Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ KIM DUNG

TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ KIM DUNG

TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

Thái Nguyên - Năm 2014


i

Mục lục
Mục lục

i

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

3

Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi . .

4

Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . . . .

7

1.3.1

Metric vi phân Royden-Kobayashi . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Không gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Định lý Kiernan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.5

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới . . . . . . . . . 12
1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


i

1.5.3

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.5

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach
2.1

2.2

Một số kiến thức ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.4

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.5

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.6

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.7

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.8

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach 20
2.2.1

2.3

17

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong

không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


1

Mở đầu
Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích phức hyperbolic
là tìm các đặc trưng khác nhau cho tính hyperbolic của một khơng gian
phức. Như ta đã biết mỗi khơng gian phức taut là hyperbolic. Do đó ta có
thể nghiên cứu tính hyperbolic của khơng gian phức thơng qua việc tìm
hiểu tính taut của khơng gian đó. Điều đó cho thấy tính taut là một cơng

cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp các không gian phức hyperbolic hữu hạn
chiều.
Tuy nhiên khái niệm taut khơng tồn tại trong hồn cảnh các miền trong
không gian Banach. Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địa
phương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và Phạm
Khắc Ban [4] đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính taut yếu với tính
hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh được
mối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miền
khơng bị chặn trong khơng gian Banach.
Mục đích của luận văn này là trình bày tường minh kết quả nói trên.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình
bày các kiến thức chuẩn bị về khơng gian phức hyperbolic, không gian
phức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợp
hữu hạn chiều.
Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach. Nội dung của chương này bao gồm một số khái niệm
ban đầu về giải tích hyperbolic trong khơng gian Banach; mối liên hệ giữa
tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach. Cuối chương


2

là một số tiêu chuẩn cho tính taut yếu của một miền không bị chặn trong
không gian Banach.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Phạm
Việt Đức. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả

cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn, Phòng Sau Đại học
- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện
cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản
luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong
lớp Cao học Toán K20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Kim Dung


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
tính hyperbolic và tính taut trong trường hợp hữu hạn chiều.

1.1

Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian
phức

Với 0 < r < ∞ ta đặt ∆r = {z ∈ C, |z| < r}, ∆1 = ∆, và gọi ∆r là
đĩa bán kính r, ∆ là đĩa đơn vị trong C.

1.1.1

Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , được trang
bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy
các điểm a1 , a2 , ..., ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1 , ...., fk trong Hol(∆, X)
thỏa mãn
fi (0) = pi - 1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k.
Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện
trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình (hay các đĩa chỉnh hình) nối


4

x và y trong X .
Ta định nghĩa
k

dX (x, y) = inf {
α

ρD (0, ai ), α ∈ Ωx, y },
i=1

trong đó Ωx, y là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X .
Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên khơng gian phức X .

1.1.2

Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

1.1.2.1 Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai khơng gian phức
thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)),

∀x, y ∈ X.

Hơn nữa, dX là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
1.1.2.2 d∆ = ρ∆ là metric Bergman - Poincaré trên đĩa đơn vị ∆.
1.1.2.3 dCn ≡ 0.
1.1.2.4 Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

dX : X × X → R là hàm liên tục.
Trong trường hợp X là đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản
đối với tính liên tục của dX như sau:
1.1.2.5 Định lý Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó, giả khoảng cách
kobayashi là hàm liên tục.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có

|dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y),
với mọi xn , yn , x, y ∈ X . Do đó để chứng minh tính liên tục của dX ta chỉ
cần chứng minh dX (yn , y) → 0 khi yn → y.


5

Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n ,

n = dimX . Ta có
d∆n ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, ..., n}.
Vì U song chỉnh hình với ∆n nên theo tính chất của giả khoảng cách
Kobayashi ta có dU = d∆n liên tục.
Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → 0 khi yn → y . Vậy dX liên tục.

