Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian lorentz minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG VĂN CƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TỒN CỤC
CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI
TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Nghệ An - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG VĂN CƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TỒN CỤC
CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI
TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số: 62 46 10 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
TS. NGUYỄN DUY BÌNH

Nghệ An - 2013


i
MỤC LỤC
Mục lục

i

Lời cam đoan

iii

Lời cảm ơn

iv

Mở đầu

1

1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3

Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7

Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7.1

Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7.2

Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1

Kiến thức cơ sở

11

1.1

Không gian Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

Các độ cong của mặt trong Rn+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

16

a)

Độ cong liên kết với một trường vectơ pháp . . . . . . . . . .

16

b)

Elip độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Kết luận chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2

Xây dựng ánh xạ ν-Gauss nhận giá trị trên HSr , trên LSr và

tính chất hình học của mặt ν-rốn

2.1

23

Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên HSr và mặt n±
r -rốn . . . . . . . . .

25

a)

Ánh xạ n±
r -Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

b)

Mặt n∗r -dẹt đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27


ii

c)

Mặt n∗r -rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

d)

Một số ví dụ mặt ν -rốn trong R41 . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Ánh xạ Gauss nhận giá trị trên LSr và mặt l±
r -rốn . . . . . . . . . .

40

a)

Ánh xạ l±
r -Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

b)

Mặt l∗r -rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Mặt rốn đối chiều hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận chương 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2

2.3

Chương 3

Tính chất hình học của mặt ν-phẳng trong R41

49

3.1

Mối liên hệ giữa mặt ν -rốn và mặt ν -phẳng . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2

Tính phẳng của mặt trong khơng gian 4-chiều . . . . . . . . . . . .

54

a)

Tính phẳng của mặt trong R4 . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

b)

Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R41 . . . . . . . .

58

Một số ví dụ về mặt ν -phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Kết luận chương 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong R41

68

3.3

Chương 4

4.1

Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.2

Mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

a)

Mặt tròn xoay kiểu hypebolic . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

b)

Mặt tròn xoay kiểu eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

c)

Mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng . . . . . . . . . . . . .

84

Kết luận chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Danh mục các cơng trình của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án . .

90

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95


iii

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, các kết quả trình
bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng
và luận án không trùng lặp với bất kì tài liệu nào khác.

Tác giả


iv

LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS. TS. Đồn Thế Hiếu và thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Sự định hướng

của quý Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của các Thầy trong học tập và
sự hướng dẫn tận tình của quý Thầy trong làm việc là những yếu tố cơ bản nhất
tác động nên việc hoàn thành luận án. Thêm vào đó là tình u thương của hai
Thầy dành cho tác giả trong cuộc sống đã cho tác giả có sức mạnh để vượt qua
rất nhiều khó khăn trong học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất đến với hai Thầy.
Luận án như là món quà tác giả tặng đến gia đình mình, những người đã dành
cho tác giả những gì tốt nhất trong quá trình học tập. Cảm ơn người vợ thân yêu
đã nỗ lực hết sức một mình chăm sóc gia đình trong suốt thời gian tác giả đi học.
Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán và Khoa Sau đại học - Trường Đại học
Vinh, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Tác giả gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Duy Tân và Khoa Khoa học tự
nhiên - Trường Đại học Duy Tân, nơi tác giả công tác giảng dạy và cũng là nơi cử
tác giả đi làm nghiên cứu sinh.
Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Huế, nơi tác
giả đã dành nhiều thời gian làm nghiên cứu.
Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Huỳnh Phán, PGS. TS.
Nguyễn Hữu Quang, GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, TS. Kiều Phương Chi và PGS.
TS. Trần Văn Ân đã dành thời gian đọc luận án và cho tác giả những nhận xét
quý báu.
Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất cả các nhà khoa học, thầy cơ, người thân, bạn
bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũng như vật chất dành cho
tác giả.

Nghệ An, tháng 01 năm 2013
Đặng Văn Cường


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phương và tồn cục của mặt là một trong những
vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phương của mặt là những tính chất
liên quan đến tham số hóa địa phương của mặt, cịn tính chất tồn cục là những tính
chất thể hiện trên tồn bộ mặt mà khơng chịu sự chi phối của tham số hóa địa phương.
Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong những cơng cụ cơ bản
để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt là ánh xạ Gauss. Ánh xạ Gauss đưa đến
các khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính,. . . .
Với các mặt đối chiều một, mặt trong R3 và siêu mặt trong Rn , ánh xạ Gauss đã chứng
tỏ là một cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng. Chẳng hạn,
dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận được kết quả: một mặt chính quy trong R3
là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một
mặt phẳng.
Đối với các tính chất tồn cục của mặt, một trong những cơng cụ để tìm được mối
liên hệ giữa tính chất địa phương với tính chất toàn cục là trường Jacobi dọc theo một
đường trắc địa. Thơng qua cơng cụ này một số tính chất toàn cục của mặt trong R3 đã
được đưa ra trong lý thuyết hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy
trong R3 có độ cong Gauss đồng nhất bằng khơng khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển.
Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp mặt kiểu khơng
gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski, tương tự như trường hợp của
mặt trong R3 , là một trong những vấn đề được chúng tơi quan tâm.
1.2 Hình học của mặt trong R4 đã được quan tâm nghiên cứu trong một số cơng trình
như: [10], [31], [32], [38], [34], [26], [30], [39]. . . . Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả

1


2

chính đã đạt được trong lĩnh vực này như sau. Vào năm 1969, Little [26] đã xây dựng
các bất biến hình học, chẳng hạn như elip độ cong, để nghiên cứu tính kỳ dị của đa tạp

con đối chiều hai trong khơng gian Ơ-clít. Cũng trong [26] tác giả đã chỉ ra được rằng
mặt trong R4 thoả mãn điều kiện mọi trường vectơ pháp là trường trùng pháp khi và chỉ
khi nó là một mặt kẻ khả triển. Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác trong
[31] đưa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trường trùng pháp của mặt trong
R4 . Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiện cần và đủ để mặt trong R4
chấp nhận đúng hai trường trùng pháp là lồi ngặt địa phương. Các kết quả này được mở
rộng lên mặt đối chiều hai trong Rn+2 bởi Mochida và một số tác giả khác trong [32] vào
năm 1999. Hướng nghiên cứu này được tiếp tục bởi Romero-Fuster và Sánchez-Brigas [38]
vào năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt. Trong [38] các tác giả đã chỉ ra
mối quan hệ tương đương giữa các lớp mặt: ν-rốn, tồn tại hai phương tiệm cận trực giao
với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độ cong pháp đồng nhất bằng không. Đến năm 2010,
Nuno-Ballesteros và Romero-Fuster [34] xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature
locus), nó là một mở rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai trong Rn+2 ,
để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai. Trong bài báo này các tác giả
cũng đã chuyển một số kết quả trong [38] lên đa tạp con đối chiều hai trong Rn+2 .
Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R4 lên mặt kiểu không gian đối
chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski là một trong những vấn đề chúng tôi quan
tâm nghiên cứu.
1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai
trong không gian Lorentz-Minkowski đã được công bố, chẳng hạn như [17], [20], [21], [22],
[24], [23],. . . . Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này như sau. Bằng
cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trường vectơ pháp để nghiên cứu
mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004 Izumiya và một số tác giả khác trong
[20] đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một giả cầu thì nó là mặt ν-rốn, trong đó ν là
trường vectơ vị trí của mặt. Với chiều ngược lại của mệnh đề này, các tác giả trong [20]
bổ sung thêm giả thiết song song của ν để mặt ν-rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài
báo này các tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong cho mặt
kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski số chiều lớn hơn 3 và chỉ
ra mối liên hệ giữa mặt ν-rốn và mặt nửa rốn, nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành
một đoạn thẳng. Xuất phát từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian

3

đối chiều hai là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra được rằng nó có một cơ sở giả
trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thời gian. Bằng cách sử dụng
tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này của mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya
và một số tác giả trong [21], đã xây dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên
cứu khái niệm dẹt trên các mặt kiểu khơng gian đối chiều hai.
Tìm cách xác định một trường vectơ pháp trên mặt kiểu không gian đối chiều hai,
xem như ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu các tính chất hình học của mặt,
cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm.
1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa trong mặt phẳng, của một đường cong trong
R3 là một bài toán cổ điển của hình học vi phân. Tính phẳng của đường cong phụ thuộc
vào độ xoắn của đường cong, đường cong là phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó bằng
khơng. Điều này tương đương với trường vectơ trùng pháp của đường cong là trường vectơ
hằng. Ngồi ra một số tính chất của mặt phẳng mật tiếp của đường cong cũng cho chúng
ta một số điều kiện đủ để đường cong phẳng.
Tìm kiếm các điều kiện đủ để một mặt kiểu không gian trong R41 chứa trong một siêu
phẳng cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm.
1.5 Việc nghiên cứu các lớp mặt đặc biệt trong không gian, chẳng hạn mặt kẻ, mặt tròn
xoay, . . . , cũng là một trong những vấn đề được các nhà hình học quan tâm. Khi xây
dựng một cơng cụ nào đó để nghiên cứu các lớp mặt, cơng cụ đó thực sự có giá trị nếu
nó có thể đưa ra một phân loại cho các lớp mặt đặc biệt này. Chúng tơi cũng mong muốn
đưa ra các định lí phân loại cho các lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn như mặt kẻ cực đại, mặt
tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn trên các lớp mặt này.
Bởi các lý do nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Một số tính chất địa phương và tồn
cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski” làm đề tài luận
án tiến sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này chúng tơi nghiên cứu một số tính chất hình học của mặt đối chiều
hai trong khơng gian Lorentz-Minkowski với các mục đích sau.
(1) Xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính chất hình học của
mặt kiểu không gian đối chiều hai.


4

(2) Nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, đưa ra một
số kết quả phân loại mặt kiểu không gian ν-rốn đối chiều hai và mặt kiểu không
gian rốn đối chiều hai.
(3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng.
(4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong khơng gian R4 sau
đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R41 .
(5) Sử dụng các kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu để ứng dụng vào việc khảo
sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu không gian đặc biệt trong không
gian Lorentz-Minkowski R41 , đó là mặt kẻ và mặt trịn xoay.

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian đối chiều hai; các
công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai; các tính chất hình học của mặt
kiểu khơng gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski. Vậy nên, nếu không
được nhắc lại, đối tượng mặt trong luận án được hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều
hai.

4. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này chúng tơi nghiên cứu một số tính chất địa phương và tồn cục
trên mặt kiểu khơng gian đối chiều hai, nghiên cứu một số lớp mặt kiểu không gian đối
chiều hai đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski.

5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài. Bằng
cách sử dụng các công cụ là các độ cong trên mặt, chẳng hạn độ cong liên kết với một
trường vectơ pháp; elip độ cong; độ cong Gauss, chúng tơi tìm kiếm các tính chất hình
học của mặt đối chiều hai thoả mãn tương ứng các điều kiện của các độ cong này cũng
như mối liên hệ giữa các lớp mặt đó.


5

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1 Luận án góp phần giải quyết các bài tốn của mặt đối chiều hai trong không gian
Lorentz-Minkowski sau:
(1) Đưa ra hai phương pháp để xác định một trường vectơ pháp khả vi trên phân thớ
pháp của mặt đối chiều hai, đó là một cặp trường vectơ pháp kiểu không gian và
một cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng.
(2) Sử dụng trường vectơ pháp ν (được xác định ở trên) vào việc nghiên cứu khái niệm
dẹt trên mặt và đưa ra một số định lí thể hiện được tính chất hình học của mặt
ν-dẹt.
(3) Đưa ra một số định lí có tính phân loại đối với các mặt chứa trong một giả cầu thoả
mãn điều kiện ν-rốn hoặc mặt thoả mãn điều kiện rốn.
(4) Đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp.
Xác định quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng.
(5) Đưa ra các điều kiện đủ để mặt trong R4 và R41 thuộc một siêu phẳng.
(6) Đưa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểu khơng gian
đặc biệt trong R41 bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu
eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) rốn. Chỉ ra số lượng
trường trùng pháp trên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypebolic hoặc eliptic). Đưa
ra các điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp trên mặt tròn xoay với

kinh tuyến phẳng. Xác định các trường vectơ pháp ν trên mặt kẻ và mặt tròn xoay
để chúng là mặt ν-rốn.
6.2 Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, cho học viên cao học và nghiên
cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.


6

7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Phần kiến thức cơ sở của luận án được giới thiệu trong chương 1. Đây là khối kiến
thức rất căn bản nhưng nó được sử dụng nhiều trong luận án nên khơng thể bỏ qua. Đóng
góp của luận án được trình bày trong các chương 2, 3 và 4. Trong chương 2, chúng tôi
đưa ra hai phương pháp để xác định một cặp trường vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp
kiểu không gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trường vectơ pháp
này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-rốn, mặt rốn. Chương 3 đưa ra một tiêu
chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp trên mặt là trường trùng pháp, nghiên cứu mối
quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng đồng thời xác định số lượng trường trùng pháp
trên mặt ν-rốn. Cũng trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ để một mặt
trong không gian 4-chiều, R4 và R41 , chứa trong một siêu phẳng. Trong chương 4, chúng
tơi khảo sát một số tính chất hình học của hai lớp mặt đặc biệt trong R41 , đó là mặt kẻ
kiểu khơng gian và mặt trịn xoay kiểu không gian.
7.1.1 Việc nghiên cứu lớp mặt ν-rốn đối chiều hai, trước hết cần kể đến các tác giả
Izumiya, Pei, Romero-Fuster,. . . trong các bài báo [18], [17], [20], [21], [22], [23],. . . . Các
tác giả đã giả sử trên mặt tồn tại một trường vectơ pháp ν (kiểu không gian, kiểu thời
gian hoặc kiểu ánh sáng), xây dựng các độ cong liên kết với trường vectơ pháp ν, sau đó
đưa ra một số tính chất hình học của mặt ν-rốn. Tuy nhiên, sự tồn tại các trường vectơ
pháp ν như thế nào thì chưa được nhắc đến. Điều này có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhưng
lại khó khăn khi thực hành tính tốn trên các mặt cụ thể. Cho đến thời điểm này, khi
cho một mặt dưới dạng tham số hoá, việc xác định một trường vectơ pháp trên mặt đồng

thời kiểm sốt được thuộc tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng) của
nó vẫn đang là vấn đề chưa được nghiên cứu cụ thể. Trong Chương 2 của luận án này
chúng tôi đưa ra hai phương pháp để xác định hai cặp trường vectơ pháp trên một mặt
được cho dưới dạng tham số, đó là một cặp trường vectơ pháp kiểu khơng gian và một
cặp trường vectơ pháp kiểu ánh sáng. Điều này có ý nghĩa về mặt thực hành, khi cho
một mặt tham số chúng ta sẽ xác định được trường vectơ pháp cụ thể trên mặt (kiểu
không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính được các độ cong liên kết với nó để nghiên
cứu các tính chất hình học của mặt. Quá trình này được tổng quan lại như sau: Với mỗi
điểm p ∈ M, mặt phẳng pháp Np M của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ


7

cắt n-không gian hypebolic tâm v = (0, 0, . . . , 0, −1) bán kính R = 1 (t.ư. nón ánh sáng)
theo một hypebol (t.ư. hai tia). Với một số thực r > 0, siêu phẳng {xn+1 = r} cắt hypebol
±
(t.ư. hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n±
r (t.ư. lr ). Chúng ta chứng minh được các
±
trường vectơ n±
r (t.ư. lr ) là các trường vectơ kiểu không gian (t.ư. kiểu ánh sáng) khả

vi (Định lí 2.1.3) và vì vậy có thể tính tốn các độ cong liên kết với chúng để tiến hành
nghiên cứu mặt n∗r -rốn và mặt l∗r -rốn. Không cần giả thiết n∗r là trường vectơ pháp song
song (như trong [20]), M là mặt n∗r -dẹt khi và chỉ khi n∗r là trường vectơ hằng, điều này
tương đương với M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không chứa trục xn+1 (Định
lí 2.1.5). Chúng tơi cũng đưa ra một số điều kiện tương đương để các mặt chứa trong một
giả cầu hypebolic là mặt n∗r -rốn (Định lí 2.1.12). Vì n∗r không là trường vectơ pháp song
song nên nếu M là mặt n∗r -rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong một giả cầu)
hàm độ cong n∗r -chính khơng là hàm hằng. Định lí 2.1.14 cho chúng ta các tính chất hình

