Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN HUY HÙNG

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2
CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN – 2011


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 2
Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TỐN TỐI ƯU
KHƠNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP ............................................. 5
1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ ........................................................... 5
1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU............................................................ 7
1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC ............................. 17
Chương 2.

ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TỐN

TỐI ƯU KHƠNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC ..... 23
2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2.................................................... 23
2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE .. 40
2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM
LAGRANGE.................................................................................... 45
KẾT LUẬN.......................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 52

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

MỞ ĐẦU
Lý thuyết các bài tốn tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và
nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận
được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2

cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của
hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà
dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient
suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và
Hessian.
R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2
tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài tốn với ràng
buộc trong khơng gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz
địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Phương pháp chứng
minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3]
đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các
điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy
dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các
điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức
và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2
được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được
xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài tốn xuất
phát có ràng buộc hàm thành bài tốn khơng ràng buộc với hàm mục tiêu
“quy gọn”).
Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của
Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz

địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngơn ngữ
gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy
gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài tốn trên với các hàm bán
trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát
cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài tốn tối ưu với ràng buộc tập,
trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập
đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong
chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng
Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và
chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài
tốn tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều
kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W.
Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của
các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9].
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa
Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các
thầy cơ giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4

đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Tốn K17 đã ln
quan tâm, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận
văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

NGUYỄN HUY HÙNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Chương 1.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TỐN TỐI ƯU
KHƠNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP
Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho
cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài tốn tối ưu với ràng buộc tập,
trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc là một tập
đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn
ngữ gradient suy rộng Clarke. Trường hợp bài tốn với các hàm bán trơn
và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Các
kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7].
1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Gradient suy rộng
Cho W là một tập mở trong Rn. Giả sử f là một hàm giá trị thực xác
định trên W. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi

điểm x thuộc W tồn tại một lân cận V  x  và một số K  x  sao cho:

f ( z )  f ( y )  K ( x) z  y
với mọi z và y thuộc V x  . Trong đó z  y là chuẩn Euclide của z  y
Định nghĩa 1.1
Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W. Theo Định lý
Rademacher [12], f là khả vi hầu khắp nơi trên W. Ký hiệu f là
gradient của f tại x (khi nó tồn tại). Gọi E là tập hợp tất cả các điểm z
trong W mà f là khả vi tại z. Giả sử x thuộc W. Gradient suy rộng của f

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

tại x, ký hiệu là f (x) , là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn
của dãy hội tụ f ( xk ) , trong đó xk 
k 1 là một dãy trong E hội tụ đến
x.
Đạo hàm theo phương suy rộng của f tại x theo phương d được định
nghĩa bởi

f 0 ( x, d )  lim sup
v 0 t  0

f ( x  v  td )  f ( x  v )
.
t

Ta có (xem [1]):



f ( x )    R n :   , u  f o ( x; u ), u  R n



Nhận xét 1.1
Ta liệt kê một số sự kiện về các gradient suy rộng mà ta sẽ sử
dụng sau này (xem [1]).
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k. Khi đó,
(a) Hàm f o (x;.) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên R n và

f o ( x; v)  k v .
(b) f o ( y, v) nửa liên tục trên theo ( y, v); f o ( x;.) Lipschitz (theo v) với
hằng số k trên R n .
(c) f ( x)  0 , lồi, compact và

 k

   f ( x) 

(d) f 0 ( x; d )  maxv.d : v  f ( x ) ,với mọi x thuộc W và d thuộc R n .
Nói cách khác, f 0 ( x;.) là hàm tựa của tập lồi f (x ) .
(e) Cho x thuộc W, hàm f 0 ( x;.) lồi trên R n .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

