + 25 y 2 = 100 

x2 y 2
5
Tổng khoảng cách từ 1 điểm thuộc Elip đến 2 tiêu
+
=1 a =
25 4
2
4

điểm bằng 2a = 5 .
Câu 15: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10
A.

x2 y 2
+
=1.
25 9

B.

x2 y 2
+
=1.
100 81

C.

x2 y 2
−

=1.
25 16

D.

x2 y 2
+
=1.
25 16

Lời giải
Chọn D
2c = 6  c = 3

Ta có: 
 b 2 = a 2 − c 2 = 16 .
2a = 10  a = 5

x2 y 2
+
= 1 và điểm M nằm trên ( E). Nếu điểm M có hồnh độ bằng 1 thì các
16 12
khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của ( E) bằng
Câu 16: Cho Elip ( E ) :

A. 4  2 .

B. 3 và 5.

D. 4 

C. 3,5 và 4,5.

2
.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có c 2 = 16 − 12 = 4  c = 2  F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2;0 ) Điểm M thuộc ( E) và

xM = 1  yM = 

3 5
9
7
Từ đó MF1 = ; MF2 = .
2
2
2

Câu 17: Đường thẳng qua M (1;1) và cắt elíp

( E ) : 4x 2 + 9 y 2 = 36

tại hai điểm M 1 ; M 2 sao cho

MM 1 = MM 2 có phương trình là

A. 2x + 4 y − 5 = 0 .

B. 4x + 9 y − 13 = 0 .

C. x + y + 5 = 0 .

D. 16 x − 15 y + 100 = 0 .

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Thử điểm M (1;1) vào các đáp án, thỏa phương án B.
Cách 2: Gọi M 1 ( x0 ; y0 )  ( E ) . Vì MM 1 = MM 2 nên M là rung điểm của M 1M 2
 M 2 ( 2 − x0 ; 2 − y0 ) . Hai điểm M 1 ; M 2 cùng thuộc ( E) nên ta có hệ phương

4x 02 + 9 y02 = 36

. Giải hệ ta tìm được tọa độ hai điểm M 1 ; M 2
trình 
2
2
4 ( 2 − x ) + 9 ( 2 − y ) = 36
0
0


suy ra phương trình đường thẳng.
Câu 18: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2;0 ) và đi qua điểm M ( 2;3) là

Trang 5

A.

x2 y 2
+
= 1.
16 12

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 9

C.

x2 y 2
+
= 1.
16 4

D.

x2 y 2
+
= 1.
16 8

Lời giải
Chọn A

Ta có c = 2  c 2 = a 2 − b 2 = 4 nên chỉ có A thỏa.
Câu 19: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai e =
A.

x2 y 2
+
= 1.
25 169

B.

x2 y 2
+
= 1.
169 25

C.

x2 y 2
+
= 1.
36 25

12
là
13

D.

x2 y 2

+
= 1.
25 36

Lời giải
Chọn B
Ta có a = 13  a 2 = 169, e =

c 12
=  c = 12  b 2 = a 2 − c 2 = 25
a 13

x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip là: ( E ) : +
=1
25 16
Câu 20: Tìm phương tình chính tắc của elip nếu phương trình đường chuẩn của nó là x = 

3
và độ dài
5

trục lớn là 10?
A.

x2 y 2
+
= 1.
25 9

B.

x2 y 2
−
= 1.
25 9

C.

x2 y 2
+
= 1.
25 16

D.

x2 y 2
+
= 1.
81 64

Lời giải
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của elip

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

Phương trình đường chuẩn của elip là x = 

a 25
a 2 25
3
nên =

= .
5
e 4
c
4

Độ dài trục lớn A1 A2 = 2a = 10  a = 5
Thay vào công thức

a 2 25
=
c=4
c
4

Từ công thức b 2 = a 2 − c 2  b = 3 .
Phương trình đường chuẩn

x2 y 2
+
= 1.
25 9

x2 y 2
= 1 . Đường thẳng d : x = −4 cắt E tại hai điểm M , N. Khi đó:
Câu 21: Cho Elip E : +
25 9
A. MN =