1.2
1.2.1

Không gian phức hyperbolic
Định nghĩa

Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức
là

dX (p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p,q ∈ X
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic
và đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX , tức là mọi dãy cơ bản đối với
khoảng cách dX đều hội tụ.
Nhận xét. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ
chỉnh hình ta có tính hyperbolic của khơng gian phức là một bất biến song
chỉnh hình.

1.2.2

Một số tính chất

1.2.2.1 Nếu X, Y là các khơng gian phức, thì X × Y là không gian

hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
1.2.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu

Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, khơng gian
con của một khơng gian hyperbolic là hyperbolic.
1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thơng.
Nếu X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X .


6

Chứng minh. Ta có khơng gian phức X là compact địa phương với tơ pơ
đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì
vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X . Ta phải chứng
minh dX và ρ là so sánh được, tức là với {xn } ⊂ X ta có

ρ(xn , x) → 0 ⇔ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → 0 suy ra dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → 0 mà ρ(xn , x) → 0 khi n → ∞. Khi đó
tồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {xn }) mà các xn nằm
ngoài ρ−cầu tâm x, bán kính s.
Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc
địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X.
Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t0 ∈ [a, b]
sao cho ρ(γ(t0 ), x) = s. Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm trên mặt cầu tâm x
bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách
Kobayashi ta có

dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy con {ynk } hội tụ tới y

thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ).
Khi đó,

dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0,
n→∞

mà y = x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là khơng gian hyperbolic.
Định lý được chứng minh.
1.2.3.4 Ví dụ

+) Đĩa ∆r và đa đĩa ∆m
r là hyperbolic.
+) Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.
+) Cm khơng là hyperbolic, vì dCm ≡ 0.


7

1.3
1.3.1

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
Metric vi phân Royden-Kobayashi

1.3.1.1 Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ tiếp xúc của M . Một
ánh xạ F : T M → R+ được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:

(i) F (0x ) = 0, trong đó 0x là véctơ khơng của Tx M ;

(ii) Với mọi ξx ∈ Tx M và a ∈ C thì F (aξx ) = |a|F (ξx ).

Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξx ) = 0, ∀ξx ∈ Tx M \{0} thì F được gọi
là metric Finsler.
1.3.1.2 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức. Giả sử x là một điểm trong X .
Nón tiếp xúc T˜x X gồm các véctơ có dạng f∗ (u), trong đó u ∈ T ∆ và

f ∈ Hol(∆, X).
Khi đó Fx : T˜x X → R được định nghĩa bởi:
FX (v) = inf{||u||, u ∈ T ∆ và f∗ (u) = v}, v ∈ T˜x X,
trong đó ||u|| là độ dài của véctơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré

ds2 của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆
sao cho f∗ (u) = v.
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v ∈ Tx X ln tồn tại véctơ u ∈ T ∆
sao cho f∗ (u) = v , do đó FX (v) < ∞.
Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt
FX (v) = ∞.


8

Khi đó FX là metric vi phân và gọi là metric vi phân Royden-Kobayashi
trên khơng gian phức X .
1.3.1.3 Tính chất

a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì

FY (f∗ (v)) ≤ FX (v) với f ∈ Hol(X, Y ), v ∈ T˜X.
Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình.

b) + Trong đĩa đơn vị ∆, F∆ đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,
4dzdz
tức là F∆2 = ds2 =
, ∀z ∈ ∆.
(1 − |z|2 )2
+ FCm = 0.
c) Trong không gian phức X ta có
FX (f∗ u) ≤ ||u||, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆.
Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên T˜X thỏa mãn

E(f∗ u) ≤ ||u|| với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆,
thì

E(v) ≤ FX (v), ∀v ∈ T˜X.
d) Giả sử X, Y là các khơng gian phức, ta có
FX×Y (u, v) = max{FX (u), FY (v)} với u ∈ T˜X, v ∈ T˜Y.
˜ → X là không gian
e) Giả sử X, Y là các khơng gian phức và π : X
phủ chỉnh hình của X . Khi đó FX˜ = π ∗ FX .
f ) Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên T X . Nếu X
là khơng gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục.
Kết quả sau được chứng minh bởi Royden, đây là một biểu diễn tích
phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức.