(f) Hàm đa trị x  f ( x) là nửa liên tục trên W;. Do đó, nếu  xk  và

vk 

hội tụ tương ứng với xW và v R n và nếu v k  f (x) với mỗi

k, thì v f (x ) .
(g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg.
Giả sử x và yW. Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W.
Khi đó tồn tại z  L và v  f (z ) sao cho z  x , z  y và

f ( x)  f ( y )  v.( x  y)
với v nào đó thuộc Rn và với mọi d  R n ta có

v.d  limsup
t 0

f ( x  td )  f ( x )
t

thì v  f (x ) .
1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU
Giả sử S là một tập hợp con đóng của khơng gian n–chiều R n và W là
một tập mở trong R n . Giả sử điểm x *  S  W và f là một hàm
Lipschitz địa phương giá trị thực trên W . Ta xét bài toán

(P) :

min f ( x )
xS W

Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp
liên K ( S , x*) và nón tiếp tuyến Clarke T ( S , x*) trùng nhau. Nón tiếp
tuyến Clarke T ( S , x*) của S tại x* bao gồm tất cả các y  R n sao cho
với mọi dãy tk   0 và  xk  hội tụ tới x* với mỗi xk  S, thì tồn tại dãy

 yk  hội tụ đến y sao cho

xk  tk yk S với mọi k. Nón tiếp liên K(S, x*)

của S tại x* bao gồm tất cả các y  R n nên tồn tại các dãy tk  các số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

dương và  xk  hội tụ tới x* với mỗi xk  S và

 xk  x * / tk  hội tụ đến

y.
Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi.
Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*).

Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y  R n và nếu   0 thì x là
chuẩn Euclide của x , x .y là tích vơ hướng thơng thường của x và y,





B(x,) là tập hợp z  R n , z  x   . Nếu C là một tập đóng lồi trong R n
và nếu x  C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x . Nếu C
chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x)
= N(T (C, x), 0).
Định nghĩa 1.2
Cho  xk  là một dãy trong R n hội tụ đến x và cho d là một vectơ
đơn vị trong R n . Khi đó

xk 

hội tụ tới x theo phương d nếu dãy

{(xk – x) / | xk – x |} hội tụ đến d.
Định nghĩa 1.3
Cho x  W và d là một vectơ đơn vị trong R n . Ta định nghĩa

 d f ( x) là tập hợp tất cả các v  R n sao cho tồn tại các dãy  xk  trong
W và vk  trong R n mà:
(a)  xk  hội tụ tới x theo phương d;
(b) vk  hội tụ đến v;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

(c) vk  f(xk) với mỗi k.
Ta định nghĩa L(f, x*) là tập của tất cả các điểm td, trong đó

d  R n , | d | 1, t  0 , và v0 .d  0 với v0 nào đó trong  d f ( x*) .
Tập L(f, x*) là một nón đóng.
Định lý 1.1
Giả sử S, W, x*, f như trên, g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị
thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x)  f(x) với mỗi x S  W . Giả sử
rằng, với mỗi vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*)  L(f, x*), có
tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d*  C(x*). Ta cũng giả sử
rằng:
(a) ta có w.d  0 khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó
thuộc K(S, x*)  L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc  d g ( x*) .
(b) tồn tại m*  0 sao cho

limsup wk .( xk  x*)/ | xk  x*|2  m *
với mọi dãy

xk 

và

wk 

và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn:

(i)  xk  hội tụ tới x* theo phương d,
(ii) d*  K(S, x*)  L(f, x*) và d*C(x*),
(iii) wk  g (x*) với mỗi k,
(iv) wk  hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*).
Khi đó, tồn tại   0 sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

f ( x )  f ( x*)   m * /2  x  x *

2

với mọi x  B ( x*,  )  S .
Chứng minh
Giả sử kết luận là sai và chọn một dãy  k  các số dương giảm
đến 0 với 1  1 . Với k cho trước, tồn tại zk trong B(x*,  k ) ∩ S sao cho
2

f ( zk )  f ( x*)   m * /2  zk  x * . Đặt
2

h( x )  g ( x)   m * /2  x  x * .
Chú ý rằng zk ≠ z với mỗi k. Ta có

h( zk )  g ( z k )   m * /2  zk  x *

2

2

≤ f ( zk )  ( m * /2) zk  x *  f ( x*)  h( x*) .
Đặt ek = (zk – x*) /|zk – x*|, ta có thể giả sử ek  hội tụ đến một vectơ đơn
vị d* trong K(S, x*). Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có
f(zk) – f(x*) = vk*  (zk – x*),
trong đó v*k thuộc f(θkzk + (1 – θk) x*) với 0 < θk <1.