9
.
25

B. MN =

18
.
25

C. MN =

18
.
5

9
D. MN = .
5

Lời giải
Chọn C
Trang 6

Phương trình tung độ giao điểm của E và d :

−42 y 2
9
+
=1 y = 
25 9
5

9
  9

Khi đó, M  ; −4  ; N  − ; −4 
5
  5

Vậy MN =

18
.
5

Câu 22: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3
A.

x2 y 2
+
= 1.
36 9

B.

x2 y 2
+
= 1.
36 24

C.

x2 y 2
+
= 1.
24 6

D.

x2 y 2
+
= 1.
16 4

Lời giải
Chọn D
Giả sử phương trình chính tắc của E :

x2 y 2
+
=1 a  b  0
a 2 b2

a = 2b

Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3  
c = 2 3

Mặt khác:
a 2 = b 2 + c 2  4b 2 = b 2 + 12  b 2 = 4  a 2 = 16

Vậy E :

x2 y 2
+
= 1.
16 4

Câu 23: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 và một tiêu điểm là điểm
1;0

x2 y 2
A.
+
= 1.
4
3

x2 y 2
B.
+
= 1.

16 15

x2 y 2
C.
+
= 0.
16 9

x2 y 2
D.
+
= 1.
9
8

Lời giải
Chọn A

x2 y 2
Giả sử phương trình chính tắc của E : 2 + 2 = 1 a  b  0
a
b
Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 và một tiêu điểm là điểm 1;0

c = 1
c = 1
c = 1





 2

a = 4
a = 4
a 2 = 4
 e
 c
Mặt khác b 2 = a 2 − c = 4 − 1 = 3

x2 y 2
= 1.
Vậy E : +
4
3
Câu 24: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A ( 5; 0 )
Trang 7


A.

x2 y 2
+
= 1.
100 81

B.

x2 y 2
+

= 1.
15 16

C.

x2 y 2
+
= 1.
25 9

D.

x2 y 2
+
= 1.
25 16

Lời giải
Chọn C
Giả sử phương trình chính tắc của E :

x2 y 2
+
=1 a  b  0
a 2 b2

c = 3
c = 3



Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A 0;5   2

 5 = 1 a 2 = 25
 a 2
Mặt khác b 2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16
Vậy E :

x2 y 2
+
= 1.
25 16

Câu 25: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và đi qua điểm 2;2

x2 y 2
A.
+
= 1.
24 6

x2 y 2
B.
+
= 1.
36 9

x2 y 2
C.
+
= 1.

16 4

x2 y 2
D.
+
= 1.
20 5

Lời giải
Chọn D

x2 y 2
Giả sử phương trình chính tắc của E : 2 + 2 = 1 a  b  0
a
b
Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và đi qua điểm 2;2

a = 2b
a = 2b
a 2 = 20



 2
 2

2
2
 2 + 2 = 1  2 + 2 = 1 b 2 = 5
 a 2 b 2

 4b 2 b 2
Vậy E :

x2 y 2
+
= 1.
20 5

Câu 26: Cho Elip có phương trình: E : 9x 2 + 25 y 2 = 225 . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:
A. 15.

B. 40.

C. 60.

D. 30.

Lời giải
Chọn C

x2 y 2
E : 9x + 25 y = 225 
+
=1
25 9
2

2

a 2 = 25 a = 5





b 2 = 9
b = 3

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng: A1 A2 B 1 B2 = 2a.2b = 60.

Trang 8


Câu 27: Cho Elip E :
A. 4  OM  5.

x2 y 2
+
= 1 . M là điểm nằm trên E . Lúc đó đoạn thẳng OM thỏa:
16 9
B. OM  5.