học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic thoả mãn điều kiện n∗r -rốn và độ cong n∗r -chính
là hàm hằng. Với mặt khơng giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n∗r -rốn và n∗r song
song tương đương với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolic với một
siêu phẳng {xn+1 = c} (Định lí 2.1.15). Chúng tơi cũng đưa ra một điều kiện tương đương
với điều kiện song song của n∗r (Định lí 2.1.16). Để có một phân lớp giữa mặt: ν-rốn; mặt
rốn; mặt chứa trong giả cầu và mặt ν-rốn với hàm độ cong hằng, chúng tơi đưa ra các ví
dụ trong mục d). Các kết quả nhận được là tương tự khi sử dụng trường vectơ pháp l∗r
để nghiên cứu mặt l∗r -rốn. Điều này được thể hiện trong các Định lí 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9.
Điều đáng lưu ý ở đây là ánh xạ l±
r -Gauss thực sự hữu dụng với lớp mặt chứa trong giả
cầu de Sitter, nơi mà sử dụng ánh xạ n∗r -Gauss có phần khơng thuận lợi trong việc khảo
sát khái niệm rốn của mặt. Tổng hợp các kết quả về mặt ν-rốn và kết hợp với sự tồn tại
trường mục tiêu gồm các trường vectơ song song trên một liên thông dẹt, chúng tôi nhận
được đặc trưng hình học của mặt rốn đối chiều hai trong Định lí 2.3.2.
7.1.2. Trong Chương 3 của luận án chúng tôi đưa ra một điều kiện để kiểm tra một
trường vectơ pháp là trường trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt
ν-phẳng và phát triển một số kết quả trong [29], [31], [32], [38], [34] về mặt trong R4 lên
mặt trong R41 , nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trong một siêu phẳng
và phát triển lên mặt kiểu không gian trong R41 .
Trước hết, sử dụng tích ngồi của 3 vectơ, chúng tôi đưa ra một điều kiện để kiểm
tra một trường vectơ pháp có phải là trường trùng pháp hay không (Mệnh đề 3.1.2). Về


8

quan hệ bao hàm giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt ν-rốn
(khơng ν-dẹt) ln tồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trường trùng pháp, tức nó là một
mặt ν-phẳng. Hơn thế, chúng tơi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại các mặt ν-phẳng
nhưng trên nó khơng tồn tại bất kỳ trường vectơ pháp ν nào để nó là mặt ν-rốn. Điều
này có nghĩa lớp mặt ν-rốn chứa trong lớp mặt ν-phẳng, nhưng chiều ngược lại thì khơng

đúng. Ngồi ra, Mệnh đề 3.1.10 cịn cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn
toàn phẳng.
Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian
bốn chiều chứa trong một siêu phẳng. Trước hết, chúng tơi có các ví dụ để chỉ ra rằng
việc mở rộng các điều kiện đủ để đường cong trong R3 chứa trong một siêu phẳng lên
mặt trong trong không gian 4-chiều chứa trong một siêu phẳng nói chung là khơng đúng
(Ví dụ 3.2.1, 3.2.2). Từ tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc, Mệnh đề 3.2.5 cho chúng
ta hai điều kiện đủ để một mặt là mặt ν-dẹt. Mở rộng lên tính chất của các siêu phẳng
ν-pháp trên mặt, Mệnh đề 3.2.6 cho các điều kiện để để mặt là mặt ν-phẳng. Tuy vậy, các
điều kiện này chưa đủ để suy ra mặt chứa trong siêu phẳng. Bằng cách bổ sung các điều
kiện mạnh hơn, chúng tôi nhận được bốn điều kiện đủ để một mặt trong R4 chứa trong
một siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7). Ý tưởng của việc đưa ra các điều kiện này xuất phát từ
việc mở rộng các kết quả về điều kiện phẳng của đường cong trong R3 . Mặc dù các kết
quả của các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7 được phát biểu cho mặt trong R4 nhưng nó vẫn
đúng đối với mặt kiểu không gian trong R41 . Khi trường vectơ pháp là trường vectơ kiểu
không gian hoặc kiểu thời gian thì các kết quả tính chất của mặt trong trong R4 và mặt
kiểu khơng gian trong R41 nói chung là trùng nhau. Sự khác biệt về tính chất của mặt
kiểu không gian trong R41 với mặt trong R4 thể hiện khi trường vectơ pháp của mặt là
trường kiểu ánh sáng. Các Mệnh đề 3.2.13 và 3.2.15 đưa ra các điều kiện chứa trong siêu
phẳng của mặt kiểu không gian nhưng nó chỉ đúng khi trường vectơ pháp là trường vectơ
kiểu ánh sáng. Chúng tơi cũng đưa ra các ví dụ để chỉ ra các kết quả này không đúng đối
với mặt trong R4 cũng như đối với mặt kiểu không gian mà trường vectơ pháp không là
trường kiểu ánh sáng.
Phần cuối của Chương 3 chúng tôi đưa ra các ví dụ minh hoạ cho các kết quả đạt
được, các phản ví dụ cho các kết quả cũng như khẳng định tính tối ưu của các giả thiết
được đưa ra trong các mệnh đề và các định lí.
7.1.3. Việc khảo sát các tính chất hình học cũng như tìm kiếm các kết quả có tính phân


