CAC DANG BT NGUYEN HAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x
∈
(a;b),ta có: F
’
(x) =
f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F
’
(a
+
)=f(a) và F
’
(b
-
)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b)
Ta viết :
( ) ( )f x dx F x C= + ⇔
∫
f(x)= F
’
(x)
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a)
( )
'
( ) ( )f x dx f x=

∫
b)
( ) ( )af x dx a f x dx=
∫ ∫
,(a
≠
0)
c)
∫
[f(x)+g(x)]dx=
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
d)
∫
f(t)dt= F(t) + C
⇒
∫
f(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
1.
∫
dx= x+C
2.
∫
1

1
x
x dx
α
α
α
+
=
+
+C
3.
∫
dx
x
= ln
x
+C
4.
∫
e
x
dx= e
x
+ C
5.
∫
a
x
dx =
ln

x
a
a
+C , (0 < a
≠
1)
6.
∫
cosx dx= sinx +C
7.
∫
sinxdx = -cosx +C
8.
2
cos
dx
x
∫
= tgx +C
9.
2
sin
dx
x
∫
=-cotgx+C
10.
ln
sin 2
dx x

tg
x
=
∫
+C
11.
ln (
cos 2 4
dx x
tg
x
π
= +
∫
+C
12.
∫
tgxdx= -ln
cos x
+C
13.
∫
cotgxdx= ln
sin x
+C
14.
2 2
1
ln
2

dx x a
x a a x a
−
=
− +
∫
+C
15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
= + ±
±
∫
+C
1.
∫
du= u+C
2.
∫
1
1
u
u du
α
α
α

+
=
+
+C
3.
∫
du
u
= ln
u
+C
4.
∫
e
u
du= e
u
+ C
5.
∫
a
u
du =
ln
u
a
a
+C , (0 < a
≠
1)

6.
∫
cosudu= sinu +C
7.
∫
sinudu = -cosu +C
8.
2
cos
du
u
∫
= tgu +C
9.
2
sin
du
u
∫
=-cotgu+C
10.
ln
sin 2
du u
tg
u
=
∫
+C
11.

ln (
cos 2 4
du u
tg
u
π
= +
∫
+C
12.
∫
tgudu= -ln
cosu
+C
13.
∫
cotgudu= ln
sin u
+C
14.
2 2
1
ln
2
du u a
u a a u a
−
=
− +
∫

+C
15.
2 2
2 2
ln
du
u u a
u a
= + ±
±
∫
+C
Trang 1
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
16.
2 2 2 2
2
x
x a dx x a± = ± ±
∫

2
2 2
ln
2
a
x x a± + ±
+C
17.
2 2

arcsin
dx x
C
a
a x
= +
−
∫
18.
2 2
1dx x
arctg C
a x a a
= +
+
∫
19.
2 2 2 2
2
x
a x dx a x− = − +
∫

2
arcsin
2
a x
C
a
+ +

16.
2 2 2 2
2
u
u a du u a± = ± ±
∫

2
2 2
ln
2
a
u u a± + ±
+C
17.
2 2
arcsin
du u
C
a
a u
= +
−
∫
18.
2 2
1du u
arctg C
a u a a
= +

+
∫
19.
2 2 2 2
2
u
a u du a u− = − +
∫

2
arcsin
2
a u
C
a
+ +
Chứng minh một số công thức cơ bản :
10.
ln
sin 2
dx x
tg
x
=
∫
+C
11.
ln (
cos 2 4
dx x

tg
x
π
= +
∫
+C
Chứng minh :
10. Ta có :
2 2
sin cos sin cos
1 1
2 2 2 2
sin
2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
x
+
= = = +
sin cos (cos ) (sin )
1 1
2 2 2 2
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ln cos ln sin ln
2 2 2
x x x x
d d

I dx dx
x x x x
x x x
C tg C
⇒ = + = − +
= − + + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Trang 2
TRNG THPT NGUYN BNH Gv:NGUYN C TUYấN
11.Ta coự :cosx= sin(x+
2

)=
2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x

+ +
keỏt quaỷ
14.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a

=
+

+C
Ta coự :
2 2
1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 2 ( )( ) 2
x a x a
x a x a x a a x a x a a x a x a

+

= =


+ + +


Do ủoự :I=
1 ( ) ( ) 1
ln
2 2
d x a d x a x a
C
a x a x a a x a
+ +

= +

+

15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
= +


+C
Ta ủaởt :

2
2
2 2
2
2
2
(1 )
ln ln
x x x a
t x x a dt dx dx
x a x a
x a dx dt dt
dx dt I t C x x a C
t t t
x a

+ +

= + + = + =
ữ
ữ
+ +

+
= = = = + = + + +
+

16.
2 2 2 2
2
x
x a dx x a =


2
2 2
ln
2
a
x x a+
+C

Ta ủaởt:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2

( )
xdx
du
u x a
x a
dv dx
v x
x dx x a a dx
I x x a x x a
x a x a

=


= +

+

=



=

+
= + = +
+ +

2 2 2 2 2
2 2

2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
ln
ln
2 2
dx
x x a x a dx a
x a
x x a I a x x a
x a
I x a x x a C
= + + +
+
= + + + +
= + + + + +

Trang 3
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=
( )
;( 0)x ax b dx a
α
+ ≠
∫
( )
2
,( 0)

x dx
K a
ax b
α
= ≠
+
∫
*Sử dụng đồng nhất thức :x=
[ ]
1 1
( )ax ax b b
a a
= + −
Hoặc :
*
[ ]
2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) 2 ( )x a x ax b b ax b b ax b b
a a a
 
= = + − = + − + +
 
VD1 :Tính I=
( )
2002
1x x dx−
∫

Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)
[ ]
2002 2002 2002 2002 2003
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x x x⇒ − − = − − − = − − −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2002 2003 2002 2003
2003 2004
1 1 1 (1 ) 1
1 1
1 1
2003 2004
I x dx x dx x d x x dx
x x C
⇒ = − − − = − − − + −
= − − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x
( ) ( )
2002 2002 2003
2003 2004
2003 2004
1
(1 )
1 1 1 1
1 1
2003 2004 2003 2004
x t dx dt
I t t dt t dt t dt

t t C x x C
⇒ = − ⇒ = −
⇒ = − − = − +
= − + + = − − + − +
∫ ∫ ∫
VD2 :Tính J=
( )
2005
1x x dx+
∫
Tương tự :
VD3 : Tính K=
2
4 3
dx
x x− +
∫
HD :
Ta có :
2
1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1
4 3 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1
1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3
ln 3 ln 1 ln
2 3 2 1 2 2 2 1
x x
x x x x x x x x
d x d x x
K x x C
x x x

 
− − −
 
= = = −
 
 
− + − − − − − −
 
 
− − −
⇒ = − = − − − = +
− − −
∫ ∫
Cách 2 :
Ta có :
( )
2
2
1 3
ln
4 3 2 1
2 1
dx dx x
K C
x x x
x
−
= = = +
− + −
− −

∫ ∫
VD4 : Tính J =
( )
3
1 3
xdx
x+
∫
HD :
Trang 4
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
Sử dụng đồng nhất thức : x=
( )
( )
( )
( )
3 3
1 3 1
1 1
1 3 1
3 3
1 3 1 3
x
x
x
x x
 
+ −
+ − ⇒ = =
 

+ +
 
 
2 2
2 3
2 3
1 2
1 1 1
3 (1 3 ) (1 3 )
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
9 (1 3 ) 9 (1 3 ) 9 9
1 1
(1 3 ) (1 3 )
9 18
x x
d x d x
I x d x x d x
x x
x x C
− −
− −
 
−
 
+ +
 
+ +
⇒ = − = + + − + +
+ +

= − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD 5 :Tính K=
2
2
dx
x x− −
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2
1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1
2 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1
1 1 1 1 1 2
ln
3 2 3 1 3 1
x x
x x x x x x x x
x
K dx dx C
x x x
 
+ − −
 
= = = −
 
 
− − + − + − − +
 
 

−
⇒ = − = +
− + +
∫ ∫
VD 6 : Tính H =
4 2
4 3
dx
x x+ +
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 ( 3) ( 1) 1 1 1
( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 ( 1) ( 3)
1 1
2 1 2 3
x x
x x x x x x
dx dx
H
x x
 
 
+ − +
= = −
 
 

+ + + + + +
 
 
⇒ = −
+ +
∫ ∫
( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác đònh thì ta đặt x= tgt với x thoả đk ...)
VD 7 : Tính A=
3
10
( 1)
x dx
x −
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x
3
= ((x-1)+1)
3
=(x-1)
3
-3(x-1)
2
+3(x-1)-1
3
10 7 8 9 10
7 8 9 10
6 7 8 9
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
x
x x x x x
dx dx dx dx
A
x x x x
C
x x x x
⇒ = − + −
− − − − −
⇒ = − + −
− − − −
= − + − + +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt
( )
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt

t t
− − − −
+
+ + +
= = = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
= − + − + +
− − − −
Trang 5
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
VD8 : Tính B=
( )
2
39
1
x dx
x−
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x
2
= [(1-x)-1]
2
=(1-x)

2
-2(1-x)+1
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
− − − +
⇒ = = − +
− − − − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
37 38 39
36 37 38
1 1 1
2
1 1 1
1 1 2 1 1 1
36 37 38
1 1 1
B dx dx dx
x x x
C

x x x
= − +
− − −
= + − + +
− − −
∫ ∫ ∫
Cách 2 :
Đặt : t= 1-x
( )
2
39 39 38 37
38 37 36
1
1
1 1 1
2
1 1 2 1 1 1
38 37 36
x t dx dt
t dt
B dt dt dt
t t t t
C
t t t
⇒ = − ⇒ = −
−
⇒ = − = − + −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD 9 :Tính C =

5 3
dx
x x+
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x
2
+1-x
2
( )
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
1 1 1 1 1
ln ln 1
1 2 2
x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x
x
C dx dx dx x x C
x x x x
+ − + −
⇒ = = − = − = − +
+ + + +

+
= − + = − − + + +
+
∫ ∫ ∫
VD 10 : Tính D=
7 5
dx
x x+
∫
HD :
Sử dụng dồng nhất thức :1= x
2
+1-x
2
( )
2 2 2 2
5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2
5 2
2 2
5 3 2 5 3 2
2
5 3 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1
1 4 2 2

x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x
x
D dx dx dx dx x x C
x x x x x x
+ − + −
⇒ = = − = − = − +
+ + + +
+
+ −
= − + = − + −
+ +
⇒ = − + − = − + + − + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
VD 11 : Tính E =
( )
2001
1002
2
1
x
dx
x +
∫
HD :
Ta phân tích :

Trang 6
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÍNH Gv:NGUYỄN ĐỨC TUN
( ) ( ) ( ) ( )
1000
2001 2000 2
1002 1000 2 2
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1
x x x x x
x
x x x x
 
= =
 ÷
+
 
+ + + +
Đặt : t=
2
2
1
x
x +
( )
2
2
1000 1001
2 2 2

2 2 2
2
1
1 1
2 1 1 2002 1
x
dt dx
x
x x x
E d C
x x x
⇒ =
+
     
⇒ = = +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
∫
VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC
DẠNG 1 :
sin( ) sin( )
dx
I
x a x b
=
+ +
∫
Cách giải :
Bước 1 :Đồng nhất thức :

[ ]
[ ]
sin ( ) ( )
sin( ) 1
1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
x a x b
a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +
−
= = = + + − + +
− − −
Bước 2 :Biến
đổi đưa về kết quả
°Lưu ý :Dạng
1
cos( ) cos( )
I dx
x a x b
=
+ +
∫

Ta sử dụng :
[ ]
[ ]
sin ( ) ( )
sin( ) 1

1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
x a x b
a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +
−
= = = + + − + +
− − −

1
sin( ) cos( )
K dx
x a x b
=
+ +
∫
Ta sử dụng :
[ ]
[ ]
cos ( ) ( )
cos( ) 1
1 cos( ) cos( ) sin( )sin( )
cos( ) cos( ) cos( )
x a x b
a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +

−
= = = + + + + +
− − −
VD 1 : Tính
sin cos( )
4
dx
I
x x
π
=
+
∫
HD :
Cách 1 : Ta có
Trang 7