C. OM  3.

D. 3  OM  4.

Lời giải
Chọn D
a 2 = 16 a = 4
x2 y 2



E: +
=1 

16 9
b 2 = 9
b = 3

Ta có: b  O  a
Vậy 3  OM  4.
Câu 28: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M 4;3

x2 y 2
A.
+
= 1.
16 9

x2 y 2
B.
−
= 1.
16 9

x2 y 2
C.
+
= 1.
16 4

x2 y 2
D.
+
= 1.
4
3

Lời giải
Chọn A

x2 y 2
Giả sử phương trình chính tắc của E : 2 + 2 = 1 a  b  0
a
b
a = 4

Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M 4;3  
b = 3

x2 y 2
Vậy E : +
= 1.
16 9
Câu 29: Đường thẳng d : y = k x cắt Elip E :

x2 y 2
+
= 1 tại hai điểm
a 2 b2

A. đối xứng nhau qua trục Oy.

B. đối xứng nhau qua trục Ox.

C. đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

D. Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải

Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm của d và E :

x2 k 2 x2
k2 
a.b
abk
2 1
+ 2 =1 x  2 + 2  =1 x = 
 y=
2
2
2
2
2
a
b
b +a k
b + a2k 2
a b 
Vậy đường thẳng d cắt E tại hai điểm ddối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

(

) (

Câu 30: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1 − 7;0 , F2

)

9

7;0 và đi qua M  − 7;  . Gọi N là điểm đối
4


xứng với M qua gốc tọa độ. Khi đó:
9
A. NF1 + MF2 = .
2

B. NF2 + MF1 =

23
.
2

7
C. NF2 NF1 = .
2

D. NF1 + MF1 = 8.

Lời giải
Trang 9


Chọn D

(

) (

)

9

7;0 , M  − 7;  .
4


F1 − 7;0 , F2

−9 

N là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ. Suy ra N  7;  .
4 

Vậy NF1 + MF1 = 8.
Câu 31: Cho Elíp có phương trình 16x 2 + 25 y 2 = 100. Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc Elíp có
hồnh độ x = 2 đến hai tiêu điểm.

A.

B. 2 2.

3.

C. 5.

D. 4 3.

Lời giải
Chọn C
x2 y 2
( E ) :16x + 25 y = 100  25 + = 1
4
4
2

2

5
 2 25 
a = 4
a = 2


 2

b = 4
b = 2

5
Ta có: MF1 + MF2 = 2. = 5.
2

Vậy tổng khoảng cách từ điểm thuộc Elíp có hồnh độ x = 2 đến hai tiêu điểm bằng 5.

x2
y2
+
= 1 và điểm M nằm trên (E).Nếu điểm M có hồnh độ bằng 13 thì các
169 144
khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng:
Câu 32: Cho Elíp ( E ) :

A. 8 và 18.

B. 13  5.

C.10 và 16.

D. 13  10.

Lời giải
Chọn A
a 2 = 169 a = 13
x2
y2


+

=1 

Ta có: ( E ) :
169 144
b 2 = 144 b = 12

Mặt khác c 2 = a 2 − b 2 = 169 − 144 = 25  c = 5
Ta có:
c
5
MF1 = a + .xM = 13 + .13 = 18.
a
13

c
5
MF2 = a − .xM = 13 − .13 = 8.
a
13

Câu 33: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 5 = 0 và đi qua điểm ( 0; 2 )
Trang 10


A.

x2 y 2
+
= 1.
16 12

B.

x2 y 2
+
= 1.
20 4

C.

x2 y 2
+
= 1.
16 10

D.

x2 y 2
+
= 1.
20 16

Lời giải
Chọn B
Gọi phương trình chính tắc của Elíp (E) là:
Đường chuẩn x = 

x2 y 2
+
= 1 với a  b  0

a 2 b2

a
a
a
nên ta chọn = −5  = 5  a 2 = 5c.
c
e
e
a

02 ( −2 )
Elíp đi qua ( 0; 2 )  2 + 2 = 1  b 2 = 4  b = 2.
a
b
2

c = 1
Mà b 2 = a 2 − c 2  c 2 = a 2 − b 2  c 2 = 5c − 4  
.

c = 4

Với c = 4  a 2 = 20.
Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là

x2 y 2
+
= 1.
20 4

Câu 34: Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm (2;1) và có tiêu cự bằng 2 3 .

x2 y 2
A.
+
= 1.
8
5

x2 y 2
B.
+
= 1.
8
2

x2 y 2
C.
+
= 1.
9
4

D. .

Lời giải
Chọn D
Gọi phương trình chính tắc của Elíp (E) là: với
Elíp đi qua (1)

Tiêu cự
Mà (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
Chọn suy ra
Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là
Câu 35: Cho Elip (E) có các tiêu điểm và một điểm M nằm trên (E) biết rằng chu vi của tam giác MF1F2
bằng 18. Lúc đó tâm sai của (E) là:
A. e = - .