 

Ta có thể giả sử vk* hội tụ đến v trong d*f(x*) và ta có
v  d* = lim v*k  ek ≤ 0.
Do đó, d*  L(ƒ, x*).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Với mỗi k, ta xác định ánh xạ tuyến tính Tk từ R n vào R n bằng cách đặt
Tk(x) = x + (x  d*) (ek – d*). Với I là ánh xạ đồng nhất, ta có
|| Tk – I || ≤ |ek – d*|.
Ta có thể giả sử |ek – d*| < 0.5 với mọi k. Vì vậy do Bổ đề nhiễu mà Tk là

 

khả nghịch với mọi k và dãy Tk1 là bị chặn. Đặt Ak = Tk(C(d*)) với
mọi k. Khi đó, Ak là một nón lồi đóng chứa ek.
Ta có zk thuộc B(x*, δk)  (Ak+  x * ). Vì vậy, h đạt được giá trị cực tiểu
trên B(x*, δk) (Ak + {x*}) tại điểm xk nào đó khác x*. Do đó, theo [3],
tồn tại vk  h(xk) sao cho –vk là vectơ pháp tuyến của tập lồi
B(x*, δk)(Ak+{x*}) tại xk.
Với mỗi k, đặt tk = | xk – x* |> 0 và d k = (xk – x*) / tk. Theo [14], tồn tại
ck ≥ 0 và vectơ pháp tuyến uk của tập Ak + {x*} tại xk sao cho
vk + ckdk + u k = 0 với mọi k. Do đó, tồn tại wk trong g(xk) sao cho vk =
wk – m* (xk – x*) với mọi k và như vậy
wk – m* (xk – x*) + ck dk + u k = 0, k ≥ 1

(1.1)

Bởi vì xk thuộc Ak + {x*}, ta có d k thuộc Ak. Từ đó suy ra
xk ± tkdk xk thuộc Ak + {x*}, và do đó uk. dk = 0. Từ (1.1), ta nhận được
wk.dk + ck = m* tk, k ≥ 1.

(1.2)

Ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong R n . Ta có thể
giả sử {wk} hội tụ đến wdg(x*), và vì vậy (1.2) kéo theo {ck} hội tụ
đến một số khơng âm c. Do đó, theo (1.1), {u k} hội tụ đến vectơ u.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12

Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng d  C(d*). Với mỗi k, tồn tại d*k trong
C(d*) sao cho dk = Tk(dk*). Bởi vì | dk | = 1 với mọi k và Tk–1 bị chặn đều,
ta suy ra {d* k} bị chặn và vì vậy ta có thể giả sử nó hội tụ đến d~ trong
C(d*).
Bởi vì |dk* – Tk(dk*)| ≤ |ek – d* | | d k* |, ta có
d ~ – d = lim (dk* – Tk(dk*)) = 0
Do đó, d  C(d*).
Từ giả thiết (a) ta khẳng định rằng w.d ≥ 0. Từ (1.2), ta nhận được
wd + c = 0, và vì vậy, do c ≥ 0, ta có c = wd = 0. Từ (1.1), ta nhận được
w + u = 0.
Để thấy rằng u thuộc N(C(d*) + x*, x*), ta giả sử e thuộc C(d*). Khi đó,
với k cho trước, Tk(e) thuộc Ak , và như vậy (Tk(e) + x* – xk). uk ≤ 0. Bởi
vì {Tk(e)} hội tụ đến e, ta suy ra e.u ≤ 0, và do đó u khơng thuộc
N(C(d*) + x*, x*). Bởi vì các điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có
limsup wk.d k /tk > m*. Nhưng, từ (1.2), ta có wk.dk ≤ m*.tk với mọi k. Vì
vậy ta đã đi đến một mâu thuẫn và chứng minh là hoàn tất.

□

Nhận xét 1.2
Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*). Các lựa chọn
khác nhau có thể làm và ta sẽ mơ tả một vài cách chọn.
Trước hết ta chú ý rằng ta có thể chọn C(d*) = R n với mỗi
d* K(S, x*) L(f, x*). Cách lựa chọn này là tự nhiên cho trường hợp
khơng có ràng buộc (tức là, khi S là một lân cận của x*).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13

Ta có thể chọn C (d *)  td *: t  0 với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*)
Bây giờ, ta trở về hai cách lựa chọn cho C(d*) mà dẫn đến kết quả mới.
Hệ quả 1.1.1
Cho S, W, x*, f như trong trên. Giả sử g là hàm Lipschitz địa phương giá
trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) ≤ f(x) với mọi x trong S ∩ W, S
là chính quy tiếp tuyến tại x*. Giả sử rằng:
(a) w.d ≥ 0 khi d là vectơ đơn vị trong K(S, x*) và w ∂dg(x*);
(b) tồn tại m* ≥ 0 sao cho limsupwk. (xk – x*) / | xk – x*|2 > m* với mọi
dãy {xk} và {wk} mà trong đó {xk} hội tụ tới x* theo phương
d  K(S, x*), wk  ∂ g(xk) với mỗi k, và {wk} hội tụ đến một điểm trong
–N(S, x*).
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│2 .
với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S.
Chứng minh
Nón K(S, x*) = T (S, x*) là lồi và vì vậy ta có thể chọn C(d*) = K(S, x*)
với mỗi d* trong Định lý 1.1.

□

Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực trên W là
chính quy dưới vi phân tại x trong W nếu đạo hàm theo phương f '(x; d)
tồn tại với mọi d trong R n và f 0(x;d) = f '(x; d) với mọi d. Hàm f được
gọi là bán trơn tại x trong W nếu {vk.d} luôn hội tụ khi {xk} và {vk} là các

dãy sao cho {xk} hội tụ tới x theo phương đơn vị d và vk  ∂f(xk) với mỗi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

k. Mifflin đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x, thì với mỗi vectơ đơn vị
d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn tại và bằng limvk .d, trong đó {vk} là
dãy được như trong định nghĩa vừa nêu.
Bây giờ giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Khi
đó
L(f, x*) = {d  R n : f 0 (x, d) ≤ 0}
theo [8]; vì thế, nón L(f, x*) lồi. Do đó, nếu S là chính quy tiếp tuyến tại
x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi. Điều này dẫn đến hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.1.2
Giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Giả sử tất
cả các giả thiết của Hệ quả 1.1.1 đúng, trong (a) và (b) ta thay thế
K(s, x*) bởi K(s, x*) ∩ L(f, x*) và trong (b ) ta thay thế
– N(S, x*) bởi –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0).
Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* |2 ,
với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S.
(Hơn nữa, nếu g cũng bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, thì ta
có thể thay thế giả thiết (a) bằng giả thiết:
tập g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.)
Chứng minh
Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với mỗi d*. Với cách lựa chọn

đó, ta dùng Định lý 1.1. Chỉ cần xem xét phát biểu cuối cùng. Như vậy,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

giả sử v*  ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Ta phải chứng minh
rằng (a) đúng.
Như vậy, nếu d  K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w  ∂dg(x*), ta có
w. d = g'(x*; d) = g 0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0.

□

Ví dụ 1.1
Trong Định lý 1.1, ta chọn C(d*) = {td*: t ≥ 0} với mỗi d*. Ta
muốn chỉ ra cách lựa chọn khác có thể được, ngay cả khi S khơng phải là
chính quy tiếp tuyến tại x*.
Cho S là tập của tất cả các điểm trong R2 mà tồn tại tọa độ cực
(r,  ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π và 0 ≤ r ≤ 2  2cos . Như vậy, S là tập
hợp bị chặn. Với x* = (0, 0), ta có
T(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ | v |}
K(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ – |v |}
Do đó, S khơng là chính quy tiếp tuyến tại x*.
Với d* = (v*, u*)  K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v)  R2: u ≥ v} khi
u* ≥ v*, và C(d*) = {(u, v)  R2: u + v ≥ 0} khi u* < v*. Với cách lựa
chọn đó, mỗi nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) chỉ gồm một tia.
Ví dụ 1.2

Ta chỉ ra rằng Định lý 1.1 là sai nếu (b) (i) được thay thế bằng
"{xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với mỗi k".
Cho S = {(x, y)  R2: –1 ≤ x ≤ 1 và x4 – x2 ≤ y ≤ 1}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 và lấy g = f. Lấy x* = (0, 0). Ta thấy
rằng
K(S, x*) = {(c, d)  R2: d ≥ 0}.
Ta chọn C(d*) là K(S, x*). Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)}.
Nếu d ≥ 0 thì (c, d). (0, 4) = 4d ≥ 0, và vì vậy (a) của Định lý 1.1 đúng.
Bây giờ ta giả sử {(xk, yk)} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của (b) và
giả sử mỗi (xk, yk) thuộc S. Khi đó, với zk = (xk, yk) và chú ý
wk = (6xk, 8yk + 4),
ta có
wk. (zk – x*) / | zk – x* |2 = 6 + (2yk2 + 4 yk) / (xk2 + yk2).
Do yk ≥ xk4 – xk2, ta có
limsup wk. (zk – x*) / (xk2 + yk2) ≥ 4.
Tuy nhiên, x* = (0, 0) là cực tiểu địa phương của f trên S. Thật vậy, lấy
(x, y) với x nhỏ và dương và y = x4 – x2. Khi đó,
f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1)2
= 1 – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} <1 = f(0, 0),
nếu x đủ gần 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC
Nhận xét 1.3
Ta sẽ xét bài toán P ở đây với S = S1 ∩ S2, mà S2 là một tập đóng
và
m

(3) S1 =  {x  Rn: gi (x) ≤ 0} ∩
i1

q

 {x  Rn: gi (x) = 0},

(1.3)

i  m 1

ở đây mỗi hàm gi là Lipschitz địa phương trên W.
Điều kiện cần để x* là cực tiểu địa phương của bài toán này đã xét
trong [14]. Theo [14], nếu bài tốn P là n tĩnh (calm) tại x* thì tồn tại
các nhân tử a1, ..., aq sao cho
ai ≥ 0 với i = 1, ..., m,

(1.4)

aigi (x*) = 0, với i = 1, ..., m,

(1.5)

0 {f + a1g1 + a2g2 + ... + aqgq + 2} (x*).

(1.6)

Trong (1.6), 2 là hàm chỉ của tập S2, ta có

2(x) = 0 nếu x  S2 và 2 (x) = + nếu x  S2 .
Nếu các nhân tử a1, ..., aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) tồn tại, ta xác
định hàm Lagrange L bởi L = f + a1g1 + ... aqgq và chú ý rằng ta có thể
lấy hàm bổ trợ g trong Định lý 1.1 là L. Ta phát biểu một Định lý mà các
hàm là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Định lý 1.2
Giả sử các hàm f, g1, ..., gm là bán trơn và chính quy dưới vi phân
tại x* và các hàm gm +1, ..., gq thuộc lớp C1 ở gần x*. Gọi I là tập tất cả
các chỉ số i mà 1 ≤ i ≤ m và gi (x*) = 0. Giả sử 0 không thuộc bao lồi của
hợp các tập ∂g i (x*) với i  I và các tập ∂ g i (x*)  – ∂ gi (x*) với
i = m+1, ..., q. Giả sử

T (S1, x*) ∩ intT(S2, x*)  0 hoặc int T(S1, x*) ∩ T (S 2, x*)  0 .
Giả sử S2 là chính quy tiếp tuyến tại x*.
Giả sử tồn tại hệ số a1, ..., aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) và đặt
L = f + a1g1 + ... + a qgq. Cuối cùng, giả sử tồn tại m* ≥ 0 sao cho:
limsup wk. (xk – x*) / | xk – x* |2 > m*,
với mọi dãy {xk} và {wk} thỏa mãn:
(v) {xk} hội tụ tới x* theo phương d trong T(S, x*) mà g'i (x*; d) = 0 với
mọi i  I sao cho ai > 0;
(vi) wk  ∂ L(xk) với mỗi k;
(vii) {wk} hội tụ đến một điểm trong – N(L(f, x*) ∩ T (S, x*), 0).
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x*) = (m* / 2) | x – x* |2
với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

Chứng minh
Ta chứng minh Định lý này từ Định lý 1.1. Trước hết chú ý rằng
f(x*) = L(x*) và L ≤ f trên S ∩ W. Từ [8] suy ra L là bán trơn và chính
quy dưới vi phân tại x*. Ta có tập L(f, x*) là một nón lồi đóng. Từ [13,
Hệ quả 2 đến Định lý 5] ta suy ra S1 là chính quy tiếp tuyến tại x* và do
đó từ [13, Hệ quả 4 của Định lý 2] ta suy ra S là chính quy tiếp tuyến tại
x*. Do đó, nón đóng K(S, x*) ∩ L(f, x*) lồi; với mỗi d*  K(S, x*) ∩
L(f, x*), ta đặt C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*).
Để chứng minh rằng (a) đúng trong Định lý 1.1, ta lấy

d  K(S, x*)  L(f, x*) và w  ∂d L(x*). Từ [13, Hệ quả 2 của Định lý 2],
ta suy ra rằng (1.6) kéo theo sự tồn tại của v*  L(x*) sao cho
–v*  N(S 2, x*). Vì L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có
w. d = L '(x *; d) = L0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0

(1.7)

Ta chỉ còn phải kiểm tra (b) của Định lý 1.1 đúng. Vì vậy, ta giả
sử {xk} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của Định lý 1.1 với g lấy là L. Khi đó
(vi) và (vii) của Định lý này rõ ràng đúng. Như trong (1.7), ta có
w.d = L '(x *; d) ≥ 0
và vì vậy
f '(x*; d) + a1g1 (x*; d) + .... + aqg’q (x*; d) ≥ 0.

(1.8)

Vì d  L(f, x*), ta có f '(x*, d) ≤ 0. Vì d  K(S, x*), ta có g1' (x*, d) = 0
với i > m và gi' (x*; d) ≤ 0 với i  I. Do đó, từ (1.8) suy ra gi'(x*; d) = 0
với i  I mà ai > 0. Ta suy ra {xk} và d thỏa mãn (v). Vì vậy, từ (v) –
(vii), ta nhận được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

lim sup wk. (xk – x*) / | xk – x* |2 > m* .
Như vậy (b) đúng.

□

Nhận xét 1.4
Trong Định lý 1.2 địi hỏi 0 khơng thuộc bao lồi của các dưới vi
phân là một điều kiện chính quy. Đó là một tổng qt hóa của điều kiện
chính quy Mangasarian_Fromovitz.
Nhận xét 1.5
Có thể xây dựng các dạng khác của Định lý 1.1 bằng cách sử dụng
một số hàm bổ trợ khác. Ta sẽ thảo luận ở đây một ví dụ. Ta tiếp tục làm
bài toán với S = S1 ∩ S 2 , với S1 cho bởi (1.3).
Ta giả sử r và m* là các số dương. Lấy x* S ∩ W như trước. Ta
xác định hàm M trên W bằng cách lấy M(x) là số lớn nhất trong các số
g1(x), ..., gm(x), và
f(x) – f(x*) – (m* / 2) | x – x* |2 + r | gm + 1 (x) | + ... + r | gq (x) |.
Chú ý rằng M(x*) = 0, vì x* S. Ta sử dụng hàm M là do nhận xét rằng:
Nếu x* làm cực tiểu M trên B(x*, δ) ∩ S2 thì ta có
f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) | x – x* |2
với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.
Định lý 1.3
Cho W, f và x* như trên, và S = S1 ∩ S2 . Cho g là một hàm
Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = M (x*) = 0 và
g(x) ≤ M (x) với mọi x  S ∩ W. Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

d*  K(S, x*) ∩ L(f, x*), có tương ứng một nón lồi đóng C(d*) mà
d* C(d*). Ta cũng giả thiết rằng:
(a) Ta có w. d ≥ 0 với mọi vectơ đơn vị d  C(d*) với d* nào đó trong
K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w là gradient suy rộng bất kỳ trong ∂dg(x*);
(b) Ta có limsup wk.(xk – x*) / |xk – x*|2 > 0 với bất kỳ các dãy {xk} và
{wk} và d*, d là các vectơ đơn vị thỏa mãn
(i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d,
(ii) d* K(S, x*) ∩ L(f, x*) và d  C(d*),
(iii) wk  ∂ g(xk) với mỗi k,
(iv) {wk} hội tụ đến một điểm w  –N(C(d*) + x*, x*).
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│
với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.
Chứng minh
Giả sử kết luận là sai và ta chọn dãy { δ k} gồm các số dương giảm
về 0 với δ1 < 1. Với k cho trước, tồn tại zk  B(x*, δk) ∩ S sao cho
f(zk) –. f( x*) <(m* / 2) │zk – x* │2 .
Đặt h = g và chú ý rằng zk ≠ x* với mỗi k. Ta có
h(zk) = g(zk) ≤ M (zk) ≤ 0 = M (x*) = h(x*) với mỗi k.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

Phần cịn lại của chứng minh có thể được làm như chứng minh
Định lý 1.1 với một vài thay đổi nhỏ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

□




23

Chương 2.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TỐN
TỐI

ƯU

KHƠNG

TRƠN

CĨ

RÀNG

BUỘC

BẤT ĐẲNG THỨC
Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với
hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức là các hàm Lipschitz địa
phương. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngơn ngữ

gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng kiểu hàm
quy gọn của Ioffe [9]. Các kết quả được trình bày trong chương này là
của Chaney [6].
2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2
Giả sử W là một tập mở trong không gian Euclide thực n–chiều
R n . g 0 , g1 , g 2 ,...g q là các hàm giá trị thực trên R n , Lipschitz địa

phương trên W. Giả sử
m

q

x  R n : g1( x )  0

i  m 1

S    x  g1( x )  0  
i 1

(2.1)

Ta xét các bài toán:
P1: min g 0 ( x) với x  S  W .
Ta cũng xét bài tốn khơng bị ràng buộc:
P1*: min F  x  với x  W;
ở đây, F là hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên W.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24

Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới ngôn ngữ các
hàm bổ trợ H và M. Giả sử x*  S  W và r  0 và m  0 . Với x  W,
ta đặt
q


H  x   m ax  g o ( x )  g   x    r  g i  x  ;1  i  m 

i  m 1




M(x)=  go ( x)  go ( x*)  (m * /2) | x  x* |2 r


(2.2)

q


|
g
(
x
)

|;
g
(x):
i

1,...,
m
.
 i
i
i m 1


(2.3)
Chú ý rằng các hàm H và M phụ thuộc vào x* và r, và M cũng phụ
thuộc

vào

m*. Hàm

H

là

hàm

quy

gọn

kiểu

Ioffe

[9].

Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y thuộc R n ta ký hiệu xy là tích vơ





hướng thơng thường của x và y, và B( x,  )  z  R n : x  z   .
Định nghĩa 2.1
Cho  xk  là một dãy trong W hội tụ đến x  W và giả sử xk  x
với mọi k. Cho d là một vectơ khác không trong R n . Khi đó  xk  được
gọi là hội tụ tới x theo hướng d nếu {( xk  x) / | xk  x |} hội tụ đến

d/d .
Định nghĩa 2.2
Lấy x  W và d là một vectơ khác không trong R n . Ta định nghĩa

 d f ( x) là tập tất cả các v trong R n sao cho tồn tại các dãy  xk  trong
W và vk  trong R n sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên