Phương pháp lai mạng nơ ron giải thuật di truyền giải bài toán np c và ứng dụng

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUN

KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN

LÊ THANH BÌNH

PHƯƠNG PHÁP LAI MẠNG NƠ RON
GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN NP-C
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUN 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUN

KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN

LÊ THANH BÌNH

PHƯƠNG PHÁP LAI MẠNG NƠ RON
GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TỐN NP-C
VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS- TS. ĐẶNG QUANG Á

THÁI NGUYÊN 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-i-

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC ............................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC BẢNG…………………………………………….…...………iii
DANH MỤC CÁC HÌNH ...................................................................................... iv
LỜI NĨI ĐẦU………………………………………………………………………1
CHƢƠNG I: GIỚI THIỆU SƠ LƢỢC VỀ CÁC BÀI TOÁN NP-C......................... 3
1.1. Giới thiệu chung về bài toán NP-C ................................................................ 3
1.2. Cách tiếp cận giải bài toán NP-C ................................................................... 4
1.2.1. Một số khái niệm ................................................................................... 4
1.2.2. Giới thiệu một số thuật toán xấp xỉ giải bài toán NP-C .......................... 5
1.2.3. Các thuật tốn gần đúng ........................................................................ 6
1.2.4. Tơ mầu đồ thị với bài tốn 4 mầu ........................................................ 13
1.2.5. Bài tốn phẳng hóa đồ thị .................................................................... 15

1.3. Kết luận ......................................................................................................... 17
CHƢƠNG II : MẠNG NƠ RON VÀ THUẬT GIẢI DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN
TỐI ƢU ................................................................................................................. 18
2.1. Giới thiệu về mạng nơ-ron ........................................................................... 18
2.1.1. Lịch sử phát triển................................................................................. 18
2.1.2. Mơ hình mạng nơ-ron nhân tạo............................................................ 19
2.2. Phạm vi ứng dụng của mạng nơ-ron ........................................................... 23
2.2.1. Những bài tốn thích hợp .................................................................... 23
2.2.2. Các lĩnh vực ứng dụng mạng nơ-ron .................................................... 23
2.2.3. Ƣu và nhƣợc điểm của mạng nơ-ron .................................................... 24
2.3. Mạng Hopfield .............................................................................................. 24
2.3.1. Mạng Hopfield rời rạc ......................................................................... 26
2.3.2 Mạng Hopfield liên tục ......................................................................... 27
2.4. Giới thiệu thuật giải di truyền ...................................................................... 28
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- ii -

2.4.1. Các tính chất đặc thù của thuật giải di truyền ....................................... 29
2.4.2. Các bƣớc quan trọng trong việc áp dụng thuật giải di truyền ............... 29
2.4.3. Ví dụ minh họa .................................................................................... 31
2.4.4. Các phƣơng thức biến hóa của giải thuật di truyền .............................. 34
2.4.5. Các giải thuật di truyền lai ................................................................... 38
2.5. Giải thuật di truyền với bài toán tối ƣu ....................................................... 39
2.5.1. Ánh xạ hàm mục tiêu sang hàm phù hợp ............................................. 39
2.5.2. Tỷ lệ hoá giá trị phù hợp...................................................................... 40
2.5.3. Mã hoá tham biến nhờ véctơ nhị phân ................................................. 41

2.5.4. Bài toán tối ƣu ràng buộc..................................................................... 41
2.6. Mạng nơ ron Hopfield - giải thuật di truyền giải bài toán tối ƣu. .............. 42
2.7. Kết luận ......................................................................................................... 44
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG THUẬT GIẢI DI TRUYỀN GIẢI BÀI TỐN PHÂN
CƠNG NHIỆM VỤ ............................................................................................... 45
3.1. Giới thiệu ...................................................................................................... 45
3.2. Đị nh nghĩa bài toán ...................................................................................... 47
3.3. Ứng dụng Thuật giải di truyền vào bài toán ............................................... 48
3.3.1. Mã hóa: ............................................................................................... 49
3.3.2. Tốn tử chọn cá thể ............................................................................. 50
3.3.3. Toán tử lai ghép và toán tử đột biến..................................................... 51
3.3.4. Sƣ̉a chƣ̃a giải pháp .............................................................................. 52
3.3.5. Tìm kiếm cục bộ .................................................................................. 54
3.4. Thí nghiệm và nhận xét ................................................................................ 55
3.4.1. Thí nghiệm .......................................................................................... 55
3.4.2. Nhận xét .............................................................................................. 56
3.5. Kết luận ......................................................................................................... 57
KẾT LUẬN……………………..………………………………………………….58
TÀI LIỆU THAM KHẢO………….….…………………………………………...59

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- iii -

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Các ứng dụng toán tử lai ghép thực hiện trong GGA.

52

Bảng 3.2: Các ứng dụng toán tử đột biến thực hiện trong GGA.

52

Bảng 3.3: Ví dụ về các sở thích của sinh viên

53

Bảng 3.4: Ví dụ về các sở thích của sinh viên

54

Bảng 3.5: Số sinh viên trong nhóm thứ i trong những giải pháp đƣợc
tìm thấy bởi GGA.
Bảng 3.6: So sánh các kết quả thu đƣợc bằng GGA và thuật toán
tham lam GRAH.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

56

57




- iv -

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1: Bản dồ 9 nƣớc chƣa tơ màu.

14

Hình 1.2: Bản dồ 9 nƣớc tơ bởi 4 mầu.

14

Hình 1.3: Đồ thị 6 cạnh.

16

Hình 1.4: Hình (a) và (b) là đồ thị phẳng.

16

Hình 1.5: Đồ thị trên một hàng đơn.

17

Hình 2.1: Mơ hình nơ ron sinh học.

19

Hình 2.2 : Mơ hình một Nơ-ron .

21

Hình 2.3: Mơ hình mạng Hopfield.

25

Hình 2.4: Lƣu đồ mơ tả cấu trúc của giải thuật di truyền.

31

Hình 2.5: Lƣu đồ thuật tốn của q trình chọn lọc.

35

Hình 2.6: Lƣu đồ thuật tốn q trình lai ghép.

36

Hình 2.7: Lƣu đồ thuật tốn của q trình đột biến .

37

Hình 2.8: Lƣu đồ thuật tốn của giải thuật lai.

42

Hình 2.9: Ví dụ về biểu diễn nơ ron của bài tốn với N = 4.

44

Hình 3.1: Ví dụ về sở thích của các sinh viên trong 5 nhóm.

55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-0-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-1-

LỜI NĨI ĐẦU
Trong thực tế có rất nhiều bài tốn phức tạp thuộc lớp bài toán NP- C
và bài toán tối ƣu có ràng buộc, cũng có nhiều cơng trình nghiên cứu để giải
quyết các bài tốn đó. Ví dụ nhƣ: Bài tốn tìm đƣờng đi ngắn nhất, bài tốn
tơ màu bản đồ, bài toán vận tải... Xong các giải thuật đƣa ra thƣờng phức
tạp mà chƣa có thuật tốn đơn giản và hợp lý. Những năm gần đây trên thế
giới đã đƣa ra phƣơng pháp lại mạng Nơ ron Hopfield và thuật giải di truyển
nhằm giải quyết các bài toán tối ƣu thuộc lớp NP-C và đƣợc áp dụng rộng
rãi trong lĩnh vực Công nghệ thông tin. Việc nghiên cứu và áp dụng những
thành tựu mới vào việc phân tích, thiết kế, phân cơng nhiệm vụ là một trong
những vấn đề nóng đang rất đƣợc quan tâm.
Nhận thức đƣợc vấn đề đó và có sự gợi ý, định hƣớng của PGS .TS
Đặng Quang Á em đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài " Phương pháp lai
mạng nơ ron - giải thuật di truyền giải bài toán NP-C và ứng dụng". Nội

dung cơ bản của luận văn gồm có ba chƣơng:
Chƣơng một giới thiệu sơ lƣợc về một số bài toán NP-C, cách tiếp cận
giải các bài toán NP-C nhƣ: bài tốn tơ mầu đồ thị, bài tốn phẳng hóa đồ
thị, bài tốn chọn đồng tiền…, trình bầy các cách tiếp cận tới việc giải quyết
các bài toán nêu trên.
Chƣơng hai giới thiệu sơ lƣợc về mạng nơ ron, mạng nơ ron Hopfield,
giải thuật di truyền. Đặc biệt trình bầy phƣơng pháp lai mạng Hopfield và
giải thuật di truyền giải bài toán tối ƣu.
Chƣơng ba ứng dụng giải thuật di truyền giải bài toán phân lịch thực
hành tại các trƣờng Đại học. Đây là bài tốn có tính ứng dụng thực tế cao
trong nhiều lĩnh vực nhƣ phân công nhiệm vụ trong các đơn vị, xắp sếp lịch
biểu... Bài toán thuộc lớp NP-C. Vì vậy, ứng dụng giải thuật di truyền trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-2-

bài tốn phân cơng nhiệm vụ trong hệ thống tính toán hỗn tạp sẽ hứa hẹn là
một gải pháp khả thi góp phần nâng cao hiệu quả trong cơng việc phân công,
điều hành của con ngƣời.
Qua luận văn này em xin chân thành cảm ơn: PGS .TS Đặng Quang Á Viện Cơng nghệ thơng tin đã tận tình giúp đỡ, động viên, định hƣớng, hƣớng
dẫn em nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo
trong viện Công nghệ thông tin, các thầy cô giáo khoa Công nghệ thông tin
ĐH Thái nguyên, đã giảng dạy và giúp đỡ em trong hai năm học vừa qua,
cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2010
Ngƣời viết luận văn