B. e = .

C. e = .

D. e=

Lời giải
Chọn D
Vì tiêu điểm suy ra
Chu vi của tam giác MF1F2 bằng
Theo định nghĩa Elíp thì
Tâm sai của (E) là :
Trang 11


Câu 36: Dây cung của elip ( E ) :

2c 2
A.
.
a

x2 y 2
+
= 1( 0  b  a ) vng góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:
a 2 b2
2a2
C.
.
c

2b 2
B.
.
a

a2
D.
.
c

Lời giải
Chọn B
Xét tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) . Phương trình đường thẳng qua F1 và vng góc với trục Ox là x = −c
Giao điểm A, B của ( E ) và đường thẳng x = −c có tọa độ


b2  
b2 
A  −c;  , B  −c; − 
a 

a

2

 2b 2 
2b 2
.
Suy ra độ dài của dây cung AB = 
 =
a
 a 

Câu 37: Cho đường tròn ( C ) tâm F1 bán kính 2a và một điểm F2 ở bên trong của ( C ) . Tập hợp tâm M
của các đường tròn ( C  ) thay đổi nhưng luôn đi qua F2 và tiếp xúc ( C ) là đường nào sau đây?
A. Đường thẳng.

B. Đường trịn.

C. Elip.

D. Parabol.

Lời giải
Chọn C
Gọi bán kính của đường trịn ( C  ) là r.
Ta có: ( C  ) tiếp xúc trong với đường tròn ( C ) nên F1M = 2a − r.
F2  ( C  ) nên F2 M = r.

Ta có: F1M + F2 M = 2a − r + r = 2a.
Suy ra: Tập hợp tâm M của đường tròn ( C  ) là một elip.

Câu 38: Khi cho t thay đổi, điểm M ( 5cos t ; 4sin t ) đi dộng trên đường nào sau đây?
A. Elip.

B. Đường thẳng.

C. Parabol.

D. Đường trịn.

Lời giải
Chọn A
Ta có

xM2 yM2 25cos 2 t 16sin 2 t
+
=
+
= 1.
25 16
25
16

Nên khi cho t thay đổi, điểm M ( 5cos t ; 4sin t ) đi dộng trên đường Elip:

x2 y 2
+
= 1.
25 16
Câu 39: Cho elip ( E ) :

x2 y 2
+
= 1( 0  b  a ) . Gọi F1 , F2 là hai tiêu điểm và cho điểm M ( 0; −b ) . Giá trị
a 2 b2

nào sau đây bằng giá trị biểu thức MF1.MF2 − OM 2 ?
Trang 12


B. 2a2 .

A. c 2 .

C. 2b 2 .

D. a 2 − b 2 .

Lời giải
Chọn D
Ta có F1 ( −c;0 ) , F2 ( c; 0 ) nên MF1 = c 2 + b 2 = a 2 = a (do b 2 = a 2 − c 2 ), tương tự MF2 = a.
OM = b nên MF1.MF2 − OM 2 = a.a − b 2 = a 2 − b 2 .

Câu 40: Cho elip ( E ) có tiêu điểm F1 ( 4; 0 ) và có một đỉnh là A ( 5; 0 ) . Phương trình chính tắc của ( E )
là
A.

x2 y 2
+
= 1.
25 16

B.

x2 y 2
+
= 1.
5
4

C.

x2 y 2
+
= 1.
25 9

D.

x y
+ = 1.
5 4

Lời giải
Chọn C
Ta có: c 2 = a 2 − b 2  b 2 = a 2 − c 2 = 52 − 42 = 9

x2 y 2
x2 y 2
Mặt khác ta có ( E ) : 2 + 2 = 1 hay
+

= 1.
a
b
25 9
Câu 41: Elip ( E ) :

x2 y 2
+
= 1 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 25 có bao nhiêu điểm chung?
25 16