9

1.3.2

Định lý

Cho X là đa tạp phức, x, y ∈ X . Khi đó
1

dX (x, y) = inf {

FX (γ (t))dt},

γ

0

trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc γ :

[0, 1] → X nối x với y .
1.3.3

Hệ quả

Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X . Khi đó X là
hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X , có các lân cận U của p và hằng
số C > 0 sao cho FX (ξx ) ≥ CH(ξx ) với mọi ξx ∈ Tx X với x ∈ U .

1.4
1.4.1

Không gian phức taut

Định nghĩa

Giả sử X , Y là các khơng gian phức.
Kí hiệu Hol(Y, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : Y → X và
trên Hol(Y, X) ta trang bị tô pô compact mở.

i) Dãy {fi }∞
i=1 ⊂ Hol(Y, X) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập con compact K của Y , mỗi tập con compact K của X , tồn tại j0 ∈ N
sao cho fj (K) ∩ K = ∅, ∀j ≥ j0 .
ii) Họ Hol(Y, X) được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi }∞
i=1 trong
Hol(Y, X) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact
hoặc là phân kỳ compact.
iii) Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol(Y, X) là họ chuẩn
tắc với mỗi không gian phức Y .


10

1.4.2

Định lý Kiernan

i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic.
ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut.
iii) Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:
Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong khơng gian phức

X . Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử p = 0 và
B = {(ω1 , ..., ωn ); |ω1 |2 + ... + |ωn |2 < 1}
là một lân cận của p trong M sao cho q ∈
/ B.

Bs = {(ω1 , ..., ωn ); |ω1 |2 + ... + |ωn |2 < s2 }.
VS = {p ∈ M ; ρ(p, p ) < s}.
∆δ = {z ∈ ∆; |z|2 < δ < 1}.
1.4.3

Định nghĩa

Một cặp có thứ tự (r, δ) các số dương được gọi là có tính chất A nếu
với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → M với f (0) ∈ Br , ta có f (∆δ ) ⊂ B.

1.4.4

Bổ đề

Nếu tồn tại cặp (r, δ) có tính chất A thì dM (p, q) > 0.
Chứng minh. Chọn hằng số c > 0 sao cho d∆ (0, a) ≥ c.d∆δ (0, a), ∀a ∈ ∆ δ .
2

Giả sử L = {p = p0 , p1 , ..., pm = q; a1 , ..., am ; f1 , ..., fm } là một dây chuyền
Kobayashi nối p với q . Theo giả thiết, khơng mất tính tổng qt, ta có thể
giả sử a1 , ..., ak ∈ ∆ δ , p0 , p1 , ..., pk−1 ∈ Br và pk ∈ ∂Br . Khi đó:
2

k

|L| ≥

k

d∆ (0, ai ) ≥ c
i=1

k

d∆δ (0, ai ) ≥ c
i=1

dB (pi−1 , pi ) ≥ cdB (0, pk ) = c ,
i=1

trong đó c là hằng số dương. Do đó dM (p, q) ≥ c > 0.


11

Chứng minh. (Định lý Kiernan).

i) Giả sử M không hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p, q
1 1
sao cho dM (p, q) = 0. Theo Bổ đề 1.4.4, cặp ( , ) khơng thỏa mãn tính
2 n
chất A với bất kỳ n > 0.
Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình fn : ∆ → M mà fn (0) ∈ B 21 và
fn (∆ 12 ) ⊂ B . Dãy {fi } khơng có dãy con hoặc hội tụ đều trên các tập
compact hoặc phân kỳ compact. Do đó M khơng là taut.

ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên
Hol(∆, M ) là đồng liên tục. Mặt khác, M là hyperbolic đầy nên mỗi tập
con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy, Hol(∆, M ) là chuẩn
tắc. Do đó, M là taut.
Chú ý Điều ngược lại khơng đúng.

1.4.5

Ví dụ

Có những khơng gian phức taut mà khơng là hyperbolic đầy. Ví dụ sau
là của Barth. Ta xây dựng một không gian phức taut Y bằng cách "buộc"
một số đếm được các đĩa đơn vị ∆1 , ∆2 , ... theo cùng cách sau: Trong đĩa
1
thứ n: ∆n , chọn điểm an sao cho khoảng cách Poincaré ρ∆n (0, an ) = n .
2
Ta "buộc" đĩa thứ 2 ∆2 vào đĩa thứ nhất ∆1 bằng cách đồng nhất a1 ∈ ∆1
vào gốc O của ∆2 . Ta "buộc" đĩa thứ 3 ∆3 vào đĩa ∆2 bằng cách đồng
nhất a2 ∈ ∆2 vào gốc O của ∆3 . Bằng cách lập luận tương tự, ta đồng
nhất an ∈ ∆n vào gốc O của ∆n+1 .
Cuối cùng ta được một không gian phức ký hiệu là Y . Các đĩa ∆n , với

n = 1, 2, ... là thành phần bất khả quy của Y . Từ đó ∀f ∈ Hol(∆, Y )
biến ∆ vào một trong những thành phần bất khả quy ∆n , họ Hol(∆, Y )
là hợp của những họ con Hol(∆, ∆n ). Cho {fj } ⊂ Hol(∆, Y ). Giả sử {fj }
khơng có dãy con hội tụ. Lấy {fnj } là dãy con bao gồm những ánh xạ fj
biến ∆ thành ∆n . Do Hol(∆, ∆n ) là chuẩn tắc, dãy {fnj } phải là phân
kỳ compact. Mỗi tập con compact L ⊂ Y được phủ bởi ∆1 ∪ ... ∪ ∆k ,
với k nào đó. Khi đó, với mỗi tập compact K ⊂ ∆ và với mỗi n cố định

12

n ≤ k , ta có fnj (K) ∩ L = ∅ trừ một số hữu hạn fnj . Đối với n > k ,
fnj (K) ∩ L = ∅, do ∆n ∩ L = ∅. Như vậy, {fj } là phân kỳ compact, chứng
tỏ rằng Hol(∆, Y ) là chuẩn tắc. Vậy Y là taut.
Lấy pn là một điểm thuộc Y ứng với an ∈ ∆n , tức là pn ∈ ∆n và
dY (pn−1 , pn ) = dY (0, an ), trong đó 0 là gốc của ∆n (ta có thể chọn pn =
an ).
Khi đó dãy {pn } phân kỳ trong Y nhưng lại là dãy Cauchy vì
1
dY (pn−1 , pn ) ≤ d∆n (0, an ) = n .
2
Vậy Y không là hyperbolic đầy.
Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong C3 là taut mà khơng là
hyperbolic đầy.
1
Cịn khơng gian X = B 2 (0, 1)\{( ; 0)} là hyperbolic nhưng khơng là
4
taut (trong đó B 2 (0, 1) = {(z, ω) ∈ C2 : ||z||2 + ||ω||2 < 1}).
Thật vậy, do X bị chặn nên nó là hyperbolic. Với mỗi n = 2, 3, ... ta đặt
λ 1
λ
1
1
1
1
fn : ∆ → X, fn (λ) = ( , ), rõ ràng || ||2 + || ||2 < +
< < 1,
2 2n

2
2n
4 4n 2
λ 1 1
và = ,
= 0, ∀λ ∈ ∆, với mọi n.
2
4 2n
λ
Vậy fn ∈ Hol(∆, X). Ta có lim fn (λ) = f (λ) = ( , 0). Vậy fn hội tụ
n→∞
2
đều tới hàm f .
1
1
Ta có f (0) = (0, 0) ∈ X nhưng f ( ) = ( , 0) ∈ ∂X . Điều này nói rằng
2
4
{fn } khơng là dãy hàm chuẩn tắc. Vậy X không là taut.

1.5
1.5.1

Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới
Định nghĩa

Giả sử M là một miền trong không gian phức X , tức là M là một tập
con khác rỗng, mở và liên thông của X .

i) Một hàm ϕ được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một

điểm p trong ∂M nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho ϕ là đa điều


13

hòa dưới trên U ∩ M , tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn

ϕ(p) = 0
ϕ(z) < 0 với mọi z ∈ (U ∩ M )\{p}.
ii) Một hàm ψ được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại
một điểm p trong ∂M nếu có một lân cận U của p sao cho ψ là đa điều
hòa dưới trên U ∩ M , tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn
ψ(p) = −∞
ψ(z) > −∞ với mọi z ∈ (U ∩ M )\{p}
Các kết quả sau được chứng minh bởi Gaussier[6] trong trường hợp D là
miền không bị chặn trong Cn .

1.5.2

Mệnh đề

Cho a ∈ ∂D là điểm biên của miền D trong Cn . Giả sử tồn tại các hàm
peak và antipeak đa điều hòa dưới địa phương ϕ và ψ tại a trên một lân
˜ của a
cận Ua của a. Thế thì với mỗi lân cận U của a, tồn tại lân cận U

˜ thì suy ra
sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D) mà f (0) ∈ U
f (∆ 12 ) ⊂ U,
trong đó ∆ 12 = {z ∈ C : |z| < 21 }.

1.5.3

Bổ đề

Với bất kỳ tập K compact tương đối trong ∆, có hằng số thực dương rK
sao cho với mỗi tự đẳng cấu g của ∆ thỏa mãn

g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), rK ) ⊂ g(∆ 12 ),
trong đó ∆(g(0), rK ) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < rK }.


14

Chứng minh. Giả sử ξ là một điểm trong K , θ là số thực trong [0, 2π) và

gξ,θ là tự đẳng cấu của ∆. Ta chỉ cần chứng minh
inf |gξ,θ (λ) − gξ,θ (0)|

|λ|= 21

là bị chặn đều trên K . Vì

1
|gξ,θ (λ) − gξ,θ (0)| ≥ |λ|(1 − |ξ|2 )
2
nên ta có thể lấy rK =

1.5.4

1
min(1 − |ξ|2 ). Vậy Bổ đề được chứng minh
4 ξ∈K

Định lý

Cho Ω là một miền trong Cn . Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak
và antipeak địa phương tại vơ cùng. Khi đó Ω là miền hyperbolic.
Chứng minh. Giả sử ngược lại Ω khơng là hyperbolic. Khi đó tồn tại điểm

z0 trong Ω và dãy {yγ }γ các điểm trong Ω hội tụ tới z0 và dãy {Vγ }γ các
véctơ đơn vị trong Cn sao cho FΩ (yγ , Vγ ) ≤ γ1 . Từ đó tồn tại dãy {fγ }γ
các đĩa giải tích tâm tại yγ sao cho |fγ (0)| ≥ γ . Theo Định lý Montel, có
dãy {pγ }γ các điểm của ∆ hội tụ tới 0 sao cho lim |fγ (pγ )| = ∞.
γ→∞

Hợp thành fγ với phép biến đổi Moebius, ta có họ {f˜γ }γ các đĩa giải tích
sao cho f˜γ (0) = fγ (pγ ) và f˜γ (pγ ) = yγ .
Điều này mâu thuẫn với Mệnh đề 1.5.2. Vậy Định lý được chứng minh.

1.5.5

Định lý

Cho D là một miền trong Cn . Giả sử D là taut địa phương tại mỗi điểm
biên ∂D của D và tồn tại các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa
phương tại vơ cùng. Khi đó, D là taut.
Chứng minh. Lấy một dãy bất kì các hàm chỉnh hình {fj }∞
j=1 ⊂ Hol(∆, D).
Ta chứng minh {fj }∞

j=1 là dãy hàm chuẩn tắc.


15

Trường hợp 1: Giả sử rằng tồn tại một điểm ξ ∈ ∆ và dãy {fjk }∞
k=1 ⊂

{fj }∞
j=1 sao cho
lim fjk (ξ) = ∞.

k→∞

Đặt

E = {λ ∈ ∆ : lim |fjk (λ)|} = ∅.
k→∞

Với mỗi ξ ∈ E, ta có lim |fjk ◦ gξ,θ | = ∞ hội tụ đều trên ∆ 21 . (theo
k→∞

Mệnh đề 1.5.2).
Theo Mệnh đề 1.5.3, do tập {ξ} là compact, nên tồn tại rξ sao cho

lim |fjk (B(ξ, rg ))| = ∞

k→∞

(∗).

Bởi vì gξ,θ (0) = ξ ∈ {ξ}, nên cũng theo Mệnh đề 1.5.3, ta có:

B(ξ, rg ) ⊂ gξ,θ (∆ 12 ) ⇒ fjk (ξ, rξ ) ⊆ fjk ◦ gξ,θ (∆ 12 ) → ∞.
Vậy ta phải có

lim |fjk (B(ξ, rg ))| = ∞.

k→∞

Do đó B(ξ, rk ) ⊂ E . Nên E là tập mở.
Hơn nữa, ta lấy {ξn } ⊂ E hội tụ tới ξ ∈ ∆. Do {ξn , ξ} là compact nên
theo Mệnh đề 1.5.3 ta suy ra tồn tại r > 0 sao cho với mỗi số nguyên n ta
có:

B(gξn ,θ (0), r) = B(ξn , r) ⊂ gξn ,θ (∆ 21 )
⇒ fjk (B(ξn , r)) ⊂ fjk ◦ gξn ,θ (∆ 12 ) → ∞, do (*).
Vậy lim |fvk | = ∞ đều trên mỗi B(ξn , r).
k→∞

Theo Định lý Montel, ta có lim fjk (ξ) = ∞. Vậy tập E là đóng.
k→∞

Do ∆ là liên thơng, E vừa là tập đóng và vừa mở nên E = ∆.
Do đó, lim fjk (λ) = ∞, ∀λ ∈ ∆ ⇒ {fj }∞
j=1 là phân kỳ compact.
k→∞

Trường hợp 2: Giả sử rằng với mọi điểm ξ ∈ ∆ và dãy {fj (ξ)} là tập
compact tương đối trong Cn . Vậy nó bị chặn địa phương. Theo Định lý

Arzela - Ascoli ta suy ra {fj (ξ)} có một dãy con hội tụ đều trên các tập
con compact tới hàm chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D), tức là {fjk } hội tụ đều


16

trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D). Ta chứng minh

{fj }∞
j=1 hoặc phân kỳ compact hoặc hội tụ đều trên các tập con compact.
Thật vậy, gọi E = {λ ∈ ∆|f (λ) ∈ ∂∆\{∞}}. Rõ ràng E là tập đóng,
do ∂D là đóng.
Giả sử E = ∅. Lấy λ ∈ E ⇒ f (λ) ∈ ∂∆. Do D là taut địa phương tại
f (λ), suy ra tồn tại lân cận V của f (λ) sao cho V ∩ D là taut.
Do fjk hội tụ đều trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f , suy ra tồn
tại lân cận U -mở của λ và V của f (λ), V ⊂ V sao cho fjk (U ) ⊂ D ∩ V
với k đủ lớn, suy ra fjk |V : U → D ∩ V là taut.
Vậy f (U ) ⊂ ∂D (do f (λ) ⊂ ∂D).
Vậy U -mở trong E . Suy ra E là tập mở. Do ∆ liên thơng nên ta có
E = ∆. Do đó f (∆) ⊂ ∂D ⇒ {fj }∞
j=1 là phân kỳ compact. Do vậy D là
taut. Vậy Định lý đã được chứng minh.


17

Chương 2
Tính taut yếu và taut yếu địa
phương của một miền trong không
gian Banach

2.1
2.1.1

Một số kiến thức ban đầu
Định nghĩa

Giả sử X là khơng gian giải tích Banach. Ta nói rằng X là hyperbolic
nếu dX là một khoảng cách xác định tơ pơ của X , trong đó dX là giả
khoảng cách Kobayashi trên X .
Chú ý : Theo Định lý 1.2.2.3, khi dimX < ∞, nếu dX là khoảng cách
thì nó xác định tơpơ tự nhiên của X . Tuy nhiên trong khơng gian Banach
vơ hạn chiều thì điều này khơng cịn đúng nữa [10].

2.1.2

Định nghĩa

Tương tự như trong Định nghĩa 1.3.1.2, cho X là không gian Banach,
với x ∈ X và v ∈ Tx X , ta định nghĩa

v
FX (x, v) = inf{r > 0; ∃f ∈ Hol(∆, X), f (0) = x, f (0) = }.
r


18

Khi đó hàm FX : T X → [0, ∞) được gọi là giả metric vi phân
Kobayashi - Vesentini của X .
Trong trường hợp X là một miền trong không gian Banach, Vesentini

[11] đã chứng minh được FX (x, v) là nửa liên tục trên trên T (X). Hơn nữa
tương tự như trong Định lý 1.3.2 ông đã chứng minh được:

2.1.3

Định lý

Cho X là một miền trong không gian Banach. Khi đó với hai điểm

p, q ∈ X , ta có
1

FX (γ(t), γ (t))dt; γ ∈ Ωp, q },

dX (p, q) = inf{
0

trong đó Ωp, q là tập các đường cong C 1 -từng khúc nối p và q .
Trong trường hợp khi X là một đa tạp giải tích Banach, ta khơng biết
rằng liệu FX (x, v) có là nửa liên tục trên trên T (X) hay không. Tuy nhiên
dễ dàng thấy rằng FX (x, v) có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình.
Hơn nữa, với x ∈ X ta có thể chọn một lân cận Ux của x mà đẳng cấu
với một hình cầu trong khơng gian Banach E . Với mọi x ∈ Ux ta có thể
xem Tx X = E . Khi đó với x ∈ Ux và v ∈ Tx X ta có

FX (x , v ) ≤ FUx (x , v ).
Sử dụng kết quả nói trên của Vesentini ta suy ra FX (x, v) là bị chặn
trên địa phương trên T (X). Do đó ta có thể định nghĩa

FX∗ (x, v) = lim sup FX (x , v ).

x →x
v →v

Khi đó FX∗ (x, v) là nửa liên tục trên trên T (X) và giảm qua các ánh xạ
chỉnh hình. Do vậy ta có


19

2.1.4

Định nghĩa

Với hai điểm p, q ∈ X ta định nghĩa
1

d∗X (p, q) = inf{

FX∗ (γ(t), γ (t))dt; γ ∈ Ωp, q }
0

trong đó Ωp, q là tập các đường cong C 1 -từng khúc nối p và q trong X .
Ta có d∗X (p, q) là giả khoảng cách trên X và d∗X (p, q) là giảm qua các ánh
xạ chỉnh hình nên theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi ta có:

d∗X (p, q) ≤ dX (p, q), với mọi p, q ∈ X.
Không gian phức taut đã được trình bày ở Chương 1 (mục 1.4) nhưng
do mọi không gian Banach vô hạn chiều đều không là compact địa phương,
nên ta cần một sự điều chỉnh thích hợp với khái niệm taut như sau:

2.1.5

Định nghĩa

Cho X là không gian giải tích Banach. Ta nói rằng X là taut yếu nếu
với mỗi dãy {fn } ⊂ Hol(∆, X), không gian các ánh xạ chỉnh hình đi từ
đĩa đơn vị ∆ trong C đến X , được trang bị tô pô compact mở, thỏa mãn
một trong hai điều kiện sau:

i) tồn tại một dãy con {fnk } hội tụ trong Hol(∆, X).
ii) tồn tại một tập con rời rạc S của ∆ và dãy con {fnk } sao cho
{fnk |∆\S } là phân kỳ compact, nghĩa là với mỗi tập con compact K ⊂ ∆\S
và L ⊂ X tồn tại k0 sao cho
fnk (K) ∩ L = ∅ với k ≥ k0 .
2.1.6

Định nghĩa

Cho Ω là một miền không bị chặn trong không gian Banach E . Một lân
cận của ∞ trong Ω là tập chứa phần bù của một hình cầu đóng trong Ω.
Nếu ϕ là một hàm xác định trên Ω và c là một số phức, ta đặt ϕ(∞) = c
nếu lim{ϕ(z); z ∈ Ω, ||z|| → +∞} = c.


20

2.1.7

Định nghĩa

Cho Ω là một miền trong không gian Banach E . Ta nói rằng Ω là taut
yếu địa phương nếu với mỗi p ∈ ∂Ω, tồn tại lân cận U của p sao cho U ∩ Ω
là taut yếu.
Định nghĩa sau là tương tự Định nghĩa 1.5.1 trong trường hợp Ω là một
miền trong không gian Banach.

2.1.8

Định nghĩa

Một hàm ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại điểm

p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ϕ là đa điều hòa
dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn
ϕ(p) = 0
sup{ϕ(z) : z ∈ Ω ∩ (V \U )} < 0.
với lân cận U tùy ý của p trong V .
Một hàm ψ được gọi là hàm đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại
một điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ψ là đa
điều hòa dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn

ψ(p) = −∞
inf {ψ(z) : z ∈ Ω ∩ (V \U )} > −∞,
với bất kỳ lân cận U của p trong V .

2.2

Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp
giải tích Banach

Trong phần này ta trình bày kết quả về mối liên hệ giữa tính taut yếu
và tính hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach.


21

2.2.1

Định lý

Cho X là một đa tạp giải tích Banach. Nếu X là taut yếu thì X là
hyperbolic.
Chứng minh. i) Đầu tiên ta chỉ ra rằng với mỗi x0 ∈ X , tồn tại một lân
cận U của x0 và c > 0 sao cho FX (x, v) ≥ c||v|| với mọi x ∈ U và v ∈ Tx X .
Thật vậy, trong trường hợp ngược lại, tồn tại x0 ∈ X và dãy {xn } ⊂ X ,

xn → x0 khi n → ∞ sao cho với mỗi n ≥ 1, ∃fn ∈ Hol(∆, X), fn (0) = xn
và ||f n (0)|| ≥ n.
Lấy {λj }, 0 < |λj | < 1 và λj → 0. Với mỗi n ≥ 1, đặt
n

θn (λ) =

λ − λj
với λ ∈ ∆.
1
−
λ
λ
j

j=1

Khi đó θn ∈ Hol(∆, ∆) với n ≥ 1 và

θn (λj ) = 0 với 1 ≤ j ≤ n,
θn (λ1 ) = 0 với n ≥ 1.
Do đó với mỗi k ≥ 1, ta có thể tìm được nk sao cho

||fnk (θk (λ1 ))θk (λ1 )|| = ||fnk (0)|| |θk (λ1 )| ≥ k
với k ≥ 1.
Với gk = fnk .θk ∈ Hol(∆, X), ta có

lim gk (λj ) = lim fnk (θk (λj )) = lim fnk (0) = lim xnk = x0
k

k

k

k

với mọi j ≥ 1. Theo giả thiết, tồn tại một dãy {gkp } = {fnkp .θkp } của {gk }
hội tụ trong Hol(∆, X). Do đó

sup ||gkp (λ1 )|| < ∞.
p≥1