9

loại các lớp mặt cụ thể, chẳng hạn mặt kẻ hay mặt tròn xoay, là một trong các vấn đề
được các nhà hình học thực sự quan tâm. Như một ứng dụng của Chương 2 và Chương
3, trong Chương 4 chúng tơi tập trung khảo sát một số tính chất hình học của mặt kẻ và
mặt trịn xoay kiểu khơng gian trong R41 . Tương ứng với các điều kiện cụ thể, Mệnh đề
4.1.3 xác định số lượng phương trùng pháp tại mỗi điểm trên mặt kẻ. Mệnh đề 4.1.5 chỉ
ra rằng điều kiện cần và đủ để một mặt kẻ cực đại là nó cực đại trong một siêu phẳng
kiểu không gian, lớp mặt kẻ kiểu không gian ν-rốn và rốn là trùng nhau. Với mặt tròn
xoay trong R41 , chúng tơi xét hai loại mặt, đó là xoay một đường cong trong không gian
ba chiều quanh một mặt phẳng (mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic) và xoay
một đường cong phẳng đồng thời quanh hai mặt phẳng với tốc độ quay khác nhau (mặt
tròn xoay với kinh tuyến phẳng). Định lí 4.2.4 và Định lí 4.2.10, bằng cách ứng dụng ánh
xạ l±
r -Gauss, cho chúng ta xác định được phương trình tham số của mặt trịn xoay (kiểu
hypebolic và kiểu eliptic) thoả mãn điều kiện rốn. Tiếp tục ứng dụng ánh xạ l±
r -Gauss,
chúng ta xác định được phương trình tham số hóa của mặt trịn xoay (kiểu hypebolic
và kiểu eliptic) là mặt cực đại (Định lí 4.2.6, Định lí 4.2.12). Mệnh đề 4.2.8 và Mệnh đề
4.2.14 khẳng định trên mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic (không chứa trong
siêu phẳng) tồn tại đúng hai trường trùng pháp và tồn tại duy nhất một trường vectơ
pháp ν để mặt ν-rốn. Định lí 4.2.16 chỉ ra rằng tính chất hằng của độ cong Gauss đối mặt
trịn xoay kiểu hypebolic và eliptic trong R41 là trùng nhau và chỉ phụ thuộc vào hàm bán
kính quay. Khi đó, cơng thức xác định bán kính quay chỉ phụ thuộc vào dấu của độ cong
Gauss. Với mặt trịn xoay có kinh tuyến phẳng, chúng tôi đưa ra được các điều kiện của
tham số hoá đường kinh tuyến tương ứng với việc xác định số lượng trường trùng pháp
trên mặt. Chúng tôi cũng cho các ví dụ chỉ ra sự tồn tại của các lớp mặt tương ứng với
các điều kiện được đưa ra.

7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án được chia làm 4 chương. Ngồi ra luận án cịn có Lời cam đoan,

Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình
khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo và Chỉ mục.
Chương 1 là chương kiến thức cơ sở bao gồm 2 mục. Mục 1.1 trình bày khối các kiến
thức cơ bản về khơng gian Lorentz-Minkowski. Mục 1.2 giới thiệu một số công cụ nghiên
cứu mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski mà luận án sử dụng, nó được


10

chia thành 2 mục nhỏ bao gồm: Mục a) trình bày các kiến thức về các độ cong liên kết
với một trường vectơ pháp cũng như các khái niệm mặt tương ứng với một số trường hợp
đặc biệt của các độ cong này; Mục b) giới thiệu khái niệm elip độ cong của mặt trong
khơng gian Lorentz-Minkowski.
Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu các khái niệm rốn (ν-rốn) trên mặt đối
chiều hai, bao gồm 3 mục. Mục 2.1 trình bày cách xây dựng ánh xạ n±
r -Gauss và ứng
dụng của nó để đưa ra một số tính chất hình học của mặt ν-rốn; Mục 2.2 trình bày cách
xây dựng ánh xạ l±
r -Gauss và ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu mặt ν-rốn; Mục 2.3
trình bày phân loại mặt rốn. Nội dung trong chương chủ yếu nghiên cứu tính chất địa
±
phương trên mặt, riêng các tính chất n±
r -dẹt và lr -dẹt thể hiện tính chất tồn cục trên

mặt.
Chương 3 nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-phẳng và điều kiện chứa trong
siêu phẳng của mặt trong không gian 4-chiều, bao gồm 3 mục. Mục 3.1. đưa ra một tiêu
chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trường trùng pháp và xác định mối
quan hệ giữa mặt ν-rốn, mặt ν-phẳng và mặt rốn. Mục 3.2 trình bày nghiên cứu các điều
kiện đủ để mặt trong không gian 4-chiều chứa trong siêu phẳng, bao gồm hai mục nhỏ.

Mục a) nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trong siêu phẳng và Mục b)
mở rộng các kết quả vừa đạt được trong R4 lên mặt kiểu khơng gian trong R41 . Mục 3.3
trình bày một số ví dụ về mặt ν-phẳng và một số phản ví dụ cho các phát biểu trong
chương này. Các kết quả trong mục 3.1 thể hiện các tính chất địa phương trên mặt, riêng
các kết quả trong mục 3.2 thể hiện được tính chất tồn cục trên mặt.
Chương 4 trình bày một số tính chất của mặt kẻ và mặt tròn xoay trong R41 , bao gồm
2 mục. Mục 4.1 trình bày một số tính chất hình học của mặt kẻ kiểu không gian trong
R41 . Mục 4.2 trình bày một số tính chất hình học của mặt trịn xoay trong R41 , bao gồm:
Mục a) trình bày các kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình
bày các kết quả nghiên cứu về mặt trịn xoay kiểu eliptic và Mục c) trình bày một số tính
chất của mặt trịn xoay với kinh tuyến phẳng trong R41 .


Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi tổng quan khối kiến thức về không gian LorentzMinkowski Rn+1
, giới thiệu một số độ cong trên mặt đối chiều hai và một số lớp mặt
1
đối chiều hai trong Rn+1
. Đây là khối kiến thức hết sức căn bản của hình học vi phân,
1
nhưng vì được sử dụng nhiều trong luận án nên không thể không nhắc đến.

1.1

Không gian Lorentz-Minkowski

Trong mục này, chúng tôi chỉ giới thiệu các kết quả được sử dụng trong các chương
sau của luận án mà không đi vào các chứng minh chi tiết.
Cho Rn+1 là không gian vectơ thực và

ξ = {e1 , e2 , . . . , en+1 }
là cơ sở chính tắc của Rn+1 .
, là không
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều, ký hiệu Rn+1
1
gian vectơ Rn+1 được trang bị dạng song tuyến tính đối xứng và khơng suy biến, xác định
bởi

n

xi y i − xn+1 y n+1 ,

g(x, y) := x, y =
i=1
1

2

trong đó x = (x , x , . . . , x

n+1

1

2

) , y = (y , y , . . . , y n+1 ) .

Dễ dàng kiểm tra được rằng, , là một tích (giả) vơ hướng trên Rn+1
với chỉ số (n, 1).

1
Vì , khơng xác định dương nên x, x có thể bằng khơng hoặc âm. Từ đó các vectơ trên
Rn+1
được phân thành ba loại khác nhau.
1
11


12
Định nghĩa 1.1.2. Một vectơ x ∈ Rn+1
được gọi là
1
1. kiểu không gian (spacelike) nếu x, x > 0 hoặc x = 0,
2. kiểu thời gian (timelike) nếu x, x < 0,
3. kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x, x = 0 và x = 0.
Với x, y ∈ Rn+1
, nếu x, y = 0 thì ta nói x và y (giả) trực giao với nhau. Chuẩn của
1
một vectơ x ∈ Rn+1
, ký hiệu x , là
1
x =

| x, x |.

Cho một vectơ khác không n ∈ Rn+1
và c ∈ R ta xác định siêu phẳng với vectơ pháp
1
n là
HP n (c) = x ∈ Rn+1

| x, n = c .
1
Siêu phẳng HP n (c) được gọi là kiểu không gian, kiểu ánh sáng hoặc kiểu thời gian
nếu vectơ n tương ứng là vectơ kiểu thời gian, kiểu ánh sáng hoặc kiểu không gian. Dễ
dàng chỉ ra được rằng, HP n (c) là siêu phẳng kiểu không gian nếu và chỉ nếu mọi vectơ
x ∈ HP n (c) là vectơ kiểu không gian; HP n (c) là siêu phẳng kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu
nó chứa một vectơ kiểu ánh sáng nào đó và khơng chứa vectơ kiểu thời gian nào; HP n (c)
là siêu phẳng kiểu thời gian nếu và chỉ nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian.
Trường hợp c = 0, siêu phẳng HP n (c) được ký hiệu đơn giản HP n .
Ta có ba loại giả cầu trên Rn+1
được định nghĩa như sau.
1
Định nghĩa 1.1.3. Với một vectơ a = (a1 , . . . , an+1 ) ∈ Rn+1
và một hằng số dương R,
1
ta có:
1. Giả cầu hypebolic tâm a và bán kính R, ký hiệu H n (a, R), là
H n (a, R) = x ∈ Rn+1
| x − a, x − a = −R .
1
Khi a = 0 và R = 1 ta có giả cầu hypebolic, ký hiệu H n .
2. Giả cầu de Sitter tâm a và bán kính R, ký hiệu S1n (a, R), là
S1n (a, R) = x ∈ Rn+1
| x − a, x − a = R .
1
Khi a = 0 và R = 1 ta có giả cầu de Sitter, ký hiệu S1n .


13

3. Giả cầu nón ánh sáng với đỉnh a, ký hiệu LC(a), là
| x − a, x − a = 0 .
LC(a) = x ∈ Rn+1
1
Trường hợp a = 0 ta có nón ánh sáng
LC = x ∈ Rn+1
| x, x = 0 ,
1
và các ký hiệu
LC ∗ = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ LC | xn+1 = 0 ,

LC+∗ = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ LC | xn+1 > 0 .

Từ định nghĩa trên ta có các khái niệm: n-khơng gian hypebolic tâm a và bán kính R
được ký hiệu và xác định như sau:
H+n (a, R) = x ∈ Rn+1
| x − a, x − a = −R, xn+1 − an+1 > 0 ;
1
n-khơng gian nón ánh sáng với đỉnh a được ký hiệu và xác định
LC+ (a) = x ∈ Rn+1
| x − a, x − a = 0, xn+1 − an+1 > 0 .
1
n-cầu nón ánh sáng đơn vị, ký hiệu S+n , là
S+n = x = x1 , . . . , xn+1 ∈ Rn+1
| x, x = 0, xn+1 = 1 .
1
Với x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) là một vectơ kiểu ánh sáng, ta có xn+1 = 0, đặt
x=

x1

xn
, . . . , n+1 , 1 ,
xn+1
x

khi đó x ∈ S+n .
Định nghĩa 1.1.4. Cho W là một khơng gian vectơ con của Rn+1
, khi đó:
1
1. W được gọi là kiểu không gian nếu g|W xác định dương, điều này có nghĩa W là
một khơng gian với tích vơ hướng cảm sinh là khơng gian Ơ-clít.
2. W được gọi là kiểu thời gian nếu g|W không suy biến với chỉ số 1.


14

3. W được gọi là kiểu ánh sáng nếu g|W suy biến.
Tương tự như trong [20] và [22], khái niệm mặt kiểu không gian đối chiều hai M ở
trong luận án này được hiểu là đa tạp (n − 1)-chiều được nhúng chính quy vào Rn+1
1
thoả mãn: tại mỗi điểm p ∈ M không gian tiếp xúc Tp M là kiểu không gian. Về mặt địa
phương M được xác định thông qua phép nhúng X : U → Rn+1
, trong đó U ⊂ Rn−1 là
1
một tập mở. Chúng ta ln giả thiết mặt đã cho là liên thông và đồng nhất M = X(U ),
một cách địa phương, với U thông qua X. Với (u1 , u2 , . . . , un−1 ) ∈ U ta ký hiệu
X(u1 , u2 , . . . , un−1 ) = X1 (u1 , u2 , . . . , un−1 ), . . . , Xn+1 (u1 , u2 , . . . , un−1 ) = p ∈ M
và
Xui =

∂X
.
∂ui

Hoàn tồn tương tự, chúng ta cũng có các khái niệm mặt kiểu thời gian đối chiều hai,
mặt kiểu ánh sáng đối chiều hai trong khơng gian Lorentz-Minkowski. Vì nội dung luận
án chỉ nghiên cứu các tính chất hình học của các mặt kiểu không gian nên từ đây về sau
thuật ngữ mặt đối chiều hai luôn được hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai.
Cho x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn+1
, ta định nghĩa tích ngồi của n vectơ này như sau
1
e1 . . .

en −en+1

x11 . . .
x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xn = .
.. . . .

xn1
..
.

xn+1
1
,
..
.

x1n . . .

xnn

xn+1
n

), i = 1, . . . n.
trong đó xi = (x1i , x2i , . . . , xn+1
i
Chẳng hạn, với a, b ∈ R31 , a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), tích ngồi a ∧ b được xác
định
a ∧ b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a2 b1 − a1 b2 ).
Ta có a ∧ b, x = det(a, b, x), ∀x ∈ R31 .
Với x1 , x2 , . . . , xn , x ∈ Rn+1
thì
1
x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xn , x = det(x1 , x2 , . . . , xn , x).
Vậy nên với mọi i ∈ 1, . . . , n, xi , x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xn = 0.
Tích ngồi của n vectơ trong Rn+1
có các tính chất tương tự tích ngồi của n vectơ
1
trong Rn+1 .


15

Tích vơ hướng g là một dạng song tuyến tính đối xứng và không suy biến, ma trận
của g trong cơ sơ chính tắc ξ được xác định

1 0



0 1
G=
 .. ..
. .

0 0

...

0





... 0 

..  .
..
. . 

. . . −1

Một đẳng cấu tuyến tính f : Rn+1
→ Rn+1
được gọi là một phép đẳng cự (phép biến
1
1

đổi) Lorentz-Minkowski nếu
f (a), f (b) = a, b , ∀a, b ∈ Rn+1
.
1
Giả sử A là ma trận của đẳng cấu tuyến tính f đối với cơ sở chính tắc ξ, khi đó f là
phép biến đổi Lorentz-Minkowski khi và chỉ khi AT GA = G.
Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz-Minkowski của khơng gian Rn+1
lập thành
1
một nhóm, ký hiệu O(n + 1, 1), được gọi là nhóm các phép biến đổi đẳng cự LorentzMinkowski. Ký hiệu SO(n + 1, 1) là tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz-Minkowski
thoả mãn det A = 1. Ta có SO(n + 1, 1) là nhóm con của nhóm O(n + 1, 1) và được gọi
là nhóm các phép biến đổi đẳng cự Lorentz-Minkowski đặc biệt.
Việc nghiên cứu hình học trong khơng gian Rn+1
chính là việc nghiên cứu các bất biến
1
của nhóm O(n + 1, 1). Các khái niệm độ cong được đưa ra trong luận án này là bất biến
dưới tác động của nhóm O(n + 1, 1).
Khi nghiên cứu một số lớp mặt đặc biệt trong R41 , chúng tơi quan tâm đến mặt trịn
xoay, nó là quỹ đạo của một đường cong (kiểu không gian hoặc kiểu thời gian) dưới tác
động của các nhóm con của O(4, 1) :



1 0
0
0
cos v − sin v







0 1
 sin v cos v
0
0 
 , v ∈ R; (AT )v = 
(AS )v = 



0 0 cosh v sinh v 
 0
0



0 0 sinh v cosh v
0
0
và



cos αv − sin αv
0
0





 sin αv cos αv
0
0 

 , v ∈ R,
Av = 

 0
0
cosh βv sinh βv 


0
0
sinh βv cosh βv

trong đó α, β ∈ R.

0 0





0 0
 , v ∈ R;

1 0


0 1


16

1.2

Các độ cong của mặt đối chiều hai trong Rn+1
1

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm độ cong của mặt kiểu không
gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski. Trước hết là các khái niệm độ
cong liên kết với một trường vectơ pháp, các khái niệm này được xem như là tương tự
các khái niệm độ cong của siêu mặt trong Rn . Tiếp theo chúng tôi giới thiệu khái niệm
elip độ cong của mặt hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski R41 , được xây dựng
tương tự như khái niệm elip độ cong của mặt trong R4 .

a) Độ cong liên kết với một trường vectơ pháp
Trong mục này, chúng ta giới thiệu cách xây dựng ánh xạ Weingarten và các khái
niệm độ cong liên kết với một trường vectơ pháp ([5], [9], [18], [20],. . . ). Sau đó, với từng
trường hợp đặc biệt của các độ cong, chúng ta phân ra các lớp mặt.
Với M là một mặt kiểu không gian đối chiều hai thì khơng gian pháp của mặt tại mỗi
điểm là một 2-phẳng đi qua điểm đó. Một trường vectơ pháp khả vi ν trên M cho phép
chúng ta xác định một ánh xạ từ M lên Rn+1
, nó được gọi là một ánh xạ ν-Gauss trên
1
M. Trong luận án này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất hình học của mặt thơng
qua các tính chất của ánh xạ vi phân của một ánh xạ ν-Gauss nào đó. Vi phân của ν tại
p ∈ M được xác định

dν(p) : Tp M → Tν(p) Rn+1
= Tp M ⊕ Np M,
1
với Tp M và Np M tương ứng là không gian tiếp xúc và khơng gian pháp của M tại p.
Ta có phân tích sau
dν(p) = dν T (p) + dν N (p),
trong đó dν T và dν N tương ứng lần lượt là thành phần tiếp xúc và thành phần pháp của
dν.
Chú ý 1.2.1.
1. Với ∇ và ∇⊥ lần lượt là liên thông Levi-Civita trên Rn+1
và liên thông pháp trên
1
M, X là trường vectơ tiếp xúc trên M và ν là trường vectơ pháp trên M, ta có
dν(X) = ∇X ν = −Aν (X) + ∇⊥
X ν,
trong đó X, ν là các mở rộng địa phương của X và ν lên Rn+1
.
1

(1.1)


17
2. Aν là toán tử dạng liên kết với trường vectơ pháp ν nên tại mỗi p ∈ M, Aνp là tốn
tử tuyến tính tự liên hợp trên khơng gian tiếp xúc.
3. Trường vectơ pháp ν được gọi là song song nếu thành phần pháp, dν N , đồng nhất
bằng không trên mặt.
Định nghĩa 1.2.2.
1. Ánh xạ ν-Weingarten của M tại p được ký hiệu là Aνp và xác định như sau:
Aνp := −dν T (p);

2. Độ cong ν-Gauss-Kronecker của M tại p được ký hiệu là K ν (p) và xác định như
sau:
K ν (p) := Kpν := det(Aνp ).
K ν còn được gọi là độ cong Gauss liên kết với trường vectơ pháp ν của M ;
3. Độ cong ν-trung bình của M tại p được ký hiệu là H ν (p) và xác định như sau:
H ν (p) := Hpν :=

1
trace(Aνp ).
n−1

H ν còn được gọi là độ cong trung bình liên kết với trường vectơ pháp ν của M ;
4. Độ cong ν-chính của M tại p được cho bởi các giá trị riêng của Aνp và ký hiệu
kiν (p), i = 1, . . . , n − 1.
Hiển nhiên ta có
ν
Kpν = Πn−1
i=1 ki (p),

và
Hpν
Chú ý 1.2.3.

1
=
n−1

n−1

kiν (p).

i=1

1. Gọi (aij ) là ma trận của Aνp đối với cơ sở {Xu1 (p), Xu2 (p), . . . , Xun−1 (p)}

của Tp M . Khi đó
n−1

Aνp (Xuj (p))

aij Xui (p), j = 1, 2, . . . , n − 1.

=
i=1

(1.2)


18

Từ hệ phương trình (1.2) ta có
− dν|p (Xuj (p)), Xum (p) = Aνp (Xuj (p)), Xum (p)
n−1

=

aji Xui (p), Xum (p)
i=1
n−1

aji gim (p), m = 1, n − 1, j = 1, n − 1.

=
i=1

Lưu ý
bνjm (p) = Xuj um (p), ν(p) = − dν|p (Xuj (p)), Xum (p)
với m = 1, n − 1, j = 1, n − 1, là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai liên kết với
trường vectơ pháp ν của M tại p, và
gij (p) = Xui (p), Xuj (p) , i, j = 1, n − 1,
là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất. Suy ra
(bνjm (p)) = (aji )(gim (p)) ⇒ (aji ) = (bνjm (p))(gim (p))−1 ,
vì {Xu1 (p), Xu2 (p), . . . , Xun−1 (p)} độc lập tuyến tính và là các vectơ kiểu không gian
nên det(gim (p)) = 0 suy ra tồn tại (gim (p))−1 .
Khi đó các độ cong ν-chính của M tại p là nghiệm của phương trình (theo ẩn k)
det[(aij ) − kI] = 0 ⇔ det[bνjm (p) − k(gij (p))] = 0.
Vậy, các độ cong ν-chính của M tại p là các giá trị riêng của (aij ) hay nghiệm của
phương trình
det(bνij (p) − kgij (p)) = 0.

(1.3)

2. Kpν = det(bνij (p)).det(gij (p))−1 .
Định nghĩa 1.2.4. Cho M là một mặt đối chiều hai trong Rn+1
, và ν là một trường
1
vectơ pháp trên M, ta có các khái niệm sau:
1. Điểm p ∈ M được gọi là điểm ν-rốn nếu kiν (p) = k ν (p), ∀i = 1, 2, . . . n − 1. Nếu
k ν (p) = 0 thì ta nói p là điểm ν-dẹt.
2. M được gọi là ν-rốn (ν-dẹt) nếu mọi điểm trên M là điểm ν-rốn (ν-dẹt).

19

3. M được gọi là mặt rốn (dẹt) nếu M là mặt ν-rốn (ν-dẹt) với mọi trường vectơ pháp
ν.
4. M được gọi là mặt ν-cực đại nếu độ cong ν-trung bình H ν đồng nhất bằng khơng
trên M.
5. ν(p) được gọi là phương trùng pháp của M tại p nếu Kpν = 0, khi đó p được gọi là
điểm ν-phẳng.
6. Vectơ tiếp xúc η(p) ∈ Tp M được gọi là một phương tiệm cận của M tại p nếu tồn
tại phương trùng pháp ν(p) của M tại p sao cho η(p) ∈ ker Aνp . Khi đó η(p) cũng
được gọi là phương ν-tiệm cận của M tại p.
7. Trường vectơ ν được gọi là trường trùng pháp trên M nếu nó trùng pháp tại mọi
điểm, điều này có nghĩa Kpν = 0, ∀p ∈ M, khi đó M được gọi là mặt ν-phẳng.
8. M được gọi là hoàn toàn phẳng nếu mọi trường vectơ pháp trên M là trường trùng
pháp.
9. Siêu phẳng đi qua p ∈ M với vectơ pháp ν(p) được gọi là siêu phẳng ν-pháp của M
tại p. Khi ν(p) là phương trùng pháp ta có siêu phẳng ν-mật tiếp của M tại p.
Nhận xét 1.2.5. Tương tự [32], khái niệm phương trùng pháp và phương tiệm cận tại
mỗi điểm trên mặt đối chiều hai có thể xây dựng thông qua ma trận Hessian của hàm độ
cao trên mặt.
Cho ν là một vectơ trong Rn+1
, hàm độ cao trên M liên kết với ν được xác định
1
→ R

hν : M
p = X(u1 , . . . , un−1 )

→

p, ν = X(u1 , . . . , un−1 ), ν .

Ma trận Hessian của hν tại p ∈ M được cho bởi
H (hν (p)) =

Xui uj (p), ν

, i, j = 1, . . . , n − 1.

Giả sử ν ∈ Np M và B là một trường vectơ pháp trên M sao cho B(p) = ν. Khi đó,
H (hν (p)) = bB
ij (p) .
Vậy nên ta có thể định nghĩa phương trùng pháp và phương tiệm cận tại một điểm
như sau.