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải
Chọn C

 x2 y 2
 x 2 25 − x 2
+
=
1
 25 16
 25 + 16 = 1(1)
Ta có phương hệ phương trình: 


 2
 2
2
2
 x + y = 25  y = 25 − x
Giải phương trình (1) :

x 2 25 − x 2
+
= 1  16x 2 + 25 ( 25 − x 2 ) − 25.16 = 0
25
16

 −9x 2 + 225 = 0

x=

225
= 5 . Vậy có hai điểm chung.
9

x2 y 2
= 1 và đường thẳng  : y = 3 . Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của
Câu 42: Cho elip ( E ) : +
16 9
( E ) đến  bằng giá trị nào sau đây?
A. 16.

B. 9.

C. 81.

D. 7.

Lời giải
Chọn B

(

) (

Ta có: c =  16 − 9 =  7  F1 − 7;0 , F2

7;0

)
Trang 13


Do đó: d ( F1 ,  ) =

−3
1

=3

Vậy tích d ( F1 ,  ) .d ( F2 ,  ) = 9.
Câu 43: Tìm phương trình chính tắc của elip ( E ) có trục lớn gấp đơi trục bé và đi qua điểm ( 2; −2 ) .
A. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
16 4

B. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
20 5

C. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
36 9

D. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
24 6

Lời giải
Chọn B
Phương trình Elip có dạng ( E ) :

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

Trục lớn gấp đôi trục bé nên 2a = 2.2b  a = 2b (1)
Vì elip đi qua điểm M ( 2; −2 ) nên

4 4
+ = 1( 2 )
a 2 b2

Thay (1) và (2), ta có:
4
4
5
+ 2 = 1  2 = 1  b2 = 5  b = 5  a = 2 5
2
4b b
b

Vậy phương trình elip là: ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
20 5
§3. GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Câu 44: [THPT Chuyên Bình Long – 2017] Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 12m, độ dài trục bé
bằng 8m. Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng hịa
lớn nhất có thể là?
B

A

A'

AA'=12
BB'=8

.

B'

A.

576 2
m.
13

B. 48 m2.

C. 62 m2.

D. 46 m2.

Lời giải
Chọn B

Trang 14


B

A

A'

AA'=12
BB'=8
B'

Đặt phương trình chính tắc của ( E ) :

.

x2 y 2
+
= 1.
a 2 b2

Ta có 2a = 12  a = 6, 2b = 8  b = 4. Suy ra ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
36 16

Chọn A ( x A ; y A ) là đỉnh hình chữ nhật và x A  0, y A  0.



xA2 y A2
+
= 1;
36 16

Diện tích hình chữ nhật là S = 4x A y A = 48.2.

 x2 y 2 
xA y A
.  48  A + A  = 48.
6 4
 36 16 

Trang 15


Câu 1: Đường thẳng qua M (1;1) và cắt Elíp

( E ) : 4 x 2 + 9 y 2 = 36

tại hai điểm M 1 , M 2 sao cho

MM 1 = MM 2 có phương trình là

A. 2 x + 4 y5 = 0.

B. 4x + 9 y13 = 0.

C. x + y + 5 = 0.

D. 16x15 y + 100 = 0.
Lời giải

Chọn B
Thay tọa độ điểm M và biểu thức ta có: 4.12 + 9.12  36
 M nằm trong ( E ) .

Mà MM 1 = MM 2  M là trung điểm M 1M 2  x1 + x2 = 2x M = 2.
Đường thẳng qua M (1;1) có dạng: y = k ( x − 1) + 1.
Hoành độ M 1 , M 2 thỏa mãn phương trình:
4x 2 + 9  k ( x − 1) + 1 = 36
2

 ( 4 + 9k 2 ) x 2 + 18k (1 − k ) x + 9 (1 − k ) − 36 = 0.
2

Ta có x1 + x2 =

18k ( k − 1)

( 4 + 9k )
2

4
=2k =− .
9

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là y = −

4
( x − 1) + 1  4x + 9 y − 13 = 0.
9

Trang 16