Lê Thanh Bình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-3-

CHƢƠNG I
GIỚI THIỆU SƠ LƢỢC VỀ CÁC BÀI TOÁN NP-C
1.1. Giới thiệu chung về bài tốn NP-C
Q trình khám phá các bài toán thuộc loại NP-C cho ta biết rằng có rất
ít cơ hội phát triển đƣợc một thuật tốn hiệu quả để giải nó. Điều đó khuyến
khích ta tìm kiếm các heuristic, các lời giải từng phần, các xấp xỉ và những
cách khác nhằm tránh giải trực diện bài toán.
Mỗi lần đƣa thêm một bài toán vào danh sách các bài toán NP-C chúng
ta lại củng cố thêm ý tƣởng rằng tất cả mọi bài tốn NP-C đều địi hỏi thời
gian mũ.
Định nghĩa 1.1: Ta nói L là bài toán thuộc loại NP-complete nếu các
khẳng định sau đều đúng:
1) L thuộc NP.
2) Với mọi ngôn ngữ L' ∈ NP có một phép thu thời gian đa thức L' về L.
Bài toán NP-complete đầu tiên chúng ta sẽ xét là bài toán thỏa SAT
(Boolean satisfiability). Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ngôn ngữ của mọi máy
Turing không đơn định (NTM) thời gian đa thức đều có một phép thu thời
gian đa thức về SAT. Khi đã có đƣợc một số bài tốn thuộc NP-complete
(NP-C) chúng ta có thể chứng minh một bài toán mới thuộc NP-C bằng cách
thu một bài tốn đã biết là NP-C về bài tốn đó nhờ một phép thu thời gian đa

thức [ 1].
Định lý dƣới đây cho biết vì sao một phép thu nhƣ thế chứng minh đƣợc
bài tốn đích là NP-C.
Định lý 1.1: Nếu bài tốn P1 là NP-C, P2 là NP và có một phép thu
thời gian đa thức từ P1 về P2 thì P2 cũng là NP-C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-4-

Chứng minh: Ta cần chứng tỏ rằng mỗi ngôn ngữ L thuộc NP đều thu
đƣợc P2 trong thời gian đa thức. Khi đó theo định nghĩa P2 sẽ thuộc NP-C.
Thật vậy vì P1 là NP-C nên có một phép thu đa thức L về P1. Giả sử thời
gian của phép thu này là P(n). Vì thế một chuỗi W ∈ L có chiều dài n đ-ợc
biến đổi thành một chuỗi x ∈ P1 có chiều dài tối đa là P(n). Ta cũng biết rằng
có một phép thu đa thức từ P1 về P2. Giả sử thời gian của phép thu này là
q(m). Thế thì phép thu này biến đổi chuỗi x ∈ P1 về một chuỗi y nào đó thuộc
P2 với thời gian tối đa là q(p(n)). Vì thế phép biến đổi W ∈ L về y ∈ P2 mất
thời gian tối đa là p(n) + q(p(n)). đây cũng là một đa thức. Nhƣ vậy, ta kết
luận rằng L có thể thu về P2 trong thời gian đa thức.
Định lý 1.2. Nếu có một bài tốn nào đó là NP-C mà lại thuộc lớp P thì
ta có P = NP.
Chứng minh: Giả sử có bài tốn Q ∈ NP-C và Q ∈ P. Thế thì mọi ngơn
ngữ L
trong NP đều thu đƣợc về Q trong thời gian đa thức. Nếu Q ∈ P thì L ∈
P. Nhƣ vậy NP ∈ P. Kết hợp với điều hiển nhiên là P ∈ NP ta đƣợc P = NP.
Nhận xét: Chúng ta vẫn tin tƣởng rằng nhiều bài tốn thuộc NP nhƣng khơng

thuộc P nên chúng ta sẽ xem việc chứng minh một bài tốn là NP-C có giá trị
ngang với việc chứng minh rằng nó khơng thể giải đƣợc trong thời gian đa
thức, và vì thế khơng có lời giải đúng nào bằng máy tính (và ta sẽ chỉ đi tìm
lời giải gần đúng).
1.2. Cách tiếp cận giải bài toán NP-C
1.2.1. Một số khái niệm
Nhƣ đã trình bầy ở phần trên việc tìm nghiệm của các bài tốn NP-C với
kích cỡ đầu vào n tƣơng đối lớn là rất khó khăn, thƣờng là khơng khả thi vì độ
phức tạp có thể nói là hàm mũ. Đây là những bài toán nan giải hay cịn gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-5-

bất trị. Vì thế thay cho việc tìm lời giải đúng (lời giải tối ƣu) ngƣời ta phải tìm
nghiệm gần đúng (lời giải gần tối ƣu) mà có thể chấp nhận đƣợc.
- Giải thuật xấp xỉ: Xét trƣờng hợp dữ kiện I của bài toán tối ƣu P. Gọi
F*(I) là giá trị của lời giải tối ƣu đối với I. Giải thuật G đƣợc gọi là giải thuật
xấp xỉ cho bài tốn P nếu nó ln tạo ra một lời giải khả thi (feasible solution)
mà giá trị 𝐹 (I) của lời giải này gần với F*(I) đối với mọi dữ liệu I của bài toán
P.
- Giải thuật xấp xỉ tuyệt đối: Giải thuật G đƣợc gọi là giải thuật xấp xỉ
tuyệt đối cho bài toán P ↔ với mọi trƣờng hợp I của P tồn tại hằng số K
|F*(I) - 𝐹 (I)| ≤ K
ở đây 𝐹 (I) là giá trị của lời giải do G tạo ra đối với dữ kiện I.
- Giải thuật f(n)-xấp xỉ: Giải thuật G đƣợc gọi là giải thuật f(n)-xấp xỉ
cho bài toán P ↔ với mọi dữ kiện I của bài tốn P thì

|F ∗ I − 𝐹 (I)|
𝐹 (I)

≤𝑓 𝑛 ,

với n là kích thƣớc của I.
- Giải thuật 𝜀 - xấp xỉ là giải thuật f(n)-xấp xỉ nếu f(n) ≤ 𝜀.
1.2.2. Giới thiệu một số thuật toán xấp xỉ giải bài toán NP-C
a. Bài toán phủ đỉnh bé nhất (thuộc NP-C)
Input: Đồ thị vô hƣớng G = (V,E).
Output: Phủ đỉnh bé nhất.
Thuật toán gần tối ƣu: Procedure ApproxVertexCover
C := Ø {C là tập phủ đỉnh gần tối ƣu}
E := Tập các cạnh của G
While E ≠ Ø do
Chọn (u, v) là một cạnh bất kỳ
C := C U {u, v} {kết nạp 2 đỉnh u, v vào phủ đỉnh C}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-6-

Loại bỏ khỏi E cạnh uv và mọi cạnh liên thuộc với u hoặc v
End do
Return(C)
b. Giải thuật tham lam giải các bài tốn tối ưu hóa thuộc loại NP-C
Giải thuật tham lam là một heuristic. GrA (Greedy Algorithm) không
phải ln ln cho lời giải tối ƣu. Thƣờng nó chỉ cho lời giải gần tối ƣu. Khi

nó cho lời giải tối ƣu thì việc chứng minh tính đúng đắn của thuật tốn cũng
khơng đơn giản.
Để mơ tả chính xác GrA cần mơ tả chính xác mơi trƣờng trong đó các
bài toán tối ƣu đặt ra. Trong các bài toán tối ƣu trong ngữ cảnh GrA ngƣời ta
có:
- Tập (danh sách) các ứng viên, thí dụ, các nút, các cạnh trong đồ thị.
- Tập các ứng viên đã sử dụng.
- Một cách để kiểm tra liệu một tập các ứng viên đã cho có lời giải
(khơng nhất thiết là tối ƣu) hay không?
- Một hàm lựa chọn (selection function) để chọn các ứng viên chƣa đƣợc
sử dụng.
- Hàm mục tiêu gán giá trị cho các lời giải.
1.2.3. Các thuật toán gần đúng
a. Heuristic đối với bài toán phủ đỉnh
Bài toán: Cho đồ thị G = (V,E). Tìm tập đỉnh C nhỏ nhất phủ G theo
nghĩa nếu cạnh uv ∈ E ⇒ u ∈ C hoặc v ∈ C.
Thuật toán tham lam:
Input: Đồ thị G = (V,E).
Output: Phủ C của G gần với phủ nhỏ nhất.
begin
C := Ø;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-7-

while E ≠ Ø do
Chọn trong V đỉnh có bậc cao nhất, loại nó ra khỏi G và bổ sung vào C.

end;
Vì mục đích của ta là phủ tất cả các cạnh của G bởi số ít đỉnh nhất nên
chiến lƣợc chọn trên mỗi bƣớc một đỉnh phủ đƣợc nhiều cạnh nhất là hồn
tồn chấp nhận đƣợc. Tất nhiên vì bài tốn là NP-C nên khơng hy vọng là
thuật giải này hiệu quả để đạt đƣợc tập phủ đỉnh bé nhất. Câu hỏi là tập đỉnh
tìm đƣợc gần với tập đỉnh tối ƣu đến mức nào? áp dụng giải thuật trên cho đồ
thị sau:
Đầu tiên chon một trong các đỉnh a1, a2 hoặc a3 có bậc bằng 5. Giả sử ta
chọn a1, a2 rồi a3. Cuối cùng là c1, c2, c3, c4 và c5. Nhƣ vậy phủ đỉnh gồm 8
đỉnh. Nhƣng phủ đỉnh tối ƣu chỉ gồm 5 đỉnh là {b1, b2, b3, b4, b5} nếu mở rộng
thí dụ này và xét đồ thị với n đỉnh loại a, n +2 đỉnh loại b và n +2 đỉnh loại c.
Theo giải thuật 1 ta tìm đƣợc phủ gồm 2n + 2 đỉnh, nhƣng phủ tối ƣu chỉ gồm
n + 2 đỉnh. Vì n khơng giới nội nên sai số có thể đạt gần tới 100%.
Phải chăng đây là phƣơng pháp xấu nhất của giải thuật tham, hay có thể
có sai số lớn hơn?
Xét đồ thị: Đầu tiên chọn a7 với deg(a7) = 5 lớn nhất. Sau khi loại a7 thì
a6 có bậc lớn nhất (bậc 4) rồi a5 (bậc 3),.. Trên mỗi bƣớc trong số các đỉnh có
bậc lớn nhất có một đỉnh loại a, sau đó đƣợc loại bỏ. Cuối cùng phủ đỉnh
đƣợc bổ sung các đỉnh loại c. Kết quả là ta đƣợc phủ đỉnh của G gồm 13 đỉnh,
trong khi phủ tối ƣu chỉ gồm 6 đỉnh {b1, b2, b3, b4, b5, b6}. Nhƣ vậy sai số
vƣợt q 100%.
Để tổng qt hóa phản ví dụ trên đầu tiên ta cần hiểu cấu trúc của nó. Có
thể xem nó nhƣ 6 cạnh cibi (i = 1, 6), đƣợc bổ sung thêm các đỉnh loại a một
cách thích hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

-8-

Đầu tiên 6 cạnh loại b đƣợc phân thành 3 cặp và các đỉnh của mỗi cặp
đƣợc nối với một đỉnh loại a. Sau đó các đỉnh loại b đƣợc chia thành hai bộ ba
và tất cả các đỉnh của mỗi bộ ba nối với một đỉnh a mới. Cũng làm nhƣ vậy
với mỗi bộ bốn, bộ năm..
* Thuật toán
input và output nhƣ thuật toán 1.
begin
c:=Ø ;
while E ≠ Ø do
Chọn trong E cạnh bất kỳ (u, v), rồi loại bỏ các đỉnh u, v từ G và bổ sung
nó vào C
end;
Định nghĩa 1.2. Giả sử A là bài toán tối ƣu với hàm giá trị c là nguyên
dƣơng, A là thuật toán cho giá trị fA(I) đối với dữ kiện I, lời giải tối ƣu là 𝐹 (I).
Khi đó thuật toán A đƣợc gọi là thuật toán 𝜖-xấp xỉ đối với bài toán A nếu
∃ 𝜖 ≥ 0 sao cho
𝑐 𝑓𝐴 𝐼

− 𝑐(𝐹 I )
≤𝜖
𝑐𝐹 (I)

∀𝐼

Thí dụ: Thuật tốn 2 là thuật tốn 1-xấp xỉ, thuật tốn 1 khơng phải là 𝜖 xấp xỉ ∀𝜖 > 0, vì sai số tƣơng đối của nó đối với các bài tốn riêng biệt có thể
lớn hơn hằng số bất kỳ. Để mơ tả trƣờng hợp xấu nhất của thuật tốn đơi khi
ngƣời ta lấy 𝜖 = 𝜖(n). Thí dụ nếu n là số đỉnh trong bài toán phủ đỉnh ngƣời ta
chỉ ra rằng thuật tốn 1 là lnn-xấp xỉ. Có nghĩa là với mọi đồ thị G với n đỉnh

thuật toán cho tập phủ C thỏa mãn
𝐶 − |𝐶 |
|𝐶 |

≤ ln 𝑛,

trong đó 𝐶 là phủ tối ƣu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




-9-

b. Bài toán TSP
Sử dụng các ý tƣởng của mục trƣớc vào bài tốn này. Mục đích: xây
dựng thuật tốn hiệu quả cho kết quả gần đúng.
Xét ma trận cỡ n x n các khoảng cách [dij ], dij > 0. Nhƣ thƣờng lệ ta giả
thiết dij = dji và dii = 0. Ta nói ma trận (dij) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
nếu
dij + djk ≥ dik

∀1≤i, j, k ≤ n.

Bất đẳng thức này thỏa mãn nếu dij là khoảng cách thông thƣờng giữa 2
điểm (xi, yi) và (xj , yj):
dij =

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

2

+ 𝑑𝑖 − 𝑑𝑗

2

Có thể có các ma trận (dij) khác thỏa mãn bất đằng thức tam giác.
Bài tốn: Hãy tìm cách nhận số tiền S đã cho dùng ít tờ tiền nhất với
mệnh giá khác nhau.
c. Thuật toán tham giải bài toán chọn đồng tiền
input: Tổng số tiền S, tập các mệnh giá M = {m1,m2, ...,mn}.
+ Sắp xếp các mệnh giá theo thứ tự giảm dần. Giả sử đó là m1 > m2 > ...
> mn.
+ Nếu mệnh giá bé nhất mn > S thì bài tốn khơng có lời giải. Thuật tốn
kết thúc.
Nếu khác (tức là mn ≤ S) thì chọn các đồng tiền theo thứ tự mệnh giá
giảm cho đến khi đủ S hoặc không thể chọn thêm.
begin
k1 = [S/m1] (số đồng tiền mệnh giá m1).
b=0
for i = 2 to n
b = b + ki-1mi-1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 10 -

Si = S - b (số tiền còn lại sau khi đã chọn các đồng tiền mệnh giá

m1, ...,mi-1)
ki = [Si]/mi ( số đồng tiền mệnh giá mi)
end;
Thí dụ 1.1. S = 298, M = {50, 20, 10, 5, 2, 1}
Bƣớc Mệnh giá mi Số đồng tiền
1
2
3
4
5
6

50
20
10
5
2
1

Tổng giá trị đã có

Giá trị cịn lại

250
290
290
295
297
298

48
8
8
3
1
0

Tổng giá trị đã có
30
30
40

Giá trị cịn lại
10
10
0

5
2
0
1
1
1

Thuật tốn cho lời giải tối ƣu
Thí dụ 1.2. S = 40, M = {30, 20, 5, 2}
Bƣớc
mi
1
30

2
20
3
5
Tổng cộng: 3 tờ tiền

Ki
1
0
2

Phƣơng án tối ƣu hơn: 2 tờ, mỗi tờ mệnh giá 20.
Kết luận: Nhƣ vậy thuật toán tham không phải khi nào cũng cho lời giải
tối ƣu.
Nhƣng khi tập dữ liệu lớn thì thuật tốn nhanh chóng cho lời giải tối ƣu
hoặc gần tối ƣu.
d. Bài toán ba lơ ngun (0-1)
Giả sử ba lơ có dung lƣợng là W. Có các vật b 1, ..., bn với dung lƣợng wi
và giá trị pi (profit). Xếp các vật vào ba lô sao cho đạt tổng giá trị lớn nhất
(giả thiết là các vật không thể chia nhỏ).
Ký hiệu xi là biến quyết định (loại 0-1):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 11 -

xi =

1𝑛ế
𝑢 𝑐𝑕ọ
𝑛 𝑣ậ
𝑡 𝑏𝑖
0 𝑛ế
𝑢 𝑘𝑕á𝑐

Khi đó bài tốn đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Tìm vector x = (x1, x2, ..., xn), xi 𝜖 {0, 1} sao cho
ràng buộc

𝑛
𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1 𝑝𝑖 𝑥𝑖

→ 𝑚𝑎𝑥 với

≤ 𝑊.

e. Các phương pháp tham (GrM) đối với bài tốn ba lơ 0-1
GrM dựa trên việc đặt các vật vào ba lô từng cái một.
Các chiến lƣợc chọn vật đặt vào ba lô:
* Greedy-by-profit: Tại mỗi bƣớc chọn trong các vật còn lại vật có giá trị
lớn nhất (với điều kiện dung lƣợng của ba lô cho phép).
* Greedy-by-weight: Tại mỗi bƣớc chọn vật có trọng lƣợng bé nhất trong
các vật cịn lại. Đặt càng nhiều vật vào ba lô càng tốt.
* Greedy-by-profit-density: Tại mỗi bƣớc chọn trong số các vật còn lại
vật có mật độ giá trị di = pi/wi lớn nhất.

Thí dụ 1.3. Cho các vật trong bảng và W = 100.
i
wi
pi
1
100
40
2
50
35
3
45
18
4
20
4
5
10
10
6
5
2
* Greedy-by-profit-density

di = pi/wi
0.4
0.7
0.4
0.2
1.0

0.4

Step 0: x1 = x2 = ... = x + 6 = 0
Bƣớc

Biến

1
2
3
4

x5 = 1
x2 = 1
x6 = 1
x4 = 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

𝒘𝒊 𝒙𝒊

10
60
65
85

𝒑𝒊 𝒙𝒊

10
45

47
51



- 12 -

* Greedy-by-profit
Start: x1 = x2 = ... = x + 6 = 0
𝒘𝒊 𝒙𝒊

Bƣớc

Biến

1

x1 = 1

𝒑𝒊 𝒙𝒊

100

40

* Greedy-by-weight
𝒘𝒊 𝒙𝒊

Bƣớc

Biến

1
2
3
4

x6 = 1
x5 = 1
x4 = 1
x3 = 1

𝒑𝒊 𝒙𝒊

5
15
35
80

2
12
16
34

Nhận xét 1. Greedy-by-profit-density tốt hơn theo profit hoặc theo
weight nhƣng còn xa mới tới giá trị tối ƣu khi W = 100 và profit = 55.
Bảng dƣới đây trình bày 4 lời giải:
i

wi

pi

di

G-profit

G-weight

G-density

Optimal
solution

1
2
3
4
5
6

100
50
45
20
10
5

40
35

18
4
10
2

0.4
0.7
0.4
0.2
1.0
0.4

1
0
0
0
0
0
100
40

0
0
1
1
1
1
80
34

0
1
0
1
1
1
85
51

0
1
1
0
0
1
100
55

Total weight
Total profit

Nhận xét 2. Bài toán ba lơ 0-1 là bài tốn NP-C, do đó có thể khơng có
lời giải tối ƣu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 13 -

1.2.4. Tơ mầu đồ thị với bài tốn 4 mầu
a. Giới thiệu
Lịch sử xuất hiện giả thuyết bốn màu cịn nhiều điều chƣa rõ. Có ý kiến
cho rằng Mobious đã biết bài toán này từ năm 1852 khi Francis Guthrie, một
sinh viên trƣờng Tổng hợp London trình bày bài tốn này cho Augustus De
Morgan, và ơng này đã mơ tả nó trong thƣ gửi cho Hamilton. (Lại có ý kiến
khác cho rằng bài toán này xuất hiện vào khoảng những năm 1850-1852 từ
một nhà buôn ngƣời Anh là Gazri khi tơ bản đồ hành chính nƣớc Anh đã cố
gắng chứng minh rằng nó có thể tơ bốn màu. Sau đó, năm 1952 ơng ta đã viết
thƣ cho DeMorgan để thông báo về giả thuyết này). Năm 1878 Kelly, nhà
toán học nổi tiếng ngƣời Anh đã phát biểu trƣớc hội tốn học London với
thơng báo rằng ơng đã suy nghĩ nhiều ngày về bài tốn bốn màu nhƣng khơng
thể giải đƣợc.
Tính hấp dẫn của bài tốn này nằm ở tính dễ hiểu trong cách phát biểu
bài tốn : “Cần chứng minh rằng một đồ thị phẳng bất kỳ có thể tô bởi bốn
màu sao cho hai đỉnh kề nhau có hai màu khác nhau”. Để giả bài tốn này, có
hai khuynh hƣớng :
1. Đối với một đồ thị phẳng bất kỳ, xây dựng thuật tốn thực hiện việc tơ
màu các đỉnh bởi bốn màu.
2. Chứng minh sự tồn tại của phép tơ màu đó.
Tóm lại, bài tốn bốn màu được phát biểu như sau:
Phát biểu bài toán bốn màu:
Cho một bản đồ trong đó có N nƣớc. Cần tơ màu cho các nƣớc sao cho
hai nƣớc kề nhau (tức là có chung biên giới) đƣợc tơ bởi hai màu khác nhau,
nhờ đó có thể phân biệt các vùng một cách dễ dàng.
Bài tốn sẽ khơng cịn tồn tại nếu nhƣ có số lƣợng màu lớn. Tuy nhiên,
sẽ thực sự khó khăn với ràng buộc rằng phải sử dụng số màu là nhỏ nhất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

- 14 -

b. Cách tiếp cận giải bài toán bốn màu
Các nhà toán học đã chứng minh rằng một bản đồ bất kỳ có thể tơ bởi 4
màu.
Ví dụ bản đồ 9 nƣớc tơ bởi bốn màu nhƣ hình 1.2

2

1

3
4
5

9

8

6
7

Hình 1.2: Bản dồ 9 nƣớc tơ bởi 4 màu

Hình 1.1: Bản dồ 9 nƣớc chƣa tô
màu

Trƣớc hết ta sẽ mô hình hố bài tốn này nhƣ một bài tốn thoả mãn
ràng buộc.
Ký hiệu X là chỉ số miền cần tô màu (X= 1,2...N)
i là chỉ số màu (i=1,2,3,4)
Ký hiệu dXY là biến đặc trƣng cho sự kề cận của hai miền X và Y
1 nÕu miÒn X, Y kÒ nhau (cã chung biª n giíi)
dX Y  
 0 nÕu kh¸c

Ta đƣa vào các biến nhƣ sau:
 1 nÕu miỊn X d-ợc tô bởi màu i
VX i
0 nếu kh¸c

Bài tốn tơ màu đƣợc đặt ra là tìm VXi ( X  1, N; i  1,4 ) thoả mãn các
ràng buộc.
 Mỗi miền phải tô một màu

4

V
i 1

X i

1,

X  1, N .

(1.1)

 Hai miền kề nhau phải tơ bởi hai màu khác nhau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 15 -

4 N N
   d XY VX i VY i  0 .
i 1 X 1 Y 1

(1.2)

Y #X

Vì vế trái của ràng buộc (1.2) khơng âm (do VXi, VYi, dXY  0) và giá trị
nhỏ nhất của nó là 0. Bài tốn thoả mãn ràng buộc trên có thể phát biểu dƣới
dạng bài tốn tối ƣu hoá
4 N N
   d XY VX i VY i
i 1 X 1 Y 1

 min ,

(1.3)

Y #X

với ràng buộc:

4

V
i 1

X i

1,

X  1, N

Bài tốn tối ƣu có thoả mãn ràng buộc trên đƣợc dẫn đến bài toán khơng
có ràng buộc sau:
Tìm VXi  {0,1} sao cho
2

4 N N

A N 4
E     V  1  B    d XY V X i VY i  min

2 X 1  i 1 X i
i  1 X  1 Y 1

X Y

với

,

(1.4)

A
 0 là hệ số phạt khi ràng buộc bị phá vỡ.
2

1.2.5. Bài tốn phẳng hóa đồ thị
a. Giới thiệu
Phẳng hố đồ thị là một trong những bài toán quan trọng trong việc thiết
kế mạch điện tử và định tuyến tối ƣu mạch tổ hợp.
Một cách tổng qt bài tốn phẳng hóa đồ thị đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Từ một đồ thị cho trƣớc (là đồ thị phẳng hoặc không phẳng), hãy tìm ra một
đồ thị con lớn nhất để có thể phẳng hố đƣợc, sau đó phẳng hóa đồ thị con đó
sao cho khơng có cạnh nào cắt nhau khi biểu diễn chúng trên cùng một mặt
phẳng.
Với đồ thị không phẳng cho trƣớc, để thực hiện phẳng hố nó, trƣớc hết
ta phải chọn từ nó một đồ thị con lớn nhất có thể phẳng hóa đƣợc. Đồ thị con
này đƣợc chọn sao cho số cạnh của nó là lớn nhất, tƣơng đƣơng với số cạnh bị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 16 -

loại bỏ khỏi đồ thị cho trƣớc là nhỏ nhất. Nhƣ vậy bài tốn tìm một đồ thị con
lớn nhất từ một đồ thị không phẳng cho trƣớc sau đó phẳng hố nó là một bài
tốn thuộc lớp bài toán NP- đầy đủ.

b. Cách tiếp cận giải bài tốn phẳng hóa đồ thị
Nhƣ vậy để phẳng hố một đồ thị ta phải thực hiện các bƣớc sau:
- Với một đồ thị cho trƣớc kiểm tra xem nó có phẳng hay khơng, nếu
khơng phẳng, ta tìm một đồ thị con lớn nhất có thể phẳng hố đƣợc.
- Biểu diễn đồ thị tìm đƣợc lên mặt phẳng sau đó thực hiện phẳng hố.
Ví dụ:
Giả sử ta có một đồ thị gồm sáu cạnh và bốn đỉnh đƣợc biểu diễn bởi các
hình sau:
1

2

4

3

Hình 1.3: Đồ thị 6 cạnh

Hình (1.3) là đồ thị phẳng nếu nhƣ hai cạnh (1,3) và (2,4) không cắt
nhau.
1

2

4

3

1

2

4

3

(a)

(b)

Hình 1.4: (a) và (b) là đồ thị phẳng.
Để giải bài toán phẳng hoá đồ thị, ngƣời ta đƣa ra một phƣơng pháp biểu
diễn đồ thị, đó là phƣơng pháp biểu diễn đồ thị trên một hàng đơn (single –
row- routing representation). Các đỉnh của một đồ thị đƣợc đặt trên cùng một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 17 -

hàng và đƣợc sắp xếp theo thứ tự, các cạnh của đồ thị đƣợc biểu diễn bởi các
đƣờng nối trên và các đƣờng nối dƣới. Với phƣơng pháp này đồ thị hình (1.3)
đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
đƣờng nối trên

1

2

3

4

đƣờng nối dƣới

Hình 1.5: Đồ thị phẳng trên một hàng đơn

1.3. Kết luận
Nội dụng của chƣơng tập trung vào giới thiệu sơ lƣợc về một số bài toán
NP-C, cách tiếp cận giải bài tốn NP-C nhƣ bài tốn tơ mầu đồ thị, bài tốn
phẳng hóa đồ thị, bài tốn ba lơ, bài tốn chọn đồng tiền…
Giới thiệu một số thuật toán giải bài toán NP-C nhƣ thuật toán xấp xỉ,
thuật toán gần đúng, giải thuật tham lam và một số cách tiếp cận giải bài toán
tối ƣu thuộc loại NP-C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




- 18 -

CHƢƠNG II
MẠNG NƠ RON VÀ THUẬT GIẢI DI TRUYỀN GIẢI
BÀI TOÁN TỐI ƢU
2.1. Giới thiệu về mạng nơ-ron
2.1.1. Lịch sử phát triển
Quá trình nghiên cứu và phát triển mạng nơ-ron nhân tạo có thể chia
thành bốn giai đoạn nhƣ sau:

+ Giai đoạn một: Có thể tính từ nghiên cứu của William (1890) về tâm lý
học với sự liên kết các nơ-ron thần kinh. Năm 1940, MeCulloch và Pitts đã
cho biết: nơ-ron có thể đƣợc mơ hình hố nhƣ thiết bị ngƣỡng (giới hạn) để
thực hiện các phép tính logic và mơ hình mạng nơ-ron của Mc Culloch-Pitts
cùng với giải thuật huấn luyện mạng của Hebb ra đời năm 1943.
+ Giai đoạn hai: Vào khoảng gần những năm 1960, một số mơ hình nơron hồn thiện hơn đã đƣợc đƣa ra nhƣ: mơ hình Perceptron của Rosenblatt
(1958), Adaline của Widrow (1962).
+ Giai đoạn ba: Có thể tính vào khoảng đầu thập niên 80. Những đóng
góp lớn cho mạng nơ-ron trong giai đoạn này phải kể đến Grossberg,
Kohonen, Rumelhart và Hopfield. Trong đó đóng góp lớn của Hopfield gồm
hai mạng phản hồi: mạng rời rạc năm 1982 và mạng liên tục năm 1984. Đặc
biệt, ông đã dự kiến nhiều khả năng tính tốn lớn của mạng mà một nơ-ron
khơng có khả năng đó.
+ Giai đoạn bốn: Tính từ năm 1987 đến nay, hàng năm thế giới đều mở
hội nghị toàn cầu chuyên ngành nơ-ron IJCNN (International Joint
Conference on Neural Networks). Rất nhiều cơng trình đƣợc nghiên cứu để ứng
dụng mạng nơ-ron vào các lĩnh vực, ví dụ nhƣ: kỹ thuật tính, tối ƣu, sinh học, y
học, thống kê, giao thơng, hố học… Cho đến nay, mạng nơ-ron đã tìm đƣợc và
khẳng định đƣợc vị trí của mình trong rất nhiều ứng dụng khác nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên