Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông tỉnh hà giang trong dạy học nội dung phương trình lượng giác

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––

VIÊN THỊ LIỄU

PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
TỈNH HÀ GIANG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––

VIÊN THỊ LIỄU

PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT GIẢI
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
TỈNH HÀ GIANG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Đỗ Thị Trinh

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa có ai cơng bố trong một cơng
trình nào khác.
Thái Ngun, tháng 5 năm 2015
Tác giả

VIÊN THỊ LIỄU

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN i




LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban

chủ nhiệm, quý thầy, cơ giáo khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên và
quý thầy cô trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập.
Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng quý thầy, cô tổ Toán -Tin
trường THPT Quản Bạ, đã tạo điều kiện trong thời gian thực nghiệm và hoàn thành
luận văn.
Đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn: TS. Đỗ Thị Trinh
người đã tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian nghiên cứu và hồn thành luận văn này.
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình
đã giúp đỡ, động viên tác giả hồn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

VIÊN THỊ LIỄU

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNii




MỤC LỤC
Lời cam đoan .................................................................................................................. i
Lời cảm ơn .....................................................................................................................ii
Mục lục ........................................................................................................................ iii
Danh mục các chữ viết tắt............................................................................................. iv
Danh mục các bảng ........................................................................................................ v
Danh mục các biểu đồ ................................................................................................... vi
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................3
3. Giả thiết khoa học ......................................................................................................3

4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu ...........................................................................................4
6. Dự kiến cấu trúc luận văn ..........................................................................................4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................................5
1.1. Tư duy .....................................................................................................................5
1.1.1. Khái niệm Tư duy ................................................................................................ 5
1.1.2. Đặc điểm của Tư duy ...........................................................................................5
1.2. Tư duy thuật giải .....................................................................................................8
1.2.1. Thuật toán ............................................................................................................8
1.2.2. Thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải ............................................................. 12
1.2.3. Tư duy thuật giải ................................................................................................ 13
1.3. Dạy học giải bài tập toán ......................................................................................19
1.3.1. Bài tập toán ........................................................................................................19
1.3.2. Chức năng của bài tập toán ................................................................................20
1.4. Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang .........23
1.4.1. Đặc điểm tư duy của học sinh THPT tỉnh Hà Giang .........................................23
1.4.2. Thực trạng rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học mơn Tốn nói
chung và dạy học nội dung phương trình lượng giác nói riêng cho học sinh
THPT tỉnh Hà Giang ...................................................................................................24
1.5. Tiềm năng phát triển tư duy thuật giải trong dạy học phương trình lượng giác
cho học sinh THPT tỉnh Hà Giang ..............................................................................27
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii




1.6. Tiểu kết chương 1 .................................................................................................31
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN
TƢ DUY THUẬT GIẢI

CHO HỌC SINH THPT TỈNH

HÀ GIANG

THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC .......32
2.1. Một số định hướng dạy học theo hướng phát triển TDTG cho HS THPT tỉnh
Hà Giang ......................................................................................................................32
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDTG cho HS tỉnh Hà Giang
thông qua dạy học nội dung PTLG ..............................................................................34
2.2.1.Biện pháp 1: Truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp trong khi tổ
chức điều khiển luyện tập các hoạt động thông qua dạy học giải PTLG ....................34
2.2.2.Biện pháp 2: Rèn luyện các hoạt động của TDTG trong các khâu của dạy
học giải bài tập .............................................................................................................46
2.2.3. Biện pháp 3: Hướng dẫn tổ chức dạy học PTLG theo hướng phát triển
TDTG cho HS ..............................................................................................................58
2.2.4. Biện pháp 4: Dạy học phân bậc hoạt động theo hướng phát triển TDTG. .......68
2.3. Tiểu kết chương 2 .................................................................................................75
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................76
3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................... 76
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ........................................................................76
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................................76
3.2.2. Nội dung thực nghiệm .......................................................................................77
3.2.3. Dụng ý sư phạm của đề kiểm tra .......................................................................77
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..............................................................................77
3.3.1.Kết quả định tính.................................................................................................77
3.3.2. Kết quả định lượng ............................................................................................ 78
3.4. Tiểu kết chương 3 .................................................................................................81
KẾT LUẬN .................................................................................................................82
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................83
PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv




DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Stt

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

PTLG

4

TD

5

TDTG

6

TG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv

Phương trình lượng giác
Tư duy
Tư duy thuật giải
Thuật giải




DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Kết qủa bài kiểm tra khảo sát chất lượng mơn Tốn đầu năm học .............76
Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 11A3 và
lớp 11A6 trường THPT Quản Bạ ............................................................... 78
Bảng 3.3. Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 11A3 và lớp 11A6
trường THPT Quản Bạ ...............................................................................79

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNv

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1: Phân bố tần số điểm của cặp lớp TN – ĐC .............................................78
Biểu đồ 3.2: Giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn về điểm của lớp TN-ĐC ...80

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNvi




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng. Sự phát triển
nhanh chóng của khoa học và cơng nghệ, đặc biệt là sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều
lĩnh vực giữa các quốc gia. Từ đó địi hỏi giáo dục phải đổi mới phương pháp dạy học
một cách mạnh mẽ, nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của người
lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật, có
tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi
giải quyết công việc.
Trước thực tế trên, Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI đã xác định
“Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội
hoá, dân chủ hoá và hội nhập quốc tế” và “Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nhất là
nguồn nhân lực chất lượng cao, tập trung vào việc đổi mới căn bản và toàn diện nền
giáo dục quốc dân”.
Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp
hành Trung Ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra: “Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy

sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện
hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu”.
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá
trình dạy học là phát triển TDTG cho HS thơng qua hầu hết các hình thức dạy học.
1.2. Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục Tin học. Tin học được dạy
tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như cơng cụ dạy học. Do
đó vấn đề phát triển phát triển TDTG trong mơn Tốn giữ một vị trí quan trọng trong
giáo dục Tin học. Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục Tin học:
“Góp phần hình thành ở HS những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng
công nghệ thông tin như TDTG, tư duy điều khiển,…”.
1.3. Phát triển TDTG là một trong những mục đích quan trọng của việc dạy học Tốn
ở trường phổ thơng vì:
* TDTG tạo điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng
Tốn học
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN1




* TDTG phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (như: phân tích
tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...) cũng như những phẩm chất trí
tuệ (như: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).
* TDTG giúp HS hình dung được q trình tự động hóa diễn ra trong những
lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thơng tin. Điều này làm
cho HS thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà
trường và xã hội.
1.4. Phát triển TDTG trong mơn Tốn có ý nghĩa về nhiều mặt và mơn Toán chứa
đựng khả năng to lớn về phát triển TDTG, thế nhưng, TDTG chưa được chú ý phát
triển đúng mức ở nhà trường phổ thơng. Đã có một số cơng trình nghiên cứu về vấn
đề này, trong số các cơng trình đó có thể kể tới luận án tiến sỹ của Vương Dương

Minh: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở
trường phổ thông” (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển TDTG cho HS
trong khi dạy các hệ thống số nên chưa có dịp đi sâu vào việc phát triển TDTG cho
HS trong khi dạy học nội dung PTLG.
1.5. Theo A.A.Stơliar “Dạy Tốn là dạy hoạt động Tốn học”. Trong mơn Tốn ở
trường phổ thơng có nhiều tình huống điển hình nhưng có thể xem giải Tốn là hình
thức chủ yếu của hoạt động Tốn học bởi vì các bài tập toán là một phương tiện rất hiệu
quả khơng thể thay thế được thơng qua đó HS thể hiện được những hoạt động như nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Tốn học
phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Tốn học, những hoạt động trí tuệ
chung và những hoạt động ngôn ngữ giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình
thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn cuộc sống.
Nội dung PTLG được phân bố trong chương trình đại số lớp 11 trung học phổ
thông. Nhưng kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở chương trình THCS và
chương trình lớp 10. Kiến thức Lượng giác là phần kiến thức quan trọng không chỉ
trong nhà trường THPT mà còn liên quan chặt chẽ với các vấn đề khác của Toán học,
Vật lý. Giải PTLG là vấn đề tương đối mới mẻ và khó với đa số HS cả về tư duy và
cách tìm ra lời giải của bài toán. Nội dung PTLG với nhiều biến đổi, nhiều dạng tốn
nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính tốn nhiều bài tốn có tiềm năng có thể chuyển
về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển TDTG cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN2




Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh THPT tỉnh Hà Giang trong dạy học nội dung phương trình lượng giác”
làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề xuất một số biện pháp phát triển

TDTG cho HS trong q trình dạy học nội dung PTLG nhằm góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học Toán ở trường phổ thơng.
3. Giả thiết khoa học
Nếu trong q trình dạy học Tốn trung học phổ thơng nói chung, dạy học bài tập
PTLG, GV thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển TDTG thì sẽ góp
phần nâng cao chất lượng dạy học Tốn ở trường phổ thơng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa
học sau:
4.1. Tư duy, thuật tốn, thuật giải, TDTG là gì và vì sao nó cần được phát triển
ở HS trong mơn Tốn?
4.2. Bài tập Tốn là gì, chức năng của bài tập Tốn trong việc hướng tới thực
hiện mục đích dạy học như thế nào?
4.3. Thực trạng rèn luyện TDTG cho HS THPT tỉnh Hà Giang ra sao?
4.4. Có những tiềm năng gì để phát triển TDTG trong dạy học nội dung PTLG
cho HS THPT tỉnh Hà Giang?
4.5. Để phát triển TDTG cho HS cần có những định hướng sư phạm nào?
4.6. Cần truyền thụ cho HS những tri thức phương pháp nào về TDTG?
4.7. Cách thức rèn luyện các hoạt động của TDTG trong dạy học giải bài tập
PTLG như thế nào?
4.8. Xây dựng quy trình dạy học giải bài tập PTLG theo hướng phát triển
TDTG như thế nào?
4.9. Phân bậc các hoạt động của TDTG dựa trên căn cứ nào?
4.10. Kết quả thực nghiệm như thế nào?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN3




5. Phƣơng pháp nghiên cứu

5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn
đề liên quan đến đề tài của luận văn.
5.2. Phương pháp điều tra - quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội
dung PTLG tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra,
quan sát, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THPT.
5.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Dự giờ, quan sát giờ dạy của GV và
hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập nói chung và dạy học
giải bài tập PTLG nói riêng.
5.4. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng việc phát triển
TDTG thông qua dạy học giải bài tập PTLG trên các lớp học thực nghiệm và đối
chứng trong cùng một lớp đối tượng.
6. Dự kiến cấu trúc luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung
luận văn gồm ba chương :
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDTG cho HS
trong khi dạy học bài tập PTLG.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN4




Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Khái niệm Tư duy
Từ điển tiếng Việt nêu rõ: “TD là giai đoạn cao nhất của quá trình nhận thức,
đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức

như: Biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”. [7, tr. 1070]
Nguyễn Quang Uẩn: “TD là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết”. [13, tr. 14]
Trong cuốn “ Rèn luyện TD trong dạy học Tốn”, tác giả Trần Thúc Trình có
viết “TD là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất những mối quan
hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” [12, tr. 1]
TD có tác động to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào TD để nhận
thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó
trong các hoạt động thực tiễn của mình.
1.1.2. Đặc điểm của Tư duy
Trong cuốn “Tâm lí học đại cương”, tác giả Nguyễn Quang Uẩn [13, tr. 16] đã
đề cập TD có các đặc điểm sau:
* TD có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
X.L.Rubinstein – nhà tâm lí học Xơ viết đã viết: “nội dung cảm tính bao giờ
cũng có trong TD trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa của TD”. điều đó cho
thấy TD bắt nguồn từ nhận thức cảm tính sử dụng những tài liệu cảm tính, những
kinh nghiệm thực tế. TD dù trừu tượng đến đâu cũng có chỗ dựa sâu xa từ nhận thức
cảm tính.
Ngược lại, TD và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả
năng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm giác của con người
tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý
nghĩa. Chính vì lẽ đó, Ph.Angghen đã viết: “nhập vào với mắt của chúng ta chẳng
những có các cảm giác khác mà cịn có cả hoạt động TD của ta nữa”.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN5




* Tính trừu tượng và tính khái quát của TD

TD phản ánh cái bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng, đồng thời đã
trừu xuất khỏi những vật hiện tượng đó. Nhờ tính chất trừu tượng và khái qt, TD có
thể cho phép ta đi sâu vào bản chất và mở rộng phạm vi nhận thức sang cả những sự
vật, hiện tượng cụ thể mới mà trước đây ta chưa biết. Nhờ có tính trừu tượng và kết
quả của TD mà khả năng nhận thức của con người được mở rộng khơng có giới hạn.
Ví dụ 1.1:
+) Nói về khái niệm “cái cốc”, con người trừu xuất những thuộc tính khơng
quan trọng như chất liệu, màu sắc, kiểu dáng mà chỉ giữ lại những thuộc tính cần thiết
như hình trụ, dùng để đựng nước uống. Đó là trừu tượng.
+) Khái quát gộp tất cả những đồ vật có những thuộc tính cơ bản nói trên dù
làm bằng nhơm, sứ, thủy tinh… có màu xanh hay vàng… tất cả điều xếp vào một
nhóm “cái cốc”.
* Tính có vấn đề
Hồn cảnh có vấn đề chính là cái kích thích con người TD, hồn cảnh hay tình
huống có vấn đề nảy sinh khi gặp những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương
pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết nó, để TD con người
phải nhận thức được hồn cảnh có vấn đề, phải có nhu cầu giải quyết nó và phải có
những tri thức cần thiết có liên quan tới vấn đề đó. Kích thích q trình TD phát triển
là tình huống có vấn đề, q trình TD chỉ diễn ra khi gặp một cái mới mà ta muốn
nhận biết, khi gặp mâu thuẫn và nảy sinh thắc mắc, khi phát hiện ra những mâu
thuẫn. Khi gặp tình huống có vấn đề mà ta có nhu cầu giải quyết thì nó có tác dụng
kích thích thúc đẩy TD tiến lên nhằm vạch ra những quy luật bản chất của vấn đề đó.
Ví dụ 1.2:
Nếu cho bài tốn: 2(x+1) = ? thì với HS lớp 2 TD sẽ khơng xuất hiện.
* Tính gián tiếp của TD
Trong q trình TD, quá trình hoạt động nhận thức của con người nhanh
chóng thốt khỏi những sự vật cụ thể cảm tính mà sử dụng những khái niệm để biểu
đạt chúng, thay thế những sự vật cụ thể bằng những kí hiệu, bằng ngơn ngữ.
Ví dụ 1.3: Để giải một bài tốn thì trước hết HS phải biết được u cầu nhiệm
vụ của bài tốn, nhớ lại các cơng thức, định lí… có liên quan để giải bài tốn. Ta thấy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN6




rõ rằng trong q trình giải bài tốn đó con người đã dùng ngôn ngữ mà thể hiện là
các quy tắc, định lí… ngồi ra cịn có cả kinh nghiệm của bản thân chủ thể thơng qua
nhiều lần giải Tốn trước đó.
* Tính chất lý tính của TD
TD là giai đoạn phát triển cao nhất của nhận thức – giai đoạn nhận thức lý
tính. Chỉ có TD mới giúp con người vượt qua được những giới hạn trực quan nhận
thức cảm tính để phản ánh được bản chất của sự vật hiện tượng, những vấn đề thuộc
về trí tuệ và lý tính của con người.
* TD có liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Ngôn ngữ là phương tiện của TD, ngơn ngữ là cái vỏ của TD, nhờ có ngơn
ngữ mà con người tiến hành các thao tác TD và sản phẩm của TD là những phán
đoán, suy lý được biểu đạt bằng ngôn ngữ, câu... ngôn ngữ cố định các kết quả của tư
duy, nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho người khác và cho cả bản thân chủ thể
TD. Khơng có ngơn ngữ thì bản thân q trình TD khơng diễn ra được, đồng thời các
sản phẩm của TD cũng khơng thể sử dụng được.
Ví dụ 1.4: Cơng thức tính diện tích hình vng S = (a x a) là kết quả của quá trình
con người tìm hiểu tính tốn. Nếu khơng có TD thì rõ ràng công thức này vô nghĩa.
TD giúp con người cải biến tri thức đó dưới dạng các phương tiện của ngơn
ngữ tự nhiên và bằng các kí hiệu của ngơn ngữ nhân tạo. Ngơn ngữ này giữ một vai
trị quan trọng trong khoa học hiện đại.
Từ những đặc điểm trên đây của TD, ta có thể thấy như sau:
- Phải coi trọng việc phát triển TD cho HS. Bỡi lẽ, không có khả năng TD HS
khơng học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích HS TD thì phải đưa HS vào những tình huống có vấn đề và

tổ chức cho HS độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề.
- Việc phát triển TD phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri
thức. Mọi tri thức đều mang tính khái qt, nếu khơng TD thì không thực sự tiếp thu
lại không vận dụng được những tri thức đó.
- Việc phát triển TD phải gắn với việc trau dồi ngơn ngữ. Bởi lẽ có nắm vững
ngơn ngữ thì mới có phương tiện để TD có hiệu quả.
- Tăng cường khả năng trừu tượng và khái quát trong suy nghĩ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN7




- Việc phát triển TD phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực
quan sát và trí nhớ. Bỡi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì TD khơng thể diễn ra được.
- Để phát triển TD khơng cịn con đường nào khác là thường xun tham gia
vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn. Qua đó TD của con người sẽ khơng ngừng
được nâng cao.
1.2. Tƣ duy thuật giải
1.2.1. Thuật toán
Khái niệm TG liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật tốn. Do đó trước khi đưa
ra khái niệm TDTG ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật tốn và tính chất của nó.
Thuật tốn là một khái niệm cơ sở của Toán học và Tin học. Thuật toán, được
hiểu là một bản qui định chính xác mà mọi người đều hiểu như nhau về việc hoàn
thành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định, nhằm giải quyết một loạt
bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó.
Trong Tin học, thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các bước khơng
mập mờ và có thể thực thi được, quá trình hành động theo các bước này phải dừng và
cho được kết quả như mong muốn.
Số bước hữu hạn của thuật tốn và tính chất dừng của nó được gọi chung là
tính hữu hạn. Số bước hữu hạn của thuật tốn là một tính chất khá hiển nhiên. Ta có

thể tìm ở đâu một lời giải vấn đề - bài tốn có vơ số bước giải? Tính "khơng mập
mờ" và "có thể thực thi được" gọi chung là tính xác định.
Ví dụ 1.5: Giả sử khi nhận một lớp học mới, Ban Giám hiệu yêu cầu GV chủ
nhiệm chọn lớp trưởng mới theo các bước sau :
Bước 1. Lập danh sách tất các HS trong lớp.
Bước 2. Sắp thứ tự danh sách HS.
Bước 3. Chọn HS đứng đầu danh sách để làm lớp trưởng.
Khi nhận được thông báo này, GV chắc chắn sẽ rất bối rối vì khơng hiểu là
trong danh sách HS cần có những thơng tin gì? Danh sách chỉ cần họ tên, hay cần
thêm ngày tháng năm sinh? Có cần thêm điểm trung bình khơng? Yêu cầu bước 2 lại
càng gây nhiều thắc mắc. Cần phải sắp xếp danh sách theo chiều tăng dần hoặc giảm
dần? Sắp theo chỉ tiêu gì? Theo tên, theo ngày tháng năm sinh hay theo điểm trung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN8




bình chung,... giả sử sắp theo điểm trung bình thì nếu có hai HS cùng điểm trung bình
thì HS nào sẽ sắp trước, HS nào sẽ sắp sau?
Hướng dẫn ở trên vi phạm tính chất “khơng mập mờ” của thuật tốn. Nghĩa là,
có q nhiều thơng tin cịn thiếu để làm cho các bước 1, 2 được hiểu đúng và hiểu
theo một nghĩa duy nhất. Nếu sửa lại một chút ít thì hướng dẫn trên sẽ trở nên rõ
ràng hơn rất nhiều và có thể gọi là một thuật tốn chọn lớp trưởng.
Bước 1. Lập danh sách tất các HS trong lớp theo hai thông tin: Họ và Tên;
Ðiểm trung bình cuối năm.
Bước 2. Sắp hạng HS theo điểm trung bình theo thứ tự giảm dần (từ điểm cao
đến điểm thấp). Hai HS có cùng điểm trung bình sẽ có cùng hạng.
Bước 3. Nếu chỉ có một HS có hạng nhất thì chọn HS đó làm lớp trưởng.
Trường hợp có nhiều HS đồng hạng nhất thì chọn HS có điểm mơn Tốn cao nhất

làm lớp trưởng.
Nếu vẫn cịn nhiều hơn một HS đồng hạng nhất và có cùng điểm mơn Tốn
cao nhất thì tiến hành bốc thăm.
Ở đây chúng ta cần phân biệt mập mờ và sự chọn lựa có quyết định. Mập mờ
là thiếu thơng tin hoặc có nhiều chọn lựa nhưng khơng đủ điều kiện để quyết định.
Cịn chọn lựa có quyết định là hồn tồn xác định duy nhất trong điều kiện cụ thể của
vấn đề. Chẳng hạn trong vấn đề chọn lớp trưởng ở trên, bước 3 thể hiện một sự lựa
chọn có quyết định. Tất nhiên, khi chưa lập danh sách, chưa xếp hạng theo điểm
trung bình thì GV khơng thể biết được sẽ chọn lớp trưởng theo cách nào. Nhưng khi
đã sắp xong danh sách thì chỉ có một phương án chọn duy nhất.
Tính “thực thi được” cũng là một tính chất khá hiển nhiên. Rõ ràng nếu trong
“thuật toán” tồn tại một bước khơng thể thực thi được thì làm sao ta có được kết quả
đúng như ý muốn? Tuy nhiên, cần phải hiểu là “thực thi được” xét trong điều kiện
hiện tại của bài tốn. Chẳng hạn, khi nói “lấy căn bậc hai của một số âm” là không
thể thực thi được nếu miền xác định của bài toán là số thực, nhưng trong miền số
phức thì thao tác “lấy căn bậc hai của một số âm” là hoàn toàn thực thi được. Tương
tự, nếu ta chỉ đường cho một người đi xe máy đến một bưu điện nhưng con đường ta
chỉ là đường cụt, đường cấm hoặc đường ngược chiều thì người đi khơng thể đi đến
bưu điện được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN9




Tính “dừng” là tính chất dễ bị vi phạm nhất, thường là do sai sót khi trình bày
thuật tốn. Dĩ nhiên, mọi thuật tốn đều nhằm thực hiện một cơng việc nào đó nên sau
một thời gian thi hành hữu hạn thì thuật tốn phải cho chúng ta kết quả mong muốn. Khi
khơng thỏa tính chất này, ta nói rằng: “thuật tốn bị lặp vơ tận hoặc bị quẩn”.
Ví dụ 1.6: Ðể tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n ta có
thuật tốn sau :

B1. Hỏi giá trị của n.
B2. S = 0
B3. i = 1
B4. Nếu i = n+1 thì sang bước B8, ngược lại sang bước B5.
B5. Cộng thêm i vào S.
B6. Cộng thêm 2 vào i.
B7. Quay lại bước B4.
B8. Tổng cần tìm chính là S.
Ta chú ý đến bước B4. Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vượt
quá n. Thay vì viết là „„nếu i lớn hơn n‟‟ thì ta thay bằng điều kiện „„nếu i bằng n+1‟‟
vì theo Tốn học “i = n+1” thì suy ra “i lớn hơn n”. Nhưng điều kiện “i = n+1” khơng
phải lúc nào cũng đạt được. Vì ban đầu i = 1 là số lẻ, sau mỗi bước, i được tăng thêm
2 nên i luôn là số lẻ. Nếu n là số chẵn thì n+1 là một số lẻ nên sau một số bước nhất
định, i sẽ bằng n+1. Tuy nhiên, nếu n là một số lẻ thì n+1 là một số chẵn, do i là số lẻ
nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác n+1. Trong trường hợp đó
thuật tốn trên sẽ bị quẩn.
Tính “đúng” là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới
nhất. Thực vậy, khi giải quyết một vấn đề - bài tốn, ta ln ln mong muốn lời giải
của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được. Mọi HS khi
làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng nhưng trên thực tế, trong
lớp học chỉ có một số HS nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng.
Trong Tin học, người ta quan niệm bài tốn là một việc nào đó ta muốn máy
tính thực hiện. Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào
máy thơng tin gì (Input) và cần lấy ra thơng tin gì (Output). Do đó để phát biểu một

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN10

bài tốn, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa
Input và Output (bài tốn thơng thường ta xem là giả thiết và kết luận).
Ví dụ 1.7: Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n.
- Xác định bài toán:
+ Input: N là số nguyên dương lẻ.
+ Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n.
Việc cho một bài tốn là mơ tả rõ Input cho trước và Output cần tìm. Vấn đề là
làm thế nào để tìm ra Output. Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài
tốn được gọi là một thuật tốn (algorithm) giải bài tốn đó.
Cịn có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán nhưng dựa vào sự phân tích
trên ta có thể định nghĩa thuật tốn như sau:
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp
theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài
toán, ta nhận được Output cần tìm.
Từ định nghĩa ta thấy các tính chất cơ bản của thuật tốn là: Tính đơn trị, tính
dừng, tính đúng đắn, tính phổ dụng và tính hiệu quả.
Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật tốn địi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải
đơn trị, nghĩa là 2 phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác sơ cấp
trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả.
Từ tính đơn trị ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật tốn. Bất kể cơ
cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng các thao tác sơ cấp một cách hình thức theo đúng
trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao
tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho các thiết bị tự
động thực hiện TG, làm một số công việc thay thế cho con người.
Tính dừng: Tính dừng của thuật tốn u cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện
các thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì TG phải đi đến kết thúc. Tính dừng giúp ta ln tìm
được kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật tốn.
Tính đúng đắn: Thuật tốn phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp ta giải
quyết đúng đắn vấn đề đặt ra, làm đúng cơng việc mà ta mong muốn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN11

Tính phổ dụng: Thuật tốn thường được xây dựng để giải khơng phải chỉ một
bài tốn riêng lẻ mà cho một lớp bài tốn có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể
khác nhau.
Tính hiệu quả: Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu. Trong số
nhiều thuật toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra TG tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu ở
đây được hiểu là:
+ Thuật tốn thực hiện nhanh, tốn ít thời gian,
+ Thuật tốn dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.
1.2.2. Thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải
1.2.2.1. Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài tốn, người ta đã đưa ra
nhận xét sau:
+ Có nhiều bài tốn cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật
tốn và cũng khơng biết có tồn tại thuật tốn hay khơng.
+ Có nhiều bài tốn đã có thuật tốn để giải nhưng khơng chấp nhận được vì thời
gian giải theo thuật tốn đó q lớn hoặc các điều kiện cho thuật tốn đó khó đáp ứng.
+ Có những bài tốn được giải theo những cách giải vi phạm thuật toán nhưng
vẫn chấp nhận được.
Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi mới cho
khái niệm thuật toán. Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật tốn: tính xác
định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán được thể hiện
qua các TG đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật tốn khơng cịn bắt buộc đối
với một số cách giải bài tốn, nhất là cách giải gần đúng. Trong thực tế, có nhiều
trường hợp người ta chấp nhận các cách giải thường cho kết quả tốt (nhưng không
phải lúc nào cũng tốt) nhưng ít phức tạp và hiệu quả. Chẳng hạn, nếu giải một bài
tốn bằng thuật tốn tối ưu địi hỏi máy tính thực hiện trong vịng nhiều năm thì

chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong
vài ngày hoặc vài giờ. Từ đó ta đi đến khái niệm sau:
Các cách giải chấp nhận được nhưng khơng hồn tồn đáp ứng đầy đủ các tiêu
chuẩn của thuật toán thường được gọi là các TG.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN12




Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc
tìm kiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra. Như vậy ngồi việc mở
rộng tính đúng của thuật tốn, TG có tất cả các tính chất khác của thuật tốn. Nó cũng
có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ cấu
nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt trong dạy
học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức hiện
có của HS. Sự hiểu biết về TG, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh
trình độ văn hóa TG. Ngơn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hóa TG.
1.2.2.2. Quy tắc tựa thuật giải
Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đủ các
đặc điểm đặc trưng cho TG, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có
hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải Tốn, đó là những quy tắc tựa TG được
hiểu như một dãy hữu hạn chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm
biến đổi thông tin vào của một lớp bài tốn thành thơng tin ra mơ tả lời giải của lớp
bài tốn đó.
Để phân biệt, ta dựa vào các quy tắc tựa TG phân biệt với TG như sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mơ tả hành động một cách xác định.
- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể khơng đơn trị.
- Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại
kết quả là lời giải của lớp các bài tốn.

Tuy có một số hạn chế nói trên so với TG, quy tắc tựa TG cũng vẫn là những
tri thức phương pháp có ích cho q trình hoạt động và giải Toán.
1.2.3. Tư duy thuật giải
1.2.3.1. Khái niệm tư duy thuật giải
TD Tốn học là hình thức biểu lộ của TD biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học Tốn học hay thơng qua hình thức áp dụng Toán học vào
các khoa học khác. Như vậy, TD Toán học là TD biện chứng.
TDTG là một loại hình thức TD Tốn học. Nó là phương thức TD biểu thị khả
năng tiến hành các hoạt động sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN13




T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một TG.
T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo trình tự
xác định.
T3: Khái qt hóa một q trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
T4: Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
T5: Phát hiện TG tối ưu để giải quyết bài tốn.
Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện TG, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực xây
dựng TG.
Khái niệm TDTG được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với những kết
quả nghiên cứu về hình thành văn hóa TG. Trong [6, tr. 12] tác giả Monakhôp đã nêu
lên những thành phần của văn hóa TG bao gồm:
- Hiểu bản chất của TG và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngôn ngữ là
phương tiện biểu diễn TG.
- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn TG.
- Hiểu tính chất TG của các phương pháp Toán học và các ứng dụng của

chúng; nắm vững các TG của Tốn phổ thơng.
Như vậy, phát triển TDTG là một điều kiện cần thiết góp phần hình thành và
phát triển văn hóa TG cho HS.
1.2.3.2. Một số ví dụ thể hiện các hoạt động của Tư duy thuật giải
Từ khái niệm về TDTG ta thấy rằng để phát triển TDTG cho HS trong dạy học
Toán, GV phải tổ chức, điều khiển các hoạt động TDTG. Thông qua hoạt động đó
giúp HS nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển TDTG cho HS. Sau đây
là một số ví dụ về phát triển TDTG trong mơn Tốn khi dạy giải bài tập PTLG ở
trường phổ thơng.
Ví dụ 1.8: Sau khi dạy xong quy tắc giải các phương trình sin x  m GV có thể
cho HS nêu các bước giải phương trình trên như sau:
Bước 1: Kiểm tra
+ Nếu m > 1 chuyển sang bước 3.
+ Nếu m  1 chuyển sang bước 2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN14




Bước 2: Giải phương trình
Đặt m = sin, ta được:
sin x  m  sin x  sin 
 x    k2

, k
 
 x      k2
Bước 3: Kết luận.
Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của TDTG

cho HS.
Sau đó GV yêu cầu HS làm bài tập sau.
Bài tập: Áp dụng quy tắc giải phương trình giải phương trình bậc nhất đối với
một hàm số lượng giác, hãy giải các phương trình sau:
a. sin 4 x  sin


5

b. sin(

x 
1
)
5
2

c. sin 3x  2

Mục đích của bài tập này là yêu cầu HS thực hiện hoạt động (T1). Do đó cần
hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quy tắc. Có thể
dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình sin x  m phần bảng cịn lại
trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc. Tiến hành nhất quán như vậy trong một
thời gian nhất định sẽ hình thành ở HS quy tắc giải phương trình sin x  m , đồng thời
phát triển ở các em năng lực thực hiện TG.
Ví dụ 1.9: Thực hiện hoạt động T2.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
P  x  2 y  5 biết x,y thỏa mãn 36 x 2  16 y 2  9 .

Với bài toán này, HS phải nắm được sơ lược khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số và cách tìm điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx,
cosx có nghiệm.
GV cần lưu ý cho HS rằng nếu gặp biểu thức dạng: x2  y 2  1 thì liên tưởng
đến việc đặt x  sin t, y=cos t
Ta có thể hướng dẫn HS giải bài tốn trên theo các bước sau:
Bước 1. Biến đổi: 36 x2  16 y 2  9 về dạng x2  y 2  1
Ta có : 36 x 2  16 y 2  9  4 x 2 

16 2
y 1
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN15




Bước 2. Đặt 2 x  sin t,

4
y = cos t sau đó thực hiện phép biến đổi đưa biểu
3

thức P về dạng a sin t  b cos t  c .
Bước 3. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2  c2
Bước 4. Đưa ra bất đẳng thức: m  p  M .Từ đó kết luận MaxP, MinP.
Một điều cần lưu ý là khi phân tích bài tốn để HS định hướng phương pháp
giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức phương pháp tiến
hành hoạt động này. Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phương pháp: quy
lạ về quen.

Ví dụ 1.10: Thực hiện hoạt động T3.
Giải các PTLG sau:
a) cos2 4 x  cos8 8x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2
Giải
cos2 4 x  cos8 8x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2

 1  sin 2 4 x  1  sin 2 8 x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2
 sin 2 4 x  sin 2 8 x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  0
sin 4x  0
sin 8x  0
k


 sin 4x  0  4x  k  x 
,k 
4
sin12x  0

sin16x  0

Vậy phương trình có một họ nghiệm.
b)

cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0

Giải
cos 2 x  cos 6 x  4(3sin x  4sin 3 x  1)  0
 cos2x  1  1  cos6x  4sin3x  2  0

 2cos2 x  2sin 2 3x  4sin 3x  2  0

 2cos2 x  2(sin 3x  1)2  0

 sin x  1
cos x  0


 sin x  1

 sin x  1  x   k 2 , k 
sin 3x  1 
3
2
3sin x  4sin x  1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN16